2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問(wèn)題（解析版）

利用導(dǎo)數(shù)解決一類整數(shù)問(wèn)題【題型歸納目錄】題型一:整數(shù)解問(wèn)題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離題型二:整數(shù)解問(wèn)題之直接限制法題型三:整數(shù)解問(wèn)題之虛設(shè)零點(diǎn)題型四，整數(shù)解問(wèn)題之必要性探路【典例例題】題型一，整數(shù)解問(wèn)題之分離參數(shù)、分離函數(shù)、半分離例1.已知函數(shù)/(工)=x—Inx—2.(1)求函數(shù)在(i,f(D)處的切線方程(2)證明：/(工)在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；(3)若對(duì)于任意的xC(1,+8),都有x\nx+x>k(x—1),求整數(shù)A;的最大值.【答案】(1切=-1；(2)見解析；(3)3.【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可切線；(2)先利用導(dǎo)數(shù)證明f(z)在(3,4)上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得證；(3)參變分離得kV辿葉三，令g(z)=2坦斗?■，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求gGr)在(1,+~)上的最小值，結(jié)合(2)中結(jié)論和隱零點(diǎn)的思維，即可得解.V/(x)=x—\nx—2,“⑴=-1，廣㈤=1-!，"3=0,；?f(x)在(1,—1)處的切線為y=-1;證明：??"(c)=]—Ino—2,?"(4)=1-3I當(dāng)ze(3,4)時(shí),r㈤=1一塌>0,.?J(z)在(3,4)上單調(diào)遞增，V/(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,/(4)=4-ln4-2=2-ln4>0,.?"(工)在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn).Vxlnx+x>fc(x—1),且工€(1,+co),..」x\nx4-x:.K< ：—,x—1令g(z)=歿中,則g，(工)=笠嗎『,工>1,X—I (re—1)^由(2)知，/(力=c-lni-2在(1,+8)上單調(diào)遞增，且在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為x0G(3,4),則/(co)=幽)-lug—2=0,

故當(dāng)：re(l,x0)時(shí),/(力vo,即d(力VO,g(x)在(l,x0)上單調(diào)遞減,當(dāng)ze（如+<?）時(shí)J?>0,即g，?>o,g（x）在（Xo,+<?）上單調(diào)遞增,?*-g3）min=g（的）:Tolnco+Xq3一?*-g3）min=g（的）:Tolnco+Xq3一1 ； =x0e（3,4）,&一J故整數(shù)k的最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，以及不等式問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.例2.已知函數(shù)/(6)=?/+Inx—(2+?)立，(aW0).(1)當(dāng)。=/時(shí),求函數(shù)/6)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程；(2)令尸(力)=時(shí)(n)—I2,若尸(力)<1-2g在IW(1,+8)恒成立，求整數(shù)a的最大值.(參考數(shù)據(jù)：ln3V*,oln4V-7").47【答案】⑴①一2/-3=0;⑵3.【分析】I(1)當(dāng)。=彳時(shí)，得到/(￡)=2/+山1—43：,求得/'3)=4%+塌-4,得出廣6=1,且人1)=—2,結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.⑵把FQ)V1-2qt在(1,+8)轉(zhuǎn)化為aV*+'在(1,+8)恒成立，令力)二今山_，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的額單調(diào)性，零點(diǎn)的存在定理得到無(wú)(0在(1,血)上遞減，在(4,+8)上遞增，從而求得?！础?⑼.=而，即可求得整數(shù)a的最大值.【詳解】(1)(1)當(dāng)a=/時(shí)，可得/3)=2"+\nx-4。,則fr(x)=4%+-4,可得/'⑴=1,且/⑴=2+lnl-4=-2,即函數(shù)/(力在點(diǎn)(1,-2)處的切線的斜率k=1,所以切線方程為沙一(-2)=①一1,即①一y—3=0,函數(shù)/(%)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程力-g—3=0.(2)由F(x)=af(x)—x2=alnx—(2a+l)x,因?yàn)镕(x)<1—2ax在(1,+8)恒成立,即alnx—(2a+l)x<1—2ax在(1,+8)恒成立，即aV卡｝在:(1,+8)恒成立，,］ Inx---1令”⑼=4號(hào)，①>1,可得h'(x) ,Inx Inx令［Q)=Inc—十一1Q>1),可得［3)在(L+8)上單調(diào)遞增，且1(3)V0,1(4)>0,所以存在(3,4),使得￡(g)=lng-」--1=0,Xq從而h(x)在(l,x0)上單調(diào)遞減，在(叫,+8)上單調(diào)遞增，所以/i(x)min=h(x0)=憶：=?:"」=x0E(3,4),的+因?yàn)閍V在(1，+8)恒成立，所以aV/lQ)min=To所以整數(shù)a的最大值為3.例3.已知函數(shù)/(c)=x—\nx—2.(1)證明：/3)在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；(2)若對(duì)于任意的xG(1,+8),都有sins+工>k(a;—1),求整數(shù)k的最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)3.【分析】(1)先利用導(dǎo)數(shù)證明/(工)在(3,4)上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得證；(2)參變分離得kV辿葉三，令g(z)=辿空芋?，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求g(z)在(1,+8)上的最小值，結(jié)合(1)中結(jié)論和隱零點(diǎn)的思維，即可得解.【詳解】(1)證明：?."(％)=x-\nx—2,?"3)=1-!，當(dāng)He(3,4)時(shí),r(z)=1-^->0,在(3,4)上單調(diào)遞增，?17(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,/(4)=4-ln4-2=2-ln4>0,.?J(z)在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn).(2)解：Vxlnx+0>k(x—1),且0￡(1,4-oo),.t/x\nx+x..k< ：—,x—1人(、xlnx-I-xm，/、 ％—In，-2 、令gQ)=/工廠，則g3)=一(%_i)2，①>1，由(1)知，/3)=c—Ini—2在(1,+8)上單調(diào)遞增，且在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為例€(3,4),則/(x0)=xo-lnxo-2=O,故當(dāng)(1,的)時(shí),fQ)VO,即或力VO,g(c)在(l,x0)上單調(diào)遞減,當(dāng) (的,+8)時(shí)J(c)>0,即￡3)>0,g(rc)在(%+8)上單調(diào)遞增，.??9(球向,=9(諭=卻;?產(chǎn)="0cM?+&=亞€(3,4),“0J. <LoJ.:卡<9(H)min=工0€(3,4),故整數(shù)人的最大值為3.題型二:整數(shù)解問(wèn)題之直接限制法例4.已知偶函數(shù)/(工)滿足/(4+X)=/(4一工),且當(dāng)。e(0,4］時(shí)，/(X)=電磬，關(guān)于x的不等式產(chǎn)3)+時(shí)3)>0在［-200,200］上有且只有300個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】解：是偶函數(shù)，-。)=/3),v/(4+x)=/(4-x),"(8+x)=/(4-(4+x))=f(-x)=f(x),.?JQ)的周期為T=8.當(dāng)工e(o,4］時(shí),r(x)=--呼㈤.,X

.?.當(dāng)OVcV5時(shí),1f3)>0,當(dāng)?1?Va:V4時(shí),r?VO,：.f(x)在(O,y)上單調(diào)遞增，在(另4］上單調(diào)遞減.又/(1)=1112>0,/(4)=￥*=彗2>0,且/(工)是以8為周期的偶函數(shù)，:,當(dāng)工為整數(shù)時(shí)J(z)>0,?.?產(chǎn)(z)+43)>0在［-200,200］上有300個(gè)整數(shù)解，.?.產(chǎn)(0+時(shí)3)>0在(0,4］上有3個(gè)整數(shù)解,顯然這三個(gè)整數(shù)解為1,2,3,即f3)+a>0在(0,4］上有三個(gè)整數(shù)解1,2,3.弋翼:黑即1呼+q>0弋翼:黑即1呼+q>0131n2+a<Q，解得：VaW-31n24例5.已知函數(shù)/3)=6工一。立3>0),其中。€R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)試討論/Q)的單調(diào)性；(2)是否存在正整數(shù)Q,使得了(0>爐1111對(duì)一切。>0恒成立？若存在，求出q的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】解：(l)/r(x)=e1-a(x>0).①若aW1,則f\x)>0恒成立J(0在(0,+8)上單調(diào)遞增；②若Q>1,令fr(x)=0,則I=Ina,當(dāng)0VkVina時(shí)J'(n)VOJ(c)單調(diào)遞減；當(dāng)x>\na時(shí)，/'3)>0,/3)單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)Q&1時(shí)，/(力)在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，/3)在(O,lna)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.(2)要使/(c)=ex—az'/n/在(0,+8)上恒成立，則號(hào)—@?—lnz>0在(0,+8)上恒成立，令h{x)—號(hào)——lnx(x>0),則砥工)=色券+言二反論”迦.①當(dāng)a=2時(shí)，五'(/)=(七2)￡士),X由e，>工知，瓜工)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.:.”工)1nm=五(2)=竽-ln2-1>0,；.a=2滿足題意.②當(dāng)q>2時(shí)，當(dāng)2ViVq時(shí)，函數(shù)九3)的取值情況，,.*2<x<a,x-2>0,x—a<0.又。工>1,.工(0—2)。工>(X—a)x,即卅(x)>0,:.當(dāng)q>2時(shí)，h(x)在(2,a)上單調(diào)遞增.不妨取q=3,則函數(shù)八(⑹在(2,3)上單調(diào)遞增，:2VeV3,且fe(e)—e(2—.—1V0,???九3)>0不能恒成立.綜上所述，正整數(shù)a的最大值為2.例6.已知函數(shù)*0=%些(n>0),其中a€R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若函數(shù)/(⑼有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)是否存在正整數(shù)a,使得對(duì)一切工>0恒成立？若存在，求出a的最大值;若不存在.請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】解：(1萬(wàn)(工)=更產(chǎn)=爭(zhēng)一匹/'(工)=2/，令r(2：)>0,得工>1,令(3)<0,得0<3；<1,:.函數(shù)/(⑼在(0,1)上單調(diào)遞成，在(1,+8)上單調(diào)遞增，；J(H)min=/(l)=e-a,.??函數(shù)/(工)有兩個(gè)零點(diǎn)，/(1)V0,/.a的取值范圍為(e,+8)；(2)要使/(工)=e7axAzin工在(0,+8)上恒成立，即使與一旦一lna;>0在(0,+8)上恒成立，令h(x)=鼻一.-lnx(x>0),則八，3)=?！?多?二生三包X X Xcl、(X-2)(ex—x)①當(dāng)q=2時(shí)，〃(出)= ； ，由知無(wú)3)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增，???h(x)min=無(wú)⑵=今一ln2-1>0,4a=2時(shí)滿足題意；②當(dāng)q>2時(shí)，考查q>%>2時(shí)，函數(shù)h(c)的取值情況：,.,a>x>2,Ax—2>0,x—a<0,又e*>rc,.二3—2)ex>(x—a)x,即hf(x)>0,:.當(dāng)a>2時(shí),h(x)在(2,a)上單調(diào)遞增，取a=3,則函數(shù)h(x)在(2,3)上單增,2VeV3,且h-(e)=ec2—,—1V0,/.h(x)>0不能恒成立，綜上，Q的最大正整值為2.例7.已知集合A={①W+2x—3>0},集合8={x|x2-2ax—1<0,q>0}.(I)若q=1,求AD8；(H)若ACB中恰含有一個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解：(I)A={z|a2+2?-3>0}={x\x>1或iV-3},當(dāng)a=l時(shí)，由/—2%—140,解得：1—\/2&°&1+y/Q,，即B=[1—>\/2,1+a/2],/.ACIB=(1,1+V2];(!1),.,函數(shù)y=/(rr)=x2—2ax—1的對(duì)稱軸為x=a>0,/(0)=-lVO,且AOB中恰含有一個(gè)整數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性可知這個(gè)整數(shù)為2,"⑵&。且膽)>。，即｛：]"；/解得:魯&av[.題型三，整數(shù)解問(wèn)題之虛設(shè)零點(diǎn)例8.