大一上-第四章

第四章不定積分

4.1不定積分的概念和性質(zhì)

4.2換元積分法

4.3分部積分法

4.4幾種特殊類型函數(shù)的積分

定義：4.1不定積分的概念和性質(zhì)一.原函數(shù)與不定積分的定義問題：(1)

原函數(shù)的存在性,若存在是否唯一？若不唯

一它們之間有什么聯(lián)系？具有怎樣的結(jié)構(gòu)?(2)

具體怎樣求原函數(shù)？原函數(shù)存在定理：(下一章證明)初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都存在原函數(shù).注意:并不是每一個定義在區(qū)間上的函數(shù)都存在原函數(shù).一般地

,凡具有第一類間斷點的函數(shù),在包含這些間斷點的任何區(qū)間上都沒有原函數(shù).關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若的一個原函數(shù)，則對任意常（2）若是的一個原函數(shù)，（為常數(shù)）證則的任一原函數(shù)具有形式：即任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量定義記作：例如：

不定積分的幾何意義y=F(x)的圖形是一條曲線，稱為f(x)的積分曲線；曲線y=F(x)+C,稱為f(x)的積分曲線族.

由于(F(x)+C)′=f(x),故積分曲線族上對應(yīng)于同一個x

的點處的切線是相互平行的.例1

求解解例2

求例3

設(shè)曲線通過點（1，2），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為顯然，求不定積分得到一族積分曲線

.二.不定積分的性質(zhì)由不定積分的定義，可得結(jié)論：微分運算與求不定積分的運算是互逆的.性質(zhì)1性質(zhì)2證證（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）性質(zhì)3由

既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.三.基本積分公式由

積分公式

求導(dǎo)公式由由由由由由由由由由由由例4

求下列不定積分問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令4.2換元積分法一.第一換元積分法（湊微分法）（湊微分法）定理1證例1

求解（二）解（三）三種積法，所得結(jié)果形式不同，如何驗證？注意:使用第一換元公式的關(guān)鍵在于將湊成例2

求下列不定積分(分母有理化)常見湊微式:例考慮作代換令二.第二換元積分法（拆微法）用湊微分法積分很困難!用湊微分法可積出結(jié)果.（拆微分法）定理2使用第二換元法的關(guān)鍵在于根據(jù)被積函數(shù)的特點,選擇一個適當(dāng)?shù)淖儞Q,使其得到的關(guān)于

的積分容易求出,最后再代回原變量

.若被積函數(shù)含有根式時,選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q可設(shè)法去掉根式!一般地，當(dāng)被積函數(shù)中含有令令令令例3

求注意:當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式

（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）則令令例4

求解令例5

求解令例6

求解令例7

求解令

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換，并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.注意:例8

求（若用三角代換很繁瑣）令另外：當(dāng)分母的次數(shù)較高時,可采用倒代換：例9

求解

令

基本積分公式Ⅱ問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式4.3分部積分法應(yīng)用分部積分公式需要解決兩個問題：1、哪些類型的不定積分用分部積分公式容易積分；2、具體用分部積分公式時如何正確選擇例1

求顯然，選擇不當(dāng)，取++右邊的積分更難進行.例4求例6

求例7（1）求（2）求有些積分需要連續(xù)應(yīng)用若干次分部積分法！例8

求例9

求例10

同理例11

求

分部積分法還有另一種作用：對某些積分利用若干次分部積分后，常常會重新出現(xiàn)原來要求的那個積分，從而成為所求積分的一個方程式（或方程組的形式），只要把原來要求的那個積分作為該方程的未知量，解出這個方程就得到了所求的積分?！爸溉毙屠?2

求例13

求同理還有一種值得注意的情況：分項積分分項后雖然每一項都不是初等函數(shù)，但通過非初等部分的相互抵消，最后卻有可能積出初等函數(shù)。例14

求[四川聯(lián)合大學(xué)2000年考研題]注意：“順序選擇法”雖好，但也有“失靈”的時侯，遇到這種情況，應(yīng)靈活地進行調(diào)整。例15

顯然比原積分更復(fù)雜一.有理函數(shù)的積分兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之為有理函數(shù).假定分子與分母之間沒有公因式有理真分式；有理假分式；

利用多項式除法,有理假分式可以化成一個多項式和一個有理真分式之和.例4.4幾種特殊類型函數(shù)的積分（2）分母中若有因式，其中則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：（1）分母中若有因式，則分解后為有理真分式的不定積分可歸結(jié)為下列兩類積分：令則

第一項湊微分即可得結(jié)果第二項換元用分部積分結(jié)論有理函數(shù)的不定積分都是初等函數(shù)：故得遞推公式即有理函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，反正切函數(shù)

.例1例2解這種求待定常數(shù)的方法稱為待定系數(shù)法

.例3解例4

求解例5

求解