高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 新人教A必修2

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系編輯ppt1.掌握空間兩條直線間的位置關(guān)系,理解異面直線的定義中“不同在”的含義.2.知道兩條異面直線所成角的意義,掌握兩條直線垂直的含義.3.理解并掌握公理4和等角定理,并能解決有關(guān)問題.編輯ppt123451.異面直線(1)概念:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.(2)圖示:如圖,為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn),作圖時(shí),通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托.編輯ppt12345【做一做1】

如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,與AA1異面的棱是(

)A.AB B.BB1

C.DD1 D.B1C1解析:AA1∥BB1,AA1∥DD1,AA1∩AB=A,AA1與B1C1是異面直線.答案:D編輯ppt123452.空間兩條直線的位置關(guān)系

編輯ppt12345【做一做2】

不平行的兩條直線的位置關(guān)系是(

)A.相交B.異面C.平行D.相交或異面解析:由于空間兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、異面,則不平行的兩條直線的位置關(guān)系是相交或異面.答案:D編輯ppt123453.公理4編輯ppt12345【做一做3】

如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分別是AB,BC,A'B',B'C'的中點(diǎn),求證:EE'∥FF'.證明:在正方體ABCD-A'B'C'D'中,因?yàn)镋,E'分別是AB,A'B'的中點(diǎn),所以BE∥B'E',且BE=B'E'.所以四邊形EBB'E'是平行四邊形.所以EE'∥BB'.同理可證FF'∥BB',所以EE'∥FF'.編輯ppt123454.等角定理

編輯ppt12345歸納總結(jié)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的,當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同或相反時(shí),它們相等,否則它們互補(bǔ).編輯ppt12345【做一做4】

已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',則∠B'A'C'=(

)A.30°

B.150°C.30°或150°

D.60°答案:C編輯ppt123455.兩條異面直線所成的角(夾角)(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a'∥a,b'∥b,我們把a(bǔ)'與b'所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).名師點(diǎn)撥在定義中,空間一點(diǎn)O是任取的,根據(jù)等角定理,可以斷定異面直線所成的角與a',b'所成的銳角(或直角)相等,而與點(diǎn)O的位置無關(guān).異面直線所成的角是刻畫兩條異面直線相對(duì)位置的一個(gè)重要的量,是通過轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角來解決的.編輯ppt12345(2)異面直線所成的角α的范圍:0°<α≤90°.(3)兩條異面直線垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,那么就說這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a,b,記作a⊥b.【做一做5】

在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,與棱AA'垂直且異面的棱有

.

答案:BC,B'C',CD,C'D'編輯ppt121.對(duì)異面直線的理解剖析:異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.要注意異面直線定義中“任何”兩字,它指空間中的所有平面,因此異面直線也可以理解為:如果a與b是異面直線,那么在空間中找不到一個(gè)平面,使其同時(shí)經(jīng)過a,b這兩條直線.編輯ppt12例如,在如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,棱AB和B1C1所在的直線既不平行也不相交,找不到一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過這兩條棱所在的直線,則AB和B1C1是異面直線.要注意分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線不一定是異面直線,可以平行,可以相交,也可以異面.有以下方法可以判斷兩條直線是異面直線:(1)定義法(直觀判斷法):由定義判斷兩條直線不可能在同一個(gè)平面內(nèi).或者用下面的結(jié)論:過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.編輯ppt12用符號(hào)語言表示為:B?α,A∈α,a?α,A?a,則a與直線AB為異面直線.圖形如圖所示.(2)排除法:排除兩條直線共面(平行或相交),則這兩條直線是異面直線.編輯ppt122.作出兩條異面直線所成的角剖析:根據(jù)異面直線所成角的定義,通常在兩條異面直線中的一條直線上取一點(diǎn),然后作另一條直線的平行線即可.但是,在作輔助線之前最好觀察圖形,看看在所給的圖形中,有沒有滿足定義的角,如果沒有,再作輔助線.編輯ppt12例如,在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB和B1C1是異面直線.由于AB∥A1B1,則∠A1B1C1就是它們所成的角,當(dāng)然∠ABC也是它們所成的角;對(duì)于異面直線AD1和B1C來說,在圖中就沒有它們所成的角,這就需要作輔助線,連接BC1交B1C于點(diǎn)E,則BC1∥AD1,故∠C1EC是異面直線AD1和B1C所成的角或其補(bǔ)角.很明顯△C1EC是等腰直角三角形,∠C1EC=90°,即異面直線AD1和B1C所成的角為90°.編輯ppt題型一題型二題型三題型四【例1】

已知三條直線a,b,c,a與b異面,b與c異面,則a與c有什么樣的位置關(guān)系?并畫圖說明.解:直線a與c的位置關(guān)系有三種情況.直線a與c可能平行,如圖①;可能相交,如圖②;可能異面,如圖③.編輯ppt題型一題型二題型三題型四反思判定兩條直線的位置關(guān)系時(shí),若要判定直線平行或相交,可用平面幾何中的定義和方法來處理;判定異面直線的方法往往根據(jù)連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線來判斷.編輯ppt題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷下列直線的位置關(guān)系:(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是

;

(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是

;

(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是

;

(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是

.