設(shè)函數(shù)/(尤)=lnx,g(x)=arc+—~--3(aGR\(1)求函數(shù)wQ)=/U)+g⑸的單調(diào)增區(qū)間：(2)當(dāng)a=1時(shí)，記九3)=/3)-gQ),是否存在整數(shù)九使得關(guān)于立的不等式2/1>拉3)有解？若存在，請(qǐng)求出A的最小值:若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù)：ln2a0.6931,hi3gL0986)【答案】(1)答案見解析 (2)存在"的最小值為0【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就a的不同取值可求。(工)>0的解，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.(2)利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合虛設(shè)零點(diǎn)可求一?Vh(x\ninV-J,從而可得整數(shù)4的最小值.因?yàn)椤?±)=/(x)+g[x)=Inx+qc+a/-3(x>0),所以“㈤二入-勺3+工二…j—d)](工+1)X X2 x2 x2①當(dāng)a=0時(shí)，由0'(力)>0,解得％>0;②當(dāng)a>l時(shí)，由d(±)>0,解得工>義>；③當(dāng)OVaVl時(shí)，由0'(工)>0,解得4>0;④當(dāng)q=i時(shí)，由d(z)>0,解得出>0；⑤當(dāng)aVO時(shí)，由。(工)>0,解得OVcV旦B，綜上所述，當(dāng)aVO時(shí)，(p｛x｝的增區(qū)間為(0,,11);當(dāng)O《a《l時(shí)，減工)的增區(qū)間為(0,+8);a>1時(shí)，w(ir)的增區(qū)間為(&11,+oo).當(dāng)a=1時(shí)，g(c)=x—3,所以"①)=(x-3)lnx,而h!(x)—\nx+*J=inx-*+1,因?yàn)間=lnz,y=■均為(0,+8)上的增函數(shù)，故"(i)=lnN—日?+1為(0,+8)上的增函數(shù)，而hf(2)—ln2—>0, —ln——1V0,

故"3)在(0,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)g,y<x0<2且111四)=-^ 1且,G(O,xo)時(shí)，h!(x)VO;當(dāng)％€(的,+8)時(shí)，”3)>0,Co故無(wú)3)在(O,g)上為減函數(shù)，在(g,+8)上為增函數(shù)，故五(c)min故五(c)min=八(g)=(x0-3)lnx0=(工。-3晦-1)=6-(皿+1；),E%37 ?137 ,9.20因?yàn)槿f(wàn)VgV2,所以萬(wàn)〈而+￡-V~y,所以+<6-(皿+卷)〈-/，而整數(shù)人使得關(guān)于工的不等式24>/1(工)有解，故2入>0,故存在整數(shù)/!滿足題意，且力的最小值為0.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值時(shí)，如果導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不易求得，則可以虛設(shè)零點(diǎn)，利用零點(diǎn)滿足的關(guān)系式化簡(jiǎn)最值，從而得到最值的范圍或符號(hào).例9.已知函數(shù)/(x)=x\nx+krr-3k,求：(1)當(dāng)k=1時(shí),求曲線73)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程；(2)當(dāng)工>3時(shí)，總有/3)>1,求整數(shù)k的最小值.【答案】⑴2;r-y-4=0 ⑵-3【分析】⑴先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算出斜率，再用點(diǎn)斜式即可；(2)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.當(dāng)k=1時(shí),/(c)=xlnx+h—3/.f'[x)=Inx+2⑴=2/⑴=—2.?./(工)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y+2=2(Z一1)即2H一？-4=0由題意，/(工)>1,即xlnx+for—3k>1,即k(x—3)>1—x\nx,又c>3,???k>與雪殳恒成立.人n(T\=1一.7.n^(T\=3111c—c+27⑺一x_3…。⑺- 3-3)2令h(x)=31nx—z+2,則h!(x)— ”V0恒成立.Ah(x)在(3,4-oo)上遞減，■:h⑻=31n8—6>0,八⑼=31n9-7<0zr_2:.3x0E(8,9)-fith(xo)=0,即31n6o—%o+2=0,則In%。=——,:.當(dāng)c€(8,x0)時(shí),g'Q)>0,當(dāng)cW(如+8)時(shí)，g\x)<02./x_/x_1-tolnzo_ 3 _%o+lc/10Q\,?g3)a-g(g)~物一3-^3~3-€\t,-3/因?yàn)槿?gt;93),皿，且A：ez,??.kAT,即整數(shù)人的最小值為一3【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于零點(diǎn)不可求問(wèn)題，可以設(shè)而不求，整體替換從而求出范圍。例10.已知函數(shù)/(%)=(Z一k一1)優(yōu)(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)當(dāng)上=一1時(shí),求函數(shù)/G)的極值；(2)若函數(shù)g(%)=/(%)+e?在％W(0,+8)有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)若不等式/(I)>31對(duì)任意的1WH恒成立，求整數(shù)k的最大值.【答案】(1)極小值為一卷，無(wú)極大值；(2){2}U[e2-l,+~)；(3)-2.【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)可確定/(工)單調(diào)性，由極值定義可求得結(jié)果；⑵利用導(dǎo)數(shù)可確定gG)的單調(diào)性；當(dāng)k40時(shí)，可知g(O)VO,解不等式可知無(wú)滿足題意的值；當(dāng)k>0時(shí)，根據(jù)g(z)min=g(k),分別在g(k)>0,g(k)=。和g(k)V0三種情況下,根據(jù)g(工)在ze(0,+8)有唯一零點(diǎn)可構(gòu)造不等式求得結(jié)果；(3)將恒成立不等式化為kVrr-l-迎，令從工)=工一1一電?得〃(0；)=旦土^二三,令館(工)=e，+3a;-3可e e e確定m的€Gt),使得m(g)=0,由此可得無(wú)㈤min=〃g),進(jìn)而得到九(孫)的范圍，從而得到k.當(dāng)上=-1時(shí)J㈤=xex9則f(x)=(x+l)ex,?,.當(dāng)kw(-00,-1)時(shí)，尸㈤vo；當(dāng)力e(-1,+<?)時(shí)，/'㈤>o；.-.f(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，“㈤的極小值為/(-1)=—無(wú)極大值.eVg(x)=(a;-fc—l)ex+e2,Agr(x)=(x—fc)ex,???