三角形內(nèi)角和教學(xué)案例公開課教案教學(xué)設(shè)計(jì)

基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)下的自我建構(gòu)研究——以“三角形內(nèi)角和”為例一、案例來(lái)源《三角形內(nèi)角和》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第五單元P67例6,在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的特性、三邊關(guān)系、三角形的分類、角的度量等知識(shí)。”三角形內(nèi)角和等于180度”這個(gè)定理是平面幾何教學(xué)中最重要的三個(gè)定理之一，在平面幾何教學(xué)中有著舉足輕重的位置；在這一顯性知識(shí)背后還承載著“嘗試形成知識(shí)的自主建構(gòu)”“經(jīng)歷結(jié)論的科學(xué)驗(yàn)證”等很多隱形學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累過程。新課程下課堂教學(xué)的基本理念包括：引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)參與學(xué)習(xí)；師生、生生之間保持有效互動(dòng)；教師應(yīng)為學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)提供學(xué)習(xí)材料、時(shí)間以及空間上的保障；教學(xué)的目的是使學(xué)生形成對(duì)知識(shí)真正的理解；教師應(yīng)關(guān)注學(xué)習(xí)者對(duì)自己和他人學(xué)習(xí)的反思；教師應(yīng)使學(xué)生獲得對(duì)該學(xué)科學(xué)習(xí)的積極體驗(yàn)與感情。這些理念正是基于建構(gòu)主義理論提出的?，F(xiàn)代建構(gòu)主義的三條基本原理是：知識(shí)是認(rèn)知個(gè)體主動(dòng)地建構(gòu)，而不是被動(dòng)地接受或吸收；認(rèn)知功能在適應(yīng)，是用來(lái)組織經(jīng)驗(yàn)的世界，不是用來(lái)發(fā)現(xiàn)本體的現(xiàn)實(shí)；知識(shí)是個(gè)人與別人經(jīng)由磋商與和解的社會(huì)建構(gòu)。以上原理正好解釋了“知識(shí)是什么"''學(xué)習(xí)是什么”“教學(xué)什么樣”的問題。而單單接受現(xiàn)代建構(gòu)主義的某一條原理只會(huì)造成片面化的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而對(duì)實(shí)施建構(gòu)主義教學(xué)造成無(wú)法規(guī)避的誤導(dǎo),只有這三條原理互相協(xié)調(diào)、彼此制衡才能完整地體現(xiàn)現(xiàn)代建構(gòu)主義，才能真正達(dá)成有效課堂?；谶@樣的思考，借助浙派名師藝術(shù)展這一平臺(tái)選擇了《三角形內(nèi)角和》進(jìn)行了嘗試研究。二、案例分析《三角形內(nèi)角和》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第五單元P67例6,在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的特性、三邊關(guān)系、三角形的分類、角的度量等知識(shí)。針對(duì)這一知識(shí)的前測(cè)情況如下：系1試題學(xué)生數(shù)正確率1指出三角形的內(nèi)角129100%2三角形內(nèi)角和是多少度12093.0%不會(huì)說明3527.1%能用直角三角形6651.2%72.9%能用等邊三角形1310.1%用測(cè)■每個(gè)角的度數(shù)53.9%三個(gè)內(nèi)角拼成平角75.4%其他32.3%在前測(cè)中發(fā)現(xiàn)有93%的孩子能正確填出三角形內(nèi)角和是180度，要求說明為什么時(shí)，有27.1%的孩子毫無(wú)想法，有72.9%的孩子給出了理由，其中有認(rèn)為直角三角板的內(nèi)角和是180度，所以所有的三角形也這樣；有認(rèn)為等邊三角形的內(nèi)角和是180度，從而得到其他三角形也是；也有少部分人是用撕下三個(gè)內(nèi)角和拼成平角來(lái)說明的；5人是用測(cè)量每個(gè)角度數(shù)的方法來(lái)說明的。從這個(gè)前測(cè)結(jié)果可以看出三角形內(nèi)角和的概念對(duì)學(xué)生來(lái)說可能是新的，但學(xué)生容易理解,也基本知曉。