復(fù)變函數(shù)測試題和答案及解析

格式.可編輯WORD格式.可編輯WORD技術(shù)資料.整理分享技術(shù)資料.整理分享第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)一、選擇題1.當(dāng)z=ti時，z10+Z75+Z50的值等于( )1-ii

-i (C)

(D)-15二2.設(shè)受數(shù)z滿足arc(z+2)=—，arc(z—2)=——,那么z=( )3 6(A)—1+V3i (B)—V3+iz=tan9—i(4<8<n23

1 (C)--+—i2 )

3 1(D)--+—i2 2二secB[cos(8)+isin(—+8)]2 2

3二se6[cos(——Bisin(——8)]2 2一 3二 3二-sec6[cos(——+6)+iSin(——日)](DDsec0[cos(—+日)isin(—十日22 2 24.若z為非零復(fù)數(shù)，則z2-Z2與2zZ的關(guān)系是( )z2

-z2|>2zz

z2

z2=2zz2 —2 .4 —/一、

z-z<2zz

，,一 ..、不能比較大小x,y為實數(shù)，z1x+，11yi,z=xJUyiz1z|12,則動點2 2(x,y)的軌跡是( )圓 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)拋物線

冗一，向右平移3個單位，再向下平移1個單位后對應(yīng)的復(fù)數(shù)為31-J3i,則原向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( )2

1+J3i

J3+i22.使得z=|z成立的復(fù)數(shù)Z是( )

純虛數(shù) (D)實數(shù)Z2十之=2133 3 33一 一 一--

(8)

-+i(C)--i(D)---i4 4 4 4.滿足不等式|三口<2的所有點z構(gòu)成的集合是( )有界區(qū)域 (B)無界區(qū)域 (C)有界閉區(qū)域 (D)無界閉區(qū)域.方程z+2—3i|=J2所代表的曲線是( )(A)中心為2—3i,半徑為J2的圓周 (B)中心為—2+3i,半徑為2的圓(C)中心為—2+3i,半徑為J2的圓周 (D)中心為2—3i,半徑為2的圓周.下列方程所表示的曲線中，不是圓周的為( )z-1(A)z-22 (B)z+3-z-3=4(C)——a=1(a<1) (D)zz+az+az+aa-c=0(ca1-az12.設(shè)f(z)=1—z,z1=2+3i,z=5—i,,則f(z1—z)=( )2 2十 (A)-4-4i (B)44i (C)4-4i(D)—4十 Im(z)-Im(

)， 、013.lim——)---(—02( )xfoz。z0等于i (B)等于-i (C)等于0 (D)不存在14.函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點zO=xO+iy0處連續(xù)的充要條件是( )u(x,y)在(x0,y0)處連續(xù) (B)v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)(C)u(x,y)和v(x,y)在(x°,y°)處連續(xù)(D)u(x,y)+v(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)15ZWCz=1,

f(z)

z2-z1的最小值為(-3

-1 (D)1

(1i)(2-i)(3-i)z二 ,(3i)(2i)2.設(shè)z=(2 -3i)(-2+i),則argz=,??C3.設(shè) =5,arg(z-i)= ,??C2…鬻謂2n*~.z6=7-v15i的根的對應(yīng)點為頂點的多邊形的面積為.不等式z-2z+2<5所表示的區(qū)域是曲線的內(nèi)部2z-1-i…「.方程 =1所表示曲線的直角坐標(biāo)方程為 2-(1-i)z.方程|z+1-2i|=z-2+i所表示的曲線是連續(xù)點和的線段的垂直平分線9缶x2+(y

=1的像曲線為z10 lim”+z2zz+(1—2i)z+(1+2i)z+3=0,z+2的取值范圍.

