物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué) 第1章【版】課件

物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)

QQ：375778248Email:第1章光在各向同性介質(zhì)中的傳播特性1.1光波的特性1.2光波在介質(zhì)界面上的反射和折射1.3光波在金屬表面上的反射和折射例題1.1光波的特性1.1.1光電磁波麥克斯韋電磁方程

1.電磁波譜如果按其頻率(或波長)的次序排列成譜，稱為電磁波譜。由于光的頻率極高(1012~1016Hz)，數(shù)值很大，使用起來很不方便，因而采用波長表征，光譜區(qū)域的波長范圍約從1mm到10nm。人們習(xí)慣上將紅外線、可見光和紫外線又細(xì)分如下：

2.麥克斯韋電磁方程

在前人對電磁學(xué)研究成果基礎(chǔ)上，總結(jié)推廣恒定電磁場和似穩(wěn)電磁場的基本規(guī)律，提出了時(shí)變場情況下電磁場的傳播規(guī)律，然后進(jìn)行歸納總結(jié)，稱之為麥克斯韋方程組，其微分形式為：(1.1-1)(1.1-2)(1.1-3)(1.1-4)

3.物質(zhì)方程

光波在各種介質(zhì)中的傳播過程實(shí)際上就是光與介質(zhì)相互作用的過程。因此，在運(yùn)用麥克斯韋方程組處理光的傳播特性時(shí)，必須需要考慮介質(zhì)的屬性，以及介質(zhì)對電磁場量的影響。描述介質(zhì)特性對電磁場量影響的方程，即是物質(zhì)方程：D=εE

(1.1-5)B=μH

(1.1-6)J=σE (1.1-7)介質(zhì)的光學(xué)特性具有不均勻性，ε、μ和σ應(yīng)是空間位置的坐標(biāo)函數(shù)：ε(x,y,z)、μ(x,y,z)和σ(x,y,z)；若介質(zhì)的光學(xué)特性是各向異性的，則ε、μ和σ應(yīng)當(dāng)是張量，物質(zhì)方程應(yīng)為：即D與E、B與H、J與E一般不再同向；當(dāng)光強(qiáng)度很強(qiáng)時(shí)，光與介質(zhì)的相互作用過程會表現(xiàn)出非線性光學(xué)特性。

下面，從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導(dǎo)電磁波動方程。并且限定所討論的區(qū)域遠(yuǎn)離輻射源，不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流，介質(zhì)為各向同性的均勻介質(zhì)。此時(shí)，麥克斯韋方程組可簡化為(1.1-8)(1.1-9)(1.1-10)(1.1-11)(1.1-1)(1.1-2)(1.1-3)(1.1-4)若令可將以上兩式變化為(1.1-14)(1.1-13)這個(gè)方程組即為交變電磁場所滿足的波動方程，它說明了交變電磁場是以速度v在介質(zhì)中傳播的電磁波動，并由此可以得到電磁波在真空中的傳播速度。

5.光電磁場的能流密度

電磁理論指出，電磁場是一種特殊形式的物質(zhì)，既然是物質(zhì)，就必然有能量。

為了描述電磁能量的傳播，引入能流密度——玻印亭(Poynting)矢量S，它定義為S=E×H (1.1-17)

對于一種沿z方向傳播的平面光波，光場表示為：E=exE0cos(ωt-kz)

H=hyH0cos(ωt-kz)式中的ex、hy是電場、磁場振動方向上的單位矢量，其光波的能流密度S為S=szE0H0cos2(ωt-kz)式中，sz是能流密度方向上的單位矢量。因?yàn)橛?1.1-10)式關(guān)系，平面光波場有 ，所以S可寫為(1.1-18)

由于光的頻率很高，例如可見光為1014量級，因而S的大小隨時(shí)間的變化很快。在實(shí)際應(yīng)用中都利用能流密度的時(shí)間平均值〈S〉表征光電磁場的能量傳播，并稱〈S〉為光強(qiáng)，以I表示。假設(shè)光探測器的響應(yīng)時(shí)間為T，則將(1.1-18)式代入，進(jìn)行積分，可得(1.1-19)一旦通過測量知道了光強(qiáng)，便可計(jì)算出光波電場的振幅E0。例如，一束105W的激光，用透鏡聚焦到1×10-10m2的面積上，則在透鏡焦平面上的光強(qiáng)度約為相應(yīng)的光電場強(qiáng)度振幅為1.1.2幾種特殊形式的光波

上節(jié)得到的交變電場E和交變磁場H所滿足的波動方程(1.1-14)，可以表示為如下的一般形式：(1.1-20)根據(jù)光場解的形式的不同，光波可分類為平面光波，球面光波，柱面光波或

。

1)波動方程的平面光波解在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯算符的表示式為為簡單起見，假設(shè)

f不含x、y變量，則波動方程為

為了求解波動方程，先將其改寫為(1.1-21)令可以證明因而，上面的方程變?yōu)閳D1-2平面波圖示

將某一時(shí)刻振動相位相同的點(diǎn)連結(jié)起來，所組成的曲面叫波陣面。由于波陣面是垂直于傳播方向z的平面，因而f1和f2是平面光波，(1.1-22)式是平面光波情況下波動方程(1.1-21)的一般解。在通常情況下，沿任一方向k、以速度v傳播的平面波的波陣面，如圖1-2(c)所示。波陣面概念2)單色平面光波

(1)根據(jù)具體條件的不同，可以采取不同的具體函數(shù)表示。最簡單、最普遍采用的是三角函數(shù)形式，即f=Acos(ωt-kz)+Bsin(ωt+kz)若只計(jì)沿+z方向傳播的平面光波，其電場表示式為(1.1-23)

應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，任意描述真實(shí)存在的物理量的參量都應(yīng)當(dāng)是實(shí)數(shù)，在這里采用復(fù)數(shù)形式只是數(shù)學(xué)上運(yùn)算方便的需要。由于對(1.1-24)式取實(shí)部即為(1.1-23)式所示的函數(shù)，所以，對復(fù)數(shù)形式的量進(jìn)行線性運(yùn)算，只有取實(shí)部后才有物理意義，才能與利用三角函數(shù)形式進(jìn)行同樣運(yùn)算得到相同的結(jié)果。

對于平面簡諧光波的復(fù)數(shù)表示式，可以將時(shí)間相位因子與空間相位因子分開來寫：(1.1-25)式中，(1.1-26)稱為復(fù)振幅。若考慮場強(qiáng)的初相位，則復(fù)振幅可表示為(1.1-27)復(fù)振幅反映了場振動的振幅和相位隨空間的變化。

進(jìn)一步，若平面簡諧光波沿著任一波矢k方向傳播，則其三角函數(shù)形式和復(fù)數(shù)形式表示式分別為(1.1-28)和(1.1-29)相應(yīng)的復(fù)振幅為(1.1-30)

在信息光學(xué)中，經(jīng)常遇到相位共軛光波的概念。所謂相位共軛光波是指兩列同頻率的光波，它們的復(fù)振幅之間是復(fù)數(shù)共軛的關(guān)系。

2.球面光波一個(gè)各向同性的點(diǎn)光源，它向外發(fā)射的光波是球面光波，等相位面是以點(diǎn)光源為中心、隨著距離的增大而逐漸擴(kuò)展的同心球面。式中，f=f(r,t)。(1.1-34)圖1-4球面光波示意圖球面光波所滿足的波動方程沒變，只是由于球面光波的球?qū)ΨQ性，其波動方程僅與r有關(guān)。忽略場的矢量性，采用標(biāo)量場理論，可將波動方程表示為

對于球面光波，利用球坐標(biāo)討論比較方便。此時(shí)，(1.1-34)式可表示為即一般解為(1.1-35)(1.1-36)球面波的振幅隨r成反比例變化。

最簡單的簡諧球面光波——單色球面光波的波函數(shù)為(1.1-37)其復(fù)數(shù)形式為(1.1-38)復(fù)振幅為(1.1-39)上面三式中的A1為離開點(diǎn)光源單位距離處的振幅值。

