空間的角的計(jì)算課件

空間的角的計(jì)算沛縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)組空間的角的計(jì)算沛縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)組知識(shí)目標(biāo):掌握空間向量的夾角公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；提高學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ螽惷嬷本€夾角的技能能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、類比轉(zhuǎn)化的能力；體驗(yàn)從“定性”推理到“定量”計(jì)算的轉(zhuǎn)化,提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；感受和體會(huì)數(shù)學(xué)美的魅力，激發(fā)“學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)”的熱情.知識(shí)目標(biāo):能力目標(biāo)：情感目標(biāo)：教學(xué)重點(diǎn)：1.空間向量夾角公式及其坐標(biāo)表示；

2.選擇恰當(dāng)方法求兩異面直線的夾角教學(xué)難點(diǎn)：

1.兩條異面直線的夾角與兩個(gè)空間向量的夾

角之間的區(qū)別；2.構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).教學(xué)重點(diǎn)：1.空間向量夾角公式及其坐標(biāo)表示；學(xué)生活動(dòng)--復(fù)習(xí)回顧C(jī)1EDCB1A1D1F1BA情境：如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D中，,求證與垂直.

學(xué)生活動(dòng)--復(fù)習(xí)回顧C(jī)1EDCB1A1D1F1BA情境：如圖問(wèn)題1：如圖，若將E點(diǎn)在AA1，A1B1上移動(dòng)，若移至A1B1的E1處，又將如何確定DF1與BE1的夾角?C1EDCB1A1D1F1BAE1問(wèn)題1：如圖，若將E點(diǎn)在AA1，A1B1上移動(dòng)，若移C1ED求下列兩個(gè)向量夾角的余弦值（1），

（2）.學(xué)生活動(dòng)--及時(shí)鞏固學(xué)生活動(dòng)--及時(shí)鞏固空間的角：空間的角常見(jiàn)的有：線線角、線面角、面面角。

空間兩條異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角。兩條異面直線所成角的范圍是總之，空間的角最終都可以轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角。因此我們可以考慮通過(guò)兩個(gè)向量的夾角去求這些空間角。空間兩條異面直線所成的角的定義：經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作兩條分別與異面直線平行的直線所成的銳角或直角叫異面直線所成的角斜線與平面所成角的定義斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角斜線與平面所成角的范圍直線與平面所成角的范圍空間的角：空間的角常見(jiàn)的有：線線角、線面角、面面角。異面直線所成角的范圍：

思考：結(jié)論：異面直線所成角與它們的方向向量所成的角相等或互補(bǔ)題型一：線線角異面直線所成角的范圍：思考：結(jié)論：異面直線所成角與它們的方

例1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1與DF1所成角的余弦值.題型一：線線角異面直線所成角的范圍：

例1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，題型一：方法小結(jié)①幾何法（綜合法）解：設(shè)

G是

AB的中點(diǎn)，點(diǎn)H在GH連結(jié)AH,GH,則AH

∥DF1,GH//BE.所以∠AHG就是異面直線BE1與DF1所成的角.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，則AG=2,AH=HG=由余弦定理得ADCBD1C1B1A1E1F1從而可得異面直線BE1與DF1所成的夾角余弦值方法小結(jié)①幾何法（綜合法）解：設(shè)G是AB的中點(diǎn)，分析:也可以用向量的方法，先求出它們方向向量的夾角，再確定兩條異面直線直線所成的角。解法2（向量法）分析:也可以用向量的方法，先求出它們方向向量的夾角，再確定兩②向量法本題的幾何結(jié)論：異面直線BE1與DF1夾角的余弦值為.方法小結(jié)①幾何法質(zhì)疑：空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么

區(qū)別？如何轉(zhuǎn)化為本題的幾何結(jié)論?②向量法本題的幾何結(jié)論：異面直線BE1與DF1夾角的余方法

思考：還有其它的證明方法嗎？

思考：還有其它的證明方法嗎？解法3：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

例1.如圖,在正方體

中，

，求

與

所成的角的余弦值.

