四川大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院-計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)(雙語(yǔ))課程期末復(fù)習(xí)資料

14/14四川大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院__計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)(雙語(yǔ))課程期末復(fù)習(xí)資料

2008—2009學(xué)年度第一學(xué)期計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)（雙語(yǔ)）期末復(fù)習(xí)（上）

任課老師：張蕊上課時(shí)間：周四第四大節(jié)

題型：

1、單項(xiàng)選擇題

2、判斷對(duì)錯(cuò)，并說明理由

3、簡(jiǎn)答題

4、推導(dǎo)題

5、計(jì)算題

6、分析說明題

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

（一）推導(dǎo)題復(fù)習(xí)：1、最小二乘法的推導(dǎo)過程：

（1）最小二乘法（OLS）的基本思想：

①估計(jì)總體回歸函數(shù)的最優(yōu)方法是，選擇01,ββ的估計(jì)量01,ββ∧

∧

，使得到的殘差ie盡可能小②最小二乘法的基本思路是：選擇參數(shù)01,ββ∧

∧

，使得全部觀測(cè)值的殘差平方和（Residualsumofsquares，RSS）最?、蹥埐詈妥钚〉臄?shù)學(xué)表達(dá)：

2

2

201min()()iiiiieYYYXββ∧∧∧

=-=--∑∑∑（1）

（2）最小二乘法的推導(dǎo)過程：

根據(jù)最小二乘法原則，確定01,ββ∧

∧

的準(zhǔn)則是使殘差的平方和最小。那么由微分學(xué)的數(shù)值原理可使（1）式對(duì)0β∧

和1β∧

的一階偏導(dǎo)數(shù)為零。于是有：

2

010

20112()02()0iiii

iiieYXeYXXββββββ∧∧∧∧∧

∧??==???????==????∑∑∑∑

于是有：

01201(2)

(3)iiiiiiYnXXYXXββββ∧∧

∧∧

?

=+???=+?

∑∑∑∑∑其中，n為樣本容量，這些聯(lián)立方程稱之為正規(guī)方程（normalequation），我們將normalequation進(jìn)行變換：在（2）式“0

1iiYnXβ

β∧

∧

=+∑∑”左右同乘以iX∑

在（3）式“

20

1iii

iXYX

Xββ∧

∧

=+∑∑∑”左右同乘以n

我們就可以消掉“0

i

nX

β∧

∑”，再次聯(lián)立，我們可以得到下式：

122

22

()()iiiiiiiiinXYXYnXYnXnYnXXnXnXβ∧

--?=

=

--∑∑∑∑∑∑

我們知道：

i

ii

iX

XnXXn

Y

YnYYn

=?==?=

∑∑∑∑

因此，由此我們得到以下式子：

1

2

2

2

2

()()()ii

i

i

ii

i

i

i

xyXXYYXYnXYxXXXnX

β∧

===--∑∑∑∑∑∑∑

10YXββ∧∧

=-

2、TSS=ESS+RSS的推導(dǎo)

證明：總離差（iYY-）分為兩部分，即可以由模型解釋的部分iYY∧

-與參差ie，由此我們得到以下數(shù)量關(guān)系：

()iiiYYYYe∧

-=-+

=()iiXXeαβαβ∧

∧

∧

∧

+--+=iixeβ∧

+所以，有以下關(guān)系式：

2

2

2

()()ii

iiYYy

xeβ∧

-==+∑∑∑

=

2

2

()2iiiixxeeββ∧

∧

++∑∑∑

這里我們證明

0ii

xe=∑

()ii

i

ixeX

Xe=-∑∑

00

iiiiXeXeXe=-=-=∑∑∑

接上，我們知道2

2

()

2i

iiixxeeββ∧

∧

++∑∑∑=2

2

()iixeβ∧

+∑∑=2

2()iiYYe∧

-+∑∑

我們定義：TSS=2

()

iYY-∑（總離差平方和）

ESS=2

2

()iiYYxβ∧

∧

-=∑∑（回歸平方和）

RSS=

2

i

e

∑

所以，我們得到TSS=ESS+RSS（二）計(jì)算題復(fù)習(xí)：

我們只考慮兩個(gè)變量（一元的各種計(jì)算）1、回歸的計(jì)算（OLS）：（1）公式1：正規(guī)方程組

20221

22()()iiiiiiiiiiiiiXYXYXnXXnYXYXnXXββ∧∧?-=

?-?

?

-?=?-?