3.柱面光波一個(gè)各向同性的無限長線光源，向外發(fā)射的波是柱面光波，其等相位面是以線光源為中心軸、隨著距離的增大而逐漸擴(kuò)展的同軸圓柱面。柱面光波所滿足的波動方程可以采用以z軸為對稱軸、不含z的圓柱坐標(biāo)系形式描述：(1.1-40)式中， 。圖1-5柱面光波示意圖

可以證明，當(dāng)r較大(遠(yuǎn)大于波長)時(shí)，其單色柱面光波場解的表示式為(1.1-41)復(fù)振幅為(1.1-42)可以看出，柱面光波的振幅與 成反比。A1是離開線光源單位距離處光波的振幅值。

4.高斯(Gauss)光束由激光器產(chǎn)生的激光束既不是均勻平面光波，也不是均勻球面光波，而是一種振幅和等相位面都在變化的高斯球面光波，亦稱為高斯光束。在由激光器產(chǎn)生的各種模式的激光中，最基本、應(yīng)用最多的是基模(TEM00)高斯光束，因此，在這里僅討論基模高斯光束。從波動方程解的觀點(diǎn)看，基模高斯光束乃是波動方程的一種特解。它是以z軸為柱對稱的波，大體朝著z軸的方向傳播。

考慮到高斯光束的柱對稱性，可以采用圓柱坐標(biāo)系中的波動方程形式：其解的一般函數(shù)形式為。可以證明，下面的基模高斯光束標(biāo)量波光場滿足上述波動方程：(1.1-43)(1.1-44)(1.1-45)式中，E0為常數(shù)，其余符號意義:w0——基模高斯光束的束腰半徑；f——共焦參數(shù)或瑞利長度；R(z)——z點(diǎn)的高斯光束等相位面的曲率半徑；w(z)——相交于z點(diǎn)的高斯光束等相位面上的光斑半徑?；８咚构馐哂幸韵禄咎卣鳎孩倩８咚构馐跈M截面內(nèi)的光電場振幅分布按照高斯函數(shù)的規(guī)律從中心(即傳播軸線)向外平滑地下降。

由中心振幅值下降到1/e點(diǎn)所對應(yīng)的寬度，定義為光斑半徑(1.1-46)基模高斯光束光斑半徑擴(kuò)展規(guī)律(1.1-47)可見，基模高斯光束的光斑半徑隨著坐標(biāo)z按雙曲線的規(guī)律擴(kuò)展。光斑半徑公式可變換為圖1-7高斯光束的擴(kuò)展Kz——高斯光束的幾何相移；arctan(z/f)——高斯光束在空間行進(jìn)距離z處、相對于幾何相移的附加相移；kr2/2R(z)——與橫向坐標(biāo)r有關(guān)的相移，它表明高斯光束的等相位面是以R(z)為半徑的球面。②基模高斯光束場的相位因子(1.1-48)決定了基模高斯光束的空間相移特性。等相位面曲率半徑R(z)隨z的變化規(guī)律(1.1-49)當(dāng)z=0時(shí):R(z)→∞，表明束腰處的等相位面為平面；當(dāng)z→±∞時(shí):|R(z)|≈z→∞，表明離束腰無限遠(yuǎn)處的等相位面亦為平面，且曲率中心就在束腰處；當(dāng)z=±f時(shí):

|R(z)|=2f，達(dá)到極小值；當(dāng)0＜z＜f時(shí)R(z)＞2f，等相位面的曲率中心在(-∞,-f)區(qū)間上；當(dāng)z＞f時(shí)z＜R(z)＜z+f，等相位面的曲率中心在(-f,0)區(qū)間上。等相位面的曲率中心③基模高斯光束既非平面波，又非均勻球面波，它的發(fā)散度采用遠(yuǎn)場發(fā)散角表征。(1.1-50)

基模高斯光束在其傳播軸線附近可以看作是一種非均勻的球面波，其等相位面是曲率中心不斷變化的球面，振幅和強(qiáng)度在橫截面內(nèi)保持高斯分布。遠(yuǎn)場發(fā)散角θ1/e2定義為z→∞時(shí)，強(qiáng)度為中心的1/e2點(diǎn)所夾角的全寬度，即1.1.3光波場的時(shí)域頻率譜

1.復(fù)色波

前面，我們討論了頻率為ω的單色平面光波

實(shí)際上，嚴(yán)格的單色光波是不存在的，我們所能得到的各種光波均為復(fù)色波。(1.1-51)

2.頻率譜若只考慮光波場在時(shí)間域內(nèi)的變化，可以表示為時(shí)間的函數(shù)E(t)。通過傅里葉變換，它可以展成如下形式：式中，exp(-i2πνt)為傅氏空間(或頻率域)中頻率為ν的一個(gè)基元成分,可看作頻率為ν的單位振幅簡諧振蕩。(1.1-52)

E(ν)隨ν的變化稱為E(t)的頻譜分布，或簡稱頻譜。(1.1-53)由上式計(jì)算出來的E(ν)為復(fù)數(shù)，它就是ν頻率分量的復(fù)振幅，可表示為(1.1-54)式中，|E(ν)|為光場振幅的大小；φ(ν)為相位角。因而|E(ν)|2表征了ν頻率分量的功率，稱|E(ν)|2為光波場的功率譜。(1)無限長時(shí)間的等幅振蕩其表達(dá)式為式中，E0、ν0為常數(shù)。由(1.1-53)式，它的頻譜為(1.1-56)(1.1-55)(2)持續(xù)有限時(shí)間的等幅振蕩(1.1-57)這時(shí)

(1.1-58)或表示成(1.1-59)相應(yīng)的功率譜為(1.1-60)圖1-9有限正弦波及其頻譜圖

為表征頻譜分布特性，定義靠近ν0、強(qiáng)度為零的兩個(gè)點(diǎn)所對應(yīng)頻率ν2和ν1之差的一半，為這個(gè)有限正弦波的頻譜寬度Δν。(1.1-61)(3)衰減振蕩其表達(dá)式可寫為相應(yīng)的E(ν)為(1.1-63)(1.1-62)圖1-10衰減振蕩及其頻譜圖功率譜(1.1-64)因此，這個(gè)衰減振蕩也可視為無限多個(gè)振幅不同、頻率連續(xù)變化的簡諧振蕩的疊加，ν0為其中心頻率。圖1-10衰減振蕩及其頻譜圖

由于ν=ν2(或ν1)時(shí)，|E(ν2)|2=|E(ν0)|2/2，即化簡后得因而(1.1-65)

最大強(qiáng)度一半所對應(yīng)的兩個(gè)頻率υ2和υ2之差Δν，定義為這個(gè)衰減振蕩的頻譜寬度。頻譜寬度3.準(zhǔn)單色光(1.1-66)在光電子技術(shù)應(yīng)用中，經(jīng)常運(yùn)用的調(diào)制光波均可認(rèn)為是準(zhǔn)單色光(或稱準(zhǔn)單色光波)。對于實(shí)際表觀頻率為ν0的振蕩，若其振幅隨時(shí)間的變化比振蕩本身緩慢得多，則這種振蕩的頻譜就集中于ν0附近的一個(gè)很窄的頻段內(nèi)，可認(rèn)為是中心頻率為ν0的準(zhǔn)單色光。其場振動表達(dá)式為

現(xiàn)在考察一個(gè)在空間某點(diǎn)以表觀頻率ν0振動、振幅為高斯函數(shù)的準(zhǔn)單色光波

(1.1-67)對于這種高斯函數(shù)準(zhǔn)單色光波的頻譜分布，可由傅氏變換確定：高斯函數(shù)的準(zhǔn)單色光相應(yīng)的功率譜為(1.1-68)(1.1-69)頻率譜、功率譜根據(jù)高斯分布的定義計(jì)算有：(1.1-70)圖1-11高斯型準(zhǔn)單色光波及其頻譜圖1.1.4相速度和群速度假設(shè)單色光波電場的表示式為E=E(r)cos[ωt-φ(r)]

