高數(shù)-考研-二階常系數(shù)線性微分方程-第五節(jié)課件

第五節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第五節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)1定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的2一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上3有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特4有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為5有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為6定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特7解特征方程為解得故所求通解為例2解特征方程為解得故所求通解為例28二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點(diǎn)：如9設(shè)非齊方程特解為代入原方程設(shè)非齊方程特解為代入原方程10綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k11特別地特別地12解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例1解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例13利用歐拉公式利用歐拉公式14注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.15解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解為（取虛部）例2解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解16解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入輔助方程例3解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入輔助方程例317所求非齊方程特解為原方程通解為（取實(shí)部）注意所求非齊方程特解為原方程通解為（取實(shí)部）注意18解對(duì)應(yīng)齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例4解對(duì)應(yīng)齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例419小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的20高數(shù)-考研-二階常系數(shù)線性微分方程-第五節(jié)課件21小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程,求特解,取特解的實(shí)部或虛部,得原非齊方程特解.小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程,求特解,取22思考題求微分方程的通解.思考題求微分方程23思考題解答令則特征根通解思考題解答令則特征根通解24思考題寫出微分方程的待定特解的形式.思考題寫出微分方程的待定特解的形式.25思考題解答設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為特征根（重根）思考題解答設(shè)26練習(xí)題練習(xí)題27高數(shù)-考研-二階常系數(shù)線性微分方程-第五節(jié)課件28練習(xí)題答案練習(xí)題答案29高數(shù)-考研-二階常系數(shù)線性微分方程-第五節(jié)課件30練習(xí)題練習(xí)題31練習(xí)題答案練習(xí)題答案32第五節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程第五節(jié)

二階常系數(shù)線性微分方程一、二階常系數(shù)33定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的34一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上35有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特36有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為37有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為38定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特39解特征方程為解得故所求通解為例2解特征方程為解得故所求通解為例240二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點(diǎn)：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型難點(diǎn)：如41設(shè)非齊方程特解為代入原方程設(shè)非齊方程特解為代入原方程42綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k43特別地特別地44解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例1解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例45利用歐拉公式利用歐拉公式46注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.47解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解為（取虛部）例2解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入上式所求非齊方程特解為原方程通解48解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入輔助方程例3解對(duì)應(yīng)齊方通解作輔助方程代入輔助方程例349所求非齊方程特解為原方程通解為（取實(shí)部）注意所求非齊方程特解為原方程通解為（取實(shí)部）注意50解對(duì)應(yīng)齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例4解對(duì)應(yīng)齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例451小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的52高數(shù)-考研-二階常系數(shù)線性微分方程-第五節(jié)課件53小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程,求特解,取特解的實(shí)部或虛部,得原非齊方程特解.小結(jié)(待定系數(shù)法)只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程,求特解,取54思考題求微分方程的通解.思考題求微分方程55思考題解答令則特征根通解思考題解答令則特征根通解56思考題寫出微分方程的待定特解的形式.思考題寫出微分方程的待定特解的形式.57思考題解答設(shè)的特解為設(shè)