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（2）公式2：離差形式

1201ii

ixyxYX

βββ∧∧

∧?=???

?=-??∑∑

2、RSS、TSS、ESS以及擬合優(yōu)度2

R的計(jì)算：（1）TSS=2()iYY-∑=

2

iy∑

（2）ESS=2

2

2

()iiYYxβ

∧

∧-=∑∑

（3）RSS=2i

e

∑=TSS-ESS

（4）2

1ESSRSSRTSSTSS-=

=2

2

212

()ii

xRyβ∧=∑∑

（2

R越大，2

R越接近1，SRF擬合得越好。）3、01,ββ∧∧

標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算：

首先，我們指出隨機(jī)干擾項(xiàng)的方差2

σ是未知的，因此我們用其無(wú)偏估計(jì)量2

σ∧來(lái)進(jìn)行估計(jì)，

2

2

2

i

enσ

∧=

-∑

以下四個(gè)式子說明了，01,ββ∧

∧

的方差以及標(biāo)準(zhǔn)差：（1）1

2

2

2

iSxβσ

∧

∧=

∑

（2

）1

Sβ∧

∧

=

（3）0

2

22

2ii

XSnx

βσ

∧

∧=

∑∑（4

）0

Sβσ

∧

∧

=4、t檢驗(yàn)的構(gòu)造與計(jì)算、置信區(qū)間的計(jì)算以對(duì)0β∧

做顯著性檢驗(yàn)為例：t檢驗(yàn)的構(gòu)造：

∑∑-

=2

221i

i

yeR

00

tSβββ∧

∧

∧

-=

=

算出t值后，我們查表：

如果|t|>2

(2)tnα-，則在1α-的置信度下拒絕了0H，即通過了顯著性檢驗(yàn)

如果|t|P值，則在顯著性水平α下拒絕原假設(shè)。如果α≤P值，則在顯著性水平α下接受原假設(shè)。

在實(shí)踐中，當(dāng)α=P值時(shí)，也即統(tǒng)計(jì)量的值C剛好等于臨界值，為慎重起見，可增加樣本容量，重新進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)。

5、F檢驗(yàn)的計(jì)算（見簡(jiǎn)答題復(fù)習(xí)重點(diǎn)）

（三）簡(jiǎn)答題復(fù)習(xí)：

Chapter0序言

1、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本步驟（1）陳列出經(jīng)濟(jì)模型或假設(shè)。

（2）構(gòu)建計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型（由普通模型轉(zhuǎn)換成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型）

例：消費(fèi)函數(shù)CIαβ=+（02

(2)tnα-，則在1α-的置信度下拒絕了0H，即通過了顯著性檢驗(yàn)

如果|t|，拒絕0H，回歸方程顯著成立，這一推斷的錯(cuò)誤概率為α

②當(dāng)FFα：多重共線性問題非常嚴(yán)重（6）方差膨脹因子（jVIF）：①方差膨脹因子jVIF的定義：

2

2

222

1()()1jjjjj

VarVIFxRxσσβ∧

=?=?-∑∑我們知道：jVIF=

2

1

1j

R-

②jVIF的經(jīng)驗(yàn)判定：10jVIF≥則方程存在嚴(yán)重多重共線性③容許度jTOL的定義

211jjj

TOLRVIF=-=

4、多重共線性的補(bǔ)救方法（因?yàn)闆]有固定的辦法，所以略寫）※目的：預(yù)測(cè)→不糾正，理論分析→糾正（1）什么都不做（2）利用“先驗(yàn)”信息（3）變換模型形式（4）擴(kuò)大樣本容量（5）刪除變量

注：可能會(huì)導(dǎo)致模型失去BLUE的特征

第二部分：異方差

1、異方差的含義：

在古典假設(shè)中，我們知道2()iVaruσ=，

而在放寬基本假設(shè)的條件下，2()()iiiVarufXσ==，這就是異方差2、異方差產(chǎn)生的原因與后果：（1）產(chǎn)生的原因：

①統(tǒng)計(jì)失誤，以致略去某些變量②測(cè)量失誤，數(shù)據(jù)收集技術(shù)的改進(jìn)③特異變量（極大或極?。┑某霈F(xiàn)④橫截面數(shù)據(jù)

