2023學年上海七年級數(shù)學下學期重難點講義第16講-等邊三角形(含詳解)

第14講.等邊三角形癖學習目標.理解等邊三角形是特殊的等腰三角形，是軸對稱性圖形；.掌握等邊三角形的性質，能夠較熟練地利用“等邊對等角”及有關特征解決相關問題;動探索動探索.等邊三角形性質有哪些?.等邊三角形的判定：小練習TOC\o"1-5"\h\z.延長等邊44BC的邊BC到￡）,使CO=BC,那么//8。是（ ）A、直角三角形 B、銳角三角形C、鈍角三角形 等腰三角形.如圖，在/Z8C中，ZC=120°,NA=45。，。在8c上，直線AO將這個三角形分成兩個等腰三角形，則NCD4的度數(shù)是（ ）.下列說法中錯誤的是（ ）A、等腰三角形是銳角三角形 8、等腰直角三角形是直角三角形C、等邊三角形是等腰三角形 。、等邊三角形是銳角三角形.。是等邊邊4c上一點，ZACE=ZABD,CE=BD,則是（ ）A、鈍角三角形B、直角三角形 C、任意等腰三角形。、等邊三角形

.如圖，44BC和/COE均為等邊三角形，A、。在同一直線上，且/EB￡）=62。，則NAEB的度數(shù)是（ ）A、112° 8、122°C、132° 。、128°精講提升例1.如圖，A、B、C三點在一直線上，分別以A8、BC為邊在AC同側作等邊448。和等邊4BCE,聯(lián)結AE,CDo問題1：試說明AE=CQ的理由。試一試：.如圖把△8CE繞點B順時針旋轉，如下圖，當A、B、C不在一條直線上時，試說明AE=CO的理由

.如圖把ABCE繞點8逆時針旋轉，如下圖，使E落在邊8。上，試說明4E=CO的理由.如圖把A8CE繞點8逆時針旋轉，如下圖，使C落在邊AB上，試說明4E=CO的理由問題5：如下圖，A、B、C三點在一直線上，分別以AB、8c為邊在AC同側作等邊448。和等邊/8CE,聯(lián)結AE,CD,MN,判定△M8N的形狀以及MN和AC的位置關系。D例2.如圖，在^ABC中，已知=A。，點￡）、E、尸分別在邊BC、AC.ABL,且BD=CE,AFDE=ZB.（1）說明△BFD與aCOE全等的理由.（2）如果△A8C是等邊三角形，那么△DE尸是等邊三角形嗎？試說明理由.例3.如圖，。為等邊448C內一點，DB=DA,BE=AB,NDBE=NDBC,求N8EO的度數(shù)。（2021?上海市風華初級中學七年級期末）下列說法中，正確的有（ ）①都含有70。的兩個直角三角形一定全等；

②都含有100。的兩個等腰三角形一定全等；③底邊相等的兩個等腰三角形一定全等；④邊長都為10cm的兩個等邊三角形一定全等；⑤如果兩個等腰三角形的腰長相等，且一腰上的高與另一腰的夾角也恰好相等，那么這兩個等腰三角形全等.A.0個 B.I個 C.2個 D.3個（2020?上海市第十中學七年級階段練習）在下列命題中：①有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個外角都相等的三角形是等邊三角形.正確的命題有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個（2021?上海市文來中學七年級期中）.如圖所示，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，下列結論：①AE=CD：②BF=BG；③BH平分NAHD：④NAHC=60。；⑤4BFG是等邊三角形；⑥FG〃AD,其中正確的有（ ）5個65個6個（2020?上海市徐匯中學七年級階段練習）如圖，將邊長為6cm的等邊AA8C沿8c邊向右平移得到AOEF.平移后，如果四邊形ABFO的周長是22cm,那么平移的距離應該是（2021?上海徐匯?七年級階段練習）如圖，三角形COO和三角形A08是等邊三角形，三角形BOD繞點、。順時針旋轉后得三角形AOC,ZBAC為45度，則NEBA=_度.（2021?上海市培佳雙語學校七年級期中）用一根長12cm的鐵絲圍成一個等邊三角形，那么這個等邊三角形的邊長為—cm.（2019?上海浦東新?七年級期末）已知408=30。，點尸在NAQB的內部，點￡與點尸關于OB對稱，點巴與點P關于。4對稱，若。尸=5,則《6=.（2019?上海市民辦新竹園中學七年級期中）在^ABC中，NC=60。,BC=6,AC=4,AD是高,將^AC。沿著AD翻折，點C落在點E上，那么BE的長是；（2018.上海?華東理工大學附屬中學七年級階段練習）在同一平面內，將一副直角三角板ABC和EDF如圖放置（/C=60。，NF=45。），其中直角頂點D是BC的中點，點A在DE上，則/CGF=（2021?上海嘉定?七年級期末）在等邊三角形ABC的兩邊A8、AC所在直線上分別有兩點M、N,尸為AABC外一點，且NMPN=60,ZBPC=120,BP=CP.探究；當點用、N分別在直線AB、AC上移動時，BM,NC,MN之間的數(shù)量關系.

