連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理課件

第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理3.1線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

3.1.1微分方程的建立

3.1.2微分方程的求解3.2計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分法

3.2.1零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

3.2.2沖激響應(yīng)

3.2.3用卷積積分計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)

3.3系統(tǒng)函數(shù)

3.3.1系統(tǒng)函數(shù)的定義3.3.2系統(tǒng)的三種描述方式3.3.3用系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)3.3.4由系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布確定時(shí)域特性

3.4信號(hào)的頻域處理第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理13.4信號(hào)的頻域處理

3.4.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.4.2信號(hào)的無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件3.4.3理想低通濾波器3.4.4實(shí)際模擬濾波器

3.4信號(hào)的頻域處理2信號(hào)處理方法：時(shí)域、復(fù)頻域、頻域。線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的一個(gè)重要思想：將輸入信號(hào)表示為某個(gè)基本信號(hào)的線性組合，當(dāng)系統(tǒng)對(duì)該基本信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)已知時(shí)，根據(jù)疊加原理和時(shí)不變性，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)則為基本信號(hào)響應(yīng)的組合，其組合規(guī)律與輸入信號(hào)的相同。輸入為零，僅由初始狀態(tài)產(chǎn)生的響應(yīng)初始狀態(tài)為零，僅由輸入信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)信號(hào)處理方法：時(shí)域、復(fù)頻域、頻域。輸入為零，僅由初始狀態(tài)初始3例如，若已知系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)輸入時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)為，又已知輸入可以表示為則輸入為時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)為時(shí)域：?jiǎn)挝粵_激信號(hào)就是這樣一種基本信號(hào)，任一信號(hào)都可以用沖激信號(hào)的積分形式表示，即沖激信號(hào)的線性組合?！矸e積分復(fù)頻域：信號(hào)分解為est的線性組合?！到y(tǒng)函數(shù)頻域：信號(hào)分解為ejωt的線性組合?！l率響應(yīng)例如，若已知系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)輸入時(shí)的零狀態(tài)則輸43.1線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程3.1.1微分方程的建立＊基爾霍夫定律（KCL、KVL）＊元件的電壓電流約束關(guān)系（VCR）依據(jù)：例：圖示RLC串聯(lián)電路中，e(t)為激勵(lì)信號(hào)，輸出響應(yīng)為回路中的電流i(t)。試求該電路中響應(yīng)與激勵(lì)的數(shù)學(xué)關(guān)系。

3.1線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程3.1.5解：根據(jù)KVL，得由元件VCR，有二階線性常系數(shù)微分方程，對(duì)應(yīng)于一個(gè)二階系統(tǒng)

解：根據(jù)KVL，得由元件VCR，有二階線性常系數(shù)微分方程，對(duì)6對(duì)于一個(gè)n階系統(tǒng)，設(shè)激勵(lì)信號(hào)為x(t)，響應(yīng)為y(t)，可用一個(gè)n階常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述。

LTI系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型：LTI系統(tǒng)x(t)y(t)式中，an-1,…,a0和bm,…,b0均為常數(shù)，n≥m。對(duì)于一個(gè)n階系統(tǒng)，設(shè)激勵(lì)信號(hào)為x(t)，響應(yīng)為y(t)，可用73.1.2微分方程的求解1、時(shí)域經(jīng)典解法

齊次解為齊次微分方程的解，其函數(shù)形式由微分方程的特征根決定。齊次解的形式僅取決于系統(tǒng)本身的特性（特征根），與激勵(lì)信號(hào)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)，稱(chēng)為系統(tǒng)的自由響應(yīng)或固有響應(yīng)；特解的函數(shù)形式由激勵(lì)信號(hào)決定，稱(chēng)為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)。

全解：齊次解

特解3.1.2微分方程的求解1、時(shí)域經(jīng)典解法齊次解為齊次微分8例：描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：特征方程為其特征根λ1＝－1，λ2＝－2。該方程的齊次解為

激勵(lì)，且a＝－1與特征根λ1相同，故該方程的特解為

將特解代入微分方程，比較方程兩邊系數(shù)可得C0=0，C1=1。所以特解

因此方程的完全解為

例：描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的響應(yīng)。解9代入初始條件

解得C1=－1，C2=1。從而系統(tǒng)的響應(yīng)為

2、應(yīng)用拉普拉斯變換法解微分方程

描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。代入初始條件解得C1=－10思路：用拉普拉斯變換微分特性若x(t)在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則x(j)(t)←→sjX(s)s域的代數(shù)方程t域的微分方程零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)y(t)思路：用拉普拉斯變換微分特性若x(t)在t=0時(shí)接入系11

