電路2課件-第十三章教案

第13章非正弦周期電流電路2.非正弦周期函數(shù)的有效值和平均功率重點：3.非正弦周期電流電路的計算1.周期函數(shù)分解為付里葉級數(shù)13.1非正弦周期信號

生產(chǎn)實際中不完全是正弦電路，經(jīng)常會遇到非正弦周期電流電路。在電子技術、自動控制、計算機和無線電技術等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。

前幾章，我們研究的是正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)分析，在一個線性電路中有一個正弦電源作用或多個按同頻率正弦規(guī)律變化的電源同時作用時，電路各部分的穩(wěn)態(tài)電壓、穩(wěn)態(tài)電流都按同頻率正弦規(guī)律變化。一、非正弦電信號的存在例2示波器內(nèi)的水平掃描電壓周期性鋸齒波例1半波整流電路的輸出信號脈沖電路中的脈沖信號Tt例3二、非正弦周期交流信號的特點：(1)不是正弦波(2)按周期規(guī)律變化

非正弦交流信號分為周期和非周期兩種。我們討論非正弦周期電壓、電流信號，電路性質(zhì)限于線性電路。三、分析非正弦周期信號電路的方法

——諧波分析法

利用數(shù)學中學過的傅立葉級數(shù)展開法，將非正弦周期激勵電壓、電流或外施信號分解為一系列不同頻率的正弦量之和，然后，根據(jù)線性電路的疊加定理，分別計算各種頻率正弦量單獨作用下電路中產(chǎn)生的正弦電流分量和電壓分量，最后把所得分量疊加，就可以得到電路中實際的穩(wěn)態(tài)電流和電壓。+_u非Ziu非0Z++++____i即：13.2周期函數(shù)分解為傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)（定理）一個周期函數(shù)：f(t)=f(t+kT)（K=0，1，2，3，…）滿足狄里赫利條件[函數(shù)在[-T/2,T/2]:①連續(xù)或只有有限個第一類間斷點（間斷點處，值不是無窮大）②只有有限個極值點]，那么它就可以展開成一個收斂級數(shù)——傅立葉定理。1.傅氏級數(shù)的兩種表達式（13-1）第一種表達式基波（和原函數(shù)同頻）二次諧波（2倍頻）直流分量高次諧波上式還可合并成另一形式：

（13-2）第二種表達式AKmK2.兩種表達式系數(shù)之間的關系舉例：A0(a0)：周期函數(shù)f(t)的恒定分量（直流分量）

第二項：K=1—周期函數(shù)f(t)的一次諧波（基波分量）第三項：K=2—周期函數(shù)f(t)的二次諧波（偶次諧波）第四項：K=3—周期函數(shù)f(t)的三次諧波（奇次諧波）這種把一個周期函數(shù)展開或分解為具有一系列諧波的傅立葉級數(shù)——稱為諧波分析。①在第一種表達式中，除非同頻率正弦量只有一個，一般不能稱為各次諧波。②在第二種表達式中：注意：將上式兩端積分可得：3.傅氏系數(shù)的計算：從波形圖上可見：a0代表f(t)在一個周期內(nèi)波形上下面積的代數(shù)平均值，因此當波形上下面積相等時，a0即為零。將(13-1)式兩端同乘coskw1t

再積分得到：

將(13-1)式兩端同乘sinkw1t再積分得到：

由以上討論可見，一個周期函數(shù)可展開成傅立葉級數(shù)，如式(13-1)、(13-2)，這樣一種數(shù)學表達式雖詳盡而又準確地表達了周期函數(shù)分解的結(jié)果，但往往不夠直觀。為了直觀地表示一個周期函數(shù)分解為付氏級數(shù)后都包含哪些諧波分量和各分量所占的“比重”，引出頻譜的概念。二、頻譜的概念：

定義：用長度與各次諧波振幅（初相）大小相應的線段，按頻率的高低把它們依次排列起來所得到的圖形—幅度頻譜（相位頻譜）[如無特別說明，一般所說的頻譜專指幅度頻譜]。Ak0ω12ω13ω14ω1Kω1電工技術中遇到的周期函數(shù)的波形常具有某種對稱性，利用函數(shù)的對稱性可使系數(shù)的確定簡化，（有些系數(shù)為零，即某些分量不存在）。1.偶函數(shù)：

－T/2tT/2f(t)波形對稱縱軸

（13-1）式變?yōu)椋海ㄖ缓谐?shù)項和余弦函數(shù)項）三、周期性函數(shù)的對稱性及其與傅氏系數(shù)的關系：證明：

可見：f(t)=f(-t)

有：證畢

!

－T/2tT/2f(t)2.奇函數(shù)：波形對稱于原點（13-1）式：（只含有正弦函數(shù)項）證明同上！3.奇諧波函數(shù):將波形移動半個周期后便與原波形對稱于橫軸1)ao=02)ak、bk都可能存在，非奇非偶，但K只能是奇數(shù)。系數(shù)特點：所以，奇諧波函數(shù)—鏡對稱tf(t)T/2T波形特點：證明同前!例：非奇非偶，需求a0、ak、bKa0（常數(shù)項）tT/2TttT/2T傅氏系數(shù)受哪些因素影響？既是奇函數(shù)，又是鏡對稱只需求bK（K=1、3、5…)2.函數(shù)的奇偶性除與函數(shù)本身有關外，還與計時起點的選擇有關。因此，對某些周期函數(shù)可以適當選擇計時起點，使它成為奇函數(shù)或偶函數(shù)，以便簡化傅里葉級數(shù)的系數(shù)計算。