圖① 圖② 圖③(1)如圖①，當點"、N在邊AB、AC上，且=時，試說明M/V=BM+QV.(2)如圖②，當點M、N在邊AB、AC上，且尸MhPN時，MN=BM+CN還成立嗎?答：(請在空格內填“一定成立”“不一定成立'’或"一定不成立”).(3)如圖③，當點例、N分別在邊48、C4的延長線上時，請直接寫出BM,NC,MN之間的數(shù)量關系.(2021?上海市向東中學七年級期末)如圖，在等邊△ABC中，邊A8=6厘米，若動點尸從點C開始，按CtBtA—C的路徑運動，且速度為1厘米/秒，設點P的運動時間為秒.(1)當仁3秒時，判斷AP與8c的位置關系，并說明理由.(2)當△P8C的面積為△ABC面積的一半時，求f的值.(3)另有一點。，從點C開始，按C-AtBtC的路徑運動，且速度為1.5厘米/秒，若P、Q兩點同時出發(fā)，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動.當f為何值時，直線尸Q把^ABC的周長分成相等的兩部分.

（2021?上海市市西初級中學七年級期末）在aABC中，ZA=9O°,ZBCA=30°,以BC、AC為邊向aABC外作等邊ABCD和等邊aACE.（1）如圖1,連接A。、BE,AO與BE相交于點O.圖1①說明AD=8E的理由.②°.（直接填答案）（2）如圖2,連接OE,交BC于點F,。F與E尸相等嗎？為什么？圖2（2021?上海市培佳雙語學校七年級期中）如圖，已知。是等邊三角形ABC內一點，D是線段8。延長線上一點，且OD=OA,ZAOB=120°,求N3DC的度數(shù).、 課后作業(yè)（2021.上海市久隆模范中學七年級期末）如圖，“103是△CO。繞點。逆時針方向旋轉TOC\o"1-5"\h\z60。后所得的圖形，點C恰好在A8上，NAO￡>=130。，則ND的度數(shù)是（ ）.A.40° B.50° C.60° D.70°（2021?上海閔行?七年級期末）如圖，已知點8、C、E在一直線上，ABC.aDCE都是等邊三角形，聯(lián)結4E和BZ）,AC與8。相交于點凡AE與OC相交于點G,下列說法不一定正確的是（ ）A.BD=AEB.AF=FDC.EG=FD D.FC=GC（2019?上海長寧?七年級期末）下列所敘述的圖形中，全等的兩個三角形是（ ）A.含60。角的兩個直角三角形 B.腰對應相等的兩個等腰三角形C.邊長均為5厘米的兩個等邊三角形 D.一個鈍角對應相等的兩個等腰三角形（2021.上海市西南模范中學七年級期末）如圖，已知等邊aABC中，點。為邊BC上一點,延長AC至點￡,使得CE=BD,聯(lián)結ED并延長交邊AB于點F,聯(lián)結AD,若ZDAB=a,則NE的度數(shù)為（用含a的式子表示）.c./（2021?上海楊浦?七年級期末）如圖，已知直線4〃4,等邊三角形ABC的頂點4C分別在直線4、4上，如果邊A8與直線4的夾角Nl=26。，那么邊BC與直線4的夾角N2= &.（2021?上海閔行?七年級期末）在“BC中，如果AB=AC,N4=NC,那么“ABC的形狀為.（2021?上海浦東新?七年級期末）在RdA8C中，ZC=90°,將這個三角形折疊，使點B與點A重合，折痕交邊A8于點M,交BC于點N,如果BN=2NC,那么NABC= 度.（2021?上海?七年級期末）若把一個邊長為2厘米的等邊IBC向右平移a厘米，則平移后所得三角形的周長為 厘米.（2018?上海金山?七年級期末）如圖，已知aABC是等邊三角形，。為BC延長線上一點,CE平分NAC￡>,CE=BD,AD=1,那么AE的長度是.

(2021?上海市久隆模范中學七年級期末)如圖，在等邊三角形48c中，D、E分別是邊AB、AC上的動點且4)=CE,連接。C、BE,記交點為尸,試問。C、BE所成的NBFC的大小有無變化？說明理由.(2021?上海市徐匯中學七年級期末)如圖，點。是等邊△ABC邊B4延長線上一點,BC//AE,且M=聯(lián)結C。、CE.(1)試說明：ABOC與ZiAEC全等的理由.(2)試說明：△CCE是等邊三角形的理由.

(2021.上海?華東理工大學附屬中學七年級期末)如圖，N1=N2,AD=AE,ZB=ZACE,且8、C、。三點在一條直線上，若NB=60。.(I)aBAQ與VC4E是否全等，請說明理由.(2)aABC是否是等邊三角形，如果是.請說明理由.(3)CE=AC+C￡>是否成立，如果成立請說明理由.(2020.上海外國語大學閔行外國語中學七年級期末)如圖，已知，AABC和AADE都是等邊三角形，連接BD、CE.(1)說明8E>=CE的理由；(2)延長BD,交CE于點F,求NBFC的度數(shù).