例：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2x'(t)+6x(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，激勵(lì)x(t)=5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。解：方程取拉氏變換：整理得x(t)=5cost(t)例：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為解：方程取拉氏變換：整12y(t)=2e–2t(t)

–e–3t(t)

-4e–2t(t)

+yzi(t)yzs

(t)暫態(tài)分量yt(t)穩(wěn)態(tài)分量ys(t)Yzi(s)Yzs(s)y(t)=2e–2t(t)–e–3t(t)133.2計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)的卷積方法3.2.1零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)

完全響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零時(shí)僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)。由于激勵(lì)為零，故有零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)僅由激勵(lì)所引起的響應(yīng)。在t=0-時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有

3.2計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)的卷積方法3.2.1零輸入響應(yīng)和零狀14例：描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。由特征方程有λ1=-2，λ2=-3。則齊次解

代入初始條件解得C1=10，C2=－10。于是零輸入響應(yīng)為

解：（1）求零輸入響應(yīng)yzi(t)當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，滿(mǎn)足齊次方程例：描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)15（2）求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)則方程的特解由于齊次解為則

由于激勵(lì)為階躍函數(shù)，在t=0時(shí)不會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生突變，因此，解得C1=－3，C2=2。于是零狀態(tài)響應(yīng)為（3）全響應(yīng)

由于激勵(lì)（2）求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)則方程的特解由于齊次解為則由于163.2.2沖激響應(yīng)初始條件的確定

起始點(diǎn)的跳變—從0－到0＋0－表示激勵(lì)接入之前的瞬時(shí)，為起始狀態(tài)。0＋表示激勵(lì)接入以后的瞬時(shí)，為初始狀態(tài)。注意：系統(tǒng)微分方程求得之解限于0＋<t<時(shí)間范圍。應(yīng)當(dāng)利用0＋的初始條件求系統(tǒng)微分方程解的常系數(shù)C。

對(duì)于一些存在跳變的復(fù)雜情況可借助微分方程兩端各奇異函數(shù)系數(shù)平衡的方法作出判斷。

單位沖激響應(yīng)h(t)：系統(tǒng)輸入是單位沖激函數(shù)δ(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。3.2.2沖激響應(yīng)初始條件的確定注意：系統(tǒng)微分方程求得之17例：已知系統(tǒng)微分方程，求單位沖激響應(yīng)h(t)。

當(dāng)微分方程的右端包含高階沖激函數(shù)時(shí)，可先按右端只為沖激函數(shù)的方法求出其響應(yīng)，再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性和微分性質(zhì)求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：方法一、時(shí)域解法先計(jì)算如下方程的解，即單位沖激響應(yīng)h1(t)則原方程的沖激響應(yīng)例：已知系統(tǒng)微分方程，求單位沖激響應(yīng)h(t)。當(dāng)微18（1）先求

和由于是零狀態(tài)響應(yīng)，故

因方程右端有δ(t)，故利用系數(shù)平衡法。中含δ(t)，含，在t=0連續(xù)，即對(duì)方程兩邊同時(shí)積分得

所以（1）先求和由于是零狀態(tài)響應(yīng)，故因方程右端有19（2）求t>0時(shí)的微分方程

方程的特征根為根據(jù)初始條件解得C1=1，C2=-1因此，單位沖激響應(yīng)為（3）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)

=（2）求t>0時(shí)的微分方程20高階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

如果系統(tǒng)為零狀態(tài)，按沖激平衡關(guān)系可得高階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如果系統(tǒng)為零狀態(tài)，按沖激平衡關(guān)系可得21方法二：拉普拉斯變換法

由于對(duì)上式作拉氏逆變換，得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為方程兩邊取拉氏變換，得方法二：拉普拉斯變換法由于對(duì)上式作拉223.2.3用卷積積分計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)

1、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激表示任一信號(hào)x(t)可用無(wú)限多個(gè)不同加權(quán)的沖激函數(shù)的“和”表示：

2、求解LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積方法原理：將信號(hào)分解為沖激信號(hào)的加權(quán)和，借助沖激響應(yīng)，求解系統(tǒng)對(duì)任一信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。問(wèn)題提出：LTI零狀態(tài)已知δ(t)h(t)若x(t)

y(t)＝？當(dāng)x(t)能用δ(t)表示時(shí)，y(t)能用h(t)表示嗎？3.2.3用卷積積分計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)1、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激23推導(dǎo)已知時(shí)不變齊次性疊加性h(t)x(t)y(t)在輸入信號(hào)x(t)作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為輸入信號(hào)與沖激響應(yīng)的卷積積分。推導(dǎo)已知時(shí)不變齊次性疊加性h(t)x(t)y(t)在輸入信243、卷積運(yùn)算的定義及性質(zhì)