當(dāng)4G(-oo,fc)時(shí)，￡(c)VO;當(dāng)z6(fc,H-oo)時(shí)，g'(x)>0;???g(0)在(-oo,fc)上單調(diào)遞減，在(fc,+oo)上單調(diào)遞增；①當(dāng)kVO時(shí),g(c)在(0,+8)上單調(diào)遞增，若g(c)在(0,4-<?)上有唯一零點(diǎn)，則g(0)<0,即——一l+e2<0,解得:Aj>e2-l>0(舍)；②當(dāng)k>0時(shí)，g^x)在(O,fc)上單調(diào)遞減，在(k,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)g(fc)>0,即0vkV2時(shí)，g(x)min=p(fc)>0,則g(c)在(0,+?))上無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)g(k)=0,即1=2時(shí),g(x)在(0,+?>)上有唯一零點(diǎn)1=2,滿足題意；當(dāng)g(k)VO,即2時(shí)，由g(k+1)=浸>0得：g(k)g(k+1)V0,Ag(x)在(ktk+l)上有唯一零點(diǎn)，此時(shí)需g(0)=—fc—l+e2<0,即kAS?-1;綜上所述：當(dāng)"=2或k'e?—1時(shí)，ff(x)在(0,4-oo)上有唯一零點(diǎn)，即實(shí)數(shù)"的取值范圍為{2}U[e2-1,+8).若/(c)>對(duì)c€7?恒成立，即(/一"-l)ex>3%對(duì)力€7?恒成立，則kVi—1--^7-,e令從z)=z一1一空，則h'㈤=1 e'+3：二.3e e e令rn(i)=6工+3c—3,則mf(x)=e1+3>0,/.m(x)在R上單調(diào)遞增，m(^)=6—?>0,mG~)= <0,.*.3gW(卷,/),使得俏(k0)=0,即記+3處-3=0,則當(dāng)zG(―8,g)時(shí)，h!(x)VO；當(dāng)出W(x0?+°°)時(shí)，"(z)>0;Ah(x)在(-8,如)上單調(diào)遞減，在(%+8)上單調(diào)遞增，/./i(x)min=/i(x0)=x0—l- =x0-1-q3q=%-1+?［=%-1+-ZT+1，e 。-。］() io一人 必—1XOGG4)? (一爭(zhēng)一|-)，:.h(x0)e(一■I",―,???kV無(wú)(的)，.?.整數(shù)A:的最大值為-2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解本題恒成立問(wèn)題的常用方法是能夠通過(guò)分離變量的方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系比較問(wèn)題，即若a恒成立，則a>/(z)max；若a4/(z)恒成立，則a</(x)min.例11.已知函數(shù)/(re)=x—lnx—2.(1)求函數(shù)在(1,7(1))處的切線方程(2)證明：/(立)在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；(3)若對(duì)于任意的reC(1,+8),都有a；］na;+:r>Mz—1)，求整數(shù)卜的最大值.【答案】(1)?=一1；(2)見解析；(3)3.【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可切線；(2)先利用導(dǎo)數(shù)證明/(z)在(3,4)上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得證；(3)參變分離得％V?箸善，令g(z)=.卷產(chǎn)，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求g(z)在(1,+8)上的最小值，結(jié)合(2)中結(jié)論和隱零點(diǎn)的思維,即可得解.V/(x)—x—Inx—2,⑴=-1,1㈤=l-!，"3=o,:.f(x)在(1,-1)處的切線為y=-l;證明：,?"(％)=x—Inx—2,”㈤=1一5，當(dāng)工€(3,4)Bt,/,(x)=l-^>0,.?JG)在(3,4)上單調(diào)遞增，Vf(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,/(4)=4-ln4-2=2-ln4>0,.?"(①)在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn).??Fln0+a:>MN—1),且°€(1,+?>),.7,x\nx4-x..K< ,x—1令g(z)=空中,則g，㈤=用嗎『,工>1,X—L (x—1)由⑵知，/(%)=①一Ini—2在(1,+8)上單調(diào)遞增，且在區(qū)間(3,4)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為與€(3,4),則/(網(wǎng))=x0—lnx()-2=0,

故當(dāng)rc€(l,x0)時(shí),/Q)VO,即g'?VO,g(x)在(l,x0)上單調(diào)遞減,當(dāng)zC(g,4-co)時(shí),f(o：)>0,即g，?>0,g(x)在(xq,+<?)上單調(diào)遞增,g(x)min=g(x0)glnc()+Xqg(x)min=g(x0)glnc()+Xq3一1 ； =x0e(3,4),&一J故整數(shù)k的最大值為3.題型四:整數(shù)解問(wèn)題之必要性探路例12.（2021?山西■中市新一雙語(yǔ)學(xué)校模板圾測(cè)（文））已知函數(shù)/（工）=rneI,g（x）=lnx+l.（1）若函數(shù)/（⑼與9（工）有公共點(diǎn)，求小的取值范圍；（2）若不等式/（工）>g（H）+1恒成立，求整數(shù)m的最小值.【答案】（l）mV二;（2）最小值為1.【分析】（1）由/（工）=gGr）,可得m=上詈」■，函數(shù)fGr）與gG）有公共點(diǎn)，即m ］有解，設(shè)無(wú)㈤=］，求導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)從工）的值域即可.（2）不等式f（工）>g（x）+1恒成立，即mex—lnx-1>0恒成立，當(dāng)工=1時(shí)，me>Ini+2成立，解得■，故.再驗(yàn)證m=l時(shí)，不等式成立即可得出答案.【詳解】解：（1）令/（z）=g（:r）,即rne"=ln;r+1,則m=1,函數(shù)/（4）與g（z）有公共點(diǎn)，即rn='入J1有解.e令檢）=—令檢）=—，則%）=——Inx-1xex令fc(x)=——Inx-1=(――1)—\nx,i 1當(dāng)力>1時(shí)，了一IV0,lnx>0,所以k(i)<0,當(dāng)OVrrVl時(shí)，——1>O,lnrrVO,所以M①)>0所以九(①)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以無(wú)(C)</l(l)=~|■且當(dāng)］T。時(shí),f(c)T—8所以(2)不等式/(i)>g(①)+)恒成立，即mex—\nx-l>0恒成立.則1=1時(shí)，?7ie>lnl+2成立，解得772>g,由題意求滿足條件的整數(shù)TH最小值，下面驗(yàn)證7R=1是否滿足題意.當(dāng)m=l時(shí)，令m（①）=ex—Inx—2,m/（rr）=e”一!，且mX%）在（0,+8）上單調(diào)遞增.又加⑴>0,加（4）VO,可知存在唯一的正數(shù)的6（//），使得加（如）=0,即e*。-J-=o,的則7n（%）在（0,g）上單調(diào)遞減，在（外）,+8）上單調(diào)遞增.所以Tn3）min=7n（c（））=ex,）—lnx（）—2=--f-x0—2>0,