（一）設(shè)定偏誤——解釋變量的缺失，函數(shù)形式不正確例：

真實(shí)模型：01122iiiiYXXuβββ=+++

錯(cuò)誤模型：011i

iiYXvββ=++

則

22iiivXuβ=+

()iVarv會(huì)隨著2iX的變化而變化

（二）樣本數(shù)據(jù)的觀測(cè)誤差

隨著時(shí)間的推移()()

iiVaruVaru?↑

??↓??觀測(cè)誤差累積觀測(cè)技術(shù)提高

（2）產(chǎn)生的后果：

①OLS回歸，是無(wú)偏但不是有效的，失去了BLUE的特征，失去了最小的方差

22

2

1

22

2()()

i

iui

i

xVarxx

δσβ∧

?=

≠

∑∑∑

2

22022

11()()()iiui

iXXVarXnxnxβδσ∧

=-?≠-∑∑∑②很難構(gòu)建t檢驗(yàn)（顯著性檢驗(yàn)）和置信區(qū)間③

2

1

i

e

nk--∑不再是無(wú)偏估計(jì)量，故進(jìn)一步導(dǎo)致01(),()VarVarββ∧∧

不再無(wú)偏

④預(yù)測(cè)精度下降，異方差導(dǎo)致OLS的估計(jì)量變大，失去了預(yù)測(cè)的精度

（一）參數(shù)估計(jì)量仍然是線性無(wú)偏的

（二）參數(shù)估計(jì)量不再具有最小方差性（OLS低估真實(shí)方差）（三）解釋變量顯著性檢驗(yàn)失效

111

11??()()?tt?()

VarSetSeββββ?

?

?=??

低估真實(shí)方差

被低估

被低估

檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn)被高估被夸大失效

3、異方差的診斷（重點(diǎn)是White檢驗(yàn)）（1）殘差的圖形檢驗(yàn)（2）Goldfeld-Quandt檢驗(yàn)

（3）Park檢驗(yàn)（4）Glejser檢驗(yàn)（5）White檢驗(yàn)：

①假定兩個(gè)解釋變量的線性回歸模型：

01122iiiiYXXuβββ=+++（3）

②White檢驗(yàn)的基本過程：

（A）用OLS進(jìn)行回歸，然后計(jì)算(1,2,3,...)iein=（B）做輔助回歸：

222011223142512iieAAXAXAXAXAXXv=++++++

（C）求出輔助回歸的2

R，計(jì)算2

R與樣本容量的乘積：2

Rn?

注：在零假設(shè)，不存在異方差條件下，2

Rn?服從2χ分布，自由度為式子（3）中的解釋變量的個(gè)數(shù)（不包括截距項(xiàng)）

2nR?～2χ(..)df

(1)H0:σ2=σ02vsH1:σ2≠σ02

用χα2(n-1)表示χ2(n-1)的上α分位數(shù),則可以構(gòu)造出假設(shè)(1)的水平α拒絕域

此時(shí),在H0下有

（D）判定異方差：

a）若計(jì)算出2

nR?超過了所選顯著水平下2

χ的臨界值，則拒絕零假設(shè)，原線性回歸模型存在異方差性

b）若計(jì)算出2nR?小于所選顯著水平下2

χ的臨界值，則接受零假設(shè)，原線性回歸模型不存在異方差性

2

2

21

220

()(1)~(1)

n

i

niX

XnS

nξχσ

σ

=--=

=

-∑22

1W{(1)(1)}nnααξχξχ-=≤-≥-或2

2

22

1(){(1)}{(1)}2

2

PWPnPnααα

α

ξχξχα

-

=≤-+≥-=+

=

4、異方差的解決辦法——加權(quán)平均最小二乘法（WLS）（1）擾動(dòng)項(xiàng)方差2iσ已知的情況①將模型兩端除以方差2iσ的平方差iσ

011

(

)(

)i

i

i

i

i

i

i

YXuββσσσσ=++

②我們將方程改寫成：

01*****iiiYXvββ=++（4）

③我們可以保證*iv（*iv=

i

i

uσ）是同方差的，所以，當(dāng)我們對(duì)式子（4）進(jìn)行回歸的時(shí)候，

我們又會(huì)得到一個(gè)BLUE的方程（2）擾動(dòng)項(xiàng)方差2iσ未知的情況：①假設(shè)誤差的方差與X成比例（A）表達(dá)式：22()iiiEukXσ==（B）回歸方程如下：

β=+②假設(shè)誤差的方差與2

X成比例（A）表達(dá)式：222()iiiEukXσ==（B）回歸方程如下：

其它補(bǔ)救方法（略）

第三部分：自相關(guān)