編輯ppt題型一題型二題型三題型四解析:對(duì)于(1),因?yàn)锳1D1B1C1,B1C1BC,所以A1D1BC,即四邊形A1D1CB為平行四邊形,所以A1B∥D1C.對(duì)于(2),因?yàn)橹本€A1B?平面A1B,B1∈平面A1B,且B1?直線A1B,直線CB1?平面A1B,所以直線A1B與直線CB1為異面直線.同理(4)中直線AB與直線B1C也是異面直線;對(duì)于(3)直線D1D與直線D1C顯然相交.答案:(1)平行

(2)異面

(3)相交

(4)異面編輯ppt題型一題型二題型三題型四【例2】

已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別為AA1,CC1的中點(diǎn).求證:BF∥ED1.證明:如圖,取BB1的中點(diǎn)G,連接GC1,GE.因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn),所以BG∥C1F,且BG=C1F,即四邊形BGC1F為平行四邊形.所以BF∥GC1.又EG∥A1B1,A1B1∥C1D1,且EG=A1B1,A1B1=C1D1,所以EG∥C1D1,且EG=C1D1,即四邊形EGC1D1為平行四邊形.所以ED1∥GC1.所以BF∥ED1.編輯ppt題型一題型二題型三題型四反思證明兩條直線平行的方法:(1)平行線的定義;(2)三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等;(3)公理4.編輯ppt題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】

如圖所示,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),D,E分別是△PAB和△PBC的重心.求證:DE∥AC.編輯ppt題型一題型二題型三題型四證明

連接PD,PE并延長(zhǎng)分別交AB,BC于點(diǎn)M,N,如圖所示.因?yàn)镈,E分別是△PAB,△PBC的重心,所以M,N分別是AB,BC的中點(diǎn),連接MN,則MN∥AC.在△PMN中,因?yàn)?/p>

所以DE∥MN,所以DE∥AC.編輯ppt題型一題型二題型三題型四【例3】

已知E,E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中點(diǎn),求證:∠BEC=∠B1E1C1.證明:如圖,連接EE1.因?yàn)镋,E1分別是AD,A1D1的中點(diǎn),所以AE∥A1E1,且AE=A1E1,即四邊形AEE1A1是平行四邊形.所以AA1∥EE1,且AA1=EE1.又AA1∥BB1,且AA1=BB1,所以EE1∥BB1,且EE1=BB1,即四邊形BEE1B1是平行四邊形.所以BE∥B1E1.同理可證CE∥C1E1.又∠BEC與∠B1E1C1的兩邊方向相同,所以∠BEC=∠B1E1C1.編輯ppt題型一題型二題型三題型四反思在立體幾何中,常利用等角定理來證明兩個(gè)角相等,此時(shí)要注意觀察這兩個(gè)角的方向必須相同,且能證明它們的兩邊對(duì)應(yīng)平行.編輯ppt題型一題型二題型三題型四編輯ppt題型一題型二題型三題型四【例4】

如圖,在空間四邊形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),求EF和AB所成的角的大小.編輯ppt題型一題型二題型三題型四編輯ppt題型一題型二題型三題型四反思1.求兩條異面直線所成的角的一般步驟:(1)作:根據(jù)所成角的定義,用平移法作出兩條異面直線所成的角;(2)證:證明作出的角就是要求的角;(3)計(jì)算:尋找或作出含有此角的三角形,求解計(jì)算;(4)結(jié)論:若求出的角是銳角或直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.2.過一點(diǎn)作兩條異面直線所成的角時(shí),常把這個(gè)點(diǎn)取在其中一條直線上的特殊位置,或是圖形的特殊點(diǎn),這樣可方便于求這個(gè)角的大小.3.三角形的中位線是立體幾何中常用到的線段,是解決立體幾何問題最重要的輔助線.編輯ppt題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練4】

如圖,在正方體ABCD-A