針對(duì)這樣的學(xué)情我們應(yīng)該怎樣來(lái)實(shí)施教學(xué)?課堂上除了教給學(xué)生已經(jīng)了解到的知識(shí)外還可以呈現(xiàn)點(diǎn)什么來(lái)更好地幫助學(xué)生完成知識(shí)的自我建構(gòu)?在平時(shí)的課堂中還可以為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)做些怎樣的努力?帶著這樣的思考與困惑我嘗試著做了這樣的努力：（-）直面學(xué)生基礎(chǔ)，調(diào)整有效的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生已經(jīng)知道結(jié)論的新授課該怎么上？我的做法是直面學(xué)生的基礎(chǔ)，將新授課調(diào)整為“驗(yàn)證結(jié)論”的形式。圍繞''三角形內(nèi)角和是180度”這一猜想提出“怎么證明所有的三角形的內(nèi)角和都是180度？”這一任務(wù)，從而開展“合理猜想一一形成思路一一嘗試驗(yàn)證一一得出結(jié)論”等教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)建構(gòu)的全過程，感悟“演繹推理”的科學(xué)性。（二）深度研究教材，選擇有效的學(xué)習(xí)材料。查閱有關(guān)三角形內(nèi)角和的資料可以發(fā)現(xiàn)，在小學(xué)階段呈現(xiàn)的驗(yàn)證方式主要以例舉的方式來(lái)證明為主，主要有"量一量""拼一拼”“折一折”等方法，而這樣的例證方式有一定的局限性，怎樣將小學(xué)的驗(yàn)證方式與初中的“證明"建立聯(lián)系？選擇怎樣的學(xué)習(xí)材料能更好地幫助學(xué)生完成自主建構(gòu)的目的？通過深度研究我選擇了模擬最早發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的“兩直角定理”為突破口，從特殊的四邊形（長(zhǎng)方形）入手，先推出所有直角三角形的內(nèi)角和等于180度，再推出一般三角形的內(nèi)角和也是180度，讓學(xué)生逐步嘗試借助已有的知識(shí)不斷構(gòu)建出新知的過程，初步感悟用推理的方式來(lái)證明結(jié)論的合理性及科學(xué)性。（三）適時(shí)合作交流，培養(yǎng)自我建構(gòu)的能力。如今的孩子以獨(dú)生子女居多，他們最缺少的是與人交流的能力，是在碰到問題時(shí)形成解決思路的能力。建構(gòu)主義認(rèn)為知識(shí)是與他人經(jīng)由磋商與和解的合作建構(gòu)，本堂課力求在這方面做點(diǎn)努力，在學(xué)術(shù)思維的困惑處、知識(shí)建構(gòu)的關(guān)鍵處設(shè)計(jì)合作交流，在尊重個(gè)體建構(gòu)的主觀性基礎(chǔ)上又體現(xiàn)社會(huì)建構(gòu)的互動(dòng)性，理順內(nèi)部生成與外部環(huán)境的互動(dòng)性，逐步培養(yǎng)學(xué)生的自我建構(gòu)能力，授之以魚不如授之以漁說的就是這個(gè)道理吧！基于以上考慮，對(duì)本堂課教學(xué)目標(biāo)定位如下：.在觀察的基礎(chǔ)上，通過自主探究活動(dòng)使學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180度，能運(yùn)用這一規(guī)律解決一些簡(jiǎn)單的問題。.在觀察、操作、分析、猜想、驗(yàn)證、合作、交流等具體活動(dòng)中，提高動(dòng)手操作能力、數(shù)學(xué)思考能力及數(shù)學(xué)推理能力。.在探索過程中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，體驗(yàn)驗(yàn)證的科學(xué)性。教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和等于180度。教學(xué)難點(diǎn)：讓學(xué)生用推理的方法來(lái)驗(yàn)證三角形內(nèi)角和等于180度。三、案例呈現(xiàn)（-）變中求同，激活原有認(rèn)知師：同學(xué)們，今天我們繼續(xù)來(lái)研究三角形的有關(guān)知識(shí)，先來(lái)看由它帶來(lái)的一組動(dòng)畫。（課件演示平行線內(nèi)同底等高三角形的變化過程）這個(gè)變化過程中什么沒變？生:三角形的底沒有變.生:三角形的高也沒有變.生：三角形的面積沒變.生:三角形的周長(zhǎng)沒變.（學(xué)生發(fā)生爭(zhēng)議）生：三角形的內(nèi)角和也是不變的。師：剛才你們從三角形的邊、角、面等不同角度猜測(cè)了可能不變的元素，今天我們先來(lái)研究其中的一個(gè)內(nèi)容。（板書：三角形的內(nèi)角和）關(guān)于三角形的內(nèi)角和你

