2022-2023學(xué)年吉林省高二上學(xué)期大練習(xí)一數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高二上學(xué)期大

練習(xí)一數(shù)學(xué)試題一、單選題1.對(duì)于直線，"、"和平面a,下面命題中的真命題是（ ）A.如果mua,n<Za,m,〃是異面直線，那么〃〃aB.如果/nua,nua,m、〃是異面直線，那么”與a相交C.如果小ua,n//a,m,”共面，那么D.如果m〃a,nila,m.〃共面，那么【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系并結(jié)合圖形即可判斷答案【詳解】解：對(duì)于A,如果mua,nga,m,"是異面直線，則〃〃a或"與a相交，故A錯(cuò)；對(duì)于B,如果mua,n（za,m,〃是異面直線，那么〃與a相交或平行，故B錯(cuò)；對(duì)于C,如果機(jī)ua,nila,小、〃共面，由線面平行的性質(zhì)定理，可得m//",故C對(duì);對(duì)于D,如果/?〃a,nila,機(jī)、〃共面，則向/〃或機(jī)，"相交，故D錯(cuò)故選:C.直線a，直線6,6_1_平面夕，則。與用的關(guān)系是（）A. B.a//p C.au￡ D.au6或a〃/7【答案】D【分析】由線面平行的判定條件即可得出結(jié)論.【詳解】由題可知：當(dāng)直線aJ■直線6,6J?平面夕時(shí)，直線?！?或au",如圖所示：故選：D.如果直線/,機(jī)與平面a,P,/滿足：1=陰y,I//a,“ua和5_Ly,那么必有（）B.m//pC.B.m//pC.mLpD.I//m【答案】A【分析】由線面垂直得到線線垂直，即可得出結(jié)論.【詳解】1/,且/uy, A正確，D錯(cuò)誤.直線加和平面夕沒有確定關(guān)系.故選：A..在正方體A8CQ-A與GA中，E為棱CD的中點(diǎn)，則.A.\EVDCXB.AtElBDC.A,EA.BCtD.\ELAC【答案】C【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形根據(jù)空間中的垂直的判定對(duì)給出的四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行分析、判斷后可得正確的結(jié)論.【詳解】畫出正方體,如圖所示.對(duì)于選項(xiàng)A,連若AELOG，又。C—AA，所以。C1_L平面AEA，所以可得DCt1DjE,顯然不成立，所以A不正確.對(duì)于選項(xiàng)B,連AE,若又B4J.AA，所以。5L平面AAE,故得BDLAE,顯然不成立，所以B不正確.對(duì)于選項(xiàng)C,連AR,則AR||BC1.連A。，則得A。_LARAA，E￡>,所以平面AOE,從而得ar_lae,所以ae，8G.所以C正確.對(duì)于選項(xiàng)D,連AE,若AELAC,又AC1A4,所以ACJ■平面A4E,故得AC_LAE,顯然不成立，所以D不正確.故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，然后結(jié)合圖形并利用排除法求解，考查數(shù)形結(jié)合和判斷能力，屬于基礎(chǔ)題..以等腰直角三角形A8C斜邊AB匕的高C。為棱，把它對(duì)折成空間四邊形ACBZZJT且=則折后兩條直角邊C4,C8的夾角為（）A.30° B.45° C.60° D.75°【答案】C【分析】由勾股定理可證AB=CB=AC,則aABC是正三角形，由此可得結(jié)果【詳解】解：折起后如圖=設(shè)C8=AC=a,則AO=BO=等a, AB=^AD'+BD2=a-二在空間四邊形ACBO中，aA5C是正三角形，.?.NC4B=60。，故選:C.若空間中四條不同的直線4，￡4，/,滿足G，。