CT6圖像重建2課件

CT圖像重建2

（CTImageReconstruction）學習內容（Learningobjects）迭代法（Iterativealgorithm）

傅立葉變換法（Fouriertransformation）

反投影法（Backprojection）濾波反投影法（Filterbackprojection）知識回顧（Review）Radon變換投影與弦圖

采樣幾何形狀Shepp-Logan體模

圖像重建投影P(t)f(x,y)y理想圖像投影與弦圖弦圖理想圖像投影投影采樣幾何形狀Shepp-Logan體模r的單位是角度，μ為負值時表示削弱原有橢圓的衰減系數

S-L體模是CT圖像重建領域用于仿真計算的經典頭部模型，于1974年由L.A.Shepp和B.F.Logan首次提出，可生成2D或者3D的標準投影數據。S-L體模通過橢圓來表征不同的形狀，不同的灰度用來模擬不同組織的衰減系數，例如最外層的橢圓模擬頭骨，內部的兩個小橢圓模擬大腦內部特征或者腫瘤。直接矩陣求解法2x2matrixA11A12Po(0)=3

2A21A22Po(1)=7

4P9o(0)P9o(1)=4=6A11+A12 =3 A21+ A22 =7A11+ A21 =4A12 +A22 =61100 A11 30011 A12 71010 A21 41001 A22 6

F*A=PA=PF^(-1)=xywxwysg(s,1,2,…,8)1D-FouriertransformF[g(s)]μ(x,y)中心切片定理(CentralSliceTheorem)學習內容（Learningobjects）迭代法（Iterativealgorithm）

傅立葉變換法（Fouriertransformation）反投影法（Backprojection）

濾波反投影法（Filterbackprojection）實例:反投影算法（Backprojection）弦圖反投影圖像反投影濾波濾波后圖像弦圖實例:濾波反投影算法（Filteredbackprojection）濾波反投影圖像理想圖像反投影圖像Projection反投影法(Backprojection)P(t)f(x,y)y在一個“空白”圖像里，把投影值從各個角度重新加進去反投影法(Backprojection)由投影重建圖像的算法很多，而反投影法是其中最簡單、最粗略，也是最基本的算法原理：“斷層平面中某一點的密度值可看作這一平面內所有經過該點的射線投影之和（的平均值）”第一步（firstguess）=0=2

=1=31(0+1)5(2+3)1(0+1)5(2+3)把90角度的投影值加進空白圖像實例第二步（secondguess）021303331(0+1)5(2+3)1(0+1)5(2+3)+1(0+1)8(5+3)4(1+3)8(5+3)第四步（fourthguess）021332133(2+1)10(2+8)8(4+4)12(4+8)+6(3+3)12(2+10)9(1+8)15(3+12)0/36/33/39/36-612-69-615-6063902136129150213所有反投影的和算法舉例根據反投影算法x1=p5=5 x6=p2+p3+p5=18 …平均化處理，除以投影線數目

xi=xi/6000005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影線數，平均化斷層平面中某一點的密度值可看作這一平面內所有經過該點的射線投影之和的平均值123456算法舉例反投影重建后，原來為0的點不再為0，形成偽影00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值除以投影線數的平均化星狀偽影考慮孤立點源反投影重建中心點A經n條投影線投影后，投影值均為1：

p1=p2=...=pn=1因此重建后而其他點均為1/n

這類偽跡成為星狀偽影1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000反投影重建的本質是把取自有限物體空間的射線投影均勻地回抹(反投影)到射線所及的無限空間的各點之上，包括原先像素值為零的點反投影法的缺陷圖像產生模糊反投影法的改進后處理方法:用2D濾波函數對反投影法所得圖像進行處理，可實現圖像質量的提升，但不能改變換準確重建反投影法的改進前處理方法:在反投影之前先濾波，即先對1D投影進行濾波，再進行反投影重建（理論基礎：在線性系統(tǒng)中濾波算子可以交換順序）濾波反投影法學習內容（Learningobjects）迭代法（Iterativealgorithm）