對(duì)于任意兩個(gè)信號(hào)f1(t)和f2(t),兩者的卷積運(yùn)算定義為卷積的代數(shù)性質(zhì)交換律分配律結(jié)合律3、卷積運(yùn)算的定義及性質(zhì)對(duì)于任意兩個(gè)信號(hào)f1(t)和f25分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。x(t)h1(t)h2(t)交換律表示兩個(gè)函數(shù)卷積，其順序可以交換。有時(shí)可使卷積簡(jiǎn)便。在系統(tǒng)分析中，這意味著一個(gè)沖激響應(yīng)為h(t)的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入x(t)的響應(yīng)與一個(gè)沖激響應(yīng)為x(t)的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入h(t)的響應(yīng)是一樣的。結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。改變兩個(gè)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)順序，系統(tǒng)總的響應(yīng)保持不變。

h1(t)

h2(t)x(t)分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成并聯(lián)系26卷積的時(shí)移性質(zhì)h(t)x(t)y(t)h(t)y(t-t1)x(t-t1)h(t-t2)x(t-t1)y(t-t1-t2)h(t-t2)x(t)y(t-t2)時(shí)不變性質(zhì)與沖激函數(shù)的卷積卷積的時(shí)移性質(zhì)h(t)x(t)y(t)h(t)y(t-t1)27卷積的微積分性質(zhì)（1）卷積的微分

與沖激偶信號(hào)的卷積

（2）卷積的積分特別地：特別地：與階躍信號(hào)的卷積卷積的微積分性質(zhì)（1）卷積的微分（2）卷28例1：求解：根據(jù)時(shí)移性質(zhì)和微積分性質(zhì)，有例1：求解：根據(jù)時(shí)移性質(zhì)和微積分性質(zhì)，有29例2:已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求輸入時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。

解：

例2:已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求輸入30

例3:已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求輸入時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。

解：

例3:已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求輸入313.3系統(tǒng)函數(shù)3.3.1系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉氏變換之比?！裣到y(tǒng)函數(shù)的來(lái)源3.3系統(tǒng)函數(shù)3.3.1系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)H(s)32由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程(零狀態(tài))產(chǎn)生由時(shí)域卷積產(chǎn)生由系統(tǒng)沖激響應(yīng)產(chǎn)生由s域電路模型產(chǎn)生（初始條件為0）I1(s)I2(s)U1(s)U2(s)++－－由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程(零狀態(tài))產(chǎn)生I1(s)I2333.3.2系統(tǒng)的三種描述方式時(shí)域輸入輸出關(guān)系微分方程經(jīng)典法時(shí)域的沖激響應(yīng)h(t)卷積法s域的系統(tǒng)函數(shù)H(s)拉氏變換在這三種描述中，能夠根據(jù)其中任一種形式推導(dǎo)出另外兩種形式。3.3.2系統(tǒng)的三種描述方式時(shí)域輸入輸出關(guān)系微分方程34例:

已知當(dāng)輸入x(t)=e-t(t)時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。解：h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)微分方程為y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2x'(t)+8x(t)s2Y(s)+5sY(s)+6Y(s)=2sX(s)+8X(s)取逆變換yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t)=2x'(t)+8x(t)

例:已知當(dāng)輸入x(t)=e-t(t)時(shí)，某LTI因果353.3.3用系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

y(t)=h(t)*x(t)H(s)=L[h(t)]Y(s)=H(s)X(s)X(s)=L[x(t)]零狀態(tài)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，任意激勵(lì)下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)可以表示為系統(tǒng)函數(shù)與激勵(lì)信號(hào)的象函數(shù)的乘積。

我們可以利用系統(tǒng)函數(shù)，在復(fù)頻域中求得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)，然后對(duì)其作拉普拉斯逆變換，求得時(shí)域中零狀態(tài)響應(yīng)的原函數(shù)。3.3.3用系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=h(36例:如圖所示電路，激勵(lì)信號(hào)求電路的零狀態(tài)響應(yīng)u2(t)。

解:令例:如圖所示電路，激勵(lì)信號(hào)求電路的零狀態(tài)響應(yīng)u2(t)。解371、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式，即3.3.4由系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布確定時(shí)域特性D(s)=0的根p1，p2，…，pn稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)；N(s)=0的根z1，z2，…，zm稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點(diǎn)。

1、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s的有理分38例:將零極點(diǎn)畫(huà)在復(fù)平面上得零、極點(diǎn)分布圖。