(1.1-71)式中，φ(r)是隨距離變化的相位項(xiàng)，相應(yīng)于ωt-φ(r)=常數(shù)的空間曲面為該單色光波的等相位面，滿足該式的r是這個(gè)相位狀態(tài)在不同時(shí)刻的位置。將上式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得1.單色光波的速度

設(shè)r0為dr方向上的單位矢量，并寫成dr=r0

ds，則有當(dāng)r0垂直于等相位面，即r0=▽φ/|▽φ|時(shí)，上式值最小，其值為(1.1-72)該v(r)就是等相位面的傳播速度，簡稱為相速度。對于波矢量為k的平面單色光波，其空間相位項(xiàng)為j(r)=k·r-j0因此▽φ=k所以，平面單色光波的相速度為(1.1-73)

應(yīng)當(dāng)注意，相速度是單色光波所特有的一種速度，由于它表示的不是光波能量的傳播速度，所以當(dāng) ，例如在色散介質(zhì)的反常色散區(qū)，就有相速度v大于真空中光速度c的情況，這并不違背相對論的結(jié)論。如前所述，實(shí)際上的光波都不是嚴(yán)格的單色光波，而是復(fù)色光波，它的光電場是所包含各個(gè)單色光波電場的疊加，即(1.1-74)為簡單起見，以二色波為例進(jìn)行說明。如圖1-12(a)所示的二色波的光電場為2.復(fù)色光波的速度如圖1-12(a)所示的二色波的光電場為二色波的光電場假設(shè)E01=E02=E0，且|ω1-ω2|<<ω1

，ω2

，則

(1.1-75)圖1-12兩個(gè)單色光波的疊加

對于上述復(fù)色光波，E(z,t)為其光場的振幅(包絡(luò))，

為其光場的相位，這種復(fù)色光波的傳播速度包含兩種含義：等相位面的傳播速度和等振幅面的傳播速度，前者也稱為相速度，后者也稱為群速度或包絡(luò)速度。復(fù)色波相位為常數(shù)(常數(shù))，則某時(shí)刻等相位面的位置z對時(shí)間的變化率dz/dt即為等相位的傳播速度——復(fù)色波的相速度，且有1)復(fù)色波的相速度(1.1-76)2)復(fù)色光波的群速度當(dāng)Δω很小時(shí)，可以寫成(1.1-77)由復(fù)色波表示式可知復(fù)色光波的振幅是時(shí)間和空間的余弦函數(shù)，在任一時(shí)刻，滿足(ωmt-kmz)=常數(shù)的z值，代表了某等振幅面的位置，該等振幅面位置對時(shí)間的變化率即為等振幅面的傳播速度——復(fù)色光波的群速度，且有由

，有，上式還可表示為由波數(shù)，vg可表示為(1.1-78)由

，有，可將上式變?yōu)?1.1-79)(1.1-80)

應(yīng)當(dāng)指出：①復(fù)色光波是由許多單色光波組成的，只有復(fù)色光波的頻譜寬度Δω很窄，各個(gè)頻率集中在某一“中心”頻率附近時(shí)，才能構(gòu)成(1.1-75)式所示的波群，上述關(guān)于復(fù)色光波速度的討論才有意義。②波群在介質(zhì)中傳播時(shí)，由于介質(zhì)的色散效應(yīng)，使不同單色光波的傳播速度不同。隨著傳播的推移，波群發(fā)生“彌散”。所以，只有在色散很小的介質(zhì)中傳播時(shí)，群速度才可以視為一個(gè)波群的傳播速度。③由于光波的能量正比于電場振幅的平方，而群速度是波群等振幅點(diǎn)的傳播速度，在群速度有意義的情況下，它即是光波能量的傳播速度。1.平面光波的橫波特性假設(shè)平面光波的電場和磁場分別為E=E0e-i(ωt-k·r)

(1.1-81)H=H0e-i(ωt-k·r)(1.1-82)將其代入麥克斯韋方程(1.1-8)式和(1.1-9)式，可得k·D=0 (1.1-83)k·B=0

(1.1-84)1.1.5光波的橫波性、偏振態(tài)及其表示對于非鐵磁性介質(zhì)，因?yàn)锽=μ0H，有k·H=0(1.1-86)以上關(guān)系式說明，平面光波的電場矢量、磁場矢量均垂直于波矢方向(波陣面法線方向)，平面光波是橫電磁波。對于各向同性介質(zhì)，因?yàn)镈∥E，有k·E=0(1.1-85)如果將(1.1-81)式、(1.1-82)式代入(1.1-10)式，可以得到(1.1-87)(1.1-88)由此可見，E與B、H相互垂垂，因此，k、D(E)、B(H)三矢量構(gòu)成右手螺旋直角坐標(biāo)系統(tǒng)。又因?yàn)镾=E×H，所以有k∥s，即在各向同性介質(zhì)中，平面光波的波矢方向(k)與能流方向(s)相同。進(jìn)一步有：(1.1-89)即E與H的數(shù)值之比為正實(shí)數(shù)，因此E與H同相位。圖1-16平面光波的橫波特性2.平面光波的偏振特性一般情況下，在與平面光波傳播方向垂直的平面內(nèi)，光場振動方向相對光傳播方向是不對稱的，光波性質(zhì)隨光場振動方向的不同而發(fā)生變化。我們將這種光振動方向相對光傳播方向不對稱的性質(zhì)，稱為光波的偏振特性。1)光波的偏振態(tài)根據(jù)空間任一點(diǎn)光電場E的矢量末端在不同時(shí)刻的軌跡不同，其偏振態(tài)可分為線偏振、圓偏振和橢圓偏振。設(shè)光波沿z方向傳播，電場矢量為(1.1-90)為表征該光波的偏振特性，可將其表示為沿x、y方向振動的兩個(gè)獨(dú)立分量的線性組合，即(1.1-91)其中(1.1-92)式中，j=jy-jx。這個(gè)二元二次方程在一般情況下表示的幾何圖形是橢圓。圖1-14橢圓偏振諸參量將上二式中的變量t消去，經(jīng)過運(yùn)算可得圖1-15不同j值相應(yīng)的橢圓偏振在(1.1-92)式中，相位差j和振幅比Ey/Ex的不同，決定了橢圓形狀和空間取向的不同，從而也就決定了光的不同偏振狀態(tài)。實(shí)際上，線偏振態(tài)和圓偏振態(tài)都可以被認(rèn)為是橢圓偏振態(tài)的特殊情況。(1)線偏振光

當(dāng)Ex、Ey二分量的相位差φ=mπ(m=0,±1,±2，…)時(shí)，橢圓退化為一條直線，稱為線偏振光。此時(shí)有(1.1-93)當(dāng)m為零或偶數(shù)時(shí)，光振動方向在Ⅰ、Ⅲ象限內(nèi)；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，光振動方向在Ⅱ、Ⅳ象限內(nèi)。由于在同一時(shí)刻，線偏振光傳播方向上各點(diǎn)的光矢量都在同一平面內(nèi)，因此又叫做平面偏振光。通常將包含光矢量和傳播方向的平面稱為振動面。式中，正負(fù)號分別對應(yīng)右旋和左旋圓偏振光。所謂右旋或左旋與觀察的方向有關(guān)，通常規(guī)定逆著光傳播的方向看，E為順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱為右旋圓偏振光，反之，稱為左旋圓偏振光。(2)圓偏振光

當(dāng)Ex、Ey的振幅相等(E0x=E0y=E0)，相位差φ=mπ/2(m=±1,±3,±5…)時(shí)，橢圓方程退化為圓方程該光稱為圓偏振光。用復(fù)數(shù)形式表示時(shí)，有(1.1-94)(3)橢圓偏振光在一般情況下，光場矢量在垂直傳播方向的平面內(nèi)大小和方向都改變，它的末端軌跡是由(1.1-92)式?jīng)Q定的橢圓，故稱為橢圓偏振光。在某一時(shí)刻，傳播方向上各點(diǎn)對應(yīng)的光矢量末端分布在具有橢圓截面的螺線上(圖1-16)。橢圓的長、短半軸和取向與二分量Ex、Ey的振幅和相位差有關(guān)。其旋向取決于相位差j：當(dāng)2mπ＜φ＜(2m+1)π時(shí)，為右旋橢圓偏振光；當(dāng)(2m-1)π＜j＜2mπ時(shí)，為左旋橢圓偏振光。圖1-16橢圓偏振光2)偏振態(tài)的表示法