傅立葉變換法（Fouriertransformation）反投影法（Backprojection）

濾波反投影法（Filterbackprojection）濾波反投影法（FBP）的思想反投影法和濾波反投影法的區(qū)別：

濾波運算或卷積運算的引入在時域中相卷積相當于在頻域中相乘，故濾波反投影法亦被稱為卷積方法(convolutionmethod)FBP的圖形解釋FBP公式推導目標函數

f(x,y)可由傅立葉函數F(u,v)的逆變換獲得，即雅可比行列式FBP公式推導頻域中的笛卡爾坐標與極坐標的關系為：

FBP公式推導Let:F(cos,sin)=P(,)

FBP公式推導FBP公式推導FBP公式推導P(,)表示對應于角度的單位投影的傅立葉變換；里層的積分是P(,)||的逆傅立葉變換，記為g(t,)，在空間域，它表示單位投影被一頻域響應為||的函數做濾波運算，故稱之為濾波反投影1DFouriertransforminverse1DFouriertransformbackprojectionforallanglesfilterFBP公式推導FBP的計算機實現濾波（Filter）或卷積（Convolution）影像濾波，即為與一個適當的核（kernel）作卷積（convolution）運算–3x3averagingkernel…–7x7Gaussiankernel…卷積為一個積分運算，通常用符號表示卷積對兩個函數進行運算獲得第三個函數的過程，其中一個輸入函數被稱之為卷積核卷積核通常為3x3的小矩陣卷積核(Kernel)卷積核(Kernel)卷積核(Kernel)卷積核(Kernel)卷積核(Kernel)以下依此類推…….卷積核(Kernel)濾過器的設計和選擇在空域中，與P(,)對應的函數是測量得到的平行投影p(t,)，濾波器||與對應的沖擊響應(t)之間是一個傅立葉變換對：將t＝0代入上式計算得到(0)，即曲線||以下的面積。當時，(0)，所以上式是無法直接計算的，必須另想它法，引入限帶函數（band-limitingfunction）濾波器是個無限頻帶的濾波函數,由于即積分是發(fā)散的,根據佩利--維納準則,這一理想濾波器是不可實現的。實際數值計算通常采用加窗的濾波函數。運用不同的窗函數可以得到不同的濾波器濾過器的設計和選擇濾過器的設計和選擇Ram-Lak:usingtherectangularwindow矩形窗Shepp-Logan:usingasincwindow正弦窗Cosine:usingacosinewindow余弦窗Hamming:usingageneralizedHammingwindow通用Hamming窗濾過器的設計和選擇濾過器的設計和選擇-Ramp濾波頻率與幅度成正比關系(a)圖為理想濾波器(b)圖為修正后濾波器

亦理論上濾波器亦稱為Ramp濾波器，其高頻分量是無限延伸的，但實際實現時必須截斷處理，如圖(b)圖中虛線所示，相當于在帶寬之外突然衰減為零，在重建圖像的邊緣時會出現環(huán)狀震蕩條紋，稱之為Gibbs現象。為有效地消除此現象，我們需對Ramp濾波器稍作平滑處理，如將之與作卷積，得到Shepp-Logan濾波器；