如圖，等邊△ABC中，點。在邊AC上，CE//AB,且CE=A￡>,(1)△OBE是什么特殊三角形，請說明理由.(2)如果點。在邊AC的中點處，那么線段與OE有怎樣的位置關系，請說明理由.第14講.等邊三角形癖學習目標.理解等邊三角形是特殊的等腰三角形，是軸對稱性圖形；.掌握等邊三角形的性質，能夠較熟練地利用“等邊對等角”及有關特征解決相關問題;工動探索（以提問的形式回顧）工動探索（以提問的形式回顧）.等邊三角形性質有哪些？（1）具備等腰三角形的左右性質（2）等邊三角形的三條邊都相等，三個內角都等于60。.等邊三角形的判定：（1）三條邊相等的三角形是等邊三角形（2）三個內角相等的三角形是等邊三角形（3）有一個內角是60。的等腰三角形是等邊三角形小練習.延長等邊AABC的邊BC到D,使CO=BC,那么AABD是（ ）A、直角三角形B、銳角三角形 C、鈍角三角形 。、等腰三角形.如圖，在中，ZC=120°,/A=45。，。在上，直線4。將這個三角形分成兩個等腰三角形，則NCD4的度數(shù)是（ ）3.下列說法中錯誤的是（3.下列說法中錯誤的是（ ）A、A、等腰三角形是銳角三角形8、等腰直角三角形是直角三角形C、等邊三角形是等腰三角形 。、等邊三角形是銳角三角形.。是等邊/Z8C邊AC上一點，ZACE=ZABD,CE=BD,則是（ ）小鈍角三角形 B、直角三角形C、任意等腰三角形￡＞、等邊三角形.如圖，/48C和/CZJE均為等邊三角形，A、E、。在同一直線上，且NE8O=62。，則NAEB的度數(shù)是（ ）A、112°B、122°C、132° 。、128°A參考答案；1、A；2、B；3、A；4、D；5、B（采用教師引導，學生輪流回答的形式）例1.如圖，A、B、C三點在一直線上，分別以AB、BC為邊在AC同側作等邊448。和等邊4BCE,聯(lián)結AE,CDa問題1：試說明AE=CD的理由。解析：證明//跖絲/。8c（SAS）試一試：.如圖把ABCE繞點8順時針旋轉，如下圖，當A、B、C不在一條直線上時，試說明AE=C￡）的理由

解析：證明AABE^ADBC(SAS).如圖把△BCE繞點8逆時針旋轉，如下圖，使E落在邊80上，試說明4E=C。的理由解析：證明 (SAS).如圖把△BCE繞點8逆時針旋轉，如下圖，使C落在邊AB匕試說明4E=C。的理由解析：證明448f1如。8c(SAS)問題5：如下圖，A、B、C三點在一直線上，分別以48、8c為邊在AC同側作等邊和等邊/8CE,聯(lián)結A￡,CD,MN,判定△MBN的形狀以及MN和AC的位置關系。解析：先證明 （SAS）得至ijN8AE=/8CC,再證明//BA/絲/￡）8N（4SA）得至1]BM=BN,所以AMBN為等邊三角形,MN//AC例2.如圖，在^ABC中，已知AB=AC,點￡）、E、尸分別在邊BC、AC、ABk,且BD=CE,ZFDE=ZB.（1）說明△BFD與△COE全等的理由.（2）如果△ABC是等邊三角形，那么△。石尸是等邊三角形嗎？試說明理由.解：（1）記N￡DC=N1,ZDFB=Z2.因為NFDC=N2+N8（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和）,即Zl+NFDE=N2+NB.又因為N/DE=N8（已知），所以N1=N2（等式性質）.因為AB=AC（己知），所以4=NC（等邊對等角）.在^BFD和△CDE中,Z1=N2,NB=NC,8O=CE（已知）,所以△BFD經(jīng)ACDE（A4S）,（2）因為△BFD^^CDE,所以叱=DE（全等三角形的對應邊相等）.因為△ABC是等邊三角形（已知），所以NB=60（等邊三角形的每個內角等于60。）.因為= （已知），所以NEOE=60（等量代換）.所以△DEF是等邊三角形（有一個內角等于60、的等腰三角形是等邊三角形）.例3.如圖，。為等邊/A8C內一點，DB^DA,BE=AB,NDBE=NDBC,求/BEC的度數(shù)。解析：聯(lián)結OC,先證明44。絲/8CZ）（SSS）得到NACZ）=/8CZ）=30。再證明/E5OZ/C8。（SAS）得到/8EO=/8CC=30。（2021?上海市風華初級中學七年級期末）下列說法中，正確的有（ ）①都含有70。的兩個直角三角形一定全等；②都含有100。的兩個等腰三角形一定全等；

③底邊相等的兩個等腰三角形一定全等；④邊長都為10cm的兩個等邊三角形一定全等；⑤如果兩個等腰三角形的腰長相等，且一腰上的高與另一腰的夾角也恰好相等，那么這兩個等腰三角形全等.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【答案】C【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法判斷即可得到結果.【詳解】解：①都含有70。的兩個直角三角形不一定相等，因為沒有對應邊相等，所以①錯誤：②都含有100°的兩個等腰三角形不一定相等，因為沒有對應邊相等，所以②錯誤：③底邊相等的兩個等腰三角形不一定相等，因為沒有對應角相等，所以③錯誤；④邊長都為10cm的兩個等邊三角形一定全等；因為根據(jù)SSS或44s或SAS或ASA可以判定兩個三角形全等，所以④正確；⑤如果兩個等腰三角形的腰長相等，且一腰上的高與另一腰的夾角也恰好相等，那么這兩個等腰三角形全等.因為根據(jù)條件可以得出兩個等腰三角形的底角，頂角對應相等，再根據(jù)SAS或AAS或ASA可以判定兩個三角形全等，所以⑤正確；所以正確的有④⑤這2個.故選：C.【點睛】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵.（2020?上海市第十中學七年級階段練習）在下列命題中：①有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個外角都相等的三角形是等邊三角形.