周期函數(shù)含有某種對稱性時，其傅里葉級數(shù)中不含某些諧波。充分利用這些對稱性，可使分解計算大為簡化。小結(jié)：的展開式為：周期性方波波形分解直流分量直流分量+基波三次諧波直流分量+基波+三次諧波一、非正弦周期函數(shù)的有效值若非正弦周期電流分解為傅氏級數(shù)：則其有效值：13.3有效值、平均值和平均功率結(jié)論：周期函數(shù)的有效值為直流分量的平方與各次諧波分量有效值平方和的平方根。利用三角函數(shù)的性質(zhì)得：此結(jié)論可推廣到其他非正弦周期量：二、非正弦周期函數(shù)的平均值定義：非正弦周期電流的平均值為該電流絕對值的平均值。非正弦周期函數(shù)的特例—如正弦量的平均值，它相當于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值。正弦電流平均值為0.898I非正弦周期電流的測量—注意選擇儀表（儀表類別）所測結(jié)果將是電流的恒定分量（直流分量）電磁系電動系儀表：測得結(jié)果為電流有效值全波整流儀表：所測為電流的平均值（刻度不均勻）用不同的儀表測同一非正弦電流所得數(shù)值不同，含義也不同結(jié)論：測非正弦周期電量根據(jù)要測的值不同選不同的儀表（正負值代數(shù)和）其儀表偏轉(zhuǎn)角磁電系儀表：(直流儀表)其儀表偏轉(zhuǎn)角三、非正弦周期交流電路的平均功率對于任意一端口說來，u、i關聯(lián)：所吸收的瞬時功率：據(jù)平均功率定義：

不同頻率正弦電壓與電流乘積的上述積分為零（即不產(chǎn)生平均功率）；同頻率正弦電壓與電流乘積的上述積分不為零。平均功率＝直流分量的功率＋各次諧波的平均功率結(jié)論：平均功率等于恒定分量構(gòu)成的功率與各次諧波平均功率的代數(shù)和非正弦周期交流電路的無功功率較復雜，不予討論非正弦周期交流電路的視在功率S=UI此外：13.4非正弦周期交流電路的計算一、計算步驟（2）按照正弦交流電路的計算方法，對各諧波信號分別應用相量法計算；

注意：交流各諧波的XL、XC不同；對直流C相當于開路、L相當于短路。

（分算）（1）利用付里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)展開成若干種頻率的諧波信號；（分解）（3）將以上計算結(jié)果轉(zhuǎn)換為瞬時值迭加。（疊加）注意：把不同頻率的正弦電流相量或電壓相量直接疊加是沒有意義的。二、計算舉例例1方波信號激勵的電路，求u已知：tT/2TRLC解：（1）已知方波信號的展開式為：代入已知數(shù)據(jù)：直流分量基波最大值五次諧波最大值角頻率三次諧波最大值

電流源各頻率的諧波分量為：分解w1L>>R（2）對各種頻率的諧波分量單獨計算：①直流分量IS0

作用：RIS0U0電容斷路，電感短路②基波作用：RLC③三次諧波作用：④五次諧波作用：(3)各諧波分量計算結(jié)果瞬時值疊加：注意：把不同頻率的正弦電流相量或電壓相量直接疊加是沒有意義的。

通過以上例題分析可見，感抗和容抗對各次諧波的反應是不同的。

感抗對高次諧波電流更有抑制作用。

容抗對高次諧波電流則有較小抑制而易于通過的作用。

利用感抗和容抗對各次諧波的不同反應，可以用電感、電容的不同組合構(gòu)成濾波器（filter）,對所需的頻率分量讓其順利通過，對不需要的頻率分量給予抑制,如：（低通）（高通）求：圖示電路中各表讀數(shù)(有效值)例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30abcdA3A2V2V1A1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30abcdiiC1iL2解：(1)U0=30V作用于電路，L1、L2

短路，C1

、C2開路I0=IL20=U0/R=30/30=1A；IC10=0；Uad0=Ucb0=U0=30VIL20L1C1C2L2U0+_30abcdI0IC10(2)u1=120cos1000tV作用L1、C1

發(fā)生并聯(lián)諧振+_30abcdj40j40j40j10(3)u2=60cos(2000t+/4)V作用L2、C2

發(fā)生并聯(lián)諧振+_30abcdj80j20j20j20i=I0+i1+i2=1A所求的電壓、電流的瞬時值為：iC1=IC10+iC11+iC12=3cos(1000t+90)AiL2=IL20+iL21+iL22=1+3cos(2000t45)Auad=Uad0+uad1+uad2=30+120cos1000tVucb=Ucb0+ucb1+ucb2=30+60cos(2000t+45)V電流表A1的讀數(shù)：電流表A2的讀數(shù)：電流表A3的讀數(shù)：電壓表V1的讀數(shù)：電壓表V2的讀數(shù)：

例3已知u(t)是周期函數(shù)，波形如圖，L=1/2H，C=125/F，求理想變壓器原邊電流i1(t)及輸出電壓u2的有效值。**C+–+–2:18Lu2410.5u/Vt/ms12解：當U0=12V作用時，電容開路、電感短路，有：**-j4+–+–2:18j+–8j4-j4+–電容和電感發(fā)生并聯(lián)諧振，電源電流為零測的是u1的功率例4

求：Uab、i及功率表的讀數(shù)+–60