由于多項(xiàng)式的系數(shù)為實(shí)數(shù)，因此系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)為：實(shí)數(shù)、共軛虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)：z=-2極點(diǎn)：p1=-1,p2,3=±j例:將零極點(diǎn)畫(huà)在復(fù)平面上得零、極點(diǎn)分布圖。由于多項(xiàng)式的系數(shù)39研究系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)有下列幾個(gè)方面的意義:（1）從系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布可以了解系統(tǒng)的固有頻率,進(jìn)而了解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的模式,也就是說(shuō)可以知道系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是指數(shù)型,衰減振蕩型,等幅振蕩型,還是幾者的組合,從而可以了解系統(tǒng)的響應(yīng)特性及系統(tǒng)是否穩(wěn)定。（2）從系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布可以求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性,從而可以分析系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。系統(tǒng)的時(shí)域、頻域特性都集中地以其系統(tǒng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來(lái)。研究系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)有下列幾個(gè)方面的意義:402、系統(tǒng)函數(shù)H(s)與時(shí)域響應(yīng)h(t)

沖激響應(yīng)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。主要討論單極點(diǎn)的情況。

2、系統(tǒng)函數(shù)H(s)與時(shí)域響應(yīng)h(t)沖激響應(yīng)的函數(shù)形式由41

H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:

在左半開(kāi)平面、虛軸和右半開(kāi)平面三類(lèi)。

（1）在左半開(kāi)平面：衰減若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實(shí)單極點(diǎn)p=–α(α>0)，則N(s)中有因子(s+α)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-αtε(t)(b)若有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p1,2=-α±jω0，則N(s)中有因子[(s+α)2+ω0

2]Ke-αtcos(ω0

t+θ)ε(t)

以上兩種情況：當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0。H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:（1）在左半42（2）在虛軸上：等幅(a)單極點(diǎn)p=0，則響應(yīng)為Kε(t)(b)共軛虛數(shù)極點(diǎn)p1,2=±jω0則響應(yīng)為Kcos(ω0

t+θ)ε(t)（3）在右半開(kāi)平面：均為遞增函數(shù)。

正實(shí)單極點(diǎn)p=α(α>0)，則響應(yīng)為Keαtε(t)(b)一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p1,2=α±jω0則響應(yīng)為Keαtcos(ω0

t+θ)ε(t)

（2）在虛軸上：等幅(a)單極點(diǎn)p=0，則響應(yīng)為Kε(t)43綜合結(jié)論：LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。①H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0。②H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)不增不減。③H(s)在右半平面上的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于∞。綜合結(jié)論：①H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的44

H(s)的極點(diǎn)的實(shí)部決定了沖激響應(yīng)隨時(shí)間的衰減或增長(zhǎng)情況。極點(diǎn)距離虛軸越遠(yuǎn)，即極點(diǎn)的實(shí)部的絕對(duì)值越大，沖激響應(yīng)的衰減或增長(zhǎng)越快，反之越慢。而極點(diǎn)的虛部決定了沖激響應(yīng)隨時(shí)間的正弦振蕩情況。當(dāng)極點(diǎn)距離實(shí)軸越遠(yuǎn)，即極點(diǎn)的虛部的絕對(duì)值越大，沖激響應(yīng)正弦振蕩的角頻率越高，反之越低。

H(s)的零點(diǎn)分布影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，但不影響沖激響應(yīng)的變化規(guī)律。

H(s)的極點(diǎn)的實(shí)部決定了沖激響應(yīng)隨時(shí)間的衰減或453.4信號(hào)的頻域處理3.4.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)零狀態(tài)頻率響應(yīng)H()可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換Y()與激勵(lì)x(t)的傅里葉變換X()之比，即傅里葉變換法H()稱(chēng)為幅頻特性（或幅頻響應(yīng)）；稱(chēng)為相頻特性（或相頻響應(yīng)）。H()是的偶函數(shù)，

是的奇函數(shù)。

3.4信號(hào)的頻域處理3.4.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)零狀態(tài)頻率46●頻率響應(yīng)H()的求法1.H()=F[h(t)]

2.H()=Y()/X()由微分方程求，對(duì)微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。

例：某系統(tǒng)的微分方程為y′(t)+2y(t)=x(t)求（1）系統(tǒng)的頻率特性（2）x(t)=e-tε(t)時(shí)的響應(yīng)y(t)。解：（1）微分方程兩邊取傅里葉變換jY()+2Y()=X()（2）●頻率響應(yīng)H()的求法1.H()=F[h(t)]473.4.2系統(tǒng)的無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是信號(hào)的傳輸，一類(lèi)是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。1、無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒(méi)有波形上的變化。即：輸入信號(hào)為x(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為y(t)=Kx(t–t0)3.4.2系統(tǒng)的無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為48a時(shí)域條件b頻域條件a時(shí)域條件b頻域條件49（2）無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)南到y(tǒng)條件即幅頻特性H()=K,各分量衰減一致相頻特性，各分量時(shí)延一致（3）線性失真