正確的命題有（）4個【答案】C4個【答案】C3個2個1個【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質和定義，可得：有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形：三個內角都相等的三角形為等邊三角形：再由中線的性質和三角形內角和的定義可解答本題.【詳解】解：①因為外角和與其對應的內角的和是180°,已知有一個外角是120°,即是有一個內角是60。，有一個內角為60。的等腰三角形是等邊三角形.該結論正確；②兩個外角相等說明該三角形中兩個內角相等，而等腰三角形的兩個底角是相等的，故不能確定該三角形是等邊三角形.該結論錯誤；③等腰三角形的底邊上的高和中線本來就是重合的，“有一邊”可能是底邊，故不能保證該三角形是等邊三角形.該結論錯誤；④三個外角都相等的三角形是等邊三角形，說法正確，正確的命題有2個，故選：C.【點睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關犍是靈活運用的等邊三角形的判定方法解決問題.（2021?上海市文來中學七年級期中）.如圖所示，已知△ABC和△BDE都是等邊三角形，下列結論：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分NAHD；@ZAHC=60°；⑤ABFG是等邊三角形；⑥FG〃AD,其中正確的有（ ）ar nA.3個 B.4個 C.5個 D.6個【答案】D【解析】【詳解】:△ABC與ABDE為等邊三角形，/.AB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,.\ZABE=ZCBD,即AB=BC,BD=BE,ZABE=ZCBD.".△ABE^ACBD,.'.AE=CD,ZBDC=ZAEB,又；ZDBG=ZFBE=60°,.,.△BGD^ABFE,ABG=BF,ZBFG=ZBGF=60°,???△BFG是等邊三角形，AFG//AD,VBF=BG,AB=BC,ZABF=ZCBG=60°,/.△ABF^ACGB,.\ZBAF=ZBCG,NCAF+NACB+NBCD=ZCAF+ZACB+ZBAF=60°4-60°=120°,??ZAHC=60°,YZFHG+ZFBG=120°+60°=180°,??B、G、H、F四點共圓，VFB=GB,AZFHB=ZGHB,??BH平分NGHF,??題中①②⑥都正確.故選D.點睛：本題主要考查對等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識點的理解和掌握,能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵.（2020?上海市徐匯中學七年級階段練習）如圖，將邊長為6cm的等邊△A3C沿邊向右平移得到AOER平移后，如果四邊形A8FO的周長是22cm,那么平移的距離應該是 cm.BE【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平移的性質，得AO=CF:根據(jù)等邊三角形的性質，得AB=BC=E尸=￡）F=6cm,結合題意，通過列一元一次方程并求解，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，得：AB=BC=EF=DF=6cm,AD=CF四邊形ABFD的周長=AB+BC+CF+OF+AO=2AD+18cm=22cmAD=2cm故答案為：2.【點睛】本題考查了等邊三角形、平移的知識；解題的關鍵是熟練掌握等邊三角形、平移的性質，從而完成求解.（2021?上海徐匯?七年級階段練習）如圖，三角形COO和三角形AOB是等邊三角形，三角形80￡＞繞點。順時針旋轉后得三角形AOC,ZBAC為45度，則NEBA=一度.【答案】75【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質以及旋轉的性質進行解答即可.【詳解】解：如圖，"OB是等邊三角形，,.^OAB=ZOBA=60P,繞點。順時針旋轉后得A40c,NOAC=NOBD,：.ZOAB+ZOBA=120°=ZCAB+ZABE,?.?NBAC=45°,:.^ABE=15°,故答案為：75.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質以及三角形內角和定理的應用，熟練掌握旋轉后的對應角相等是解本題的關鍵.（2021?上海市培佳雙語學校七年級期中）用一根長12cm的鐵絲圍成一個等邊三角形，那么這個等邊三角形的邊長為_cm.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的定義“三條邊都相等的三角形''即可求出答案.【詳解】根據(jù)等邊三角形的三條邊相等可知其邊長=12+3=4cm.故答案為：4.【點睛】本題考查等邊三角形的定義.掌握其定義是解答本題的關鍵.（2019?上海浦東新?七年級期末）已知NAO8=30。，點尸在NAOB的內部，點《與點P關于OB對稱，點八與點P關于。4對稱，若OP=5,則［￡=.【答案】5【解析】【分析】連接OP,根據(jù)軸對稱的性質可得OPi=OP=OP2,ZBOP=ZBOP,,ZAOP=ZAOP2,然后求出/PQP2=2NAOB=60。，再根據(jù)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形判定.【詳解】解：如圖，連接OP,,/Pi與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，.".OP|=OP=OP2,ZBOP=ZBOP|,ZAOP=ZAOP2,.?.OPi=OP2.ZP|OP2=ZBOP+ZBOP|+ZAOP+ZAOP：=2ZBOP+2ZAOP=2zaob,VZAOB=30°,.".ZPiOP2=60°,.?.