隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望課件第一節(jié)隨機(jī)變量的

數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、應(yīng)用實(shí)例第一節(jié)隨機(jī)變量的

數(shù)學(xué)期一、數(shù)學(xué)期望的概念1.問題的提出

1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念—數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念1.問題的提出1654年,

A、B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局、B勝1局時(shí),不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?引例1分賭本問題(產(chǎn)生背景)A、B兩人賭技相同,各出賭金100元,并A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局、B勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即A、B賭完五局:AAAB

BABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAA

B

BABBA勝B負(fù)A勝B負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局、因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B能“期望”得到的數(shù)目,則為故有,在賭技相同的情況下,A、B最終獲勝的可能性大小之比為3:1.即A應(yīng)獲得賭金的而B只能獲得賭金的因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B能“期望”得到因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機(jī)變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與其設(shè)某教練員有甲、乙兩名射擊運(yùn)動員,現(xiàn)需要選拔其中的一名參加運(yùn)動會,根據(jù)過去的記錄顯示,二人的技術(shù)水平如下:乙射手甲射手試問哪個(gè)射手技術(shù)較好?引例2選拔運(yùn)動員設(shè)某教練員有甲、乙兩名射擊運(yùn)動員,現(xiàn)解運(yùn)動員的水平是通過其平均水平來衡量的,故甲射手的技術(shù)比較好.因而甲、乙兩射手的平均水平分別為甲射手乙射手解運(yùn)動員的水平是通過其平均水平來衡量的,故甲射手的技術(shù)比較好引例3加權(quán)平均成績?yōu)樵撋鏖T課程的算術(shù)平均成績.設(shè)某學(xué)生四年大學(xué)各門功課成績分別為其學(xué)分分別為,則稱引例3加權(quán)平均成績?yōu)樵撋鏖T課程的算術(shù)平均成績.顯然算術(shù)平均成績是加權(quán)平均成績的一種而為該生的加權(quán)平均成績.,可見加權(quán)平均才充分的體現(xiàn)了特例,即平均值的意義.顯然算術(shù)平均成績是加權(quán)平均成績的一種而為該生的加通過上述3個(gè)引例,我們可以給出如下定義2.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若級數(shù),則稱絕對收斂,即級數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為EX,即定義3.1設(shè)離散型隨機(jī)變量

X的分布律為通過上述3個(gè)引例,我們可以給出如下定義2.離散型隨機(jī)變量注1o

EX是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.注2o

級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變,之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改變.注1oEX是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加注2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,例1(二項(xiàng)分布)設(shè)隨機(jī)變量X~Bn,p,求EX.解則有3.常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望其分布律為設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,例1(二項(xiàng)同時(shí)可得兩點(diǎn)分布B1,p的數(shù)學(xué)期望為p.

np同時(shí)可得兩點(diǎn)分布B1,p的數(shù)學(xué)期望為p.np解則有例2(泊松分布)因而泊松分布P的數(shù)學(xué)期望為.設(shè)X

,且其分布律為設(shè)隨機(jī)變量XP(),求EX.解則有例2(泊松分布)因而泊松分布P的數(shù)學(xué)期望為解這是因?yàn)槔?(幾何分布)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則有設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布,求E(X).解這是因?yàn)槔?(幾何分布)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則有設(shè)常見離散型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)常見離散型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)4.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義定義3.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為則稱積分的值為隨機(jī)變量X的即數(shù)學(xué)期望,px,記為EX,即4.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義定義3.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量例4(均勻分布)解則有5.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布,因而均勻分布數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).求E(X).例4(均勻分布)解則有5.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)則有解例5

(正態(tài)分布)設(shè)隨機(jī)變量

,求EX.設(shè)