在線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的失真稱(chēng)為線性失真。在線性失真時(shí)，輸出信號(hào)中不會(huì)出現(xiàn)輸入信號(hào)中所沒(méi)有的新的頻率成分。（2）無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)南到y(tǒng)條件即幅頻特性H()=K,503.4.3理想低通濾波器具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱(chēng)為理想低通濾波器。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫(xiě)為：c稱(chēng)為截止角頻率。信號(hào)中所有高于c的頻率分量將被完全阻止而不能通過(guò)系統(tǒng)，而低于c的頻率分量會(huì)無(wú)失真地通過(guò)系統(tǒng)。

3.4.3理想低通濾波器具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱(chēng)51●理想低通濾波器的沖激響應(yīng)可見(jiàn)，理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為一個(gè)延時(shí)的Sa函數(shù)，其峰值較激勵(lì)信號(hào)延遲了t0時(shí)刻。該系統(tǒng)實(shí)際上是物理不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)?！窭硐氲屯V波器的沖激響應(yīng)可見(jiàn)，理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為一523.4.4實(shí)際模擬濾波器1.一階RC濾波器

系統(tǒng)函數(shù)為

(1)低通其幅頻特性和相頻特性如圖所示：

3.4.4實(shí)際模擬濾波器1.一階RC濾波器53(2)高通2.無(wú)源LC濾波器

低通高通(2)高通2.無(wú)源LC濾波器低通高通543.二階有源RC濾波器（Sallen-Key低通濾波器

）

其中通帶頻率

Q為電路的品質(zhì)因數(shù)，b為跟電路參數(shù)有關(guān)的系數(shù)。

Q=10Q=2Q=0.707系統(tǒng)函數(shù)

3.二階有源RC濾波器（Sallen-Key低通濾波器）55

第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理3.1線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

3.1.1微分方程的建立

3.1.2微分方程的求解3.2計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分法

3.2.1零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

3.2.2沖激響應(yīng)

3.2.3用卷積積分計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)

3.3系統(tǒng)函數(shù)

3.3.1系統(tǒng)函數(shù)的定義3.3.2系統(tǒng)的三種描述方式3.3.3用系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)3.3.4由系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布確定時(shí)域特性

3.4信號(hào)的頻域處理第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理563.4信號(hào)的頻域處理

3.4.1系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.4.2信號(hào)的無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件3.4.3理想低通濾波器3.4.4實(shí)際模擬濾波器

3.4信號(hào)的頻域處理57信號(hào)處理方法：時(shí)域、復(fù)頻域、頻域。線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)＝零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)線性時(shí)不變系統(tǒng)分析的一個(gè)重要思想：將輸入信號(hào)表示為某個(gè)基本信號(hào)的線性組合，當(dāng)系統(tǒng)對(duì)該基本信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)已知時(shí)，根據(jù)疊加原理和時(shí)不變性，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)則為基本信號(hào)響應(yīng)的組合，其組合規(guī)律與輸入信號(hào)的相同。輸入為零，僅由初始狀態(tài)產(chǎn)生的響應(yīng)初始狀態(tài)為零，僅由輸入信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)信號(hào)處理方法：時(shí)域、復(fù)頻域、頻域。輸入為零，僅由初始狀態(tài)初始58例如，若已知系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)輸入時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)為，又已知輸入可以表示為則輸入為時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)為時(shí)域：?jiǎn)挝粵_激信號(hào)就是這樣一種基本信號(hào)，任一信號(hào)都可以用沖激信號(hào)的積分形式表示，即沖激信號(hào)的線性組合?！矸e積分復(fù)頻域：信號(hào)分解為est的線性組合?！到y(tǒng)函數(shù)頻域：信號(hào)分解為ejωt的線性組合?！l率響應(yīng)例如，若已知系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)輸入時(shí)的零狀態(tài)則輸593.1線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程3.1.1微分方程的建立＊基爾霍夫定律（KCL、KVL）＊元件的電壓電流約束關(guān)系（VCR）依據(jù)：例：圖示RLC串聯(lián)電路中，e(t)為激勵(lì)信號(hào)，輸出響應(yīng)為回路中的電流i(t)。試求該電路中響應(yīng)與激勵(lì)的數(shù)學(xué)關(guān)系。