2z4)=z滿足格式.可編輯WORD格式.可編輯WORD技術(shù)資料.整理分享技術(shù)資料.整理分享a20,Cz22za.ziz^z1IM(z)0.1z1 1、K、對于映射缶=—(z+—),z=4的像.1z0(z2z2

0)tz2

=㈤z;22 20(zj=0,k#j,k,j=1,2，…，n))z2乙+z2+…+zn=z1+z2+…+zn若limf(z)=A=0,八、 x—x0x

600zz0

6時有f(z)>-|A.九、設(shè)z=x+iy,試證——=」<z<x+y<2十、設(shè)z=x+iy,試討論下列函數(shù)的連續(xù)性:f(z)

=

2xyy20,x3yf (z)=」x2、

+y2,第二章解析函數(shù)一、選擇題：一，， 21f(z)3zz0處是()(A)解析的(C)不可導(dǎo)的(B)可導(dǎo)的(D)既不解析也不可導(dǎo)2f(z)zf(z)z解析的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件也非必要條件.下列命題中，正確的是()設(shè)x,y為實數(shù)，則cos(x+iy)<1z0

f(z)f(z)z0

不可導(dǎo)u,vDf(z)uivD內(nèi)解析f(z)D內(nèi)解析，則"iflz)D內(nèi)也解析.下列函數(shù)中，為解析函數(shù)的是 ()2 2x-y-2xyi2 2

2 .(B)x+xyi3 3(C)2(x-1)y+i(y-x+2x) (D)x+iyz0.函數(shù)f(z)=zIm(z)在處的導(dǎo)數(shù)()

等于

不存在.若函數(shù)f(z)=x2+2xy-y2+i(y2+axy-x2)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，那么實常數(shù)a=()(A)0 (B)1 (C)2 (D)-2f(z)z<1f(0)=—1,z<1f(z)三()(A)0 (B)1 (C)-1 (D)任意常數(shù)f(z)D內(nèi)有定義，則下列命題中，正確的是f(z)D內(nèi)是一常數(shù)，則f(z)D內(nèi)是一常數(shù)f(z)

Re(f(z))D則f(z)f(z)D內(nèi)解析，則argf(z)D則f(1i)=()

f(z)D數(shù)f(z)D數(shù)f(z)D數(shù)2ii

2i

(D)22i0

ji(C)e2 (D) e2

在復(fù)平面上(無可導(dǎo)點(C)有可導(dǎo)點，且在可導(dǎo)點集上解析設(shè) f(z)=sinz,則下列命題中，不正確的

(B)有可導(dǎo)點，但不解析處處解析f(z)在復(fù)平面上處處解析 (B)f(z)以2n為周期(C)

iz -ize-eMz):e^Z—2

(D)f(z)是無界的13口1口()無定義(C)是復(fù)數(shù)，其實部等于14.下列數(shù)中，為實數(shù)的是(3(A)(1-i) 15.設(shè)口是復(fù)數(shù)，則()

cosi

(C)

lni

是復(fù)數(shù)，其模等于13ie2z值在析z^一般是多值函數(shù)

(B)(D)

z"的模為z"z”z0、填空題1.設(shè)f(o)=1,f(0)=1+i,則.

f(z)-1_z.f(z)=u+ivDuvf(z)D內(nèi)是一一；u:v.f(z)=——iD內(nèi)解析的充要條件為exex, 3 3 22 ,, 334.設(shè)f(z)=x+y+ixy,則f( +_[)=22f(z)uivux2y2,f(z)=.f(z)zIm(z)Re(z)z=處可導(dǎo)7f(z)=1z5—(1+i)z,f'(z)=0的所有根為58.復(fù)數(shù)ii的模為 9.Im{ln(3—4i)}= 101—e-=0的全部解為設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)為z=x+iy的解析函數(shù)，若記一zzz-zzzw(z,z)^u(—

,二w—,--)iv(-

則丁=0.22i 2 2i z四、試證下列函數(shù)在z平面上解析，并分別求出其導(dǎo)數(shù)f(z)=cosxcoshy-isinxsinhy;x xf(z)=e(xcosy-ysiny)+ie(ycosy+ixsiny);w3—2zw+ez=0,

dwd2wdz，dz2六、設(shè)wz)」"^z-試，，f(z)在原點滿足柯西-黎曼方程，但卻不可導(dǎo)0,z=0uvx2y2,試確定解析函數(shù)f(z)uiv.八、設(shè)s和n為平面向量，將s按逆時針方向旋轉(zhuǎn)-Tnf(z)=u則有四=2，四=_◎(￡s,n的方向?qū)?shù)).:s:n；n ；s；s；n九、若函數(shù)f(z)在上半平面內(nèi)解析，試證函數(shù) f(z)在下半平面內(nèi)解析十、解方程sinzicosz=4i.

iv2第三章復(fù)變函數(shù)的積分、選擇題：.設(shè)c為從原點沿

=乂至1+i的弧段，則］(x+iy)dz=().1

15.

