組合數(shù)學教學課件41母函數(shù)的基本概念課件

母函數(shù)又稱發(fā)生函數(shù)或生成函數(shù)，它是解決計數(shù)問題的一個重要工具。母函數(shù)的類型較多，這里僅討論最常見的兩種類型的母函數(shù)：1.普通母函數(shù)2.指數(shù)母函數(shù)4.1母函數(shù)的基本概念下面，我們分別進行討論。母函數(shù)又稱發(fā)生函數(shù)或生成函數(shù)，它是解決計數(shù)問稱函數(shù)為序列(a0,a1,…,an,…)的普通母函數(shù)。一、普通母函數(shù)定義4.1給定一個無窮序列(a0,a1,…,an,…)(簡記為｛an｝，下同)，一、普通母函數(shù)定義4.1給定一個無窮序列(a0,a1,必須注意的是，在定義4.1中，普通母函數(shù)是一個無窮級數(shù)，沒有必要去討論它的收斂性，實質(zhì)上它只是引進一個表示序列的記號而已。此時變量x只是一種形式變元。對這種級數(shù)可以把它看成形式冪級數(shù)，我們可以按通常方式定義其加法、乘法、形式微分等運算，從而構成一個代數(shù)體系。必須注意的是，在定義4.1中，普通母函數(shù)是一個無窮級數(shù)，

一個序列和它的普通母函數(shù)是一一對應的。給定了一個序列就可以得到這個序列的普通母函數(shù)。

反之，如果給定了普通母函數(shù)，則序列也隨之而定。

由此可見，普通母函數(shù)實質(zhì)上是序列的另一種表達形式。由定義4.1可知一個序列和它的普通母函數(shù)是一一對應的。給定了一個序解：由定義4.1和式(1.13)有［例1］求序列的普通母函數(shù)。解：由定義4.1和式(1.13)有［例1］求序列解：由定義4.1和式(1.18)有

例2求序列的普通母函數(shù)。例2求序列證明(1-4x)-1/2是序列

的普通母函數(shù)。例3證明：由牛頓二項式定理式(1.16)有證明(1-4x)-1/2是序列例3證明：由牛頓二項式定理式(組合數(shù)學教學課件41母函數(shù)的基本概念課件(1-4x)-1/2是序列

的普通母函數(shù)。由定義4.1知，(1-4x)-1/2是序列由定義4.1知，解：由式(1.20)有求序列(0，1×2×3，2×3×4，…，n(n+1)(n+2),…)的普通母函數(shù)。例4將上式兩邊同時微分兩次得解：由式(1.20)有求序列(0，1×2×3，2×3×4，再將上式兩邊同乘以x得例4將上式兩邊再微分有例4將上式兩邊再微分有f(x)=6x/(1-x)4是序列(0，1×2×3，2×3×4，…，n(n+1)(n+2)，…)的普通母函數(shù)。由定義4.1知f(x)=6x/(1-x)4是序列由定義4.1知由上面的例子可見，普通母函數(shù)特別適用于某些序列，尤其是包含組合數(shù)的序列，這是由于它具有牛頓二項式定理的形式。

但是，對于具有排列數(shù)的那些序列，我們考慮下列類型的母函數(shù)(指數(shù)母函數(shù))更為合適。二、指數(shù)母函數(shù)由上面的例子可見，普通母函數(shù)特別適用于某些序列，給定無窮序列(a0,a1,…,an,…),稱函數(shù)

之所以稱為指數(shù)母函數(shù)是由于式(4.2)的右邊很像指數(shù)函數(shù)e的冪級數(shù)展開式。注意，指數(shù)母函數(shù)也是形式冪級數(shù)。定義4.2為序列(a0,a1,…,an,…)的指數(shù)母函數(shù)。給定無窮序列(a0,a1,…,an,…),稱函數(shù)之所以稱為解：由定義4.2和式(1.7)以及例1的結論有例5設n是整數(shù)，求序列(p(n,0),p(n,1),…,p(n,n))的指數(shù)母函數(shù)fe(x)。例5設n是整數(shù)，求序列例6

求序列

p(0,0),p(2,1),p(4,2),…,p(2n,n),…)的指數(shù)母函數(shù)fe(x)。解：由定義4.2和式(1.7)，再利用例3的結果有例6求序列解：由定義4.2和式(1.7)，再利用例3的結例7

求序列｛1,α,α2,…αn,…｝的指數(shù)母函數(shù)fe(x)。其中α是實數(shù)。解：由定義4.2知若α=1，則序列(1，1，…，1,…,)的指數(shù)母函數(shù)為ex。例7求序列｛1,α,α2,…αn,…｝的解：由定義4.2知例8求序列(1，1×4，1×4×7,

…1×4×7×…×(3n+1),…)的指數(shù)母函數(shù)。解：由定義4.2和二項式定理式(1.16)有例8求序列(1，1×4，1×4×7,解：由定義4.2和二項由定義4.2易見，序列(a0,a1,…,an,…)的指數(shù)母函數(shù)也是序列(a0,a1,a2/2!,…,an/n!,…)的普通母函數(shù)。