3.1線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程3.1.60解：根據(jù)KVL，得由元件VCR，有二階線性常系數(shù)微分方程，對(duì)應(yīng)于一個(gè)二階系統(tǒng)

解：根據(jù)KVL，得由元件VCR，有二階線性常系數(shù)微分方程，對(duì)61對(duì)于一個(gè)n階系統(tǒng)，設(shè)激勵(lì)信號(hào)為x(t)，響應(yīng)為y(t)，可用一個(gè)n階常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述。

LTI系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型：LTI系統(tǒng)x(t)y(t)式中，an-1,…,a0和bm,…,b0均為常數(shù)，n≥m。對(duì)于一個(gè)n階系統(tǒng)，設(shè)激勵(lì)信號(hào)為x(t)，響應(yīng)為y(t)，可用623.1.2微分方程的求解1、時(shí)域經(jīng)典解法

齊次解為齊次微分方程的解，其函數(shù)形式由微分方程的特征根決定。齊次解的形式僅取決于系統(tǒng)本身的特性（特征根），與激勵(lì)信號(hào)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)，稱(chēng)為系統(tǒng)的自由響應(yīng)或固有響應(yīng)；特解的函數(shù)形式由激勵(lì)信號(hào)決定，稱(chēng)為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)。

全解：齊次解

特解3.1.2微分方程的求解1、時(shí)域經(jīng)典解法齊次解為齊次微分63例：描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：特征方程為其特征根λ1＝－1，λ2＝－2。該方程的齊次解為

激勵(lì)，且a＝－1與特征根λ1相同，故該方程的特解為

將特解代入微分方程，比較方程兩邊系數(shù)可得C0=0，C1=1。所以特解

因此方程的完全解為

例：描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的響應(yīng)。解64代入初始條件

解得C1=－1，C2=1。從而系統(tǒng)的響應(yīng)為

2、應(yīng)用拉普拉斯變換法解微分方程

描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。代入初始條件解得C1=－65思路：用拉普拉斯變換微分特性若x(t)在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則x(j)(t)←→sjX(s)s域的代數(shù)方程t域的微分方程零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)y(t)思路：用拉普拉斯變換微分特性若x(t)在t=0時(shí)接入系66

例：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2x'(t)+6x(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，激勵(lì)x(t)=5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。解：方程取拉氏變換：整理得x(t)=5cost(t)例：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為解：方程取拉氏變換：整67y(t)=2e–2t(t)

–e–3t(t)

-4e–2t(t)

+yzi(t)yzs

(t)暫態(tài)分量yt(t)穩(wěn)態(tài)分量ys(t)Yzi(s)Yzs(s)y(t)=2e–2t(t)–e–3t(t)683.2計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)的卷積方法3.2.1零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)

完全響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零時(shí)僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)。由于激勵(lì)為零，故有零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)僅由激勵(lì)所引起的響應(yīng)。在t=0-時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有

3.2計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)的卷積方法3.2.1零輸入響應(yīng)和零狀69例：描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。由特征方程有λ1=-2，λ2=-3。則齊次解

代入初始條件解得C1=10，C2=－10。于是零輸入響應(yīng)為

解：（1）求零輸入響應(yīng)yzi(t)當(dāng)激勵(lì)為零時(shí)，滿(mǎn)足齊次方程例：描述某線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)70（2）求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)則方程的特解由于齊次解為則

由于激勵(lì)為階躍函數(shù)，在t=0時(shí)不會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生突變，因此，解得C1=－3，C2=2。于是零狀態(tài)響應(yīng)為（3）全響應(yīng)

由于激勵(lì)（2）求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)則方程的特解由于齊次解為則由于713.2.2沖激響應(yīng)初始條件的確定

起始點(diǎn)的跳變—從0－到0＋0－表示激勵(lì)接入之前的瞬時(shí)，為起始狀態(tài)。0＋表示激勵(lì)接入以后的瞬時(shí)，為初始狀態(tài)。注意：系統(tǒng)微分方程求得之解限于0＋<t<時(shí)間范圍。應(yīng)當(dāng)利用0＋的初始條件求系統(tǒng)微分方程解的常系數(shù)C。

對(duì)于一些存在跳變的復(fù)雜情況可借助微分方程兩端各奇異函數(shù)系數(shù)平衡的方法作出判斷。

單位沖激響應(yīng)h(t)：系統(tǒng)輸入是單位沖激函數(shù)δ(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。3.2.2沖激響應(yīng)初始條件的確定注意：系統(tǒng)微分方程求得之72例：已知系統(tǒng)微分方程，求單位沖激響應(yīng)h(t)。