兩個(gè)振動方向相互垂直的偏振光疊加時(shí)，通常將形成橢圓偏振光，其電場矢端軌跡的橢圓長、短軸之比及空間取向，隨二線偏振光的振幅比E0y/E0x及其相位差j變化，決定了該光的偏振態(tài)。下面，進(jìn)一步討論幾種經(jīng)常采用的偏振態(tài)表示法。

(1)三角函數(shù)表示法

兩個(gè)振動方向相互垂直的線偏振光Ex和Ey疊加后，一般情況下將形成橢圓偏振光：在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常采用由長、短軸構(gòu)成的新直角坐標(biāo)系x′Oy′的兩個(gè)正交電場分量Ex′和Ey′描述偏振態(tài)。新舊坐標(biāo)系之間電矢量的關(guān)系為(1.1-95)式中，ψ(0≤ψ<π)是橢圓長軸與x軸間的夾角。設(shè)2a和2b分別為橢圓之長、短軸長度，則新坐標(biāo)系中的橢圓參量方程為(1.1-96)式中的正、負(fù)號相應(yīng)于兩種旋向的橢圓偏振光，τ=ωt-kz。令(1.1-97)則已知E0x、E0y和j，即可由下面的關(guān)系式求出相應(yīng)的a、b和ψ：

(1.1-98)(1.1-99)

(2)瓊斯矩陣表示法

1941年，瓊斯(Jones)利用一個(gè)列矩陣表示電矢量的x、y分量：

(1.1-100)這個(gè)矩陣通常稱為瓊斯矢量。這種描述偏振光的方法是一種確定光波偏振態(tài)的簡便方法。

對于在Ⅰ、Ⅲ象限中的線偏振光，有jx=jy=j0，瓊斯矢量為(1.1-101)對于左旋、右旋圓偏振光，有jy-jx=±π/2，E0x=E0y=E0，其瓊斯矢量為(1-102)

考慮到光強(qiáng)I=E2x+E2y，有時(shí)將瓊斯矢量的每一個(gè)分量除以，得到標(biāo)準(zhǔn)的歸一化瓊斯矢量。例如，x方向振動的線偏振光、y方向振動的線偏振光、45°方向振動的線偏振光、振動方向與x軸成θ角的線偏振光、左旋圓偏振光、右旋圓偏振光的標(biāo)準(zhǔn)歸一化瓊斯矢量形式分別為：

如果兩個(gè)偏振光滿足如下關(guān)系，則稱此二偏振光是正交偏振態(tài)：(1.1-103)例如，x、y方向振動的二線偏振光、右旋圓偏振光與左旋圓偏振光等均是互為正交的偏振光。利用瓊斯矢量可以很方便地計(jì)算二偏振光的疊加：亦可很方便地計(jì)算偏振光Ei通過幾個(gè)偏振元件后的偏振態(tài)：式中， 為表示光學(xué)元件偏振特性的瓊斯矩陣，可由光學(xué)手冊查到。(3)斯托克斯參量表示法如前所述，為表征橢圓偏振，必須有三個(gè)獨(dú)立的量，例如振幅Ex、Ey和相位差j，或者橢圓的長、短半軸a、b和表示橢圓取向的ψ角。1852年斯托克斯(Stockes)提出用四個(gè)參量(斯托克斯參量)來描述一光波的強(qiáng)度和偏振態(tài)，在實(shí)用上更為方便。與瓊斯矢量不同的是，這種表示法描述的光可以是完全偏振光；部分偏振光和完全非偏振光；可以是單色光，也可以是非單色光?？梢宰C明，對于任意給定的光波，這些參量都可由簡單的實(shí)驗(yàn)加以測定。一個(gè)平面單色光波的斯托克斯參量是：(1.1-104)其中只有三個(gè)參量是獨(dú)立的，因?yàn)樗鼈冎g存在下面的恒等式關(guān)系：(1.1-105)

參量s0顯然正比于光波的強(qiáng)度，參量s1、s2和s3則與圖1-14所示的表征橢圓取向的ψ角(0≤j＜p)和表征橢圓率及橢圓轉(zhuǎn)向的χ角(－p/4≤c＜p/4)有如下關(guān)系：(1.1-106)(4)邦加球表示法邦加球是表示任一偏振態(tài)的圖示法，是1892年由邦加(Poincare)提出的。邦加球在晶體光學(xué)中非常有用，可決定晶體對于所穿過光的偏振態(tài)的影響。

邦加球是一個(gè)半徑為s0的球面Σ，其上任意點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為s1、s2和s3，而2χ和2ψ則是該點(diǎn)的相應(yīng)球面角坐標(biāo)(圖1-17)。一個(gè)平面單色波，當(dāng)其強(qiáng)度給定時(shí)(s0=常數(shù))，對于它的每一個(gè)可能的偏振態(tài)，Σ上都有一點(diǎn)與之對應(yīng)，反之亦然。由于線偏振光的相位差j是零或π的整數(shù)倍，按(1.1-104)式，斯托克斯參量s3為零，所以各線偏振光分別由赤道面上的點(diǎn)代表。對于圓偏振光，因?yàn)镋0x=E0y，所以分別由南、北極兩點(diǎn)代表左、右旋圓偏振光。圖1-17單色波偏振態(tài)的邦加球表示法1.2光波在介質(zhì)界面上的反射和折射1.2.1反射定律和折射定律光由一種介質(zhì)入射到另一種介質(zhì)時(shí)，在界面上將產(chǎn)生反射和折射?，F(xiàn)假設(shè)二介質(zhì)為均勻、透明、各向同性介質(zhì)，分界面為無窮大的平面，入射、反射和折射光均為平面光波，其電場表示式為l=i,r,t(1.2-1)式中，腳標(biāo)i,r,t分別代表入射光、反射光和折射光；r是界面上任意點(diǎn)的矢徑，在圖1-18所示的坐標(biāo)情況下，有r=ix+jy圖1-18平面光波在界面上的反射和折射根據(jù)電磁場的邊界條件，可以得到如下關(guān)系：(1.2-2)(1.2-3)(1.2-4)這些關(guān)系表明：①入射光、反射光和折射光具有相同的頻率；②入射光、反射光和折射光均在入射面內(nèi)，ki、kr和kt波矢關(guān)系如圖1-19所示。圖1-19ki、kr、kt三波矢關(guān)系

進(jìn)一步，根據(jù)圖1-18所示的幾何關(guān)系，可由(1.2-3)式和(1.2-4)式得到(1.2-5)(1.2-6)又因?yàn)閗=nω/c，可將上二式改寫為這就是介質(zhì)界面上的反射定律和折射定律，它們給出了反射光、折射光的方向。折射定律又稱為斯涅耳(Snell)定律。(1.2-7)(1.2-8)1.2.2菲涅耳公式

1.s分量和p分量通常把垂直于入射面振動的分量稱做s分量，把平行于入射面振動的分量稱做p分量。為討論方便起見，規(guī)定s分量和p分量的正方向如圖1-20所示。

圖1-20s分量和p分量的正方向

2.反射系數(shù)和透射系數(shù)假設(shè)介質(zhì)中的電場矢量為l=i,r,t(1.2-9)其s分量和p分量表示式為m=s,p(1.2-10)則定義s分量、p分量的反射系數(shù)、透射系數(shù)分別為(1.2-11)(1.2-12)