△P1OP2是等邊三角形..,.PiP2=OP2=OP=5,故答案為：5.【點睛】本題考查了軸對稱的性質，等邊三角形的性質和判定，熟練掌握軸對稱的性質求出APiOP?的兩邊相等且有一個角是60。是解題的關鍵，作出圖形更形象宜觀.（2019.上海市民辦新竹園中學七年級期中）在4ABC中，ZC=60°,BC=6,AC=4,AD是高,將△AC。沿著40翻折，點C落在點E上，那么BE的長是；【答案】2【解析】【分析】先解直角AACD,得出CD=2,再根據(jù)翻折的性質得到DE=CD=2,那么由BE=BC-CD-DE即可求解.【詳解】如圖，在直角AACD中，；NADC=90°,NC=60°,.?.ZDAC=30°,CD=yAC=yx4=2.?將AACD沿著AD翻折，點C落在點E上，，DE=CD=2,：BC=6,BE=BCCD-DE=6-2-2=2.故答案是：2.【點睛】考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等.也考查了直角三角形的性質.（2018?上海?華東理工大學附屬中學七年級階段練習）在同一平面內，將一副直角三角板ABC和EDF如圖放置（/C=60。，ZF=45°）,其中直角頂點D是BC的中點，點A在DE上，貝l]/CGF=°.【答案】15?！窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)直角三角形斜邊中線等丁?斜邊一半證明△ADC是等邊三角形，得/EAG=120。,在△AEG中求出NAGE=15。即可解題.【詳解】解：由題得：AD是直角三角形斜邊中點，.\AD=-BC=CD=BD2ZC=60°,ZF=45°,???△ADC是等邊三角形,.,.ZDAC=60°,/.ZEAG=125°,ZCGF=ZAGE=15°.【點睛】本題考查了特殊的直角三角形，斜邊中線的性質，屬于簡單題，證明AADC是等邊三角形是解題關鍵.10.(2021?上海嘉定.七年級期末)在等邊三角形ABC的兩邊48、AC所在直線上分別有兩點M、N,尸為AABC外一點，且NM/W=60,ZBPC=120,BP=CP.探究：當點M、N分別在直線A3、AC上移動時，BM,NC,MN之間的數(shù)量關系.圖① 圖② 圖③⑴如圖①，當點M、N在邊AB、AC上，且=時，試說明MN=8M+CN.(2)如圖②，當點M、N在邊AB、AC上，且PMxPN時,MN= +CN還成立嗎？答：(請在空格內填“一定成立'“'不一定成立''或"一定不成立”).(3)如圖③，當點M、N分別在邊AB、C4的延長線上時，請直接寫出8M,NC,MN之間的數(shù)量關系.【答案】(I)見解析(2)一定成立(3)MN=CN-BM,理由見解析【解析】【分析】(1)由PM=PN,ZMPN=60°,可證得AM/W是等邊三角形，又由AABC是等邊三角形，CP=BP,易證得RmBPM冬RtACPN,然后由直角三角形的性質，即uj"求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關系BM+NC=MN；(2)在CN的延長線上截取C”=8M,連接可證△尸8M四△尸C”,即可得PM=P〃，易證得NCnV=NMPN=60。，則可證得△MPNgZX/YPN,然后由全等三角形的性質，即可得結論仍然成立.(3)在AC上截取CK=BM,連接PK,分別證明AP3M0APCK和AAWWAAHW即可得到結論■:PM=PN,/MPN=6。。,是等邊三角形，AABC是等邊三角形，:.NA=NA8C=NAC8=60。，■:BP=CP,ZBPC=120°,ZPBC=ZPCB=-(180°-NBPC)=-(180°-l20°)=30°,2 2:.ZMBP=Z/VCP=60o+30o=90°,:PM=PN,BP=CP,：./?/△BPMgRlACPN(HL),/.ZBPM=ZCPN=-(120°-60°)=30°,BM=CN,2:?PM=2BM,PN=2CN,：.MN=2BM=2CN=BM+CN；延長AC到〃，使CH=BM,連接PH，山(1)知NPBM=NPCN=90：???/PCH=180-4PCN=90°,："PMM=/PCH,在AP3M和APC77中,PB=PC/PBM=NPCE,BM=CH/.APfiM^APCW(SAS),PM=PH,ZBPM=ZCPH,.?4BPM+4NPC=4BPC-4MPN=120-60=60,/.NCPH+4NPC=4HPN=60,：,AHPN=^MPN,在AWW和AWPN中，PM=PH/MPN=NHPN,PN=PN?.AWWgM尸N(SAS),\MN=HN,；HN=CH+CN=BM+CN、:.MN=BM+CN.故答案為：一定成立.(3)MN=CN-BM在AC上截取CK=3M,連接PK,P在AP8M和APCK中,PB=PCNPBM=NPCK=9d,BM=CKPM=PK,々PM=NCPK、??NBPM+NBPN=4MPN=60，?.NCPK+NBPN=60°,??ZNPK=ZBPC-(NC尸K+ZBPN)=120-60=60°,.\ZNPK=^NPM,在A/VPK和&WW中，PN=PN,/NPK=ZNPM,PK=PM??.ANPK^^NPM(SAS),：.KN=MN,；KN=CN-CK=CN-BM,：.MN=CN-BM.【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質等知識.解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用與輔助線的作法.11.(2021?上海市向東中學七年級期末)如圖，在等邊△A8C中，邊A8=6厘米，若動點尸從點C開始，按 的路徑運動，且速度為1厘米/秒，設點P的運動時間為秒.(1)當仁3秒時，判斷AP與3C的位置關系，并說明理由.(2)當APBC的面積為AABC面積的一半時，求，的值.