,其分布密度函數(shù)則有解例5(正態(tài)分布)設(shè)隨機(jī)變量所以令因而參數(shù)為正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望.所以令因而參數(shù)為正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望.例6(指數(shù)分布)求EX.解例6(指數(shù)分布)求EX.解解例7(伽瑪分布)當(dāng)1時(shí),X服從指數(shù)分布Exp,這時(shí)設(shè)隨機(jī)變量X

,則密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X,求EX.解例7(伽瑪分布)當(dāng)1時(shí),X服從指數(shù)分布Exp常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)例8解但是6.數(shù)學(xué)期望不存在的實(shí)例設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為由于因而其數(shù)學(xué)期望EX不存在.求EX.例8解但是6.數(shù)學(xué)期望不存在的實(shí)例設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(一)一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1.問題的提出XE(X)數(shù)學(xué)期望f是連續(xù)函數(shù),f(X)是隨機(jī)變量,如:aX+b,X2等等.f(X)數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(一)一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?方法1

(定義法):

f(X)是隨機(jī)變量,按照數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算Ef(X).2.一維隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算關(guān)鍵:由X的分布求出f(X)的分布.見2.3節(jié)的相關(guān)內(nèi)容難點(diǎn):一般f(X)形式比較復(fù)雜的,很難求出其分布.如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?方法1(定義法):f(方法2(公式法):定理3.1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,Yf(X),則

當(dāng)X為離散型時(shí),P(Xxk)pk,(k

1,2,…);當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),X的密度函數(shù)為p(x).求E[f(X)]時(shí),只需知道X的分布即可.方法2(公式法):定理3.1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,Y

證現(xiàn)在只證明定理的特殊情形:設(shè)X的密度函數(shù)為函數(shù)f單調(diào)連續(xù),x

f1y為其反函數(shù),并且可導(dǎo),同時(shí)y,則證現(xiàn)在只證明定理的特殊情形:設(shè)X的密度函數(shù)為函數(shù)f單即即例9設(shè)某種商品的需求量X是服從[10,30]上的均勻分布的隨機(jī)變量,而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間[10,30]中的某一整數(shù),商店每銷售一單位商品可獲利500元.若供大于求則削價(jià)處理,每處理1單位商品虧損100元;若供不應(yīng)求,則可從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每一單位商品僅獲利300元.為使商品所獲利潤期望值不少于9280元,試確定最少進(jìn)貨量.(考研試題)例9設(shè)某種商品的需求量X是服從[10,30]上的均勻分布的隨解設(shè)進(jìn)貨量為a,則利潤為因此期望利潤為解設(shè)進(jìn)貨量為a,則利潤為因此期望利潤為因此即最少進(jìn)貨量為21單.因此即最少進(jìn)貨量為21單.對于二維隨機(jī)變量而言,其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望計(jì)算方法可以由類似于定理3.1得到.

1.二維離散型情形(二)二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X,Y為二維離散型隨機(jī)變量,ZfX,Y為二元函數(shù),如果EZ存在,其中X,Y的聯(lián)合概率分布為pij

.對于二維隨機(jī)變量而言,其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望12.二維連續(xù)型情形設(shè)X,Y為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,ZfX,Y為二元連續(xù)函數(shù),如果EZ存在,則其中X,Y的聯(lián)合概率密度為px,y.2.二維連續(xù)型情形設(shè)X,Y為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,Z例10設(shè)X,Y的分布律為解

X的分布律為求EX,EY,例10設(shè)X,Y的分布律為解X的分布律為求E因?yàn)?X,Y)的分布律為Y的分布律為因?yàn)?X,Y)的分布律為Y的分布律為Y/X的分布律為計(jì)算可得Y/X的分布律為計(jì)算可得5.5.例11設(shè)XN(0,1),YN(0,1),X與Y相互獨(dú)立,解(作極坐標(biāo)變換)例11設(shè)XN(0,1),YN(0,1),三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)3.1設(shè)C是常數(shù),則有ECC.證性質(zhì)3.2設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證性質(zhì)3.3設(shè)X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)3.1設(shè)C是常數(shù),則有EC證推廣證推廣性質(zhì)3.4