即當(dāng)m=1時(shí)，不等式/(n)>g(x)+1成立.故整數(shù)小的最小值為L(zhǎng)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)兩函數(shù)圖像有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍和不等式恒成立求參數(shù)范圍，解答本題的關(guān)鍵是先根據(jù)工=1時(shí)，不等式me>lnl+2成立，求處一個(gè)參數(shù)的范圍，然后根據(jù)題目要求再驗(yàn)證館=1滿足條件，從而得出答案.屬于中檔題.例13.(2021?北京?北彈大二用■中未來(lái)科枝城學(xué)校南三階段練習(xí))已知/(C)=sine,g(x)=Inx,h{x)=x1—ax—1.⑴若rrW[0,1],證明：/(c)>g(rc+1)；(2)對(duì)任意xG[0,1]都有+h{x]-g(x)>0,求整數(shù)a的最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)2.【分析】(1)利用二次求導(dǎo)求得存在唯一零點(diǎn)幽{(0,1),使得F"(g)=0,F<a:)>0在(0,1)上恒成立上可以證明F(z)在定義域上的單調(diào)性，可知F(z)>0,便可證明結(jié)論.(2)先判斷整數(shù)a42可知首5+0：2-01—l-ln;r>es2，+2;r-l-lna:,接著證明H{x}=esini+12—2x—1—lnx>0在區(qū)間(0,1]上恒成立即可可出結(jié)論.【詳解】解：(1)證明：設(shè)F(x)=sinx—ln(a:+1),(0<xCl),則F'(x)=cosx—因?yàn)镕"(x)=因?yàn)镕"(x)=](a?+1)2—sinx,JLx€[0,1]則?、樵赱0,1],單調(diào)遞減，}-sinlVO,?、椤词?(0)=1所以存在唯一零點(diǎn)g€(0,1),使得F"(g)=0則尸'("在(O.xo)時(shí)單調(diào)遞增，在(3,1)上單調(diào)遞減又尸'(1)——爭(zhēng)+cosl>—+cos-y=0,F'(0)-0所以尸㈤>0在(0,1)上恒成立上，所以尸(工)在[0,1]單調(diào)遞增則F(x)>F(0)=0,即F(z)>0,所以/(工)>g(z+1).(2)因?yàn)閷?duì)任意的工€(0,1], +h(x)-g(x)>0即c4"+——q①—1—Inx>0恒成立令c=1,則esinl>a由(1)知sinl>ln2,所以2=*2<63皿<8<3由于。為c而工+/-Qz-i-lnc>0整數(shù)，則a&2因此6所工+/一ax-l-lnx>e^nx+x2-2x-l-\nx下面證明H(x)=esini4-x2—2x—1—ln%>0,在區(qū)間(0,1]上恒成立即可.由(1)知sini>111(。+1),則e^nx>x+1故"(i)>x4-l+x2—2x—1—Inx=x2-x—Inx設(shè)G(1)=x2-x—lnx,x6(0,1],則G'(c)=2x—1—5=⑵+——<0,

所以g(h)在(0,1］上單調(diào)遞減，所以g(h)>g(i)=o,所以hGe)>o在7e(0,1］上恒成立.綜上所述，a的最大值為2.例14?是否存在正整數(shù)Q,使得e，一Qrr'/ini對(duì)一切0恒成立？試求出a的最大值.解：易知。工-對(duì)一切c>0恒成立，當(dāng)k=1可得Q&e,則a僅可取1、2下證a=2時(shí)不等式恒成立，設(shè)g(x)=-^7———\nx,gr(x)=—— -xk xg㈤在(0,2)單調(diào)遞減，(2,+8)單調(diào)遞增，g(工)>g⑵=j(e2-4-41n2)>0當(dāng)q=2時(shí)，不等式恒成立，所以q最大為2.例15.x>2,k<”1工產(chǎn),求k的最大整數(shù)值.X—2解:令/(⑼=現(xiàn)吃”出，顯然k</(e2)=平丁G(4,5)1' e-z因此/c的最大整數(shù)值可能是4,下證k=4時(shí)恒成立? 1xeP e2由hur'l-^nln3>1一1即lnz>3一3所以/3)=所以/3)=【過(guò)關(guān)能試】1.(2022?吉林?長(zhǎng)叁市第二實(shí)收中學(xué)方二期中)設(shè)函數(shù)/(工)=e，-2arr—1,g(z)=4+1.(1)討論/(c)的單調(diào)性；(2)若a=/,且不等式(x—k)f'(x)+g(x)>0對(duì)Wa;C(0,+8)恒成立，求整數(shù)fc的最大值.【答案】(1)見解析 (2)2【分析】(1)先求導(dǎo)，討論導(dǎo)數(shù)的實(shí)根個(gè)數(shù)，然后分別研究相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)致符號(hào)從而確定函數(shù)單調(diào)性；(2)分離參數(shù)得k〈寫士占對(duì)VcC(0,+8)恒成立，構(gòu)造函數(shù),研究其最小值，然后求出心的最大值./㈤=ex—2a,xER當(dāng)q40時(shí)，在①W(-00,4-00)上廣(0)>0恒成立，/(①)單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令/'(工)=0,解得力=ln(2a),在二€(―oo,ln(2a))上/㈤<0,/(x)單調(diào)遞減；在力W(ln(2a),4-oo)上/'(力)>0恒成立，/(勺)單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)a<0時(shí)J(c)在(—8,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)q>0時(shí),/(。)在0€(―oo,ln(2a))上單調(diào)遞減，在(ln(2a),+8)上單調(diào)遞增.因?yàn)閑1-1>0,所以原不等式等價(jià)于EV咚4對(duì)Vze(0,+oo)恒成立，即％〈(奐，十,1)令從工)=與斗，"㈤=/三二)e—1 (e—1)令八'(c)=0,即e“一2=0,令H(c)=ex—x—2,

因?yàn)?/'(工)=6，-1>0,所以"(工)在工€(0,+8)上單調(diào)遞增,因?yàn)镠(l)=e—3<0,H(2)=e2—4>0所以三的C(1,2)使得H'[x)=0,即e'"一的-2=0在t€(O,xo)上，H'{x)<0,H{x)單調(diào)遞減；在工€(%+8)上，〃㈤>0,H(x)單調(diào)遞增,工0(向+工0(向+2)+1(的+2)-1=3+1又因?yàn)榭?6(1,2),所以"(EminW(2,3),又A:€Z,所以k的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)的關(guān)鍵是分類標(biāo)準(zhǔn)的正確選擇；第二問(wèn)的關(guān)鍵是零點(diǎn)虛設(shè)，通過(guò)設(shè)而不求的思想解決問(wèn)題.2.(2022?河北衡水?高三階段練習(xí))已知函數(shù)/3)=(a-l)x+lns(aGR).