2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章圓與方程章末綜合提升學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第4章圓與方程[牢固層·知識(shí)整合］[提升層·題型研究]求圓的方程【例1】求圓心在圓錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋y2＝2上，且與x軸和直線x＝－錯(cuò)誤!都相切的圓的方程．［解］設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b）,半徑為r,由于圓錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋y2＝2在直線x＝－錯(cuò)誤!的右側(cè)，且所求的圓與x軸和直線x＝－錯(cuò)誤!都相切，所以a＞－錯(cuò)誤!.1所以r＝a＋2，r＝｜b｜。又圓心(a，b）在圓錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋y2＝2上，-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精所以錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋b2＝2，聯(lián)立錯(cuò)誤!解得錯(cuò)誤!所以所求圓的方程是錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋（y－1）2＝1，或錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＋（y＋1)2＝1。采用待定系數(shù)法求圓的方程的一般步驟(1)選擇圓的方程的某一形式．(2）由題意得a,b,r(或D，E，F(xiàn))的方程（組)。(3)解出a,b，r（或D，E，F(xiàn)）。(4）代入圓的方程．錯(cuò)誤!1．已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)且與直線4x＋3y－29＝0相切，求圓的方程．[解］設(shè)圓心為M(m,0）（m∈Z），由于圓與直線4x＋3y－29＝0相切，且半徑為5,所以錯(cuò)誤!＝5,即｜4m－29｜＝25，由于m為整數(shù)，故m＝1，-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精故所求圓的方程為（x－1）2＋y2＝25。直線與圓的地址關(guān)系【例2】已知直線l:2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0。(1)m∈R時(shí)，證明l與C總訂交；2）m取何值時(shí)，l被C截得的弦長(zhǎng)最短，求此弦長(zhǎng)．［解]（1)證明：直線的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，由點(diǎn)斜式可知，直線過(guò)點(diǎn)P(4,－3）.由于42＋(－3)2－6×4＋12×（－3）＋20＝－15<0，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總訂交．（2）如圖，當(dāng)圓心C(3,－6）到直線l的距離最大時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度最短．此時(shí)PC⊥l，所以直線l的斜率為－錯(cuò)誤!，所以m＝－錯(cuò)誤!。在Rt△APC中，|PC｜＝10，｜AC｜＝r＝5，所以|AP|2＝｜AC｜2－|PC|2＝25－10＝15，所以｜AP｜＝錯(cuò)誤!，所以｜AB|＝2錯(cuò)誤!，-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精即最短弦長(zhǎng)為2錯(cuò)誤!.直線與圓地址關(guān)系的判斷：求出圓心到直線的距離d與r比較或由直線與圓聯(lián)立方程組消去一個(gè)變量，獲取一元二次方程,判斷鑒識(shí)式△的符號(hào)d＞r?相離?△＜0d＝r?相切?△＝0d＜r?訂交?△＞0錯(cuò)誤!2．已知圓C關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱(chēng)，且過(guò)點(diǎn)P（－2，2）和原點(diǎn)O.(1）求圓C的方程；（2）相互垂直的兩條直線l1，l2都過(guò)點(diǎn)A（－1,0）,若l1，l2被圓C所截得弦長(zhǎng)相等,求此時(shí)直線l1的方程．［解］（1）由題意知，直線x＋y＋2＝0過(guò)圓C的圓心,設(shè)圓心C（a，－a－2).由題意,得(a＋2)2＋(－a－2－2）2＝a2＋（－a－2)2，解得a＝－2.-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精由于圓心C(－2，0)，半徑r＝2，所以圓C的方程為(x＋2）2＋y2＝4.2)由題意知，直線l1，l2的斜率存在且不為0,設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為－錯(cuò)誤!,所以l1：y＝k(x＋1），即kx－y＋k＝0，l2:y＝－錯(cuò)誤!（x＋1），即x＋ky＋1＝0。由題意，得圓心C到直線l1，l2的距離相等，所以錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!，解得k＝±1,所以直線l1的方程為x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0。