解法3：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖建例1.如圖,在正方②向量法方法小結(jié)①幾何法③坐標(biāo)法②向量法方法小結(jié)①幾何法③坐標(biāo)法問(wèn)題3：利用坐標(biāo)法求兩條異面直線夾角的一般步驟是什么？小結(jié)評(píng)價(jià)(1)恰當(dāng)?shù)臉?gòu)建空間直角坐標(biāo)系；(2)正確求得所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，空間向量的坐標(biāo)表示及其數(shù)量積；(3)代入空間向量的夾角公式，求得其余弦值；(4)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.問(wèn)題3：利用坐標(biāo)法求兩條異面直線夾角的一般步驟是什么？小結(jié)1.設(shè)點(diǎn)O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)異面直線OA與BC夾角為θ，則θ的值為（）

A.60oB.120oD.240oC.-60o

2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,請(qǐng)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ螽惷嬷本€AC與BD1所成的角.

ADCBD1C1B1A1鞏固練習(xí)一A90o1.設(shè)點(diǎn)O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)

3.

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,

M是AB的中點(diǎn),求對(duì)角線DB1與CM所

成角的余弦值.ADCBD1C1B1A1M3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,

直線與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：題型二：線面角直線與平面所成角的范圍：思考：結(jié)論：題型二：線面角xyz例2在中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)試求直線E1F與平面D1AC所成角的大小.分析思考：若題目中的條件“點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)”改為“CF=1/4CB”，你能得到什么結(jié)論？題型二：線面角xyz例2在中，F(xiàn)鞏固練習(xí)二

1.（2010全國(guó)卷1）（9）正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面

ACD1所成角的余弦值為

（A）

（B）

（C）

（D）

ADCBD1C1B1A1鞏固練習(xí)二

1.（2010全國(guó)卷1）（9）正方體ABCD-A2.在長(zhǎng)方體中，2.在長(zhǎng)方體OABCSxyz3、如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值OABCSxyz3、如圖，已知：直角梯形OABC中，OABCSxyz3、如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(2)OS與面SAB所成角的余弦值所以O(shè)S與面SAB所成角的余弦值為OABCSxyz3、如圖，已知：直角梯形OABC中，4.（2010遼寧理數(shù)）（19）

已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：CM⊥SN（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）（Ⅰ）因?yàn)?/p>

，

所以CM⊥SN（Ⅱ）,設(shè)a=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，

則所以SN與平面CMN所成角為45。SBCMPANxyz4.（2010遼寧理數(shù)）（19）SBCMPANxyz小結(jié)：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

關(guān)鍵：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確寫(xiě)出空間向量的坐標(biāo),將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.

小結(jié)：1.異面直線所成角：2.直線與平面所成角：關(guān)鍵：建布置作業(yè)：課本101頁(yè)習(xí)題6,7,8布置作業(yè)：課本101頁(yè)習(xí)題6,7,8謝謝，再見(jiàn)謝謝，再見(jiàn)空間的角的計(jì)算沛縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)組空間的角的計(jì)算沛縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)組知識(shí)目標(biāo):掌握空間向量的夾角公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；提高學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ螽惷嬷本€夾角的技能能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、類比轉(zhuǎn)化的能力；體驗(yàn)從“定性”推理到“定量”計(jì)算的轉(zhuǎn)化,提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位；感受和體會(huì)數(shù)學(xué)美的魅力，激發(fā)“學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)”的熱情.知識(shí)目標(biāo):能力目標(biāo)：情感目標(biāo)：教學(xué)重點(diǎn)：1.空間向量夾角公式及其坐標(biāo)表示；

2.選擇恰當(dāng)方法求兩異面直線的夾角教學(xué)難點(diǎn)：

1.兩條異面直線的夾角與兩個(gè)空間向量的夾

角之間的區(qū)別；2.構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).教學(xué)重點(diǎn)：1.空間向量夾角公式及其坐標(biāo)表示；學(xué)生活動(dòng)--復(fù)習(xí)回顧C(jī)1EDCB1A1D1F1BA情境：如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D中，,求證與垂直.