15.

15.(A)———i(B)——+—66 66

(C)————66

—+—i66.設(shè)C為不經(jīng)過點1與-1的正向簡單閉曲線，則z--------z 沖c(Z-1)(Z1)2(A) (B) (C)0 (D)(A)(B)(C)都有可能

z=1為負(fù)向,

：z=

sinz,正向，則 —2-dzuCzC1-'Cz2-2ni (B)0 (C)2二i (D)4二icz=2,

dz=()7C(1)-sin1 (B)sin1

(C)—2nisin1 (D)2nisin13 1,zcos 15.設(shè)c為正向圓周z=—,則4 J^dz：()2c(1-z)22m(3cos1-sin1) (B)0 (C)6nicos1 (D)-2isin16.設(shè)f(z)=e7e—d^，其中z04,則f'(皿)=()1T1(A)-2ni (B)-1 (C)2m1(D)7.設(shè)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析且不為零,f c為B內(nèi)任何一條簡單閉曲線，則積分2f(z)f(z)dz(f(z)于2可 (B)等于-2兀i (C)等于0 (D)不能確定設(shè)c是從0到1+±i的直線段，則積分 jzezdz=(2二e)1- (B)

e)(C) 1i (D)2 2ITsin(—z)設(shè)c為正向圓周 x2 y2-2x

貝U'：—2-4—0 dz二-2i (B)2 ：i

cz-1(C)0 (D)c為正向圓周

zcosz

dz二c(a-i)((A)2二 (B) (C)0 (D)iie f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，cD內(nèi)任一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部全屬于f(z)c2cz0f(z0)()等于0 (B)等于1 (C)等于2 (D)不能確12.下列命題中，不正確的是()1(A)

積分d

dzr(r〉0)的大小無關(guān)z-a z-a(B) 2iy2)dz2c為連接-i

的線段cDf(z)g(z)Dg'(z)存在且解析若f(z)在0<|z<1內(nèi)解析，且沿任何圓周 c:z=r(0<r<1)的積分等于零，f(z)在z=0處解析設(shè)C為任意實常數(shù)，那么由調(diào)和函數(shù) 2-y2確定的解析函數(shù) f(z)=u+iv是iz2c (B) iz2下列命題中，正確的是()

(C)z2

c

z2ic設(shè)Vi,V2在區(qū)域D內(nèi)均為u的共軻調(diào)和函數(shù), 則必有 V1=V2解析函數(shù)的實部是虛部的共軻調(diào)和函數(shù)f(z)=u+ivDD內(nèi)的調(diào)和函數(shù)；x(D)以調(diào)和函數(shù)為實部與虛部的函數(shù)是解析函數(shù) v(x,y)iu(x,y) (B)v(x,y)-iu(x,y)v(x,y)Du(x,y)二u:v(C)u(x,y)-iv(x,y)(D)—-i—:x二x二、填空題1.設(shè)c為沿原點z=0到點z=1+i的直線段，則2 2zdz=c

D內(nèi)解析函數(shù)的是2.c

z23z2」=1,Uf2dz=兀蘆sin(2)兀蘆3.設(shè)f(z)=cj d^，其中z#2,則f'(3)=2.C為正向圓周

zz"z_dz=.C為負(fù)向圓周

ez(z-i)5

dz二.解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的f(z)BBc都有f(z)dz=0,c么f(z)在B內(nèi) .(x,y)xy的共軻調(diào)和函數(shù)為.u(x,y)x3axy2a.u(x,y)v(x,y),v(x,y)的共軻調(diào)和函數(shù)為三、計算積分6z二2

dz淇中RA0,R#1且R=2;心(z22.