，則下面結(jié)論正確的是（）A.A1/4 B./1///4c.4，。既不垂直也不平行 D.4，4的位置關(guān)系不確定【答案】D【分析】在長(zhǎng)方體中舉例說明4,乙可能的位置關(guān)系，由排除法可得正確選項(xiàng).【詳解】【詳解】如圖：在長(zhǎng)方體中，記。0為4,OC為/2，DA為％，滿足題中條件/21/3,若AA為*滿足此時(shí)/]/〃4；若G。為如滿足Al3此時(shí)《與/4相交；若AB為L(zhǎng)，滿足，3，乙，此時(shí)乙與《異面垂直；若CQ為乙，滿足，3，乙，此時(shí)4與/,相交垂直；因此4，。的位置關(guān)系不確定，所以選項(xiàng)ABC都不正確，故選：D.7.長(zhǎng)方體A8CD-A4Gq中，直線烏C和G。與底面A8CD所成角分別為60。和45。,則異面直線4c和G。所成的角的余弦值為（）A.如 B?立 C.史 D.近6 6 4 3【答案】C【分析】設(shè)8c=1,利用線面角的定義與長(zhǎng)方體的性質(zhì)可求得3g=8=6,連接AB1,AC,則。所以異面直線BC和G。所成角即為NA8C，由余弦定理可得結(jié)果.【詳解】設(shè)8c=】，易得NBCB為BC與由底面ABC。所成角，所以NBC8=60",所以在RtaB、CB中，可得eg=BB、=6,B[C=2.同理NCQC為G。與由底面ABC。所成角，所以NCQC=45",所以在RtACQC中，可得DC=?DQ=R.連接Aq,AC,則。CJ/A4，所以異面直線BtC和C.D所成角即為N48C.在VABC中，易得AB,=#,gC=2,AC=2,由余弦定理可得cosNAB。=6+^-4=—,2V6x2 4故選:C.8.如圖所示，在四棱柱ABCO-ABCR中，例J"平面ABCO,四邊形A8C。為梯形,AD//BC,且AD=3BC,過A，C,。三點(diǎn)的平面記為a,網(wǎng)與a的交點(diǎn)為Q,則以下四個(gè)結(jié)論：①Q(mào)C//AQ；@B,Q=2QB.③四棱柱被平面a分成的上下兩部分的體積相等，④幾何體8C。-ADA,是三棱臺(tái).其中正確的個(gè)數(shù)為（

A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】延長(zhǎng)A。與AB相交于尸，連結(jié)PC,可證明PwCD,即可判斷④；通過線段之間的比例即可判斷①②；通過對(duì)四棱柱被平面a分成的上下兩部分的體積進(jìn)行計(jì)算,即可判斷③【詳解】解：延長(zhǎng)4。與A8相交于P,連結(jié)PC,因?yàn)镻eAQ,PeAB，AQu平面a,A8u平面ABCD,所以尸在平面a與平面ABC。的交線C。上，即尸eC￡>,由A￡>〃BC及棱柱的性質(zhì)可得平面AACA與平面BCCB平行，所以幾何體BCQ-AD4,可看做是三棱錐P-ADA,被平面截剩下的一部分，故幾何體8CQ-AD4，是三棱臺(tái)，故④正確;pnpci因?yàn)锳D//BC,且AD=33C,所以巖=詈=腎=；，BQPBPQ因?yàn)锳V/BQ,所以尚=詼=而PQPC\ 一因?yàn)檠?右=鼻，所以QC7/A。，故①正確；因?yàn)槟?84,所以鬟■=：,即4Q=2QB,故②正確;DD,J因?yàn)槿尽盨.PADBCAD因?yàn)槿尽盨.PADBCAD|=—>所以S4PAD=9s4PBe>S梯形A5CO=8s4PBC，因?yàn)锳A,_L面ABC。，所以匕-PAD~§S&pad,AA,=3s4PBe,",,^Q-PBC=§S.PBC,BQ=—S4PBe,你,%棱股4GA一ABCD=S梯開,AA^=8SqPBC, ，%核柱4用%核柱4用GA-abco-(V^-padV-V*A,-PADrQ-PBC言，故③錯(cuò)誤:故選：C.二、多選題9.下列命題中正確選項(xiàng)的是（）A.兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角B.