3.菲涅耳公式假設(shè)界面上的入射光、反射光和折射光同相位，根據(jù)電磁場的邊界條件及s分量、p分量的正方向規(guī)定，可得(1.2-13)和(1.2-14)利用 ，上式變?yōu)?1.2-15)再利用折射定律，并由(1.2-13)式和(1.2-15)式消去Ets，經(jīng)整理可得將(1.2-10)式代入，利用(1.2-3)式關(guān)系，并根據(jù)反射系數(shù)定義，得到(1.2-16)再由(1.2-13)式和(1.2-15)式消去Ers，經(jīng)運(yùn)算整理得(1.2-17)

將所得到的表示式(及相應(yīng)的其他形式——讀者可以自己推導(dǎo))寫成一個(gè)方程組，就是著名的菲涅耳公式：(1.2-18)(1.2-19)(1.2-20)(1.2-21)由于這些系數(shù)首先是由菲涅耳用彈性波理論得到的，所以又叫做菲涅耳系數(shù)。于是，如果已知界面兩側(cè)的折射率n1、n2和入射角θ1，就可由折射定律確定折射角θ2，進(jìn)而可由上面的菲涅耳公式求出反射系數(shù)和透射系數(shù)。圖1-21rs、rp、ts、tp隨入射角θ1變化曲線圖1-21繪出了在n1＜n2(光由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì))和n1＞n2(光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì))兩種情況下，反射系數(shù)、透射系數(shù)隨入射角θ1的變化曲線。1.2.3反射率和透射率菲涅耳公式給出了入射光、反射光和折射光之間的場振幅和相位關(guān)系(有關(guān)相位關(guān)系在后面還將深入討論)，現(xiàn)在，進(jìn)一步討論反映它們之間能量關(guān)系的反射率和透射率。在討論過程中，不計(jì)吸收、散射等能量損耗，因此，入射光能量在反射光和折射光中重新分配，而總能量保持不變。圖1-22光束截面積在反射和折射時(shí)的變化

(在分界面上光束截面積為1)如圖1-22所示，若有一個(gè)平面光波以入射角θ1斜入射到介質(zhì)分界面，平面光波的強(qiáng)度為Ii，則每秒入射到界面上單位面積的能量為Wi=Iicosθ1考慮到光強(qiáng)表示式(1.1-19),上式可寫成(1.2-23)類似地，反射光和折射光的能量表示式為(1.2-24)(1.2-25)由此可以得到反射率、透射率的表達(dá)式分別為(1.2-26)(1.2-27)(1.2-29)(1.2-30)(1.2-31)由上述關(guān)系式，顯然有將菲涅耳公式代入，即可得到入射光中s分量和p分量的反射率和透射率的表示式分別為(1.2-28)

綜上所述，光在介質(zhì)界面上的反射、透射特性由三個(gè)因素決定：入射光的偏振態(tài)，入射角，界面兩側(cè)介質(zhì)的折射率。圖1-23給出了按光學(xué)玻璃(n=1.52)和空氣界面計(jì)算得到的反射率R隨入射角θ1變化的關(guān)系曲線，可以看出：

圖1-23R隨入射角θ1的變化關(guān)系①一般情況下，Rs≠Rp，即反射率與偏振狀態(tài)有關(guān)。在小角度(正入射)和大角度(掠入射)情況下，Rs≈Rp。在正入射時(shí)，(1.2-34)相應(yīng)有(1.2-35)在圖1-23(a)中掠入射(θ1≈90°)時(shí)，Rs≈Rp≈1

當(dāng)光以某一特定角度θ1=θB入射時(shí)，Rs和Rp相差最大，且Rp=0，在反射光中不存在p分量。此時(shí)，根據(jù)菲涅耳公式有θB+θ2=90°，即該入射角與相應(yīng)的折射角互為余角。利用折射定律，可得該特定角度滿足(1.2-36)這個(gè)θB角稱為布儒斯特(Brewster)角。例如，當(dāng)光由空氣射向玻璃時(shí)，n1=1，n2=1.52，布儒斯特角θB=56°40′。②反射率R隨入射角θ1變化的趨勢是：θ1＜θB時(shí)，R數(shù)值小，由Rs=Rp=4.3%緩慢變化；θ1

＞θB時(shí)，R隨著θ1的增大急劇上升，到達(dá)Rs=Rp=1。但是，對于圖1-23(b)所示的光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)(n1＞n2)和圖1-23(a)所示的光由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)(n1＜n2)兩種不同情況的反射規(guī)律有一個(gè)重大差別：當(dāng)n1

＞n2時(shí)，存在一個(gè)臨界角θC，當(dāng)θ1＞θC時(shí)，光波發(fā)生全反射。由折射定律，相應(yīng)于臨界角時(shí)的折射角θ2=90°，因此有(1.2-37)例如，當(dāng)光由玻璃射向空氣時(shí)，臨界角θC=41°8′。對于n1＜n2的情況，不存在全反射現(xiàn)象。③反射率與界面兩側(cè)介質(zhì)的折射率有關(guān)。圖1-24給出了在n1=1的情況下，光正入射介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)反射率R隨其折射率n的變化曲線。可以看出，在一定范圍內(nèi)，R與n幾乎是線性關(guān)系，當(dāng)n大到一定程度時(shí)，R的上升就變得很緩慢了。在實(shí)際工作中，一定要注意n對R的影響。例如，正入射時(shí)，普圖1-24垂直入射時(shí)R隨n變化的關(guān)系通玻璃(n=1.5)的反射率R≈4%，紅寶石(n=1.769)的反射率為7.7%，而對紅外透明的鍺片，n=4，其反射率高達(dá)36%，一次反射就幾乎要損失近40%的光。1.2.4反射和折射的相位特性

1.折射光與入射光的相位關(guān)系由圖1-21可以看出，在入射角從0°到90°的變化范圍內(nèi)，不論光波以什么角度入射至界面，也不論界面兩側(cè)折射率的圖1-21rs、rp、ts、tp隨入射角θ1變化曲線大小如何，s分量和p分量的透射系數(shù)t總是取正值，因此，折射光總是與入射光同相位。

2.反射光與入射光的相位關(guān)系

1)反射光和入射光中s、p分量的相位關(guān)系(1)光波由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)(n1＜n2)由圖1-21(a)可見，n1＜n2時(shí)，反射系數(shù)rs＜0，說明反射光中的s分量與入射光中的s分量相位相反，或者說反射光中的s分量相對入射光中的s分量存在一個(gè)π相位突變，這即為圖1-25(a)所表示的jrs=π。而p分量的反射系數(shù)rp在θ1＜θB范圍內(nèi)，rp＞0，說明反射光中的p分量與入射光中的p分量相位相同(jrp=0)；在θ1＞θB范圍內(nèi)，rp＜0，說明反射光中的p分量相對入射光中的p分量有π相位突變(jrs=π)，此相位特性如圖1-25(b)所示。圖1-25

jrs、jrp隨入射角θ1的變化圖1-21rs、rp、ts、tp隨入射角θ1變化曲線圖1-21rs、rp、ts、tp隨入射角θ1變化曲線圖1-25

jrs、jrp隨入射角θ1的變化(2)光波由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)(n1＞n2)

由圖1-21(b)可見，入射角θ1在0°到θC的范圍內(nèi)，s分量的反射系數(shù)rs＞0，說明反射光中的s分量與入射光中的s分量同相位，正如圖1-25(c)所示的jrs=0。p分量的反射系數(shù)rp在θ1＜θB范圍內(nèi)，rp＜0，說明反射光中的p分量相對入射光中的p分量有π相位突變(jrp=π)；而在θB＜θ1＜θC范圍內(nèi)，rp＞0，說明反射光中的p分量與入射光中的p分量相位相同，如圖1-25(d)所示。2)反射光和入射光的相位關(guān)系為了正確確定在界面入射點(diǎn)處的反射光(合成)場與入射光(合成)場的相位關(guān)系，必須考慮圖1-20所示的s、p分量光電圖1-20s分量和p分量的正方向場振動正方向的規(guī)定。下面以幾種特殊的反射情況，說明反射光場與入射光場之間的相位關(guān)系。