-1)(z2)dzz42z22z|4f(z)B1f(z)1(xwB).試證Bf(z)#0B內(nèi)任意一條閉曲線c,都有＜ff-dz0cf(z)五、設(shè)f(z)在圓域z-a<R內(nèi)解析，若maxf(z)=M(r)(0<r<R),|z-a|=r1WORD 格式.可編輯z _六、求積分q—dz,從而證明『ecos8cos(sin0)dH=n.*z設(shè)f(z)在復(fù)平面上處處解析且有界，對于任意給定的兩個復(fù)數(shù)a,b,試求極限f(z)z— z

dz并由此推證f(a)f(b)Liouville定理)f(z)zcR(R>1)f(0)=1,f(0)=2q(z2 2ccosf(ed)d0t.f(z)=u+ivz的解析函數(shù)，證明鏟ln(1+|f(z)|2)J2ln(1+|f(z/) 4H(z/ ' = n2 n2 22ox W (1+f(z))uu(x2y2),試求解析函數(shù)f(z)u+iv.技術(shù)資料.整理分享

2Rz)dzz1格式.可編輯WORD格式.可編輯WORD技術(shù)資料.整理分享技術(shù)資料.整理分享第四章級數(shù)、選擇題:a

(-1)n ni(n=1,2，…),liman()設(shè)n n>(B)等于1 (C)等于i (D)不存在卜列級數(shù)中，條件收斂的級數(shù)為/A、

13i

J(34i)n、()

n1 n!二1(B)%-(1n-1n二in

(D)

oO(-1)niZn1nn(C)”——n-nn

(D) (T)in2n=0(C)發(fā)散

z1+2iz2處的斂散性為()(D.5設(shè)帚級數(shù)c.n

z

cnzZzR1n

2,R3,則2no0

n=fi n=0n1R1,R2,R3

6.設(shè)0<|q<1,則哥級數(shù)R1(C)R1=R2

R2R3R3

R1 R R2 R1=R2=R2 二q qn

znRn=0q (C)0n二二sin7.哥級數(shù)2 ——2_(三)n的收斂半徑R=(n1n2

(D).：：(A) 1 (B) 2 (C) 2 (D)+30s：(-1)n騫級數(shù)(

(一)-z8. n=0n

z<1內(nèi)的和函數(shù)為(A)

ln(1z) (B)ln(1-z)/、 1 ln(D)In—1zz

-1oO9. czn

zCz設(shè)函數(shù)-e—cosz

nn-0

,那么騫級數(shù) n=0

的收斂半徑1(B)1

n(C)—+zz2+…的收斂域是z

(B)0.；：［z：1(C)

(D)不存在的一，，1,

_一一一11z-1o(A)X(-1)nn(z+1)n,(z+1<1)no

(B)”(-1)n」n(z1嚴(yán) (z+1n1 <1)n(z1廣

(|z+1|<1)

oOn(z+1)n”(z+1(C)n1

<1)n1技術(shù)資料.整理分享技術(shù)資料.整理分享WORD格式.可編輯函數(shù)sinz,在 =三處的泰勒展開式為()2QO (-i)(A)

nnO(2n

(z?)I2JIz?(B)

nT

--2?—)i(C) 乩(z『 (z-<+=C)i(D)

JS(z.f2nn2(2n)!

(F 二)oC設(shè) f(z)在圓環(huán)域H:Ri<zzo<R2內(nèi)的洛朗展開式為 ZCn(z-zo)n，Zo的任一條正向簡單閉曲線，那么2二 (B)2二 (C)2ic2

(D)2ific」 ic1 (Zo)3n (T)n,C=

n=0,1,2.