(3)另有一點。，從點C開始，按C-AtBtC的路徑運動，且速度為1.5厘米/秒，若P、Q兩點同時出發(fā)，當P、。中有一點到達終點時，另一點也停止運動.當7為何值時，直線PQ把4ABC的周長分成相等的兩部分.【答案】(1)AP_LBC,證明見解析(2)9秒或15秒⑶/秒或個■秒【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質即可得到結論；(2)根據(jù)等邊三角形的性質和三角形的面積公式即可得到結論;(3)根據(jù)等邊三角形的性質和三角形的周長公式即可得到結論.解：當/=3秒時,CP=3x|=3(cm),,在等邊AABC中，43=6cm,:.BC=AB=6cm,???此時，P為BC的中點，.?.A?為等邊△A8C的中線，：.APA.BC；解：???由題意得：S“bc=；5.abc，...當尸為A8中點時，滿足題意，此時，P點運動路程為：8C+8P=6+3=9(cm),.'.P點運動時間為：97=9(秒)；當P為AC中點時，滿足題意，此時，P點運動路程為：BC+AB+AP=6+6+3=15(cm),???P點運動的時間為：15+1=15(秒)，???綜上，，的值為9秒或15秒；解：：點尸的速度為1厘米/秒，點。的速度為L5厘米/秒，.??山題意得；當0<Y4時，點尸在8c上，點。在AC上，PC+C12=/+1.5r=2.5/cm???尸C+CQ=g(A8+AC+8C)=9(cm),A2.5/=9,1o解得：/=y,符合0<f44：當4<r46時，點Q在A8上，點P在8c上，/.BP=(6-r)cm,BQ=(12—1.5z)cm,BP+BQ=-(AB+AC+BC)=9(cm).18.-.6-/+12-1.5r=9,解得：r=y,二不符合4<，46,舍去：當6<Y8時，P、。都在A8上，不符合題意；當8<f412時，點。在8c上，點P在A8上，.,.BP=(t—6)cm,BQ=(l.5t—12)cm,???BP+BQ=L(AB+AC+BC)=9(cm),J-6+1.5,-12=9,, 54~-解得:t=—,符合8W12,綜上，符合條件的r的值為：/秒或弓秒.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，動點問題的解決方法，用時間，表示出各時段的線段的長度列出方程求解是解題的關鍵.12.(2021?上海市市西初級中學七年級期末)在aABC中，NA=90。，ZBC4=3O°,以BC、AC為邊向aASC外作等邊△BCO和等邊aACE.(1)如圖1,連接A。、BE,AO與BE相交于點O.圖1①說明A￡)=8E的理由.②ZAOB=°.(直接填答案)(2)如圖2,連接QE,交BC于點F,OF與EF相等嗎？為什么？BA圖2【答案】(1)①見解析；②120⑵DF=EF,理由見解析【解析】【分析】(1)①在等邊三角形△BCD和aACE中，CB=CD,CA=CE,NBCD=NACE=60。，NBCD+ZACB=ZACE+ZACB,即ZDCA=NBCE,證得△C￡>AaACBE,得到AD=BE.②設AD與BC交于H,由2X84當ACBE得到ZCDA=NCBE,ZCDA+NDHC+NDCB=180°,NCBE+ZLBHA+NBOH=180°,NDHC=NBHA,NBOH=NDCB=60°,得到NAO8=180°-Z.BOH=120°.(2)作EM_LAC交8c于M,交AC于M由于△BCD和aACE是等邊三角形，證得ZDCA=90°,CE=AE,得到NC￡M=30。，NENC=90P,ZACB=ZCEM,證得△CAB=4ECM,得CB=EM,CD=EM,ZDCA=ZENC=90°,CD//ME,DCF=ZEMF,△DCF=A￡A/F(AAS),得到￡)E=E/.解：①???△88和aACE是等邊三角形，：.CB=CD,CA=CE,ZBCD=AACE=9。,：.NBCD+ZACB=ZACE+ZACB,即N￡>G4=ZBCE,在^CDA和△CBE中，'CD=CB<ZDCA=NBCE,CA=CE：.Z\CDA=ACfiE(SAS),AD=BE.②設A￡）與8c交于H,如圖3,圖3圖3△CDAwACBE、：.NCDA=NCBE,'：ZCDA4-Z.DHC+ZDCB=180°,Z.CBE+/BHA+NBOH=180°,8HC=NBHA,：.Z.BOH=Z.DCB=60°,：.ZA05=180°-ABOH=120°.解：DF=EFx理由如下，過E作EM_LAC交8C于歷，交AC于N,如圖4,D C圖4???△88和dCE是等邊三角形，:?CD=CB,CA=CE=AE9NDCB=ZAEC=ZACE=3。,、：ZACB=30°,ZDC4=ZACB+^DCB=90°,ZECM=ZACE+ZACB=90°,???￡M_LAHMCE=AE,：.ZCEM=-ZAEC=30°,ZE/VC=90°,2ZACB=NCEM,在△CAB和aECA/中,Z.CAB=ZECM=90°< CA=EC ,ZACB=NCEM：.△CA5SECM(ASA),:.CB=EM,CD=EM,'：ZDCA=Z.ENC=90°,二CD//ME,ZDCF=Z.EMF,在aDCF和AEMF,ZDFC=ZEFM,乙DCF=4EMF,CD=ME：.4DCF=A￡AfF（AAS）,DF=EF.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具：在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.（2021?上海市培佳雙語學校七年級期中）如圖，已知。是等邊三角形ABC內一點，。是線段80延長線上一點，且O￡）=Q4,ZAOB=120°,求N80C的度數(shù).【答案】60。【解析】【分析】先證AAO。是等邊三角形，得出A4BC是等邊三角形，再證AABO/AACD,得ZAOB=ZADC^\2QP,從而得出NBOC的大小.