(1)小角度入射的反射特性①

n1＜n2。為明顯起見，我們考察θ1=0°的正入射情況。由圖1-21(a)，有?？紤]到圖1-20所示的光電場振動正方向的規(guī)定，入射光和反射光的s分量、p分量方向如圖1-26所示。由于rs＜0，反射光中的s分量與規(guī)定正方向相反(即為垂直紙面向內(nèi)方向)；由于rp＞0，反射光中的p分量與規(guī)定正方向相同(逆著反射光線看，指向右側(cè))，所以，在入射點(diǎn)處，合成的反射光場矢量Er相對入射光場Ei反向，相位發(fā)生π突變，或半波損失。在θ1非零、小角度入射時(shí)，都將近似產(chǎn)生π相位突變，或半波損失。

圖1-26正入射時(shí)產(chǎn)生π相位突變圖1-21rs、rp、ts、tp隨入射角θ1變化曲線②n1＞n2。正入射時(shí)，由圖1-21(b)有rp<0,rs>0?？紤]到圖1-20所示的光電場振動正方向的規(guī)定，入射光和反射光的s分量、p分量方向如圖1-27所示。于是，在入射點(diǎn)處，入射光場矢量Ei與反射光場矢量Er同方向，即二者同相位，反射光沒有半波損失。圖1-21rs、rp、ts、tp隨入射角θ1變化曲線圖1-27正入射無相位突變(2)掠入射的反射特性若n1＜n2，θ1≈90°，由(1.2-18)式和(1.2-19)式有|rs|=|rp|,rs＜0，rp＜0?？紤]到圖1-20的光電場振動正方向規(guī)定，其入射光和反射光的s分量、p分量方向如圖1-28所示。因此，在入射點(diǎn)處，入射光場矢量Ei與反射光場矢量Er方向近似相反，即掠入射時(shí)的反射光在n1＜n2時(shí)將產(chǎn)生半波損失。圖1-28掠入射時(shí)的相位突變

3)薄膜上下表面的反射

以上討論了光在一個(gè)界面上反射時(shí)的相位特性。對于從平行平面薄膜兩表面反射的1、2兩束光，有如圖1-29所示的四種情形：n1＜n2，θ1＜θB和θ1＞θB；n1＞n2，θ1＜θB和θ1＞θB。由圖可見，就1、2兩束反射光而言，其s、p分量的方向總是相反。因此，薄膜上下兩側(cè)介質(zhì)相同時(shí)，上下兩界面反射光的光場相位差，除了有光程差的貢獻(xiàn)外，還有π的附加相位差。圖1-29薄膜上下表面的反射1.2.5反射和折射的偏振特性

1.偏振度前面討論了平面光波按其光矢量端點(diǎn)的變化軌跡定義的線偏振光、圓偏振光和橢圓偏振光的偏振特性。實(shí)際上，由普通光源發(fā)出的光波都不是單一的平面波，而是許多光波的總和：它們具有一切可能的振動方向，在各個(gè)振動方向上振動的振幅在觀察時(shí)間內(nèi)的平均值相等，初相位完全無關(guān)，這種光稱為完全非偏振光，或稱自然光。如果由于外界的作用，使各個(gè)振動方向上的振動強(qiáng)度不相等，就變成部分偏振光。如果光場矢量有確定不變的或有規(guī)則變化的振動方向，則稱為完全偏振光。部分偏振光可以看做是完全偏振光和自然光的混合，而完全偏振光可以是線偏振光、橢圓偏振光、圓偏振光，若不特別說明，在這里都是指線偏振光。

為便于研究，可將任意光場矢量視為兩個(gè)正交分量(例如，s分量和p分量)的疊加，因此，任意光波能量都可表示為在完全非偏振光中，Ws=Wp；在部分偏振光中，Ws≠Wp；在完全偏振光中，或Ws=0，或Wp=0。為表征光波的偏振特性，引入偏振度P。偏振度的定義是，在部分偏振光的總強(qiáng)度中，完全偏振光所占的比例，即(1.2-38)偏振度還可以表示為(1.2-39)式中，IM和Im分別為兩個(gè)特殊(正交)方向上所對應(yīng)的最大和最小光強(qiáng)。對于完全非偏振光，P=0；對于完全偏振光，P=1。一般的P值表示部分偏振光，P值愈接近1，光的偏振程度愈高。

2.反射和折射的偏振特性由菲涅耳公式可知，通常rs≠rp，ts≠tp，因此，反射光和折射光的偏振狀態(tài)相對入射光會發(fā)生變化。即使入射光是線偏振光，其反射光和折射光的振動方向也會發(fā)生變化。

1)自然光的反射、折射特性自然光的反射率為(1.2-40)

由于入射的自然光能量Win=Wis+Wip，且Wis=Wip，因此(1.2-41)相應(yīng)的反射光偏振度為(1.1-42)折射光的偏振度為根據(jù)前面有關(guān)反射率和折射率的討論，在不同入射角的情況下，自然光的反射、折射、偏振特性如下：(1.2-42)①自然光正入射(θ1=0°)和掠入射界面(θ1≈90°)時(shí)，Rs=Rp,Ts=Tp，因而Pr=Pt=0，即反射光和折射光仍為自然光。②自然光斜入射界面時(shí)，因Rs和Rp、Ts和Tp不相等，所以反射光和折射光都變成了部分偏振光。③自然光正入射界面時(shí)，反射率為例如，光由空氣(n1=1)正入射至玻璃(n1=1.52)時(shí)，Rn=4.3%；正入射至紅寶石(n2=1.769)時(shí)，Rn=7.7%；正入射至鍺片(n2=4)時(shí)，Rn=36%。④自然光斜入射至界面上時(shí)，反射率為(1.2-43)(1-160)隨著入射角的變化，自然光反射率的變化規(guī)律為：(i)光由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)(例如，由空氣射向玻璃)時(shí)，由圖1-23(a)可見，在θ1＜45°范圍內(nèi)，Rn基本不變，且近似等于4.3%，在θ1＞45°時(shí)，隨θ1的增大，Rn較快地變大；(ii)光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時(shí)，在入射角大于臨界角范圍內(nèi)，將發(fā)生全反射；(iii)當(dāng)θ1=θB時(shí)，由于Rp=0，Pr=1，因而反射光為完全偏振光。例如，光由空氣射向玻璃時(shí)，布儒斯特角為由反射率公式可得Rs=15%，因此，反射光強(qiáng)為這說明反射光為偏振光，但反射光強(qiáng)很小。對于透射光，因Irp=0，有Itp=Iip。又由于入射光是自然光，有Iip=0.5Ii，因而Itp=0.5Ii。進(jìn)一步，因?yàn)樗酝干涔獾钠穸葹橐虼?，透射光的光?qiáng)很大(It=0.925Ii)，但偏振度很小。

由上所述可以看出，要想通過單次反射的方法獲得強(qiáng)反射的線偏振光、高偏振度的透射光是很困難的。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常采用“片堆”達(dá)到上述目的?！捌选笔怯梢唤M平行平面玻璃片(或其它透明的薄片，如石英片等)疊在一起構(gòu)成的，如圖1-30所示，將這些玻璃片放在圓筒內(nèi)，使其表面法線與圓筒軸構(gòu)成布儒斯特角(θB)。當(dāng)自然光沿圓筒軸(以布儒斯特角)入射并通過“片堆”時(shí)，因透過“片堆”的折射光連續(xù)不斷地以相同的狀態(tài)入射和折射，每通過一次界面，都從折射光中反射掉一部分垂直紙面振動的分量，最后使通過“片堆”的透射光接近為一個(gè)平行于入射面的線偏振光。圖1-30用“片堆”產(chǎn)生偏振光