當(dāng)微分方程的右端包含高階沖激函數(shù)時(shí)，可先按右端只為沖激函數(shù)的方法求出其響應(yīng)，再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性和微分性質(zhì)求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：方法一、時(shí)域解法先計(jì)算如下方程的解，即單位沖激響應(yīng)h1(t)則原方程的沖激響應(yīng)例：已知系統(tǒng)微分方程，求單位沖激響應(yīng)h(t)。當(dāng)微73（1）先求

和由于是零狀態(tài)響應(yīng)，故

因方程右端有δ(t)，故利用系數(shù)平衡法。中含δ(t)，含，在t=0連續(xù)，即對(duì)方程兩邊同時(shí)積分得

所以（1）先求和由于是零狀態(tài)響應(yīng)，故因方程右端有74（2）求t>0時(shí)的微分方程

方程的特征根為根據(jù)初始條件解得C1=1，C2=-1因此，單位沖激響應(yīng)為（3）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)

=（2）求t>0時(shí)的微分方程75高階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

如果系統(tǒng)為零狀態(tài)，按沖激平衡關(guān)系可得高階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如果系統(tǒng)為零狀態(tài)，按沖激平衡關(guān)系可得76方法二：拉普拉斯變換法

由于對(duì)上式作拉氏逆變換，得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為方程兩邊取拉氏變換，得方法二：拉普拉斯變換法由于對(duì)上式作拉773.2.3用卷積積分計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)

1、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激表示任一信號(hào)x(t)可用無(wú)限多個(gè)不同加權(quán)的沖激函數(shù)的“和”表示：

2、求解LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的卷積方法原理：將信號(hào)分解為沖激信號(hào)的加權(quán)和，借助沖激響應(yīng)，求解系統(tǒng)對(duì)任一信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)。問(wèn)題提出：LTI零狀態(tài)已知δ(t)h(t)若x(t)

y(t)＝？當(dāng)x(t)能用δ(t)表示時(shí)，y(t)能用h(t)表示嗎？3.2.3用卷積積分計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)1、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的沖激78推導(dǎo)已知時(shí)不變齊次性疊加性h(t)x(t)y(t)在輸入信號(hào)x(t)作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為輸入信號(hào)與沖激響應(yīng)的卷積積分。推導(dǎo)已知時(shí)不變齊次性疊加性h(t)x(t)y(t)在輸入信793、卷積運(yùn)算的定義及性質(zhì)

對(duì)于任意兩個(gè)信號(hào)f1(t)和f2(t),兩者的卷積運(yùn)算定義為卷積的代數(shù)性質(zhì)交換律分配律結(jié)合律3、卷積運(yùn)算的定義及性質(zhì)對(duì)于任意兩個(gè)信號(hào)f1(t)和f80分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和。x(t)h1(t)h2(t)交換律表示兩個(gè)函數(shù)卷積，其順序可以交換。有時(shí)可使卷積簡(jiǎn)便。在系統(tǒng)分析中，這意味著一個(gè)沖激響應(yīng)為h(t)的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入x(t)的響應(yīng)與一個(gè)沖激響應(yīng)為x(t)的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入h(t)的響應(yīng)是一樣的。結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。改變兩個(gè)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)順序，系統(tǒng)總的響應(yīng)保持不變。

h1(t)

h2(t)x(t)分配律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，等于組成并聯(lián)系81卷積的時(shí)移性質(zhì)h(t)x(t)y(t)h(t)y(t-t1)x(t-t1)h(t-t2)x(t-t1)y(t-t1-t2)h(t-t2)x(t)y(t-t2)時(shí)不變性質(zhì)與沖激函數(shù)的卷積卷積的時(shí)移性質(zhì)h(t)x(t)y(t)h(t)y(t-t1)82卷積的微積分性質(zhì)（1）卷積的微分

與沖激偶信號(hào)的卷積

（2）卷積的積分特別地：特別地：與階躍信號(hào)的卷積卷積的微積分性質(zhì)（1）卷積的微分（2）卷83例1：求解：根據(jù)時(shí)移性質(zhì)和微積分性質(zhì)，有例1：求解：根據(jù)時(shí)移性質(zhì)和微積分性質(zhì)，有84例2:已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求輸入時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。

解：

例2:已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求輸入85

例3:已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求輸入時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)。