(1)討論函數(shù)/(7)的單調(diào)性與極值；(2)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)g(0=/(x)-(2--仁在［^,1］上的最大值為8,求使得5G［fc-y,fc+上的整數(shù)k的值(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln0.5七一0.7,ln0.6%一0.5).【答案】(1)單調(diào)性見解析，極大值為一l-ln(l-a),無(wú)極小值 (2)—4【解析】(1)對(duì)函數(shù)/(工)求導(dǎo)，并對(duì)a的取值范圍進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值即可求解；(2)對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、函數(shù)值域即可求解.((3：)=g-1+：,3；€(0,+8).當(dāng)a-l>0,即a>l時(shí)，/'㈤>0恒成立，則函數(shù)/㈤在(0,+8)上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)a-lVO,即aVl時(shí)，令/'(①)=0,即a-l+：=y—詈*'=°，解得工=當(dāng)工€(°，:三)時(shí)，f'3)>0,故函數(shù)/(工)在(0，￡了)上單調(diào)遞增；當(dāng)工€(Jq，+8)時(shí)，［㈤VO,故函數(shù)/㈤在(￡^，+8)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)工=11時(shí)，函數(shù)/(工)取得極大值，且極大值為，)=-l+ln，綜上所述，當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)fQ)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)aV1時(shí)，函數(shù)/(⑼在(0,1三)上單調(diào)遞增;在(1三,+8)上單調(diào)遞減，在工=1%處，fQ)取得極大值，且極大值為一1一ln(l-a),無(wú)極小值.依題意，當(dāng)Q=0時(shí)，g(0)=lnc—0—(2一g'［x}=-1+(x—1)ex=J「/+3-l)eI=(e1- —1).因?yàn)楣［l」］,所以h-i4o.令無(wú)(4)=爐一：,工e則磯力=e，+3>0在K，1］上恒成立，所以h(x)在信,1］上單調(diào)遞增.又h(0.5)=e05—2<0,h(0.6)=e0'6- >0,所以存在皿)€侏卷]，使得無(wú)(。0)=°，即鏟'=/則當(dāng)kE(十，。())時(shí)，拉Q)VO,則g'Q)>0,所以函數(shù)g(c)在(十兩)上單調(diào)遞增；當(dāng)cW(%1)時(shí)，九3)>0,則g'3)V0,所以函數(shù)9(0在(%1)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)gQ)在[｝，1]上的最大值。=g(lo)=lnx0—x0+(x0-2)eI°=lnx0—x0+x^'—2eXo.又因?yàn)閑期=」-,所以6=lng—c0+l—2,x0E令(p(x)=Inx-x+1- ,xG ,則(f![x)=!—1+ >0在上恒成立,所以函數(shù)0(c)在上單調(diào)遞增,所以0售)<@3)W0信).因?yàn)樯?,)=Iny-y+1-4?s-4.2,9(卷)=ln-|-一得+1一當(dāng)七一3.4,所以36[—4.2,—3.4]，又。€[/c—^■，/c+總],所以整數(shù)k=-4.3.(2022?江蘇?南京市江寧方級(jí)中學(xué)模擬覆測(cè))設(shè)函數(shù)/㈤=e"+asin2x+b.(1)當(dāng)q=/,cw[o,+8)時(shí)，/3)>o恒成立，求b的范圍；(2)若f(x)在c=0處的切線為x-y—1=0,且/(力)>ln(4+m)-2,求整數(shù)m的最大值.【答案】⑴[-1,+8); (2)2【解析】(1)求出當(dāng)Q=/,z€[0,+8)時(shí)/3)>0,只需要/(0min>O；(2)先根據(jù)切線的條件求出參數(shù)Q也在類似⑴中用恒成立的方式來(lái)處理.由/3)=e"+asin2rr+b,當(dāng)Q=\"時(shí)，得/'㈤=e，+cos2c.當(dāng)cC[0,+8)時(shí)，eI>l,cos2x€[-1,1],所以/'Q)=e，+cos2c>0,即/Q)在[0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(⑼口而=/(0)=1+6,由/Q)>0恒成立，得l+b>0,所以—1,即b的范圍是[-1,+8).由/(x)=ex+asin2x+b得/3)=e，+2acos2x,且/(0)=14-6.由題意得了'(0)=e°+2a=1,所以a=0,又(0,1+b)在切線c—g—1=0上.所以0—1—1—b=0,所以b=—2,即/(x)=eI—2.因?yàn)?(±)>ln3+m)-2,所以有ex>ln(x4-m).令匕=?工>0,則ex>ln(x4-m)等價(jià)于±>ln(c+rn),即％+771〈3,從而771〈6*—0；=6'—1111.設(shè)g(±)=ef-Ini,則gf(t)=8一十.易知g'(t)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且9'(/)=Ve-2<0,g'(l)=e-l>0.所以，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一的tne(y,l)使得g'(to)=0,即0'=卷，則加=-Into.當(dāng)te(0,幻時(shí)，g'⑴Vg'(M)=0,g⑴在(0,幻上單調(diào)遞減；當(dāng)(to,+8)時(shí)，/(。>"(幻=0,9(。在(曲,+8)上單調(diào)遞增.從而g(t)min=g(to)=e"-lnto=to+；.而M+;在(看1)上是減函數(shù)，所以M+：e(2,-^-).因此9(t)的最小值9(M)e(2,手).從而整數(shù)m的最大值是2.4.(2022?全國(guó)?模赧11瀏)已知函數(shù)/(C)=(。+1)6，+3—3,其中6為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，。6兄(1)討論函數(shù)/(工)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a=0時(shí)，若存在立CR使得關(guān)于a;的不等式k4W(a;)成立，求k的最小整數(shù)值.(參考數(shù)據(jù)：eI?2.1)【答案】(1)答案見解析；(2)0.【解析】(1)求出函數(shù)/(工)的導(dǎo)數(shù)，分aV-l,-1&<1<0,(1>0三種情況討論/'(0；)的符號(hào)求解作答.(2)構(gòu)造函數(shù)g(c)=￡f(x),求出g(x)的最小值取值范圍，再由不等式成立求整數(shù)A:的最小值作答.