【詳解】VZAOB=120°,/.ZAOD=60°VAO=OD,???△AOD是等邊三角形AZH4C=60°,AB=AC??.△ABC是等邊三角形，ZBAC=60°,AB=AC：.ZBAC=ZOAD,/.NBAO+NOAC=NOAC+/CAD/.ZBAO=ZCAD在^BAO和乙CAD中AO=ADZBAO=ZCADAB=AC:.ZAOB=ZADC=\20°4BDC=ZADC-ZADO=60【點睛】本題考查全等的證明和等邊三角形的性質和證明,解題關鍵是證AABOgAACD?課后作業(yè)課后作業(yè)（2021?上海市久隆模范中學七年級期末）如圖，是△COD繞點。逆時針方向旋轉).60。后所得的圖形，點C恰好在上，ZAOD=130°,則ND的度數(shù)是（).40°50°C.640°50°C.60°D.70°【答案】【解析】【分析】先根據(jù)旋轉的性質可得NAOC=60。,NA=NOC2QA=OC,再根據(jù)等邊三角形的判定與性質可得NA=60。，從而可得NOCD=60。，然后根據(jù)角的和差可得NCOD=70。，最后根據(jù)三角形的內角和定理即可得.【詳解】解：山旋轉的性質得：ZAOC=60°,ZA=ZOCD,OA=OC,.'.L.AOC是等邊三角形，.-.Z4=60o,ZOCD=60°,vZAOD=130°,乙COD=ZAOD-ZAOC=70°,.-.ZD=180°-ZCOD-ZOCD=180o-70°-60o=50°,故選：B.【點睛】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、三角形的內角和定理等知識點，熟練掌握旋轉的性質是解題關鍵.（2021?上海閔行?七年級期末）如圖，己知點8、C、E在一直線上，aABC、aDCE都是等邊三角形，聯(lián)結AE和8。，AC與50相交于點尸，AE與OC相交于點G,下列說法不一定正確的是（ ）A.BD=AE B.AF=FDC.EG=FDD.FC=GC【答案】B【解析】【分析】利用等邊三角形的性質和“SAS'證明△ACEgABCQ可得A選項；可利用“AS4”證明△CEGgaCDFuj■得C、D選項，利用排除法求解即可.【詳解】解：：aABC、a￡>CE都是等邊三角形,/.AC=BC,ZACB=ZECD=60°,CE=CD,：.ZACB+ZACD^ZECD+ZACD,即NACE=/8C￡）,:.△ACE/LBCD（SAS）,...B￡）=AE,（故A正確）；:.NAEC=NBDC,又NACB=NECD=NAC￡>=60°,CE=CD,：.aCEG%aCDF（ASA）,：.EG=FD,（故C正確），F(xiàn)C=GC,（故D正確）由于B項不能由已知條件得到，故B錯誤，故選:B.【點睛】本題考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解答的關鍵.（2019?上海長寧?七年級期末）下列所敘述的圖形中，全等的兩個三角形是（ ）A.含60。角的兩個直角三角形 B.腰對應相等的兩個等腰三角形C.邊長均為5厘米的兩個等邊三角形 D.一個鈍角對應相等的兩個等腰三角形【答案】C【解析】【分析】綜合運用判定方法判斷.根據(jù)已知條件，結合全等的判定方法逐一驗證.【詳解】解：A.兩個含60。角的直角三角形，缺少對應邊相等，所以不是全等形；B.腰對應相等的兩個等腰三角形，夾角不一定相等，所以不是全等形；C.等邊三角形的每個內角都等于60。，所以邊長均為5厘米的兩個等邊三角形，各條邊相等，各個角也相等，是全等三角形：D.一個鈍角相等的兩個等腰三角形.缺少對應邊相等，不是全等形.故選C【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，還要找準對應關系.（2021?上海市西南模范中學七年級期末）如圖，已知等邊aABC中，點。為邊BC上一點，延長AC至點E,使得CE=BD,聯(lián)結ED并延長交邊AB于點F,聯(lián)結4C,若NDAB=a,則NE的度數(shù)為（用含。的式子表示）.【答案】600-a【解析】【分析】根據(jù)aABC為等邊三角形，得到A8=8C,NC4B=NB=NACB=60。，過點作￡W〃AC,則NDA?=NC4B=60°,則△DA?為等邊三角形，uj?證4V=C￡>,再證△DCE四△4VZ）,根據(jù)全等三角形的性質即可求解.【詳解】解：過點作￡>N〃AC,：aABC為等邊三角形，：.AB=BC,ZCAB=ZB=ZACB=60°,■:DN//BC,：.ZDNB=ZCAB=60P,:.ADNB為等邊三角形,:?DN=BD=BN,ZDA?=60°,ZAND=ADCE=180°-60°=120°,BC-BD=AB-BN,即AN=C￡),[DC=AN在aDCE和AAM)中，jZ.DCE=ZAND[CE=ND：.△OCE絲△4V￡>(S45),Z.E=ZADN,,/ZDAB=a,：.NE=ZADN=60°—a.【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質.本題的關鍵是做出輔助線構造等邊三角形.(2021?上海楊浦?七年級期末)如圖，已知直線等邊三角形48c的頂點4C分別在直線卜6上，如果邊AB與直線4的夾角Nl=26。，那么邊8c與直線4的夾角N2= 度.【答案】34【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質與等邊:角形的性質可得Nl+ZBAC+ZBCA+Z2=180°,繼而可得Nl+N2=60。