COCz

的收斂域為(若n

4n, n 0,1,2,n=_1,_2,.

nn,則雙邊哥級數(shù)3:二z41C ..1<+oc(D)一：二z:二,二15f

z(z1)(z

3在以原點為中心的圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式有

個，那么m=()

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4格式.可編輯WORD格式.可編輯WORD技術(shù)資料.整理分享技術(shù)資料.整理分享二、填空題.若哥級數(shù)￡cn

i)nziz=2處的收斂性n=0為.QO .設(shè)備級數(shù)cnCnZn與 [Re(Cn)]zn的收斂半徑分別QO n=0 n=0

R1R2RiR2之間的關(guān)系是..Z(2i)znH

8n2n/.f(z)D內(nèi)解析，Zo為內(nèi)的一點，dZoD的邊界上各點的最短距離，那么n on n=.當(dāng)Z-Zo|<d時，f(z)O C(z—Z)成立，其中5.函數(shù)arctanz在z=n on n=.n6ZcQOnn

R

(2n

-1)c

QOznn的收斂半徑n0n0z為.jn1jnZn,7.雙邊騫級數(shù)Z(-1)------T+￡ (-1)(1--)的收斂域為 .nd (Z-2)nd 2.

1+ez0M[Z內(nèi)洛朗展開式為..cotz0<|z<R收斂域的外半徑R;.

ZCnZn，那么該洛朗級數(shù)QOn二-二QO1 ...................10.函數(shù)--------在1<z—i<~內(nèi)的洛朗展開式為 .z(z-i)12-z0anz1-Z-Z n2列，試確定an滿足的遞推關(guān)系式，并明確給出 an的表達(dá)式.四、試證明1.ez-1ez-1<|ze忸(z+R);2.(3-e)z<eZ-1<(e-1)z(z<1);Sn-nf^z^^F五、設(shè)函數(shù)f(z)在圓域z<R內(nèi)解析, kj)k!

2為非波那契(Fibonacci)數(shù)n1Sn(z)= f()=r

--zn

(zrR).3.f(z)

zn卡.f得)認(rèn),n(z)=F)產(chǎn)(z<r<R)on2用"上(--z)f(z)

az(zRg(z)bbz(zRr(0<rRnn i n nn 2 nn i n nn 2 z<rR2內(nèi)工anbnzn=-1r”。9(5)手。n=0 2用 U亡od六、設(shè)哥級數(shù)、n2znn1z<Rf(z)f(z)a

1z+

aa

azn+…0 2 n22JT 2試證當(dāng)0Mr<R時」f(reld)d8= anr2n2n0

丈2CcnR九、將函數(shù)一力在0<z-1<1內(nèi)展開成洛朗級數(shù)z(z-1)十、試證在0<z<也=■內(nèi)下列展開式成立:z-e

ci十 Cn(z十二)其

1Cn=一「0e"cosn^d日(n0,1,2,…).n4 z 0格式.可編輯WORD格式.可編輯WORD第五章留數(shù)、選擇題：cotz—i=2內(nèi)的奇點個數(shù)為()2z-3(A)1 (B)2 (C)3 (D)4f(z)g(z)zamzaf(z)g(z)的()

可去奇點(C)m

(B)本性奇點(Dm級的極點X2一一,一一1-e3z=0mm=()zsinz(A)5 (B)4 (C)3 (D)214.z=1是函數(shù)(z—1)sin的(zT可去奇點(C)一級零點3— 3■2z■5.z=%是函數(shù)2的()

(D)本性奇點z可去奇點(C)二級極點

(D)本性奇點設(shè)f(z)

anznzR內(nèi)解析，kOO=0OO

Res[

f(z)k

,0]=(ak (B)k!ak (C)a』 (D)(k-1)!ay7z=af(z)m

Res[f-(-z),a]=(f(z)m

8B) m 9C)m

(D)-(m-1)

Res[f

(0的是(格式.可編輯WORD格式.可編輯WORD技術(shù)資料.整理分享技術(shù)資料.整理分享(A)

f(z)

ez-1z

sinz1(C)

sinzcosz

(D)