函數(shù)/(工)的定義域R,求導(dǎo)得:/'(工)=(a+l)e，~~3=(a+1)： e e若QV―],由/(4)=  =0,付c=In,@+],當(dāng)：re 時(shí),/'(a;)>0,當(dāng)a；e(lnV-a+T,+00)時(shí)，/'(Evo，則/(z)在(一上單調(diào)遞增，在(lnj^p+8)上單調(diào)遞減，若一14aW0,則對(duì)任意xER都有/'(工)>0,則/(x)在R上單調(diào)遞增，若a>0,當(dāng)a;W(-8,lnja3)時(shí)，/'㈤<°，當(dāng)工€(in時(shí)，尸㈤>0,則/(工)在(_8,lnJ^y)上單調(diào)遞減，在(lnJ^p+8)上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)aV-1時(shí)，/㈤在(-8,ln&D上單調(diào)遞增，在(ln/^「+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)一l&a40時(shí),/(工)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，/(⑹在SlnJ^Y)上單調(diào)遞減，在.￡號(hào)p+8)上單調(diào)遞增.當(dāng)a=0時(shí)，令g(c)=xf{x)=x(eI—3),則g'(c)=(c+l)e，-3,令人(c)=(c+l)ex—3,則h!(x)=(x+2)ex,則當(dāng)c€(—2,+oo)時(shí)，h!(x)>0,g'(c)=h(x)在(—2,+oo)上單調(diào)遞增，當(dāng)①W(-oo,-2)時(shí)，”(力)VO,gf(x)在(-oo,-2)上單調(diào)遞減，

因g'(0)=1—3=-2V0,g'G)=孑e'一3七0.675>0,則存在x06(0,總),使得g'(c())=(與+1將一3=0,即則當(dāng)出€(3+8)時(shí),g〈力>0,當(dāng)kE(一2,g)時(shí)，或出)V0,又當(dāng)出€(-oo,-2]時(shí),g\x)V0,所以當(dāng)①W(―oo,x0)時(shí),g'(c)VO,因此g(①)在(-°°,x0)上單調(diào)遞減，在(電),+8)上單調(diào)遞增，于是g㈤min=g(%o)=%(鏟-3)=10(^77—3)=—3[(m+1)+ -2],斯€(0,；),①。+1e(1,孑),與+1+^+Te(2，患)g(H)mine(28,0),若存在使得關(guān)于①的不等式A;》切■(：!；)成立，且k為整數(shù)，得人>0,所以k的最小整數(shù)值為0.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)？=/(工)的定義區(qū)間為。，若m7e使得mV/(rr)成立，則m〈/(⑼噸公若三HC使得m>/(z)成立，則 1n5.(2021?陜西?依川市第一中學(xué)高二階段練習(xí)(理))設(shè)函數(shù)/㈤=a(e，-2e)+(1-Me，.(1)求/(c)的單調(diào)區(qū)間；⑵當(dāng)c>2時(shí)，/㈤V0恒成立，求整數(shù)a的最大值.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為(-8,a),單調(diào)減區(qū)間為(a,+oo) (2)2【解析】⑴求導(dǎo)，分別解不等式/㈤>0,/'㈤V0可得;(2)分離參數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(⑼的最值問(wèn)題，通過(guò)二次求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)可得函數(shù)9(工)的單調(diào)區(qū)間，從而可得最值，然后可得.(1)f((x)=(a-x)eI,由/'(rr)—(a—x)ex>0解得rrVa,由f'(x)—(a—x)ex<0解得rr>a,所以f(z)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,a),單調(diào)減區(qū)間為(a,+8)當(dāng)工>2時(shí)，e"—2e>e?-2e=e(e—2)>0所以f(;r)<OoaV(:一?它記gQ記gQ)=(x—l)ex

ex-2e則g\x)=ex(eI—2ex)

(ex-2e)則g\x)=ex(eI—2ex)

(ex-2e)2記h(x)=ex—2ex因?yàn)楫?dāng)k>2時(shí)，h!(x)=ex—2e>0,所以/i(c)=ex-2ei在(2,+8)上單調(diào)遞增,無(wú)(2)=€2—46〈0仇(3)=。3—6€)0,所以存在的€(2,3),從與)=0'i己h(x0)=ez()—2ex0=0,則e%=2ex0…①所以當(dāng)c￡(2,的)時(shí),九3)VO,即g'Q)VO,此時(shí)g(c)單調(diào)遞減,當(dāng)cW(Xo,4-°°)時(shí)，h(x)>0,即g'(①)>0,此時(shí)g(0單調(diào)遞增所以當(dāng)出=的時(shí)，g(x)由最小值所以當(dāng)出=的時(shí)，g(x)由最小值g(g)=(co-l)e及

e^'-2e…②將①代入②可得g(g))電)(看)-1)3'=2eg(c()—將①代入②可得g(g))電)鏟―2e2ex0-2e所以QVCo,因?yàn)镼為整數(shù)，所以a的最大值為2.(2022?河南安陽(yáng)?模擬瀏(文))已知函數(shù)/6)=lnx-ax+(x-2)e\(1)當(dāng)Q=1時(shí),求曲線V=/(%)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；(2)當(dāng)a>1時(shí)，/①)對(duì)任意的x6(-1,1)恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)b的最小整數(shù)值.【答案】(l)y=-l-e (2)-3【解析】(1)求出/G)在1=1處的導(dǎo)數(shù)值，求出/(I),即可得出切線方程；(2)不等式化為(x-2)ex+Inc—%對(duì)任意的66 恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)g(c)=(%—2)e"+Inc-c,利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可得出.當(dāng)q=1時(shí)J(%)=Inx—(x-2)e工,r(rr)= -14-(x—De'則/(l)=-1—=0,所以切線方程為y=-l—e.⑵因?yàn)閷?duì)任意的信,1)恒成立,即b>(x—2)ex4-Inx—ax,當(dāng)a>l時(shí)，對(duì)任意的x€(4,1)恒成立，a>1,x>0,/.(x—2)ex+Inx—ax^(x—2)ex+Inrc—x,只需心(6—2)"+111。-0對(duì)任意的2：€佶,1)恒成立即可.構(gòu)造函數(shù)g(%)=(x—2)ex+Ina;-x,g<x)=(x—l)eI+——1=(x—l)(ex——),x€(寺,1),J力一1V0,且t(x)=。工一十單調(diào)遞增，V^(*2~)=e7—2<0,t(l)=e—1>0,:.一定存在唯一的人€弓,1),使得￡(c0)=0,即eIl,=—,x0=-Inxo,血且當(dāng)［viVr時(shí)，t(x)V0,即g'(c)>0;當(dāng)rVcVI時(shí)，t(x)>0,即g'(z)<0.o所以函數(shù)g=g(力)在區(qū)間借，力0)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(x0,l)上單調(diào)遞減，g(c)max=g(c)max=g(6o)=(a^o-2)eI(,+lnx0—x0=1-2弧+專)€(-4,一3),所以b的最小整數(shù)值為-3.(2022?陜西漢中?二M(?))已知函數(shù)/(①)=e，+qi-3,曲線g=/(c)在點(diǎn)(0,/(0))處切線方程為y=-2.