設(shè)X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有注

連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)類似.上述證明只證了一類.證性質(zhì)3.4設(shè)X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有注例12解旅客有9個(gè)到達(dá)一個(gè)車站車站可以下車.如沒有旅客下車就不停車,以X表示停車的次數(shù),求EX(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立).引入隨機(jī)變量Xi,一民航送客車載有25位旅客自機(jī)場開出,例12解旅客有9個(gè)到達(dá)一個(gè)車站車站可以下車.如沒有引入隨機(jī)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望課件解例13且X,Y,Z相互獨(dú)立,求隨機(jī)變量W2X+3Y4Z1

的數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量X~N0,1,Y~U0,1,

Z~B5,0.5,解例13且X,Y,Z相互獨(dú)立,求隨機(jī)變量W2X四、應(yīng)用實(shí)例廠家的銷售策略按規(guī)定:出售的設(shè)備在售出的一年內(nèi)損壞可予以調(diào)換.若出售一臺設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費(fèi)300元.求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利Y的數(shù)學(xué)期望.解依題設(shè),有某設(shè)備壽命X(以年計(jì))服從的指數(shù)分布.四、應(yīng)用實(shí)例廠家的銷售策略按規(guī)定:出售的設(shè)備在售出的一年內(nèi)壽命不超過1年的概率＝出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)調(diào)換的概率壽命超過1年的概率＝不需調(diào)換的概率因此出售一臺設(shè)備凈贏利Y的分布律為.壽命不超過1年的概率＝出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)調(diào)換的概率壽命發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤

某一彩票中心發(fā)行彩票10萬張,每張2元.設(shè)頭等獎(jiǎng)1個(gè),獎(jiǎng)金1萬元,二等獎(jiǎng)2個(gè),獎(jiǎng)金各5千元;三等獎(jiǎng)10個(gè),獎(jiǎng)金各1千元;四等獎(jiǎng)100個(gè),獎(jiǎng)金各1百元;五等獎(jiǎng)1000個(gè),獎(jiǎng)金各10元.每張彩票的成本費(fèi)為0.3元,請計(jì)算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤.解設(shè)每張彩票中獎(jiǎng)的數(shù)額為隨機(jī)變量X,則發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤某一彩票中心發(fā)行彩票10萬每張彩票平均能得到獎(jiǎng)金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行10萬張彩票的創(chuàng)收利潤為0.5(元).每張彩票平均可賺20.50.31.2(元).每張彩票平均能得到獎(jiǎng)金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行10萬張彩票的創(chuàng)收如何確定投資決策方向?

某人現(xiàn)有10萬元現(xiàn)金,想投資于某項(xiàng)目,為期一年.欲估成功的機(jī)會為30%,并可獲利8萬元,

失敗的機(jī)會為70%,將損失2萬元.若存入銀行,同期間的利率為5%,哪一種方案可使投資的效益較大?解設(shè)X為投資利潤,則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇投資.如何確定投資決策方向?某人現(xiàn)有10萬元現(xiàn)金,內(nèi)容小結(jié)數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)內(nèi)容小結(jié)數(shù)學(xué)期望是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種2.再見再見求證:隨機(jī)變量X沒有數(shù)學(xué)期望.證由定義,數(shù)學(xué)期望應(yīng)為由微積分學(xué)可知,右邊的級數(shù)發(fā)散.因此,隨機(jī)變量X沒有數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為備用題

例8-1求證:隨機(jī)變量X沒有數(shù)學(xué)期望.證由定義,數(shù)學(xué)期望應(yīng)解由于例8-2(柯西分布)

設(shè)隨機(jī)變量X服從柯西分布,求EX.因X服從柯西分布,則其密度函數(shù)為因而其數(shù)學(xué)期望E(X)不存在.解由于例8-2(柯西分布)設(shè)隨機(jī)變量X服從柯西分布游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光,例9-1解已知X在[0,60]上服從均勻分布,其密度為電梯于每個(gè)正點(diǎn)的第5分鐘、第25分鐘和第55分鐘從底層起行.假設(shè)在早上的8點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處,且X在[0,60]上服從均勻分布求游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.