已經(jīng)知道了什么？你還想知道它的哪些知識(shí)？生：我想知道三角形內(nèi)角和為什么是180度。生：所有的三角形內(nèi)角和都是180度嗎？生：為什么一個(gè)三角形里只能有一個(gè)直角或鈍角？生：三角形內(nèi)角和的知識(shí)在生活中有什么用？（二）猜想建聯(lián)，搭建轉(zhuǎn)化橋梁師：我們先來(lái)研究“所有的三角形內(nèi)角和都是180度嗎？”這個(gè)問題，可以用什么辦法證明？生：用量角器先把角量出有多少度，再加一加就可以了。（板書：量）師：還有嗎？當(dāng)我們一下子想不到解決問題的辦法時(shí)，可以先回過頭想一想，看看以前學(xué)的什么知識(shí)可能跟這個(gè)有關(guān)系，比方說，看到180度你會(huì)想到什么？生：我會(huì)想到平角是180度。生：周角是360度。生：直角是90度。師：有沒有辦法將三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)變?yōu)檫@些知識(shí)呢？四人小組商量一下。生：我們可以把三角形的三個(gè)角剪下來(lái)拼一拼，看看是不是剛好能拼成一個(gè)平角。生：還可以把這三個(gè)角折在一起，看看是不是平角。生：長(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角，再把它分成兩個(gè)三角形就是180度。（三）實(shí)踐驗(yàn)證，完成知識(shí)建構(gòu)師：我為每個(gè)小組準(zhǔn)備了6個(gè)完全不同的三角形、2個(gè)長(zhǎng)方形還有一些相應(yīng)的工具，你可以用量角器量，可以把三角形的角撕下來(lái)拼，或者把三角形的角折在一起，還可以把長(zhǎng)方形分一分，動(dòng)手試著驗(yàn)證一下吧！作品展示作品一：量 作品二：拼R4和切MR4和切M?/針作品三：折作作品三：折作品四：分生1:第四種方法把長(zhǎng)方形分成了兩個(gè)三角形，它的角是不一樣的不能直接除以二。如果是正方形的話是對(duì)的，長(zhǎng)方形的角不一樣的。生2:分成長(zhǎng)方形后N1和N4是一樣的，N6和N3也是一樣的，把三角形內(nèi)角剛好分成了兩半。生3:這樣就把長(zhǎng)方形分成了兩個(gè)'一模"一樣的三角形，所以'一個(gè)三角形的內(nèi)角和就是3604-2=180度。（動(dòng)畫演示驗(yàn)證學(xué)生們的猜想）師：剛才的這些驗(yàn)證方法是不是證明了所有三角形的內(nèi)角和都是180度？生：沒有，我們只是驗(yàn)證了一部分。生：三角形有很多很多，不可能都拿來(lái)驗(yàn)證的呀！生：我認(rèn)為最后一種方法可能證明了所有的三角形。生：不對(duì)，最后一種方法只是證明了所有的直角三角形。師：能不能借助所有的直角三角形內(nèi)角和是180度這個(gè)發(fā)現(xiàn)來(lái)證明其他三角形的內(nèi)角和也是180度呢？可以再拿出一個(gè)三角形，在上面畫一畫、分一分，四人小組合作試一試。如果確實(shí)有困難的，可以拿出電子書包看一看，再接著研究（四人小組合作研究）學(xué)生匯報(bào)：

AA生：我們?cè)谶@個(gè)三角形上畫一條高，這樣就分出了兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和都是180度，兩個(gè)就是360度，但是剛才這樣分了之后多出了這兩個(gè)直角，所以就是360度780度=180度。（板書:180X2-90X2=180度）師：是這樣嗎？這里的180X2表示什么？90X2表示什么？為什么要減去？師：現(xiàn)在所有的三角形都證明了嗎？為什么？（四）應(yīng)用推廣，抵達(dá)建構(gòu)之境師：三角形的一個(gè)內(nèi)角是40度，它可能是個(gè)什么三角形？（出示：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形）不可能是什么三角形？（出示：一般三角形、等腰三角形、等邊三角形）（逐題呈現(xiàn)練習(xí)，學(xué)生用答題器快速答題）直角三角形銳角三角形鈍角三角形Z1=40 徑邊三角形等腰三角形一般三角形Zl=40°々=()Zl=4Zl=40°々=()Zl=40°/1=N2N3=()①50。 ②140°③60°①120°②70°③100°(3)等腰三角形Zl=40°Z2=Z3N3=((3)等腰三角形Zl=40°Z2=Z3N3=( )①65。 ②70。③100°某同學(xué)把這塊三角形的玻璃打碎成三片，現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊形狀完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶（）去配。四、案例反思（-）激活原有認(rèn)知，為完成自我建構(gòu)提供條件本課一開始，先讓學(xué)生觀看一組平行線內(nèi)同底等高三角形的變化過程，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化中尋找三角形可能存在的不變因素，這樣設(shè)計(jì)一方面了解了學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，另一方面能盡可能快地將相關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)處于較為活躍的狀態(tài)，使它們置于學(xué)生注意力可以搜索的范圍之內(nèi)，充分激活學(xué)生對(duì)三角形的種種知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。然而學(xué)生開展自我建構(gòu)活動(dòng)的源頭不是業(yè)已形成的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，而是學(xué)生頭腦中需要解決的問題，盡管在課一開始學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)被激活了，還有一些頗有新意的發(fā)現(xiàn)發(fā)表出來(lái)了，但它們很容易因思維惰性的緣故而被漸漸“固定下來(lái)”失去活力，課堂上“無(wú)疑須教有疑”，有疑還需高質(zhì)量的疑，所以在學(xué)生提出“三角形內(nèi)角和是180度”這一猜想后繼續(xù)追問：關(guān)于這一知識(shí)還可以研究點(diǎn)什么？進(jìn)而使學(xué)生產(chǎn)生了“三角形內(nèi)角和為什么是180度？”“所有的三角形內(nèi)角和都是180度嗎？”“為什么一個(gè)三角形里只能有一個(gè)直角或鈍角？”等這些更具思維含量、更深層次、更高水平的“好疑”。（二）提供轉(zhuǎn)化思路，為實(shí)現(xiàn)自我建構(gòu)鋪設(shè)道路鋪設(shè)學(xué)生的自我建構(gòu)之路其實(shí)就是構(gòu)建合理的解決問題的方法序列。在合理的解決問題方法序列的引導(dǎo)下，學(xué)生就能循序漸進(jìn)，拾級(jí)而上，逐步深入地達(dá)成隊(duì)所學(xué)知識(shí)的自主建構(gòu)。通過前測(cè)可以發(fā)現(xiàn)，用推理的方法證明三角形內(nèi)角和是180度對(duì)四年級(jí)的學(xué)生來(lái)說仍然是一項(xiàng)挑戰(zhàn)性很大的任務(wù)。限于已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，他們很容易想到用量角器量的方法，比較難想到用“拼”“折”的方法，而用推理的方法更超出了他們現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力。在學(xué)生思維的困惑處要給予學(xué)生提供切實(shí)可行的自我建構(gòu)學(xué)習(xí)支架，借助''看到180度你會(huì)聯(lián)想到什么知識(shí)？”這一問題幫助學(xué)生將新問題與已有的“平角、周角、直角”的知識(shí)建立聯(lián)系，主動(dòng)搭建知識(shí)構(gòu)建的橋梁。（三）同伴思維碰撞，為實(shí)現(xiàn)自我建構(gòu)擦亮火花驗(yàn)證方法確立后，提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)材料讓學(xué)生嘗試驗(yàn)證，讓學(xué)生通過動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦充分調(diào)動(dòng)感覺器官，綜合運(yùn)用原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作出合理的推論、分析、解釋，形成自己的假設(shè)和解決方案。在反饋時(shí)每個(gè)人根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)所建構(gòu)起來(lái)的理解是不同的，也存在著局限性，教學(xué)中借助''以上幾種驗(yàn)證方法你有什么想問的嗎？”