二面角平面角。的范圍是0。4。490°C.二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系D.異面直線m人分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a,b組成的角與這個(gè)二面角相等或互補(bǔ)【答案】CD【分析】對(duì)于A,由二面角的定義判斷，對(duì)于B,由二面角的范圍判斷，對(duì)于C,由二面角和平面角的定義判斷，對(duì)于D,由線面垂直的性質(zhì)和二面角的定義判斷【詳解】解：對(duì)于A,從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,二面角平面角。的范圍是0。4。4180。，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由定義知二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系，所以C正確;對(duì)于D,因?yàn)閍,6分別垂直于兩個(gè)面，所以也垂直于二面角的棱，但由于異面直線所成的角為銳角或直角，所以應(yīng)是相等或互補(bǔ)，故D正確；故選：CD10.如圖，是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中：以下四個(gè)命題中，正確命題的選項(xiàng)是（）與EC平行CN與BM成60。角CN與BE是異面直線￡>M與BN是異面直線【答案】BD【分析】畫出直觀圖，根據(jù)異面直線和共面直線的判定，可知A和C錯(cuò)誤，D正確,再根據(jù)“av是等邊三角形，得出B正確.【詳解】正方體的直觀圖如圖所示：很顯然，與EC不平行，A錯(cuò)誤；連接AN,AC,易知“av是等邊三角形，CN與的夾角即為NANC=60。，B正確;很顯然，CN//BE,C錯(cuò)誤；0M與BN是異面直線，D正確.故選：BD.11.如圖，四棱錐S-ABC。的底面為正方形，SOJ?底面ABCQ,則下列結(jié)論中正確的ACLSBAB〃平面5coSA與平面SB。所成的角等于SC與平面SB。所成的角AB與SC所成的角等于OC與SA所成的角【答案】ABC【分析】證明AC_L面S3。即可判斷A；由線面平行的判定定理可判斷B：由線面角的定義求出兩個(gè)線面角即可判斷C；根據(jù)異面直線所成的角可判斷D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng)【詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)镾O,底面ABC。，ACu面ABC。，所以S￡)J_AC,因?yàn)榈酌鍭BC。是正方形，所以AC_LB￡),因?yàn)镾RBOu平面S3。，所以AC_L平面SB。，因?yàn)镾Bu平面S3。，所以AC_LS8,故A正確；對(duì)于B：因?yàn)榈酌鍭BC。是正方形，所以AB〃CZ),因?yàn)锳8<x平面SCZ),CZ)u平面SCD,由線面平行的判定定理可得〃平面SCO,故B正確；對(duì)于C：設(shè)ACD8O=O,連接SO,因?yàn)锳CJ■平面SOu平面58￡),所以ZASO即為SA與平面SBD所成的角，NCSO即為SC與平面S3。所成的角，AC±SO,因?yàn)锳O=CO,SO=SO,且AC_LSO,所以tanZASO=tan/CSO,可得N4SO=NCSO,所以S4與平面SB。所成的角等于SC與平面S3。所成的角，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)锳B〃C。，所以NSCD即為A8與SC所成的角，即為OC與SA所成的角，因?yàn)?ABLSD,ADcSD=D,AO,SOu平面1sA。，所以AS_L平面SA。，因?yàn)镾Au平面SAD,所以AB_LS4,所以NSA8=90,因?yàn)镹S￡)C=90,所以NSC￡)x90,所以NSCDxNSAB,所以AB與SC所成的角不等于OC與SA所成的角，故D不正確;