1、自相關(guān)的含義

數(shù)學(xué)定義式：cov(,)0ijuu≠（ij≠）

i

iiiiXu

XXY++=10ββ

2、自相關(guān)的原因及后果：（1）原因：

①被解釋變量的自相關(guān)②蛛網(wǎng)現(xiàn)象③統(tǒng)計(jì)誤差

④數(shù)據(jù)的加工處理與傳輸（2）自相關(guān)的后果：

①OLS回歸，是無(wú)偏但不是有效的，失去了BLUE的特征，失去了最小的方差②OLS的方差估計(jì)是有偏的，擾動(dòng)項(xiàng)和回歸參數(shù)的方差嚴(yán)重低估

③由于②的存在，T檢驗(yàn)中的t值被嚴(yán)重高估，因此T檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)不可靠④通常計(jì)算的2

R不能準(zhǔn)備度量真實(shí)的2

R⑤預(yù)測(cè)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差也可能是無(wú)效的

注：自相關(guān)與異方差一樣，都使OLS估計(jì)量無(wú)偏但無(wú)效，失去了BLUE的特征；使所有的預(yù)測(cè)、檢驗(yàn)與置信區(qū)間不可靠3、自相關(guān)的判斷（1）圖示檢驗(yàn)法（2）游程檢驗(yàn)（簡(jiǎn)）：①排列殘差符號(hào)序列②查Swed-Eisenhart臨界值表③判定自相關(guān)：

（A）如果是正自相關(guān)，那么游程值會(huì)很?。˙）如果是正自相關(guān)，那么游程值會(huì)很大（3）Durbin—Watson檢驗(yàn)（重點(diǎn)）①使用條件：

（A）變量X是非隨機(jī)，在一定的重復(fù)的取樣中出現(xiàn)（B）擾動(dòng)項(xiàng)iu的產(chǎn)生機(jī)制是一階自回歸：

1tttuuρε-=+

（11ρ-≤≤）

（C）不適合解釋變量的滯后模型（D）大樣本，n充分大②DW-統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造：

2

1

2

2

1

()n

t

ttn

t

tee

de

-==-=

∑∑

③d與ρ的關(guān)系：

()()

eeeeρ--=

當(dāng)n足夠大時(shí)，我們可以認(rèn)為：22dρ∧

≈-④運(yùn)行DW-檢驗(yàn)：（A）提出以下假設(shè)零假設(shè)0H：0(2)dρ==被擇假設(shè)1H：0(2)dρ≠≠（B）用OLS回歸算出ie（C）計(jì)算：12

22

ttt

eede

-?=-∑∑

（D）根據(jù),,nkα從DW-表上查出Ld和Ud（E）我們可以得出以下結(jié)論：?0Ldd≤，規(guī)模效益遞增

2、半對(duì)數(shù)模型：（1）情況一：

01lnYXuββ=++

令：*lnXX=

模型轉(zhuǎn)變?yōu)椋?1*YXuββ=++（2）情況二：

01lnYXuββ=++

令：*lnYY=

模型轉(zhuǎn)變?yōu)椋?1*YXuββ=++（3）以情況二為例子，說明1β的含義：

1*lndY

dYdYYdXdXdX

β===

1YXβ=

的相對(duì)該變量

的絕對(duì)該變量

（半彈性）

3、倒數(shù)模型：011

+YuX

ββ=+令：1ZX

=

模型轉(zhuǎn)變?yōu)椋?1++YZuββ=

意義：隨著X的不斷增長(zhǎng)，Y逐漸趨近其極值0β*4、POLYNOMIALMODEL（多項(xiàng)式模型）

()()()01122011220112201122...1lnlnln...ln2ln...3lnln...iiikkiiiiikkiiiiikkiiiiikYXXXuYXXXuYXXXuYXXββββββββββββββββ-→=+++++→=+++++-→=+++++=++++狹義

對(duì)變量線性模型為線性雙對(duì)數(shù)模型

線性計(jì)量模型廣義線性到對(duì)參數(shù)經(jīng)濟(jì)線性模型對(duì)數(shù)模型為線性半對(duì)數(shù)模型模型對(duì)數(shù)到線性模型()ln4lnlnlnlnkiiiiiXuYmKLYmKLYmKLαβ

αβαβ????

??

??????????????????????????????+??????????

=?=++→????=++→???

雙對(duì)數(shù)非線性模型非線性

TCcubicAC,andMC300,,3

12

223103

32210shapedUguarenteeXXXTC-<≤≥+++=βββββββββββ

()

()

111111111111111121

ln1lnii

iii

iiiii

i

iiiiiiii