“這些驗(yàn)證方法是不是證明了所有三角形的內(nèi)角和都是180度？”這兩個(gè)問題的討論，共享和協(xié)調(diào)了各自原有的認(rèn)知，使理解更加準(zhǔn)確、豐富和全面，從而一致達(dá)成“量、拼、折”的方法只能證明一部分三角形，“分”的方法只能證明所有的直角三角形內(nèi)角和是180度這一共識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好了充足的準(zhǔn)備。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)整個(gè)研究過程只是證明了“所有的直角三角形內(nèi)角和是180度”時(shí)，適時(shí)提出“能不能借助所有的直角三角形內(nèi)角和是180度這個(gè)發(fā)現(xiàn)來(lái)證明其他三角形的內(nèi)角和也是180度？”這一問題，及時(shí)抓住學(xué)生學(xué)習(xí)中形成的矛盾設(shè)計(jì)相應(yīng)的問題情境以啟發(fā)學(xué)生的思維，再次給學(xué)生提供必要的線索，促進(jìn)學(xué)生完善知識(shí)的建構(gòu)。（四）習(xí)得而以致用，最終實(shí)現(xiàn)自我建構(gòu)之目標(biāo)在本節(jié)課的尾聲階段，我設(shè)計(jì)了兩道題，第一道題是針對(duì)三角形內(nèi)角和知識(shí)的及時(shí)鞏固和簡(jiǎn)單應(yīng)用，第二道題是課后探究題，指向新問題的發(fā)現(xiàn)和新方法的探尋。這樣的練習(xí)設(shè)計(jì)一方面進(jìn)一步開闊了學(xué)習(xí)的視野，豐富了探究的經(jīng)驗(yàn)，生成了數(shù)學(xué)的智慧，提升了數(shù)學(xué)的素養(yǎng)，另一方面也給學(xué)生帶來(lái)了豐富的愉悅感和深刻的成就感。專家點(diǎn)評(píng)：浙江省特級(jí)教師徐雙蓮：“三角形的內(nèi)角和是180度"是三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，在新課之前大部分孩子已經(jīng)知道了這一結(jié)論，“怎樣讓學(xué)生通過自己動(dòng)手探究、科學(xué)推理來(lái)驗(yàn)證這一結(jié)論”是這節(jié)課的重點(diǎn)，為此，方老師巧妙地設(shè)計(jì)了“猜想建聯(lián)一一實(shí)踐驗(yàn)證一一科學(xué)推理”三個(gè)層次的探索活動(dòng)，幫助學(xué)生逐漸理清“是不是所有三角形內(nèi)角和都是180度？二三個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)逐層深入，從驗(yàn)證自己手中的三角形是180度，到發(fā)現(xiàn)特殊的直角三角形內(nèi)角和都是180度，再到證明任意一個(gè)三角形內(nèi)角和都是180度。這樣步步深入，很好的展現(xiàn)了學(xué)生真實(shí)的思維過程。在學(xué)生看似知道結(jié)論的前提下，總是給學(xué)生提出新的問題，在不斷借助已有知識(shí)解決新問題的過程中，逐漸積累用“轉(zhuǎn)化”的方法解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這樣的課堂切實(shí)體現(xiàn)了“以學(xué)生為本，以學(xué)生的發(fā)展為本”的新課程核心理念，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：.喚起已有經(jīng)驗(yàn)，呈現(xiàn)豐富資源《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)必須從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為他們提供參與的機(jī)會(huì)。在這一理念下，教師首先運(yùn)用課件演示了平行線內(nèi)同底等高三角形的變化過程，通過尋找這個(gè)變化過程中不變的因素，快速調(diào)出了關(guān)于三角形的所有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，這樣的設(shè)計(jì)不僅增加了學(xué)生參與的熱情，也為后面的學(xué)習(xí)做好了準(zhǔn)備。.以學(xué)生為主體，充分相信學(xué)生《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，教師是教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者