，即可求得N2【詳解】解：?.?△ABC是等邊三角形，.-.ZBAC=ZBC4=60°.???直線”4,Z1+2BAC+NBCA+Z2=180°,/.Zl+Z2=l80°-60°-60°=60°,vZl=26o,.?.Z2=60°-26°=34°,故答案為：34.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、平行線的性質等知識；熟練掌握等邊三角形的性質和平行線的性質，證出Nl+N2=60。是解題的關鍵.（2021?上海閔行?七年級期末）在aABC中，如果AB=AC,ZA=ZC,那么IBC的形狀為.【答案】等邊三角形【解析】【分析】根據(jù)三個角相等的三角形是等邊三角形證明即可.【詳解】在aABC中，由AB=AC得NB=NC,又..Z=NC,二ZA=ZB=ZC,△ABC是等邊三角形.故答案為：等邊三角形.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，以及等邊三角形的判定，熟練掌握三個角相等的三角形是等邊三角形是解答本題的關鍵.（2021?上海浦東新?七年級期末）在用△ABC中，ZC=90°,將這個三角形折疊，使點8與點A重合，折痕交邊于點M,交BC于點M如果BN=2NC,那么NABC= 度.【答案】30【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質得到Nl=NB,NA=NB,求出N4VC=60。，再利用三角形的外角定理得N2=2/8,然后根據(jù)直角三角形的性質即可得到結論.【詳解】解：如圖,B上?將這個三角形折疊，使點8與點A重合，折痕交48于點M,交8c于點M，N1=NB,NA=NB,,:BN=2NC,：.AN=2NC,,.?ZC=90°,：.ZCAN=30°,：.ZANC=60°,VZ2=2ZB,.\ZB=30°,故答案為：30.【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即得到對應角相等，對應線段相等.也考查了含30度的直角三角形三邊的關系.（2021?上海?七年級期末）若把一個邊長為2厘米的等邊aABC向右平移。厘米，則平移后所得三角形的周長為 厘米.【答案】6【解析】【分析】平移不改變三角形的周長，求出原來的周長即可.【詳解】解：原三角形的周長是：2+2+2=6an,平移后的三角形周長不變，還是6?！?故答案是：6.【點睛】本題考查圖形的平行，解題的關鍵是掌握圖形平移的性質.（2018?上海金山?七年級期末）如圖，已知aABC是等邊三角形，。為BC延長線上一點,CE平分NAC￡>,CE=BD,AZ）=7,那么AE的長度是.:公BC D【答案】7【解析】【分析】先利用等邊三角形的性質得A8=AC,N8=NACB=60。，再根據(jù)角平分線的定義得到NACE=60。,然后根據(jù)“SAS”判斷AABO四△ACE,從而得到AE=4D=7.【詳解】：△ABC為等邊三角形，：.AB^AC,ZB=ZACB=60°,AZACD=120°.,：CE平分/AC。，，ZACE=-ZACZ>60°.2在△A8O和△ACE中，'AB=AC'："ZB=NACE,；.AABD^AACE,：.AE=AD=1.BD=CE故答案為7.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的互要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.也考查了等邊三角形的性質.（2021?上海市久隆模范中學七年級期末）如圖，在等邊三角形ABC中，3、E分別是邊A3、4c上的動點且AO=CE,連接。C、BE,記交點為F,試問。C、BE所成的NBFC的大小有無變化？說明理由.

B C【答案】N3FC的大小無變化，理由見解析.【解析】【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質可得AC=CB,ZA=N8C￡=60。，內根據(jù)三角形全等的判定定理證出aACD—CBE,根據(jù)全等:.用形的性質可得ZACD=NCBE,然后根據(jù)三角形的外角性質可得NB尸￡)=60。，由此即可得出結論.【詳解】解：N8FC的大小無變化，理由如下：??△ABC是等邊三角形，AC=CByZA=/BCE=60°,AC=CB在AACO和△CBE中，ZA=ZBCE=60°,AD=CE；aACD-CBE(SAS),?.ZACD=NCBE,?.ZBFD=NCBE+ZBCF=ZACD+ZBCF=/BCE=60°,?.ZBFC=180°-NBFD=120°,即NBFC的大小無變化.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、三角形全等的判定定理與性質等知識點，正確找出兩個全等三角形是解題關鍵.24.(2021?上海市徐匯中學七年級期末)如圖，點。是等邊AABC邊84延長線上一點，BC〃AE,且B￡)=AE,聯(lián)結CO、CE.

DEBDEB(1)試說明：△BOC與△AEC全等的理由.(2)試說明：△CCE是等邊三角形的理由.【答案】(1)理由見解析(2)理由見解析【解析】【分析】(1)證NE4C=NB和AB=AC=BC,得到△BZX?烏：(2)根據(jù)得到C￡>=AE,NBCD=ZACE,再證NC￡>E=NCE￡>=60。,則△COE為等邊三角形.解：???△A8C為等邊三角形，二AB