這說明普通母函數(shù)與指數(shù)母函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，這種聯(lián)可由下面的定理表出。由定義4.2易見，序列(a0,a1,…,an,…)的指數(shù)母函設f(x),fe(x)分別是序列(a0,a1,…,an,…)的普通母函數(shù)和指數(shù)母函數(shù)，則定理4.1證明：由指數(shù)母函數(shù)的定義,有設f(x),fe(x)分別是序列定理4.1證明：由指數(shù)母函數(shù)將上式兩邊同乘以e-s并從0到∞積分得由分部積分法有證畢故將上式兩邊同乘以e-s并從0到∞積分得由分部積分法有證畢故母函數(shù)又稱發(fā)生函數(shù)或生成函數(shù)，它是解決計數(shù)問題的一個重要工具。母函數(shù)的類型較多，這里僅討論最常見的兩種類型的母函數(shù)：1.普通母函數(shù)2.指數(shù)母函數(shù)4.1母函數(shù)的基本概念下面，我們分別進行討論。母函數(shù)又稱發(fā)生函數(shù)或生成函數(shù)，它是解決計數(shù)問稱函數(shù)為序列(a0,a1,…,an,…)的普通母函數(shù)。一、普通母函數(shù)定義4.1給定一個無窮序列(a0,a1,…,an,…)(簡記為｛an｝，下同)，一、普通母函數(shù)定義4.1給定一個無窮序列(a0,a1,必須注意的是，在定義4.1中，普通母函數(shù)是一個無窮級數(shù)，沒有必要去討論它的收斂性，實質(zhì)上它只是引進一個表示序列的記號而已。此時變量x只是一種形式變元。對這種級數(shù)可以把它看成形式冪級數(shù)，我們可以按通常方式定義其加法、乘法、形式微分等運算，從而構成一個代數(shù)體系。必須注意的是，在定義4.1中，普通母函數(shù)是一個無窮級數(shù)，

一個序列和它的普通母函數(shù)是一一對應的。給定了一個序列就可以得到這個序列的普通母函數(shù)。

反之，如果給定了普通母函數(shù)，則序列也隨之而定。

由此可見，普通母函數(shù)實質(zhì)上是序列的另一種表達形式。由定義4.1可知一個序列和它的普通母函數(shù)是一一對應的。給定了一個序解：由定義4.1和式(1.13)有［例1］求序列的普通母函數(shù)。解：由定義4.1和式(1.13)有［例1］求序列解：由定義4.1和式(1.18)有

例2求序列的普通母函數(shù)。例2求序列證明(1-4x)-1/2是序列

的普通母函數(shù)。例3證明：由牛頓二項式定理式(1.16)有證明(1-4x)-1/2是序列例3證明：由牛頓二項式定理式(組合數(shù)學教學課件41母函數(shù)的基本概念課件(1-4x)-1/2是序列

的普通母函數(shù)。由定義4.1知，(1-4x)-1/2是序列由定義4.1知，解：由式(1.20)有求序列(0，1×2×3，2×3×4，…，n(n+1)(n+2),…)的普通母函數(shù)。例4將上式兩邊同時微分兩次得解：由式(1.20)有求序列(0，1×2×3，2×3×4，再將上式兩邊同乘以x得例4將上式兩邊再微分有例4將上式兩邊再微分有f(x)=6x/(1-x)4是序列(0，1×2×3，2×3×4，…，n(n+1)(n+2)，…)的普通母函數(shù)。由定義4.1知f(x)=6x/(1-x)4是序列由定義4.1知由上面的例子可見，普通母函數(shù)特別適用于某些序列，尤其是包含組合數(shù)的序列，這是由于它具有牛頓二項式定理的形式。

但是，對于具有排列數(shù)的那些序列，我們考慮下列類型的母函數(shù)(指數(shù)母函數(shù))更為合適。二、指數(shù)母函數(shù)由上面的例子可見，普通母函數(shù)特別適用于某些序列，給定無窮序列(a0,a1,…,an,…),稱函數(shù)

之所以稱為指數(shù)母函數(shù)是由于式(4.2)的右邊很像指數(shù)函數(shù)e的冪級數(shù)展開式。注意，指數(shù)母函數(shù)也是形式冪級數(shù)。定義4.2為序列(a0,a1,…,an,…)的指數(shù)母函數(shù)。給定無窮序列(a0,a1,…,an,…),稱函數(shù)之所以稱為解：由定義4.2和式(1.7)以及例1的結論有例5設n是整數(shù)，求序列(p(n,0),p(n,1),…,p(n,n))的指數(shù)母函數(shù)fe(x)。例5設n是整數(shù)，求序列例6

求序列

p(0,0),p(2,1),p(4,2),…,p(2n,n),…)的指數(shù)母函數(shù)fe(x)。解：由定義4.2和式(1.7)，再利用例3的結果有例6求序列解：由定義4.2和式(1.7)，再利用例3的結例7

求序列｛1,α,α2,…αn,…｝的指數(shù)母函數(shù)fe(x)。其中α是實數(shù)。解：由定義4.2知若α=1，則序列(1，1，…，1,…,)的指數(shù)母函數(shù)為ex。例7求序列｛1,α,α2,…αn,…｝的解：由定義4.2知例8求序列(1，1×4，1×4×7,

…1×4×7×…×(3n+1),…)的指數(shù)母函數(shù)。解：由定義4.2和二項式定理式(1.16)有例8求序列(1，1×4，1×4×7,解：由定義4.2和二項由定義4.2易見，序列(a0,a1,…,an,…)的指數(shù)母函數(shù)也是序列(a0,a1,a2/2!,…,an/n!,…)的普通母函數(shù)。

這說明普通母函數(shù)與指數(shù)母函數(shù)之間