專題04半角模型鞏固練習(提優(yōu))-沖刺2020年中考幾何專項復習(解析版)

半角模型鞏固練習（提優(yōu)）如圖，在四邊形ABCD中，/B+/D=180o,AB=AD,E、F分別是線段BC、CD上的點，且BE+FD=EF,求證：/EAF=^/BAD.【解答】見解析【解析】證明：將^ADF繞點A順時針旋轉/DAB的度數(shù)得到△ABG,AD旋轉到AB,AF旋轉到AG,如圖：BE C.?旋轉，AG=AF,BG=DF,/ABG=/D,/BAG=/DAF,/B+/D=180o,.B+/ABG=180o,「?點G、B、C三點共線，???BE+FD=EF,BE+BG=GE=EF,在^AEG與^AEF中,（AG=AF<AE=AE,/./\AEG=^AEF,..ZEAG=ZEAF,EG=EF_ _ _ I_又「/BAG=/DAF, /EAB+/DAF=/EAF,「./EAF=可/BAD.已知，在正方形ABCD中，/MAN=45o,ZMAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交 CB、DC（或它們的延長線）于點M、N,當/MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1）,易證BM+DN=MN.（1）當/MAN繞點A旋轉到BMWDN時（如圖2）,線段BM、DN、和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？猜想一下，并加以證明;

(2)當/MAN繞點A旋轉到如圖(2)當/MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想.A D【解答】(1)猜想：BM+DN=MN;(2)猜想：DN—BM=MN【解析】(1)猜想：BM+DN=MN.證明：如圖，將^AND繞點A順時針旋轉900,得到^ABE,則E、B、M共線,A De/EAM=900—/NAM=900-45o=45o,?.?/NAM=45o,在4AEM與△ANM中，AE=AN/七AM=乙NAM,二△AM/芻浦(S』S),ME=MN,AM=AM???ME=BE+BM=DN+BM,，DN+BM=MN;(2)猜想：DN—BM=MN.證明：在線段DN上截取DQ=BM,如圖所示.

AD=AB在^ADQ與^ABM中，/J^ADQ= ^ADQ ABM(SAS),*DQ=BM??./DAQ=/BAM,.?./QAN=/MAN,'AQ=AM在AAMN與^AQN中，:《^QAN=AMANAXAMTAAC^iSAS),AN=AN.?.MN=QN,DN-BM=MN.3.已知在^ABC中，/ACB=90。CA=CB=6<2,CD_LAB于D,點E在直線CD上，DE= ,點F在線段AB上，M是DB的中點，直線AE與直線CF交于N點.(1)如圖1,若點E在線段CD上，請分別寫出線段AE和CM之間的位置關系和數(shù)量關系：,(2)在(1)的條件下，當點F在線段AD上，且AF=2FD時，求證：/CNE=450；(3)當點E在線段CD的延長線上時，在線段AB上是否存在點F,使得NCNE=450若存在，請直接寫出AF的長度；若不存在，請說明理由.【解答】(1)AE±CM,AE=CM;(2)見解析；(3)AF=8.

【解析】(1)AE±CM,AE=CM.如圖，延長AE交CM于點H../ACB=90o,CA=CB=6v^,CDXAB于點D,/CAB=/CBA=/ACD=/BCD=45o,AD=BD=CD=[AB,?.M是DB的中點，，；-<■=—r? =「「.{AC=CBZ/1C7?=Z/? △AEC@'CMN(SRS),CE=BMAE=CM,/CAE=/BCM,???/ACM+/BCM=90o,/ACM+/CAE=900,/ACH=90o,AH±CM,AE±CM,AE=CM;(2)如圖，過點A作AG，AB,且AG=BM,,連接CG、FG,延長AE交CM于H.CAB=900,CA=CB= ,.?.ZCAB=ZCBA=45°,>+CT??=12,../GAC=/MBC=45°,?.CDXAB,CD=AD=BD=??M是DB的中點，..BM=DM=3,，AG=3,??AF=2FD,AF=4,DF=2,.1.FM=FD+DM=2+3=5,.AGXAF,/.PT；=y/AC；-+AK'2=5,，F(xiàn)G=FM,'AC=CB在^CAG和^CBM中，4= 二△cnw,AG=BMCG=CM,/ACG=/BCM,/MCG=/ACM=/ACG=/ACM+/BCM=90q在△FCGFCG和^FCMFCM中,"CG=CM<產G=EW△kC。三△產CTLF,?./FCG=/FCM,?./FCH=45o,CF=CF由(1)知AE±CM,CHN=90o,「./CNE=45o；(3)存在，如圖作BH±CN.由條件可得/CHB=90o,?.CDXAB,ZADE=90o,ZCHB=ZADE,??/ACB=90CA=CB=6v2,..ZCAB=ZCBA=45°AB=，CA+CB2=12,??/GAC=/MBC=45q1 1?CDLAB,CD=AD=BD=2AB=6,-.DE=-CDQE=3.在RtAADE中，由勾股定理可得AE=3/,?./CNE=45o, CBA=ZCNE,?./AFN=/CFB,?./NAF=/BCF,/.AADE^ACHB,