解：

例3:已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求輸入863.3系統(tǒng)函數(shù)3.3.1系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉氏變換之比?！裣到y(tǒng)函數(shù)的來(lái)源3.3系統(tǒng)函數(shù)3.3.1系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)H(s)87由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程(零狀態(tài))產(chǎn)生由時(shí)域卷積產(chǎn)生由系統(tǒng)沖激響應(yīng)產(chǎn)生由s域電路模型產(chǎn)生（初始條件為0）I1(s)I2(s)U1(s)U2(s)++－－由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程(零狀態(tài))產(chǎn)生I1(s)I2883.3.2系統(tǒng)的三種描述方式時(shí)域輸入輸出關(guān)系微分方程經(jīng)典法時(shí)域的沖激響應(yīng)h(t)卷積法s域的系統(tǒng)函數(shù)H(s)拉氏變換在這三種描述中，能夠根據(jù)其中任一種形式推導(dǎo)出另外兩種形式。3.3.2系統(tǒng)的三種描述方式時(shí)域輸入輸出關(guān)系微分方程89例:

已知當(dāng)輸入x(t)=e-t(t)時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。解：h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)微分方程為y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2x'(t)+8x(t)s2Y(s)+5sY(s)+6Y(s)=2sX(s)+8X(s)取逆變換yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t)=2x'(t)+8x(t)

例:已知當(dāng)輸入x(t)=e-t(t)時(shí)，某LTI因果903.3.3用系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

y(t)=h(t)*x(t)H(s)=L[h(t)]Y(s)=H(s)X(s)X(s)=L[x(t)]零狀態(tài)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，任意激勵(lì)下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)可以表示為系統(tǒng)函數(shù)與激勵(lì)信號(hào)的象函數(shù)的乘積。

我們可以利用系統(tǒng)函數(shù)，在復(fù)頻域中求得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)，然后對(duì)其作拉普拉斯逆變換，求得時(shí)域中零狀態(tài)響應(yīng)的原函數(shù)。3.3.3用系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=h(91例:如圖所示電路，激勵(lì)信號(hào)求電路的零狀態(tài)響應(yīng)u2(t)。

解:令例:如圖所示電路，激勵(lì)信號(hào)求電路的零狀態(tài)響應(yīng)u2(t)。解921、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式，即3.3.4由系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布確定時(shí)域特性D(s)=0的根p1，p2，…，pn稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)；N(s)=0的根z1，z2，…，zm稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點(diǎn)。

1、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s的有理分93例:將零極點(diǎn)畫(huà)在復(fù)平面上得零、極點(diǎn)分布圖。

由于多項(xiàng)式的系數(shù)為實(shí)數(shù)，因此系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)為：實(shí)數(shù)、共軛虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)：z=-2極點(diǎn)：p1=-1,p2,3=±j例:將零極點(diǎn)畫(huà)在復(fù)平面上得零、極點(diǎn)分布圖。由于多項(xiàng)式的系數(shù)94研究系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)有下列幾個(gè)方面的意義:（1）從系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布可以了解系統(tǒng)的固有頻率,進(jìn)而了解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的模式,也就是說(shuō)可以知道系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是指數(shù)型,衰減振蕩型,等幅振蕩型,還是幾者的組合,從而可以了解系統(tǒng)的響應(yīng)特性及系統(tǒng)是否穩(wěn)定。（2）從系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布可以求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性,從而可以分析系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性。系統(tǒng)的時(shí)域、頻域特性都集中地以其系統(tǒng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來(lái)。研究系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)有下列幾個(gè)方面的意義:952、系統(tǒng)函數(shù)H(s)與時(shí)域響應(yīng)h(t)

沖激響應(yīng)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。主要討論單極點(diǎn)的情況。

2、系統(tǒng)函數(shù)H(s)與時(shí)域響應(yīng)h(t)沖激響應(yīng)的函數(shù)形式由96

H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:

在左半開(kāi)平面、虛軸和右半開(kāi)平面三類(lèi)。

（1）在左半開(kāi)平面：衰減若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實(shí)單極點(diǎn)p=–α(α>0)，則N(s)中有因子(s+α)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-αtε(t)(b)若有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p1,2=-α±jω0，則N(s)中有因子[(s+α)2+ω0

2]Ke-αtcos(ω0

t+θ)ε(t)

以上兩種情況：當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0。H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:（1）在左半97（2）在虛軸上：等幅(a)單極點(diǎn)p=0，則響應(yīng)為Kε(t)(b)共軛虛數(shù)極點(diǎn)p1,2=±jω0則響應(yīng)為Kcos(ω0

t+θ)ε(t)（3）在右半開(kāi)平面：均為遞增函數(shù)。

正實(shí)單極點(diǎn)p=α(α>0)，則響應(yīng)為Keαtε(t)(b)一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p1,2=α±jω0則響應(yīng)為Keαtcos(ω0

t+θ)ε(t)

（2）在虛軸上：等幅(a)單極點(diǎn)p=0，則響應(yīng)為Kε(t)98綜合結(jié)論：LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。①H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t→∞時(shí)