學(xué)生活動(dòng)--復(fù)習(xí)回顧C(jī)1EDCB1A1D1F1BA情境：如圖問(wèn)題1：如圖，若將E點(diǎn)在AA1，A1B1上移動(dòng)，若移至A1B1的E1處，又將如何確定DF1與BE1的夾角?C1EDCB1A1D1F1BAE1問(wèn)題1：如圖，若將E點(diǎn)在AA1，A1B1上移動(dòng)，若移C1ED求下列兩個(gè)向量夾角的余弦值（1），

（2）.學(xué)生活動(dòng)--及時(shí)鞏固學(xué)生活動(dòng)--及時(shí)鞏固空間的角：空間的角常見(jiàn)的有：線線角、線面角、面面角。

空間兩條異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角。兩條異面直線所成角的范圍是總之，空間的角最終都可以轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角。因此我們可以考慮通過(guò)兩個(gè)向量的夾角去求這些空間角?？臻g兩條異面直線所成的角的定義：經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作兩條分別與異面直線平行的直線所成的銳角或直角叫異面直線所成的角斜線與平面所成角的定義斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角斜線與平面所成角的范圍直線與平面所成角的范圍空間的角：空間的角常見(jiàn)的有：線線角、線面角、面面角。異面直線所成角的范圍：

思考：結(jié)論：異面直線所成角與它們的方向向量所成的角相等或互補(bǔ)題型一：線線角異面直線所成角的范圍：思考：結(jié)論：異面直線所成角與它們的方

例1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1與DF1所成角的余弦值.題型一：線線角異面直線所成角的范圍：

例1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，題型一：方法小結(jié)①幾何法（綜合法）解：設(shè)

G是

AB的中點(diǎn)，點(diǎn)H在GH連結(jié)AH,GH,則AH

∥DF1,GH//BE.所以∠AHG就是異面直線BE1與DF1所成的角.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4，則AG=2,AH=HG=由余弦定理得ADCBD1C1B1A1E1F1從而可得異面直線BE1與DF1所成的夾角余弦值方法小結(jié)①幾何法（綜合法）解：設(shè)G是AB的中點(diǎn)，分析:也可以用向量的方法，先求出它們方向向量的夾角，再確定兩條異面直線直線所成的角。解法2（向量法）分析:也可以用向量的方法，先求出它們方向向量的夾角，再確定兩②向量法本題的幾何結(jié)論：異面直線BE1與DF1夾角的余弦值為.方法小結(jié)①幾何法質(zhì)疑：空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么

區(qū)別？如何轉(zhuǎn)化為本題的幾何結(jié)論?②向量法本題的幾何結(jié)論：異面直線BE1與DF1夾角的余方法

思考：還有其它的證明方法嗎？

思考：還有其它的證明方法嗎？解法3：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

例1.如圖,在正方體

中，

，求

與

所成的角的余弦值.

解法3：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖建例1.如圖,在正方②向量法方法小結(jié)①幾何法③坐標(biāo)法②向量法方法小結(jié)①幾何法③坐標(biāo)法問(wèn)題3：利用坐標(biāo)法求兩條異面直線夾角的一般步驟是什么？小結(jié)評(píng)價(jià)(1)恰當(dāng)?shù)臉?gòu)建空間直角坐標(biāo)系；(2)正確求得所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，空間向量的坐標(biāo)表示及其數(shù)量積；(3)代入空間向量的夾角公式，求得其余弦值；(4)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.問(wèn)題3：利用坐標(biāo)法求兩條異面直線夾角的一般步驟是什么？小結(jié)1.設(shè)點(diǎn)O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)異面直線OA與BC夾角為θ，則θ的值為（）

A.60oB.120oD.240oC.-60o

2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,請(qǐng)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ螽惷嬷本€AC與BD1所成的角.

ADCBD1C1B1A1鞏固練習(xí)一A90o1.設(shè)點(diǎn)O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)

3.

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,

M是AB的中點(diǎn),求對(duì)角線DB1與CM所

成角的余弦值.ADCBD1C1B1A1M3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,

直線與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：題型二：線面角直線與平面所成角的范圍：思考：結(jié)論：題型二：線面角xyz例2在中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)試求直線E1F與平面D1AC所成角的大小.分析思考：若題目中的條件“點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)”改為“CF=1/4CB”，你能得到什么結(jié)論？題型二：線面角xyz例2在中，F(xiàn)鞏固練習(xí)二

1.（2010全國(guó)卷1）（9）正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面

ACD1所成角的余弦值為

（A）

（B）

（C）

（D）

ADCBD1C1B1A1鞏固練習(xí)二

1.（2010全國(guó)卷1）（9）正方體ABCD-A2.在長(zhǎng)方體中，2.在長(zhǎng)方體OABCSxyz3、如圖，已知：直角梯形OABC中，

OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值OABCSxyz3、如圖，已知：直角梯形OABC中，OABCSxyz3、如圖，已知：直角梯形OABC中，