DEAEBH13CDEAEBH13C一打〃GV2設DF=.r，則BE=^-x,在RtACDF中，由勾股定理,得CF=，36+工」,?./CDF=/BHF=90o,/DFC=/HFB,/.ACDF^ABHF,CDGF6‘兩二而尸導*呼+",解得"i=2,電=18>6（舍），「.AFCDGF6‘兩二而尸導6—X4. （1）如圖1,點E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點，/EAF=45°,連接EF,則EF、BE、FD之間的數(shù)量關系是：EF=BE+FD.連結BD,交AE、AF于點M、N,且MN、BM、DN滿足2 2 2 .一一MN=BM+DN,請證明這個等量關系;（2）在4ABC中，AB=AC,點D、E分別為BC邊上的兩點.①如圖2,當/BAC=60°,/DAE=30°時，BD、DE、EC應滿足的等量關系是;②如圖3,當/BAC="，（0°改＜90°,）/DAE=la時，BD、DE、EC應滿足的等量關系是2【參考：sin20（十cos2a=1】【解答】（1）見解析；（2） =3爐+3口?EC+EC：⑶DE2=BD2+2cos?-BD-EG+EC2【解析】如圖，將^ABM繞點A逆時針旋轉90o得到△ADG,連接NG.

BB.?旋轉，. ABMADG,?.DG=BM,AG=AM,/ADG=/ABM=45o,/DAG=/BAM,???/ADB+/ADG=45葉45o=90o,即/NDG=90o,?./EAF=45o,/BAM+ZDAN=45o, /DAG+ZDAF=45o,即/GAN=45o,?./GAN=/MAN,AMNAGN(SAS),?.GN=MN,./NDG=90o, =DN2./NDG=90o, =DN2+DM-.：.MN2=DN2+2H戶.?./BAC=60o,AB=AC,.ABC是等邊三角形，?./B=/ACB=60o,，/ACF=60o,G.B=ZACF,??.ZACF+ZACB=1200,即/ECF=120o,，/FCG=60o,ZCFG=30o,/.CG= ,在RtACFG中，由勾股定理得FG=,/BAD+/在RtACFG中，由勾股定理得FG=,/BAD+/EAC=300,/CAF+/EAC=30o,即/EAF=300, /DAE=ZFAE,ADEAFE,，DE=EF,在Rt^EGF中，由勾股定理得E尸=EG2+FG"，.二E產=(也右+ +CF“產“產=(EC+Q 1 3=EC*+ECCF^r+4c?hS=EC*+EC?CF+CH,4 4 41DE-=W+BDEC+EC2;②將△ABD逆時針旋轉n：得到△ACF,連接EF,作FGXEC的延長線于點G.由題意可知△ABD ACF,/FGC=90o,，AD=AF,BD=CF,/BAD=/CAF,/B=/ACF,.AB=AC,.B=/ACB,.?.ZB+ZACB+ZBAC=1800,/ACB+/ACF+/FCG=180o,?./BAC=/FCG=a,?./ACF=600,CG=Esa?Cm,f；=sinn?C, /DAE=，門：，???/BAD+ZCAE=，，/CAF+ZCAE=%,即/EAF=