（考研試題）游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光,例9-1解已知X在[0,6設(shè)Y是游客等候電梯的時(shí)間(單位:分),則因此設(shè)Y是游客等候電梯的時(shí)間(單位:分),則因此11.6711.67解例9-2設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為試求

.

(考研試題)解例9-2設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為試求解例9-3（報(bào)童問題）設(shè)某報(bào)童每日的潛在賣報(bào)數(shù)若記真正賣報(bào)數(shù)為Y,則Y與X的關(guān)系如下：X服從參數(shù)為的泊松分布.如果每賣出一份報(bào)可報(bào)酬a,賣不掉而退回則每份賠償b,若某報(bào)童買進(jìn)n份報(bào),試求其期望所得.進(jìn)一步,再求最佳的賣報(bào)份數(shù).解例9-3（報(bào)童問題）設(shè)某報(bào)童每日的潛在賣報(bào)數(shù)若記真正賣報(bào)因此期望所得為記所得為Z,則Z與Y的關(guān)系如下:則Y的分布為因此期望所得為記所得為Z,則Z與Y的關(guān)系如下:則Y的分布為當(dāng)a,b,給定后,求n使Mn達(dá)到極大.當(dāng)a,b,給定后,求n使Mn達(dá)到極大.利用軟件包求得計(jì)算結(jié)果如下:利用軟件包求得計(jì)算結(jié)果如下:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望課件第一節(jié)隨機(jī)變量的

數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、應(yīng)用實(shí)例第一節(jié)隨機(jī)變量的

數(shù)學(xué)期一、數(shù)學(xué)期望的概念1.問題的提出

1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念—數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念1.問題的提出1654年,

A、B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局、B勝1局時(shí),不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?引例1分賭本問題(產(chǎn)生背景)A、B兩人賭技相同,各出賭金100元,并A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局、B勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即A、B賭完五局:AAAB

BABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAA

B

BABBA勝B負(fù)A勝B負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局、因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B能“期望”得到的數(shù)目,則為故有,在賭技相同的情況下,A、B最終獲勝的可能性大小之比為3:1.即A應(yīng)獲得賭金的而B只能獲得賭金的因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B能“期望”得到因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機(jī)變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與其設(shè)某教練員有甲、乙兩名射擊運(yùn)動員,現(xiàn)需要選拔其中的一名參加運(yùn)動會,根據(jù)過去的記錄顯示,二人的技術(shù)水平如下:乙射手甲射手試問哪個(gè)射手技術(shù)較好?引例2選拔運(yùn)動員設(shè)某教練員有甲、乙兩名射擊運(yùn)動員,現(xiàn)解運(yùn)動員的水平是通過其平均水平來衡量的,故甲射手的技術(shù)比較好.因而甲、乙兩射手的平均水平分別為甲射手乙射手解運(yùn)動員的水平是通過其平均水平來衡量的,故甲射手的技術(shù)比較好引例3加權(quán)平均成績?yōu)樵撋鏖T課程的算術(shù)平均成績.設(shè)某學(xué)生四年大學(xué)各門功課成績分別為其學(xué)分分別為,則稱引例3加權(quán)平均成績?yōu)樵撋鏖T課程的算術(shù)平均成績.顯然算術(shù)平均成績是加權(quán)平均成績的一種而為該生的加權(quán)平均成績.,可見加權(quán)平均才充分的體現(xiàn)了特例,即平均值的意義.顯然算術(shù)平均成績是加權(quán)平均成績的一種而為該生的加通過上述3個(gè)引例,我們可以給出如下定義2.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若級數(shù),則稱絕對收斂,即級數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為EX,即定義3.1設(shè)離散型隨機(jī)變量

