2016屆高三一輪復(fù)習(xí)步步高光盤-理科-全書課件數(shù)學(xué)第十二章

數(shù)學(xué)A（理）§12.3幾何概型第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1．幾何概型如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的

(

或

)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為

．長(zhǎng)度面積體積幾何概型2．幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式P(A)＝3．要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有

；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有

．4．隨機(jī)模擬方法(1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以便通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法．無(wú)限多個(gè)等可能性思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零．(

)(2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等．(

)(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(

)√√√(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率．(

)(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．(

)(6)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P＝

.(

)返回√××題號(hào)答案解析1234

EnterBB0.18解析解析思維升華解析思維升華解析思維升華幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無(wú)限性；二是等可能性．基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無(wú)限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．解析思維升華解析思維升華解

因?yàn)椤螧＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°，解析思維升華記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，使BM<1”,則可得∠BAM<∠BAD時(shí)事件N發(fā)生．解析思維升華.幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無(wú)限性；二是等可能性．基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無(wú)限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．解析思維升華B跟蹤訓(xùn)練1(2)在半徑為1的圓內(nèi)的一條直徑上任取一點(diǎn),過(guò)這個(gè)點(diǎn)作垂直于直徑的弦,則弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率是____．解析記事件A為“弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”，如圖，不妨在過(guò)等邊三角形BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時(shí)，就是等邊三角形的邊長(zhǎng)(此時(shí)F為OE中點(diǎn))，弦長(zhǎng)大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型公式得：思維點(diǎn)撥解析答案思維升華題型二與面積、體積有關(guān)的幾

何概型例2

(1)設(shè)不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(

)求隨機(jī)點(diǎn)所在區(qū)域與所有區(qū)域的面積或體積比．思維點(diǎn)撥解析答案思維升華題型二與面積、體積有關(guān)的幾

何概型例2

(1)設(shè)不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(

)解析如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的區(qū)域．思維點(diǎn)撥解析答案思維升華題型二與面積、體積有關(guān)的幾

何概型例2

(1)設(shè)不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(

)思維點(diǎn)撥解析答案思維升華題型二與面積、體積有關(guān)的幾

何概型例2

(1)設(shè)不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(

)D思維點(diǎn)撥解析答案思維升華題型二與面積、體積有關(guān)的幾

何概型例2

(1)設(shè)不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(

)數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的方法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，思維點(diǎn)撥解析答案思維升華題型二與面積、體積有關(guān)的幾

何概型例2

(1)設(shè)不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(

)D思維點(diǎn)撥解析答案思維升華題型二與面積、體積有關(guān)的幾

何概型例2

(1)設(shè)不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是(

)D思維點(diǎn)撥解析答案思維升華例2

(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．求隨機(jī)點(diǎn)所在區(qū)域與所有區(qū)域的面積或體積比．例2

(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．思維點(diǎn)撥解析答案思維升華例2

(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．思維點(diǎn)撥解析答案思維升華例2

(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．思維點(diǎn)撥解析答案思維升華例2

(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．思維點(diǎn)撥解析答案思維升華數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的方法．用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，例2

(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．思維點(diǎn)撥解析答案思維升華例2

(2)有一個(gè)底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．思維點(diǎn)撥解析答案思維升華如圖所示，(a，b)可看成坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面積SΩ＝(2π)2＝4π2.事件A表示函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即圖中陰影部分，其面積為SM＝4π2－π3，答案

B跟蹤訓(xùn)練2

(2)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1

內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________．思維點(diǎn)撥解析思維升華題型三生活中的幾何概型問(wèn)題例3甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的．如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)變量控制時(shí)，一般是把兩個(gè)連續(xù)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決．題型三生活中的幾何概型問(wèn)題例3甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的．如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．思維點(diǎn)撥解析思維升華解

這是一個(gè)幾何概型問(wèn)題．設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y，A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0≤x≤24,0≤y≤24，題型三生活中的幾何概型問(wèn)題例3甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的．如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．思維點(diǎn)撥解析思維升華要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1h以上或乙比甲早到達(dá)2h以上,即y－x≥1或x－y≥2.題型三生活中的幾何概型問(wèn)題例3甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的．如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．思維點(diǎn)撥解析思維升華故所求事件構(gòu)成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}．題型三生活中的幾何概型問(wèn)題例3甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的．如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．思維點(diǎn)撥解析思維升華題型三生活中的幾何概型問(wèn)題例3甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的．如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．思維點(diǎn)撥解析思維升華生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造方法：(1)審題：通過(guò)閱讀題目，提煉相關(guān)信息．(2)建模：利用相關(guān)信息的特征，建立概率模型．題型三生活中的幾何概型問(wèn)題例3甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的．如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．思維點(diǎn)撥解析思維升華題型三生活中的幾何概型問(wèn)題例3甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的．如果甲船停泊時(shí)間為1h，乙船停泊時(shí)間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率．(3)解模：求解建立的數(shù)學(xué)模型．(4)結(jié)論：將解出的數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為題目要求的結(jié)論．思維點(diǎn)撥解析思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2014·重慶)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________．(用數(shù)字作答)解析在平面直角坐標(biāo)系中畫出由小王(x)和小張(y)到校的時(shí)間對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)所構(gòu)成的平面區(qū)域，再畫出小張比小王至少早到5分鐘對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)所構(gòu)成的平面區(qū)域，計(jì)算出兩區(qū)域的面積，利用幾何概型的概率公式計(jì)算即可．設(shè)小王到校時(shí)間為x，小張到校時(shí)間為y，則小張比小王至少早到5分鐘時(shí)滿足x－y≥5.如圖，原點(diǎn)O表示7：30，在平面直角坐標(biāo)系中畫出小王和小張到校的時(shí)間構(gòu)成的平面區(qū)域(圖中正方形區(qū)域)，該正方形區(qū)域的面積為400，小張比小王至少早到5分鐘對(duì)應(yīng)的圖形(圖中陰影部分)的面積為