⑴求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)/(c)的單調(diào)區(qū)間；(2)若工>0時(shí)，(m—工)6，V小+2,求整數(shù)m的最大值.【答案】(1)。=-1,單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0) (2)2【解析】(1)根據(jù)所給的條件，寫出在(OJ(O))處的點(diǎn)斜式直線方程即可求出a;(2)參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性即可求解.(1)函數(shù)/(H)的定義域?yàn)?—8,+8),因f'(x)=ex+a,/'(。)=l+a,在(0J(O))處的切線方程為：y—/(O)=f'(0)(工一0),由己知得/(0)=-2,y=(1+a)x—2，所以a=-1;由/'(工)=6工一l>0得rr>0,由/'(z)V0得nVO,所以函數(shù)/(0的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(―OO,0)；⑵z>0時(shí)，不等式(m—Ge"Vm+2等價(jià)于m<ze+2,e—1令g(,)=詈號(hào)，則g，(,)=隼與，e-i 〈e-i)由(1)得八(工)=e，一工一3在(0,+<?)上單調(diào)遞增，又因?yàn)镸l)V0,”2)>0,所以/(工)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)r，且1VAV2,當(dāng)工€(l,rrn)時(shí)，g'Q)V。，當(dāng)；rW(如+8)時(shí)，丁(工)>0 ,所以g(x)的最小值為9(的),由g'(g)=0得e10=g+3所以g(ro)=So(xo所以g(ro)=So(xo+3)+2%+2=□7()+1,由于1<的<2,,所以2Vg(rrO)<3,因?yàn)閙Vg(g),因?yàn)閙Vg(g),所以m的最大值為2;綜上，a=-l,函數(shù)/㈤的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),m的最大值為2.8.(2022?湖北省仙桃中學(xué)模擬覆測(cè))設(shè)函數(shù)fQ)二3一以工)=Ini+71,771、71為實(shí)數(shù),大值為二e-⑴求九的值；(2)若與〉xg(x),求實(shí)數(shù)m的最小整數(shù)值.e【答案】(2)1【解析】(1)求定義域，求導(dǎo)，得到?㈤在工=小”處取得極大值，也是最大值，進(jìn)而列出方程，求出?后，利用隱零點(diǎn)得到h(x)="In二"在Z二亞處取得極大值，也是最大值，令0(a;)=②e e大值的范圍，確定實(shí)數(shù)m的最小整數(shù)值.(1)若尸(工)=等有最=-1；(2)參變分離二,立€(孑,4),求出最尸3)=旦磬=也環(huán)衛(wèi)，定義域?yàn)?o,+8),尸㈤二上坐二四，X當(dāng)OVaiVe""時(shí)，F(xiàn)(x)>0,當(dāng)arAei-"時(shí)，F(xiàn)(x)<0,所以Fix')在N=e""處取得極大值，也是最大值，所以P(a;)=1一：[" ■，解得:n=-l;ee⑵叱>x(lnx-1),即mex~3>x(lnx-1),ezm>H黑;1),令h(x)=子，定義域?yàn)?0,+8),令9(c)=Inx—x\nxd-rc,x>0則d(c)=——\nx-1+1=——Inx,可以看出<pf(x)=)-Ini在(0,+8)單調(diào)遞減,又/⑴=l>0,d⑵=專-1112V0,由零點(diǎn)存在性定理可知：三的€(1,2),使得/(如)=0,即2-=Ing,當(dāng)(o,g)時(shí),d(c)>0,當(dāng)①G(如+8)時(shí),d(土)V0,0(1)在①=x()處取得極大值,也是最大值，0(c)max=0(g)=Ing-glng+亞=*-1+g>2,專?血-1=1,配■)=—+卷+9=看-lVO，*Q)=ln孑-字!++[=￡—/嗚=旦7-5嗚)>0,9⑷=4-61n2V0,故存在皿W(卷物),x2E(孑,4),使得0(的)=0,夕(①2)=0,所以當(dāng)①￡(皿,。2)時(shí)，0(2)>0,當(dāng)①￡(0,為)U(如+8)時(shí)，0(c)<0,所以“(c)=I”'_；丫產(chǎn)+%在力€(xbx2)上大于0,在6€(O,Xi)U(x2,+o>)上小于0,所以拉(N)=”"n：3I'在力€(如力2)單調(diào)遞增，在(0,xi),(x2,+oo)上單調(diào)遞減，ec, . ?/\x(lnx-1)cis、且當(dāng)4Ve時(shí)，h(x)= 』 V0恒成立，37(Injz—1)所以從工)= 工 在工=g處取得極大值，也是最大值，其中l(wèi)nx2—x2lnx2+x2=0,,/、x2(lnx2-1)lnx2_/7從g)= 防K =凝石，啊6(爹用令6(工)=告凈，x6舟4)——1nz — ——]n工。'㈤=Xex-3-，當(dāng)工€(y-4)時(shí),“㈤=Xer-3—<0?Iny故0(Z)V—1,尸所以實(shí)數(shù)rn的最小整數(shù)值為1.【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)隱零點(diǎn)問(wèn)題，要結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到隱零點(diǎn)的大致范圍，然后對(duì)函數(shù)值進(jìn)行變形，最后確定函數(shù)值的取值范圍，確定參數(shù)的取值范圍.9.(2022?全國(guó)通彈大附中模板H測(cè)(理))已知函數(shù)/㈤=e-I+sinx—ax，g(c)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)證明：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)。㈤在區(qū)［0,y］內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)xa,V2<2cosx()<V3；(2)若/(x)在(0,7T)上單調(diào)遞減,求整數(shù)a的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)amin=l【解析】(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)以及零點(diǎn)存在定理可以證明；(2)求導(dǎo)后，參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)求最大值即可.當(dāng)a=0時(shí)，f(:r)=e~x+sinx,g(x)=f'(x)———e-1+cosx,g'(x)=e-1—sinx,xG［。奇］,令八?=g'(x),則h'(x')——e~x—cosx<0，所以導(dǎo)函數(shù)g'(H)在區(qū)間［。,專］單調(diào)遞減，又，信)=eJ-/>——/=看_/>0,g腎)=>_烏</_:=看一4<0,據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，g'(土)存在唯一零點(diǎn)ge［韋千］,使得9,(的)=ef-sinx0=0,所以當(dāng)z€［0,xo)時(shí)，g'(z)>0,g(:c)在區(qū)間［0,