X的分布律為通過上述3個(gè)引例,我們可以給出如下定義2.離散型隨機(jī)變量注1o

EX是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.注2o

級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變,之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改變.注1oEX是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加注2設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,例1(二項(xiàng)分布)設(shè)隨機(jī)變量X~Bn,p,求EX.解則有3.常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望其分布律為設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,例1(二項(xiàng)同時(shí)可得兩點(diǎn)分布B1,p的數(shù)學(xué)期望為p.

np同時(shí)可得兩點(diǎn)分布B1,p的數(shù)學(xué)期望為p.np解則有例2(泊松分布)因而泊松分布P的數(shù)學(xué)期望為.設(shè)X

,且其分布律為設(shè)隨機(jī)變量XP(),求EX.解則有例2(泊松分布)因而泊松分布P的數(shù)學(xué)期望為解這是因?yàn)槔?(幾何分布)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則有設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布,求E(X).解這是因?yàn)槔?(幾何分布)設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則有設(shè)常見離散型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)常見離散型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)4.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義定義3.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為則稱積分的值為隨機(jī)變量X的即數(shù)學(xué)期望,px,記為EX,即4.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義定義3.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量例4(均勻分布)解則有5.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布,因而均勻分布數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).求E(X).例4(均勻分布)解則有5.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)則有解例5

(正態(tài)分布)設(shè)隨機(jī)變量

,求EX.設(shè)

,其分布密度函數(shù)則有解例5(正態(tài)分布)設(shè)隨機(jī)變量所以令因而參數(shù)為正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望.所以令因而參數(shù)為正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望.例6(指數(shù)分布)求EX.解例6(指數(shù)分布)求EX.解解例7(伽瑪分布)當(dāng)1時(shí),X服從指數(shù)分布Exp,這時(shí)設(shè)隨機(jī)變量X

,則密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X,求EX.解例7(伽瑪分布)當(dāng)1時(shí),X服從指數(shù)分布Exp常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)例8解但是6.數(shù)學(xué)期望不存在的實(shí)例設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為由于因而其數(shù)學(xué)期望EX不存在.求EX.例8解但是6.數(shù)學(xué)期望不存在的實(shí)例設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(一)一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1.問題的提出XE(X)數(shù)學(xué)期望f是連續(xù)函數(shù),f(X)是隨機(jī)變量,如:aX+b,X2等等.f(X)數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(一)一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?方法1

(定義法):

f(X)是隨機(jī)變量,按照數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算Ef(X).2.一維隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算關(guān)鍵:由X的分布求出f(X)的分布.見2.3節(jié)的相關(guān)內(nèi)容難點(diǎn):一般f(X)形式比較復(fù)雜的,很難求出其分布.如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?方法1(定義法):f(方法2(公式法):定理3.1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,Yf(X),則

當(dāng)X為離散型時(shí),P(Xxk)pk,(k

1,2,…);當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),X的密度函數(shù)為p(x).求E[f(X)]時(shí),只需知道X的分布即可.方法2(公式法):定理3.1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,Y

證現(xiàn)在只證明定理的特殊情形:設(shè)X的密度函數(shù)為函數(shù)f單調(diào)連續(xù),x

f1y為其反函數(shù),并且可導(dǎo),同時(shí)y,則證現(xiàn)在只證明定理的特殊情形:設(shè)X的密度函數(shù)為函數(shù)f單即即例9設(shè)某種商品的需求量X是服從[10,30]上的均勻分布的隨機(jī)變量,而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間[10,30]中的某一整數(shù),商店每銷售一單位商品可獲利500元.若供大于求則削價(jià)處理,每處理1單位商品虧損100元;若供不應(yīng)求,則可從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每一單位商品僅獲利300元.為使商品所獲利潤期望值不少于9280元,試確定最少進(jìn)貨量.(考研試題)例9設(shè)某種商品的需求量X是服從[10,30]上的均勻分布的隨解設(shè)進(jìn)貨量為a,則利潤為因此期望利潤為解設(shè)進(jìn)貨量為a,則利潤為因此期望利潤為因此即最少進(jìn)貨量為21單.因此即最少進(jìn)貨量為21單.對于二維隨機(jī)變量而言,其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望計(jì)算方法可以由類似于定理3.1得到.