×15×15＝

，故所求概率典例：(12分)在長(zhǎng)度為1的線段上任取兩點(diǎn)，將線段分成三段，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率．易錯(cuò)警示系列18混淆長(zhǎng)度型與面積型幾何概型致誤易錯(cuò)分析規(guī)范解答溫馨提醒不能正確理解題意，無(wú)法找出準(zhǔn)確的幾何度量來(lái)計(jì)算概率．典例：(12分)在長(zhǎng)度為1的線段上任取兩點(diǎn)，將線段分成三段，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率．易錯(cuò)警示系列18混淆長(zhǎng)度型與面積型幾何概型致誤易錯(cuò)分析規(guī)范解答溫馨提醒典例：(12分)在長(zhǎng)度為1的線段上任取兩點(diǎn)，將線段分成三段，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率．易錯(cuò)警示系列18混淆長(zhǎng)度型與面積型幾何概型致誤解設(shè)x、y表示三段長(zhǎng)度中的任意兩個(gè)．因?yàn)槭情L(zhǎng)度，所以應(yīng)有0<x<1,0<y<1,0<x＋y<1，即(x，y)對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)的點(diǎn)，如圖所示．4分

易錯(cuò)分析規(guī)范解答溫馨提醒典例：(12分)在長(zhǎng)度為1的線段上任取兩點(diǎn)，將線段分成三段，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率．易錯(cuò)警示系列18混淆長(zhǎng)度型與面積型幾何概型致誤8分

易錯(cuò)分析規(guī)范解答溫馨提醒典例：(12分)在長(zhǎng)度為1的線段上任取兩點(diǎn)，將線段分成三段，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率．易錯(cuò)警示系列18混淆長(zhǎng)度型與面積型幾何概型致誤12分

易錯(cuò)分析規(guī)范解答溫馨提醒解決幾何概型問(wèn)題的易誤點(diǎn)：(1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型，導(dǎo)致錯(cuò)誤．(2)利用幾何概型的概率公式時(shí)，忽視驗(yàn)證事件是否具有等可能性，導(dǎo)致錯(cuò)誤．典例：(12分)在長(zhǎng)度為1的線段上任取兩點(diǎn)，將線段分成三段，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率．易錯(cuò)警示系列18混淆長(zhǎng)度型與面積型幾何概型致誤返回易錯(cuò)分析規(guī)范解答溫馨提醒方法與技巧2．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用對(duì)一個(gè)具體問(wèn)題，可以將其幾何化，如建立坐標(biāo)系將試驗(yàn)結(jié)果和點(diǎn)對(duì)應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式．(1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在坐標(biāo)軸上即可；1．區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)還是無(wú)限個(gè)．方法與技巧(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來(lái)描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型．失誤與防范1．準(zhǔn)確把握幾何概型的“測(cè)度”是解題關(guān)鍵；返回2．幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.23456789101C2345678910123456789101C23456789101C2345678910123456789101解析如圖，當(dāng)BE＝1時(shí)，∠AEB為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B、E點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形；當(dāng)BF＝4時(shí)，∠BAF為直角，則點(diǎn)D在線段CF(不包含C、F點(diǎn))上時(shí)，△ABD為鈍角三角形.答案

C2345678910123456789101解析設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，則OD＝DA＝DC＝1.23456789101所以整體圖形中空白部分面積S2＝2.所以陰影部分面積為S3＝π－2.答案

A23456789101234567891017.(2013·湖北)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為

，則m＝________.即m的值為3.323456789101如圖，由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)Q(m，n)，點(diǎn)Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分，234567891019.小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于

，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于

，則去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為________.2345678910110.已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足a·b＝－1的概率；解將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6×6＝36(個(gè))；23456789101由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，所以滿足a·b＝－1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè)；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿足a·b<0的概率.解若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,