A B故選：ABC12.如圖，等邊三角形ABC的中線A廠與中位線OE相交于G,已知aAOE是aA￡>E繞OE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，下列命題中正確的是（）A'CA'CA.動(dòng)點(diǎn)A在平面ABC上的射影在線段AF上B.恒有。E_L平面AFGC.三棱錐4-耳刀的體積有最大值D.異面直線WE與80不可能垂直【答案】ABC【分析】由斜線的射影定理可判斷A,由線面垂直的判定定理可判斷B,由三棱錐的體積公式，可判斷C,由面直線所成的角的概念判斷D.【詳解】對(duì)于A,設(shè)動(dòng)點(diǎn)4在平面ABC上的射影為。，連接O2OE,因?yàn)閍'O=A'E，所以O(shè)D=QE,因?yàn)榈冗吶切蜛BC的中線AF與中位線OE相交于G,所以E尸〃A8,EF=-AB,DF//AC,OF='AC,因?yàn)锳B=AC,所以所=。尸，所以四邊形AOFE2 2為菱形，所以四垂直平分DE,所以動(dòng)點(diǎn)A在平面ABC上的射影。在線段AF上，所以A正確，對(duì)于B,由選項(xiàng)A可知四邊形A0FE為菱形，所以AF10E，所以尸G，OE,A'G，OE,因?yàn)槭珿P|AG=G,FG,AGu平面ANG,所以。E_L平面AFG,所以B正確，對(duì)于C,當(dāng)平面A'￡）￡_L平面BCE。，三棱錐A-￡FD的高最大，而底面DE尸的面積不變，所以此時(shí)三棱錐A-￡7Z>的體積最大，所以C正確，對(duì)于D,當(dāng)4爐+防2=4產(chǎn)時(shí)，a'E_LE尸，因?yàn)镋F〃BD,所以AEJ.8O，所以此時(shí)異面直線AE與BC垂直，所以D錯(cuò)誤,故選：ABC三、填空題.已知平面a,夕和直線m,給出條件:①〃2〃a；②mJLa；③mua；④a〃夕.當(dāng)滿足條件_ 時(shí)，有機(jī)，力.（選填其中的兩個(gè)條件）【答案】②④【分析】由于當(dāng)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)時(shí)，此直線也垂直于另一個(gè)平面,由此能求出結(jié)果.【詳解】解：???由于當(dāng)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)時(shí)，此直線也垂直于另一個(gè)平面，結(jié)合所給的選項(xiàng)，故由②④可推出?夕.即②④是山，戶的充分條件，滿足條件②④時(shí)，有山，尸.故答案為：②④..如圖所示，在矩形A8CZ）中，48=1,8。=4,/%，平面438,若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ-LQD,則a的值等于.【答案】2

【分析】連結(jié)AQ.先證明出，面PAQ,得到_LQA.由在BC上只有一個(gè)點(diǎn)。滿足PQ1QD,判斷出BC與以AO為直徑的圓相切，即可求出a.【詳解】連結(jié)AQ.因?yàn)镻A_L平面ABC。，所以PA_LQ￡>.又PQLQD,PAu面PAQ,QAu面P4Q,所以。。_1面以。,所以?！?gt;，04.因?yàn)樵贐C上只有一個(gè)點(diǎn)。滿足尸QLQO,所以8c與以A。為直徑的圓相切.因?yàn)锳8=l,BC=a,所以a=2.故答案為：2.如圖，在三棱錐尸-ABC的平面展開圖中，AC=1,AB=AD=4i，ABI.AC,ABLAD,ZCA￡=30°,則cosNFCB=.F(P)F(P)【答案】4【分析】在aACE中，利用余弦定理可求得CE,可得出CF,利用勾股定理計(jì)算出BC、BD,可得出8尸，然后在△8C尸中利用余弦定理可求得8SN尸C8的值.