1.二維離散型情形(二)二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X,Y為二維離散型隨機(jī)變量,ZfX,Y為二元函數(shù),如果EZ存在,其中X,Y的聯(lián)合概率分布為pij

.對于二維隨機(jī)變量而言,其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望12.二維連續(xù)型情形設(shè)X,Y為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,ZfX,Y為二元連續(xù)函數(shù),如果EZ存在,則其中X,Y的聯(lián)合概率密度為px,y.2.二維連續(xù)型情形設(shè)X,Y為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,Z例10設(shè)X,Y的分布律為解

X的分布律為求EX,EY,例10設(shè)X,Y的分布律為解X的分布律為求E因?yàn)?X,Y)的分布律為Y的分布律為因?yàn)?X,Y)的分布律為Y的分布律為Y/X的分布律為計(jì)算可得Y/X的分布律為計(jì)算可得5.5.例11設(shè)XN(0,1),YN(0,1),X與Y相互獨(dú)立,解(作極坐標(biāo)變換)例11設(shè)XN(0,1),YN(0,1),三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)3.1設(shè)C是常數(shù),則有ECC.證性質(zhì)3.2設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證性質(zhì)3.3設(shè)X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)3.1設(shè)C是常數(shù),則有EC證推廣證推廣性質(zhì)3.4

設(shè)X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有注

連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)類似.上述證明只證了一類.證性質(zhì)3.4設(shè)X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有注例12解旅客有9個(gè)到達(dá)一個(gè)車站車站可以下車.如沒有旅客下車就不停車,以X表示停車的次數(shù),求EX(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立).引入隨機(jī)變量Xi,一民航送客車載有25位旅客自機(jī)場開出,例12解旅客有9個(gè)到達(dá)一個(gè)車站車站可以下車.如沒有引入隨機(jī)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望課件解例13且X,Y,Z相互獨(dú)立,求隨機(jī)變量W2X+3Y4Z1

的數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量X~N0,1,Y~U0,1,

Z~B5,0.5,解例13且X,Y,Z相互獨(dú)立,求隨機(jī)變量W2X四、應(yīng)用實(shí)例廠家的銷售策略按規(guī)定:出售的設(shè)備在售出的一年內(nèi)損壞可予以調(diào)換.若出售一臺設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費(fèi)300元.求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利Y的數(shù)學(xué)期望.解依題設(shè),有某設(shè)備壽命X(以年計(jì))服從的指數(shù)分布.四、應(yīng)用實(shí)例廠家的銷售策略按規(guī)定:出售的設(shè)備在售出的一年內(nèi)壽命不超過1年的概率＝出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)調(diào)換的概率壽命超過1年的概率＝不需調(diào)換的概率因此出售一臺設(shè)備凈贏利Y的分布律為.壽命不超過1年的概率＝出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)調(diào)換的概率壽命發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤

某一彩票中心發(fā)行彩票10萬張,每張2元.設(shè)頭等獎(jiǎng)1個(gè),獎(jiǎng)金1萬元,二等獎(jiǎng)2個(gè),獎(jiǎng)金各5千元;三等獎(jiǎng)10個(gè),獎(jiǎng)金各1千元;四等獎(jiǎng)100個(gè),獎(jiǎng)金各1百元;五等獎(jiǎng)1000個(gè),獎(jiǎng)金各10元.每張彩票的成本費(fèi)為0.3元,請計(jì)算彩票發(fā)行