在激光技術(shù)中，外腔式氣體激光器放電管的布儒斯特窗口，就是上述“片堆”的實(shí)際應(yīng)用。如圖1-31所示，當(dāng)平行入射面振動的光分量通過窗片時(shí)，沒有反射損失，因而這種光分量在激光器中可以起振，形成激光。而垂直紙面振動的光分量通過窗片時(shí)，將產(chǎn)生高達(dá)15%的反射損耗，不可能形成激光。由于在激光產(chǎn)生的過程中，光在腔內(nèi)往返運(yùn)行，類似于光通過片堆的情況，所以輸出的激光將是在平行于激光管軸和窗片法線組成的平面內(nèi)振動的線偏振光。圖1-31外腔式氣體激光器2)線偏振光反射的振動面旋轉(zhuǎn)一束線偏振光入射至界面，由于垂直分量和平行分量的振幅反射系數(shù)不同，相對入射光而言，反射光的振動面將發(fā)生旋轉(zhuǎn)。例如，一束入射的線偏振光振動方位角αi=45°，則其平行分量和垂直分量相等，即。若如圖1-32所示，該光的入射角θ1=40°。則rs=-0.2845，rp=0.1245，反射光中二分量的振幅分別為圖1-32振動面的旋轉(zhuǎn)因此，反射光的振動方位角為相對入射光而言，振動面遠(yuǎn)離入射面。對于折射光，由于其s分量和p分量均無相位突變，且 ，所以αt＜45°，即折射光的振動面轉(zhuǎn)向入射面。

由此可見，線偏振光入射至界面，其反射光和折射光仍為線偏振光，但其振動方向要改變。一般情況下，反射光和折射光的振動方位角可由下式分別求出：(1.2-46)并且假設(shè)方位角的變化范圍是從-π/2到π/2利用菲涅耳公式可以直接得到(1.2-47)由于0≤θ1≤π/2，0≤θ2<π/2，所以有(1.2-48)(1.2-49)對于反射光，當(dāng)θ1=0或θ1=π/2，即正入射或掠入射時(shí)，(1.2-48)式中的等號成立，在一般入射角時(shí)，振動面遠(yuǎn)離入射面；對于折射光，當(dāng)θ1=0、即正入射時(shí)，(1.2-49)式中的等號成立，在一般入射角時(shí)，振動面轉(zhuǎn)向入射面。1.2.6全反射

1.反射波

如前所述，光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)(n1＞n2)時(shí)，產(chǎn)生全反射的臨界角θC滿足下述關(guān)系：(1.2-50)由該式可見，當(dāng)θ1＞θC時(shí)，會出現(xiàn)sinθ1＞n2/n1的現(xiàn)象，這顯然是不合理的。此時(shí)，折射定律n1sinθ1=n2sinθ2不再成立。但是，為了能夠?qū)⒎颇綉?yīng)用于全反射的情況，在形式上仍然要利用關(guān)系式為此，應(yīng)將cosθ2寫成如下的虛數(shù)形式：(1.2-51)有關(guān)cosθ2取虛數(shù)的物理意義及其取正號的原因，留在后面說明。將(1.2-51)式代入菲涅耳公式，得到復(fù)系數(shù)(1.2-52)(1.2-53)并且有(1.2-54)(1.2-55)

應(yīng)特別指出，在全反射時(shí)，反射光中的s分量和p分量的相位變化不同，它們之間的相位差取決于入射角θ1和二介質(zhì)的相對折射率n，由下式?jīng)Q定：(1.2-56)因此，在n一定的情況下，適當(dāng)?shù)乜刂迫肷浣铅?，即可改變Δj，從而改變反射光的偏振狀態(tài)。圖1-33菲涅耳菱體例如，圖1-33所示的菲涅耳菱體就是利用這個(gè)原理將入射的線偏振光變?yōu)閳A偏振光的。對于圖示之玻璃菱體(n=1.51)，當(dāng)θ1=54°37′(或48°37′)時(shí)，有Δj=45°。因此，垂直菱體入射的線偏振光，若其振動方向與入射面的法線成45°角，則在菱體內(nèi)上下兩個(gè)界面進(jìn)行兩次全反射后，s分量和p分量的相位差為90°，因而輸出光為圓偏振光。

2.衰逝波當(dāng)光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)，并在界面上發(fā)生全反射時(shí)，透射光強(qiáng)為零。這就有一個(gè)問題：此時(shí)在光疏介質(zhì)中有無光場呢?

更深入地研究全反射現(xiàn)象表明：在發(fā)生全反射時(shí)，光波場將透入到第二個(gè)介質(zhì)很薄的一層(約為光波波長)范圍內(nèi)，并沿著界面?zhèn)鞑ヒ欢尉嚯x，再返回第一個(gè)介質(zhì)。這個(gè)透入到第二個(gè)介質(zhì)中表面層內(nèi)的波叫衰逝波(倏逝波)?，F(xiàn)假設(shè)介質(zhì)界面為xOy平面，入射面為xOz平面，則在一般情況下可將透射波場表示為考慮到(1.2-51)式后，上式可改寫為(1.2-57)圖1-34衰逝波這是一個(gè)沿著z方向振幅衰減，沿著界面x方向傳播的非均勻波(圖1-34)，也就是全反射時(shí)的衰逝波。由此可以說明前面討論的正確性：只有cosθ2取虛數(shù)形式，(1.2-51)式取正號，才可以得到這個(gè)客觀上存在的衰逝波。

由(1.2-57)式可見，衰逝波沿x方向的傳播常數(shù)為(ktsinθ1)/n，因此，它沿x方向傳播的波長為(1.2-58)沿x方向傳播的速度為(1.2-59)式中，λ、v分別為光在第一個(gè)介質(zhì)中的波長和速度。

由(1.2-57)式還可看出，衰逝波沿x方向傳播，沿z方向衰減，且沿z方向的平均能流為零，其振幅沿z方向衰減。通常，定義衰逝波沿z方向衰減到表面振幅1/e處的深度為衰逝波在第二個(gè)介質(zhì)中的穿透深度。穿透深度z0很容易由求得，即(1.2-60)例如，n1=1.52,n2=1,θ1=45°時(shí)，z0=0.4λ。因此，衰逝波的穿透深度為波長的量級。進(jìn)一步的研究表明，發(fā)生全反射時(shí)，光由第一個(gè)介質(zhì)進(jìn)入第二個(gè)介質(zhì)的能量入口處和返回能量的出口處，相隔約半個(gè)波長，即如圖1-35所示，存在一個(gè)橫向位移，此位移通常稱為古斯—哈恩斯(Goos-Hanchen)位移。圖1-35古斯—哈恩斯位移

3.全反射現(xiàn)象應(yīng)用舉例

1)光纖傳光原理在光電子技術(shù)中，光纖通信和光纖傳感是非常重要的應(yīng)用領(lǐng)域，而在光纖中的傳光原理，正是基于全反射現(xiàn)象。光纖是如圖1-36所示的圓柱形光波導(dǎo)，由折射率為n1的纖芯和折射率為n2的包層組成，且有n1＞n2。當(dāng)光線在子午面內(nèi)由光纖端面進(jìn)入光纖纖芯，并以入射角θ射到纖芯和包層界面上時(shí)，如果入射角θ大于臨界角θC，將全反射回到纖芯中，并在纖芯中繼續(xù)不斷地全反射，以鋸齒形狀在光纖內(nèi)傳輸，直至從另一端折射輸出。根據(jù)全反射的要求，對于光纖端面上光線的入射角j，存在一個(gè)最大角jM，它可根據(jù)全反射條件，由臨界角關(guān)系求出：

3.全反射現(xiàn)象應(yīng)用舉例

1)光纖傳光原理在光電子技術(shù)中，光纖通信和光纖傳感是非常重要的應(yīng)用領(lǐng)域，而在光纖中的傳光原理，正是基于全反射現(xiàn)象。光纖是如圖1-36所示的圓柱形光波導(dǎo)，由折射率為n1的纖芯和折射率為n2的包層組成，且有n1＞n2。當(dāng)光線在子午面內(nèi)由光纖端面進(jìn)入光纖纖芯，并以入射角θ射到纖芯和包層界面上時(shí)，如果入射角θ大于臨界角θC，將全反射回到纖芯中，并在纖芯中繼續(xù)不斷地全反射，以鋸齒形狀在光纖內(nèi)傳輸，直至從另一端折射輸出。根據(jù)全反射的要求，對于光纖端面上光線的入射角j，存在一個(gè)最大角jM，它可根據(jù)全反射條件，由臨界角關(guān)系求出：(1.2-61)