圓與圓的地址關(guān)系【例3】已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0與圓C2：x2＋y2－8x4y＋7＝0.(1)證明圓C1與圓C2相切,并求過(guò)切點(diǎn)的兩圓公切線的方程；(2）求過(guò)點(diǎn)（2,3）且與兩圓相切于（1）中切點(diǎn)的圓的方程．[解]（1)證明:把圓C1與圓C2都化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式,得(x＋2)2＋(y2）2＝13，(x－4）2＋（y＋2）2＝13。圓心與半徑長(zhǎng)分別為C1（－2，2），r1＝13；C2(4，－2),r2＝13.-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精由于|C1C2｜＝錯(cuò)誤!＝2錯(cuò)誤!＝r1＋r2，所以圓C1與圓C2相切．由錯(cuò)誤!得12x－8y－12＝0，即3x－2y－3＝0,就是過(guò)切點(diǎn)的兩圓公切線的方程．(2)由圓系方程，可設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0。點(diǎn)(2，3）在此圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程解得λ＝錯(cuò)誤!.所以所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋錯(cuò)誤!(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－錯(cuò)誤!y－9＝0。判斷兩圓地址關(guān)系的兩種比較方法：1)幾何法是利用兩圓半徑和或差與圓心距作比較,獲取兩圓地址關(guān)系,（其中R＞r）d＞R＋r?外離,d＝R＋r?外切,R－r＜d＜R＋r?訂交，d＝R－r?內(nèi)切，-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精0≤d＜R－r?內(nèi)含．(2）代數(shù)法是把兩圓地址關(guān)系的判斷完好轉(zhuǎn)變成代數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠探M解的組數(shù)問(wèn)題，從而表現(xiàn)了幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題之間的相互聯(lián)系，但這種方法只能判斷出不訂交、訂交和相切三種地址關(guān)系，而不能夠像幾何法相同，能正確判斷出外離、外切、訂交、內(nèi)切和內(nèi)含五種地址關(guān)系．錯(cuò)誤!3．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中垂線方程為_(kāi)_______．x＋y－3＝0[AB的中垂線即為圓C1、圓C2的連心線C1C2.又C1(3，0)，C2(0，3）,所以C1C2所在直線的方程為x＋y－3＝0.]空間中點(diǎn)的坐標(biāo)及距離公式的應(yīng)用【例4】如圖,已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a,M為BD′的中點(diǎn),點(diǎn)N在A′C′上，且|A′N(xiāo)｜＝3|NC′｜,試求｜MN｜的長(zhǎng)．[解］由題意應(yīng)先建立坐標(biāo)系，以D為原點(diǎn),建立以下列圖空間-7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精直角坐標(biāo)系．由于正方體棱長(zhǎng)為a，所以B(a，a，0)，A′（a，0，a），C′(0，a,a），D′(0,0，a）。由于M為BD′的中點(diǎn)，取A′C′的中點(diǎn)O′，所以M錯(cuò)誤!，O′錯(cuò)誤!.由于｜A′N(xiāo)｜＝3|NC′|，所以N為A′C′的四均分點(diǎn)，從而N為O′C′的中點(diǎn)，故N錯(cuò)誤!.依照空間兩點(diǎn)間的距離公式,可得|MN｜＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!a.求空間中坐標(biāo)及兩點(diǎn)間距離方法及注意點(diǎn)：(1）求空間兩點(diǎn)間的距離時(shí),一般使用空間兩點(diǎn)間的距離公式,應(yīng)用公式的要點(diǎn)在于建立合適的坐標(biāo)系，確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)．2）確定點(diǎn)的坐標(biāo)的方法視詳盡題目而定，一般來(lái)說(shuō)，要轉(zhuǎn)變到平面中求解,有時(shí)也利用幾何圖形的特色，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)確定．-8-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精錯(cuò)誤!4．以下列圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB｜＝｜CA｜＝2,AC⊥CB，D，E分別是棱AB,B1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn),求DE，EF的長(zhǎng)度．［解]以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、軸，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系．|