濾過器的設計和選擇-Ramp濾波濾過器的設計和選擇-Shepp-Logan濾波器平滑了圖像，損失了部分高頻信息濾過器的設計和選擇-Hamming濾波器降低了高頻噪聲,可得到Hamming濾波器和Hanning濾波器骨濾過器和軟組織濾過器GELightSpeedSoft軟組織Standard標準Detail細節(jié)根據診斷需求可選用不同的濾波函數平滑用于觀察軟組織銳利用于觀察高分辨力影像Lung肺Bone骨Edge邊緣FBP中的補0運算原始濾波運算包含一個非周期卷積運算,變到頻域后就是周期卷積，直接計算將產竹干涉?zhèn)斡?，即所謂的warp-around效應。因此必須在傅立葉變換和濾波操作之前給每一個投影補0，才能避免偽影產生由于補零前后數據長度不一樣，它們的分辨率（分別為df1，df2）不一樣，在頻域中譜線所代表的頻率也不一樣，所以這兩個頻譜所描述的對象也不相同特殊情況：M=（2^n)N時，補零后的頻譜相當于在補零前的頻譜中插入（2^n)-1條譜線。與補零前的頻譜中相重合的譜線，它們的幅值和相位完全一致FBP中的補0運算這里舉一個例子，fs=1000HZ，補零前后數據長度N=500和M=800，對應的df1=2，df2=1.25。補零前的頻譜是對應于0,2,4,...,500HZ的頻譜，而補零后的頻譜是對應于0,1.25,2.5,...,500HZ的頻譜，所以兩頻譜中對應頻率不同，描述當然不同測量每個視角的投影p(t,)對投影p(t,)補0，得到p(t,)傅立葉變換，得到P(,)乘以斜坡濾波器H()，得到G(,)傅立葉逆變換，得到濾波投影g(t,)。反投影g(t,)，并加入圖像f(x,y)。循環(huán)結束？FBP實現步驟（平行束）扇形束重建(FanbeamReconstruction)學習內容（Learningobjects）扇形束到平行束的轉換等角線束重建等距線束重建扇形束重建成像幾何扇形束重建扇束情況下的重建算法較為復雜，但實質沒有改變?？刹捎闷叫惺闆r下的算法實現，只需加以適當地修正即可重排算法:把一個視圖中采得的扇形數據重新組合成平行的

射線投影數據，然后采用平行束重建算法重建直接重建算法:不必數據重排，只需適當加權即可運用與平

行束類似的算法重建扇形束重建-從扇形束向平行束轉換橫軸表示X射線離開中心點的距離，縱軸表示X射線與x軸形成的夾角在平行投影重建中，射線由兩參數t和唯一決定，其中t是射線到等中心的距離，是投影角一條投影線映射到弦空間中就是一個點

一個投影集在弦空間就映射成一個均勻排列的網格網格中的某一行表示其中一個投影，如a圖中虛線長方形所示。如果把一個扇形投影集映射到同一弦空間，那么每一扇形投影映射成傾斜的一行點陣，如b圖中虛線矩形所示。每個樣本的角度不同。扇形束投影射線與等中心點的距離也不是按照固定的規(guī)律增減的。扇形束重建-從扇形束向平行束轉換扇形束重建-EA等角扇形束重建當同樣大小的探測器單元沿著中心為X射線焦點的弧排列時，就形成等角采樣扇形束的每一條射線可由β和γ確定，其中是射線與中心射線（假想的通過X射線源和等中心的直線）的夾角，稱為探測器角；是中心射線與y軸的夾角，稱為投影角

扇形束重建-EA等角扇形束重建投影乘以探測器角的余弦，濾波后的樣本隨著到光源的距離的增長而增長重建公式可由用(t,θ)坐標確定(γ,β)坐標上的每個樣本來得到。扇形投影中的投影樣本q(,)就轉化為平行投影中的投影樣本p(t,)

平行線束重建vs扇形束重建與平行投影重建不同，扇形投影重建在濾波操作之前先乘以Dcos，它獨立于投影角，所以可在重建之前先進行計算并保存

第二個區(qū)別是扇形投影重建中用到了加權反投，反投影沿扇形進行，尺度因子L－2隨著像素的不同而不同

等角扇形線束重建流程圖平行束vs等角扇束對單個濾波投影做反投影實驗圖示，扇形束反投影重建的圖像不但其形狀隨離開X射線源的距離而改變（圖中是6點位置），而且強度也在變化平行束扇形束

扇形束重建-ED等角扇形束重建扇形束重建-Matlab函數Matlab函數：fanbeam()ifanbeam()CT圖像重建小結圖像重建算法比較傅立葉變換法反投影法濾波反投影法算法比較算法比較傅里葉變換重建方法：對于每次測得的投影數據先作一維傅里葉變換，根據中心切片定理，可將此變換結果看成二維頻域中同樣角度下過原點的直線上的值。在不同投影角度下所得的一維變換函數可在頻域中構成完整的二維傅里葉變換函數，將此二維變換函數進行逆變換，就得到了所要求的空間域中的密度函數。傅里葉變換的方法重建圖像時，投影函數的一維傅里葉變換在頻域中表現為極坐標的形式，把極坐標形式的數據通過插補運算轉換為直角坐標形式的數據時，計算的工作量比較