1”z)K下列命題中，正確的是()設(shè)f(z)=(z—Z0)R甲(z),邛(z)在Zo,為自然數(shù)，則z0

f(z)m級極點.如果無窮遠(yuǎn)點空是函數(shù)f(z)的可去奇點，那么 Res[f(z),二]=0

z=0f(z)的一個孤立奇點，則Res[f(z),0]0若f f(z)dz=0,則f(z)在c內(nèi)無奇點cRe

3cos21,]=(z11Res[z12e1(Ai

-5

2.—i

2.i3"i66 (B) 6 (C) (D)下列命題中，不正確的是若z0(/M)是f(z)的可去奇點或解析點，則 Res[f(z),z°]=0P(z) P(z0)0P(z)Q(z)z°解析，z0Q(z)Res[一^,z0Q(z)Q(z0z。為f(z)的m級極點， n之m為自然數(shù)，1Res[f(z),Zk]=2 1_f(z)exp{zURes[f(z),0]=z格式.可編輯WORD格式.可編輯WORD技術(shù)資料.整理分享技術(shù)資料.整理分享dn n1工(D)如果無窮遠(yuǎn)點gf(z)的一級極點，

_1..........f(-)的一級極點z1Res[f(z),二]桂織zf(-)設(shè)na1為正整數(shù)，則4 dz=(閉=20 (B)2二i (C)積分g喑z10——dz()-1

(D)2ni-(A)0 (B)2二i (C)102 1積分zsin-dz=((A)0 (B) (C) 3二、填空題1z0z3—sinz3mm

(D)(D)1 12f(z)=1zk—(k0,±1,±2,)處z 2

k二一WORD 格式.可編輯4z=af(z)mRes[f,a]=5tanhz在其孤立奇點處的留數(shù)為.,2z .6.設(shè)f(z)=——則Res[f(z)嚴(yán)]=.1z. 1-cosz__ .7.f(z)=-5—,URes[f(z),0]=z13二.積分寸zedz= 1.積分gdz= IzdSinz10.積分

x二1x2

dx=gzsinz--2-dz(e通二d^四、利用留數(shù)計算積分

(a0))a2sin2[-1-z)

二x-x2.—4 2dx一x10x9六、利用留數(shù)計算下列積分:xsinxcos2x1 dx

cos(x-1)dx. x21

2 .一x1技術(shù)資料.整理分享格式.可編輯WORD格式.可編輯WORD技術(shù)資料.整理分享技術(shù)資料.整理分享七、設(shè)a為f(z)的孤立奇點， m為正整數(shù)，試證a為f(z)的m級極點的充要條件是lim(z-a)mf(z)b,其中b0z—aaf(z)f(z)Res[f(z),a]Res[f(z),-a]f(z)URes[f(z),a]=—Res[f(z),—a].

f(z)

a

A,

limz

21l.A聲1T(z)A6(z)zE1z為實數(shù)時，①(z)取實數(shù)而且①(0)0,f(x,y)表示①(x

2二tsinii 1-2tcosit2

f(cos-,sin-

二：'(t)(-1t1)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、1.(B)(A)(B) 12

(C).(A).(D).(A).(D).7.(D)8.(B).(C)13.(D)14(C)

(B).(C).(A)2r-arctan8 3 12i 4..2 2z-2+|z+2 (或— 1 x2

5.3V3=5 5(2)

32 )(2)8.-12i,2-i 10.—7+2i[J5—母，石 +三、

V2Wz+2(或、污—WJ5+72).0MaM1時解為±(1J1—21或±(J1+a—1)當(dāng)1EaE+比時解為±(J1+a-1).17u=—

cosi2 0M8M2n.w平面上的橢圓v-sin]

+-------(爭22十、1.f(z)在復(fù)平面除去原2點外連續(xù)，在原點處不連續(xù);2.f(z) 在復(fù)平面處處連續(xù)第二章 解析函數(shù).(B).(B).(D).(C)5.(A)127..(C)(C)138.(C).(D)149.(A).(B)10 .(D)15 .(C)6.(C)11.(A)1.

常數(shù)

u,2可微且滿足x二x

：2u ；：..,.. 2vex.x.y.x.y

x227 274. 5. y2實常數(shù)JI JI

+2xyi+ic

+ic,c為 6.i2k-7.82(cos4-^——49. -arctan3

2k二isin4-----),k0,1,2,310.(k=0,-1,一

8.e^k二(k=0,_1,_2,)1.f'(z)sinz;dw 2w-ez五