當(dāng)j＞jM時(shí)，光線將透過界面進(jìn)入包層，并向周圍空間產(chǎn)生輻射損耗，因此，光纖不能有效地傳遞光能。通常將n0sinjM稱為光纖的數(shù)值孔徑(NA)，顯然，數(shù)值孔徑表示式為(1.2-62)式中稱為纖芯和包層的相對折射率差，一般光纖的Δ值為0.01~0.05。2)光纖液面計(jì)

利用全反射現(xiàn)象可以制成測量液面高度的光纖液面計(jì)，其原理結(jié)構(gòu)如圖1-37所示。光源發(fā)出的光由光纖耦合進(jìn)棱鏡，經(jīng)棱鏡全反射后由另一根光纖輸入光電探測器。當(dāng)液面在圖示AA′以下時(shí)，棱鏡處在空氣中，光在其底面上產(chǎn)生全反射，輸入到光電探測器中的光很強(qiáng)；當(dāng)液面上升到AA′以上時(shí)，全反射條件被破壞，進(jìn)入探測器的光將大大減弱。于是，可以通過進(jìn)入探測器光強(qiáng)的變化，測量出液面在AA′之上，還是在AA′以下。圖1-37光纖液面計(jì)原理圖1.3光波在金屬表面上的反射和折射

1.光波在金屬中的傳播設(shè)金屬是一種介電常數(shù)為ε、磁導(dǎo)率為μ，電導(dǎo)率為σ的均勻各向同性介質(zhì)，考慮到物質(zhì)方程J=σE，麥克斯韋方程(1.1-4)式可表示為對于頻率為ω的單色波，上式變?yōu)?1.3-1)(1.3-2)若令復(fù)數(shù)α為(1.3-3)上式可改寫為(1.3-4)

由于金屬中的電導(dǎo)率σ很大，即使某時(shí)刻存在電荷密度ρ，也會很快地衰減為零。因此，可視金屬中的電荷密度ρ=0。這樣，采用類似1.1節(jié)中的推導(dǎo)過程，可得金屬中光波所滿足的波動方程為(1.3-5)這兩個(gè)波動方程與(1.1-12)式的差別在于以復(fù)數(shù)值mea代替了me。對于金屬中的單色平面光波，其電場表示式為式中，k0為波矢方向的單位矢量；k為“復(fù)波數(shù)”，且(1.3-6)(1.3-7)若令(1.3-8)則(1.3-9)該是金屬中的復(fù)折射率。如果將寫成實(shí)、虛部形式可解得(1.3-11)(1.3-10)(1.3-12)于是，金屬中的單色平面光波電場表示式為(1.3-13)這說明，在金屬中傳播的單色平面光波是一個(gè)衰減的平面波，n′是光在金屬中傳播時(shí)的折射率，n″是描述光在金屬中傳播時(shí)衰減特性的量，它們都是光頻率ω的函數(shù)。

2.光在金屬表面上的反射和折射對于光在金屬表面上的反射和折射，其討論方法與電介質(zhì)界面的情況相同。如圖1-38所示，設(shè)z=0平面為分界面，上半空間為空氣，下半空間為金屬。首先討論s分量的反射、折射特性。設(shè)空氣中入射光的電場表達(dá)式為

z≥0(1.3-14)圖1-38金屬表面的反射和折射相應(yīng)的反射光和金屬中折射光的電場形式為z>0z<0(1.3-15)按照與1.2節(jié)類似的步驟，可以得到反射光、折射光的方向關(guān)系：(1.3-17)由于k為復(fù)數(shù)，所以θt也為復(fù)數(shù)。~(1.3-16)若設(shè)金屬中折射光波矢分量的大小為所以(1.3-18)則由(1.3-17)式，應(yīng)為實(shí)數(shù)，且有為方便起見，將表示成如下復(fù)數(shù)形式則金屬中的折射光電場表示式可寫為(1.3-19)這時(shí)，菲涅耳公式仍然成立，只是θt為復(fù)數(shù)角度。由(1.2-20)式有(1.3-20)于是，金屬中的折射光電場表示式為(1.3-21)上式說明，金屬中的折射光是一個(gè)沿－z方向衰減的非均勻波，相應(yīng)于z=常數(shù)的平面為等振幅面，滿足的平面為等相位面，如圖1-39所示。由(1.3-21)式還可以看出，在界面上的任意點(diǎn)、任意時(shí)刻，折射光與入射光都相差一個(gè)相位jts。圖1-39金屬中的折射波對于金屬良導(dǎo)體(σ/εω>>1)，由上面有關(guān)的計(jì)算公式可得(1.3-22)定義光波振幅衰減到表面振幅1/e的傳播距離為穿透深度，則由上式及(1.3-21)式，穿透深度為(1.3-23)例如，對于銅，m=m0=4p×10-7H/m，s≈5.9×107(W·m)，如果光波頻率ν=5×1014Hz(黃光)，可算得

至于由金屬表面向空氣中的反射波，由于波矢k(r)為實(shí)數(shù)值，因而它是按照反射定律(θr=θi)傳播的均勻波(等振幅面與等相位面一致)。不過，由于rs為復(fù)數(shù)值，(1.3-24)所以，在界面上的反射波與入射波也相差一個(gè)相位jrs。上面給出的jts和jrs除與入射角θi有關(guān)外，還與

有關(guān)，也即與金屬的物質(zhì)常數(shù)ε、μ、σ以及光的頻率ω有關(guān)。對于p分量的反射、折射特性，亦可作同樣的討論，反射系數(shù)也是復(fù)數(shù)值但是，由于jrp與jrs不同，因此金屬表面的反射將改變?nèi)肷涔獾钠駪B(tài)。若入射光為線偏振光，其振動面與入射面間有一定的夾角，則由于反射光的s分量和p分量之間有一個(gè)相位差Δj=jrp-jrs，使得反射光變成橢圓偏振光。對于橢圓偏振光的參數(shù)進(jìn)行測量，可以確定出金屬材料的復(fù)折射率

，從而可求出ε、μ、σ等物質(zhì)常數(shù)。(1.3-25)

金屬界面的反射率公式與介質(zhì)情況相同，只是折射率應(yīng)由復(fù)折射率替代。例如，光波垂直入射到空氣-金屬界面時(shí)，反射率公式為(1.3-26)若將 代入上式，則有(1.3-27)表1-1列出了一些金屬材料對于鈉黃光的折射率和反射率數(shù)值。表1-1金屬的光學(xué)常數(shù)(λ=0.5893μm)

3.金屬表面反射的頻率特性上面指出，金屬與各向同性介質(zhì)的主要差別是有很大的電導(dǎo)率σ，根據(jù)電子理論的觀點(diǎn)，這種電導(dǎo)率起因于金屬中有密度很大的自由電子(約1022/cm-3)。當(dāng)光照射到清潔磨光的金屬表面時(shí)，自由電子將在光電磁場的作用下強(qiáng)迫振動，產(chǎn)生次波，這些次波構(gòu)成了很強(qiáng)的反射波和較弱的透射波，并且這些透射波將很快地被吸收掉。

由于不同金屬所具有的自由電子密度不同，因而反射光的能力不同。一般說來，自由電子密度越大(電導(dǎo)率越大)，反射本領(lǐng)越大。對于同一種金屬，由上面的分析已經(jīng)看出，入射光頻率(波長)不同，反射率也不同。頻率較低的紅外線主要對金屬中的自由電子發(fā)生作用，而頻率較高的可見光和紫外光可對金屬中的束縛電子發(fā)生作用。由于束縛電子本身的固有頻率正處在可見光和紫外光區(qū)，它將使金屬的反射能力降