【詳解】?.ABVAC,AB=g,AC=1,由勾股定理得8C=JAB2+AC2=2，同理得8D=#，.?.BF=8O=#，在aACE中，AC=\,AE=AD=j3,NC4E=30。，由余弦定理得a=AC?+AE2-2ACAEcos30=l+3-2xlxx/3x—=1,2:.CF=CE=\,在△Bb中，BC=2,BF=娓,CF=\,由余弦定理得CVS由余弦定理得CVS/尸裝;產(chǎn).1+4-62x1x2故答案為：T【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題..設(shè)P,Q為一個(gè)正方體表面上的兩點(diǎn)，已知此正方體繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)外0<0<2n）角后能與自身重合，那么符合條件的直線PQ有條.【答案】13【詳解】試題分析：由題意，符合條件的直線PQ必過正方體的中心，否則正方體的中心繞PQ旋轉(zhuǎn)8（0<0<2n）角后不能回到原位置，得到的新正方體必定與原正方體不重合.滿足題意的直線PQ共有三種情況：TT3冗樣的PQPQ有4條:如圖2,當(dāng)PQ穿過正方體對(duì)面中心時(shí)，正方體繞PQPQ旋轉(zhuǎn)肛號(hào)時(shí)，能與原圖重合.這樣的PQ有3條：如圖戳，當(dāng)尸Q穿過正方體對(duì)棱中點(diǎn)時(shí)，正方體繞PQ旋轉(zhuǎn)萬時(shí)，能與原圖重合.這樣的PQ有6條.所以，符合條件的直線PQ有13條.【解析】空間幾何體的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.四、解答題.如圖，在正方體ABCO-ABCi。中，E為CG的中點(diǎn).(1)在圖中作出平面4RE和底面ABCD的交線，并說明理由：(2)平面將正方體分成兩部分，求這兩部分的體積之比.【答案】(1)答案見解析；(2)7:17.【解析】(1)在正方形。CGR中，直線RE與直線0c相交，設(shè)REcOC=F,連接AF,可證尸w平面ABCD且尸e平面ARE,得到平面平面A5C￡)=AF；(2)設(shè)BCcAF=G,連接GE,證明EG//AR,則平面ARE將正方體分成兩部分，其中一部分是三棱臺(tái)CGE-D4".設(shè)正方體ABCO-AqGA的棱長(zhǎng)為2.求出棱臺(tái)CGE-DAD、的體積，由正方體體積減去棱臺(tái)體積可得另一部分幾何體的體積作比得答案.【詳解】(1)在正方形DCC,4中,直線RE與直線OC相交，設(shè)REcOC=尸，連接AF,VF&DC,DCu平面ABCD,則Fe平面A8CD,'：FeDtE,REu平面ARE,Fe平面ARE.平面A。Ec平面ABCD=AF.(2)設(shè)BCcAFuG,連接GE,由E為CG的中點(diǎn)，得G為BC的中點(diǎn)，EGHAD、,則平面A"E將正方體分成兩部分，其中一部分是三棱臺(tái)CGE-DAD,.設(shè)正方體abcd-ab￡2的棱長(zhǎng)為2._7 _71/臺(tái)《；￡34=匕“哂—^F-CGE~g^F-DA1^=04clxFD7 17.??另一部分幾何體的體積為23--=—.，兩部分的體積比為7:17【點(diǎn)睛】本小題主要考查面與面的位置關(guān)系，考查幾何體體積的求法.18.如圖，已知矩形ABCC所在平面外一點(diǎn)P,用l_L平面ABC￡>,E、尸分別是A8、PC的中點(diǎn).B C(1)求證：EFP平面「A。；⑵若NPDA=45。，求E尸與平面ABCD所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)45°【分析】(1)取PO中點(diǎn)G,連接AG、FG,證明四邊形AEFG是平行四邊形，可得AG//EF,即可證明EFP平面PA。；(2)過G作G4_L4),垂足為H,則GH//PA,可得GH1平面ABC。，根據(jù)AG//EF,可得AG與平面ABCD所成的角等于EF與平面ABCD所成的角，從而可得NGAH即為所求，從而可得出答案.【詳解】(1)證明：如圖，取尸。中點(diǎn)G,連接AG、FG,,:E、尸分別為AB、PC的中點(diǎn),AAE=-AB,G尸〃DC且GF=』OC,2 2又在矩形ABC。中，A8||C￡＞且4B=C。，:.AE〃G廣且4E=GF,二四邊形AEFG是平行四邊形，/.AG//EF,又AGu平面以D,EF。平面附C,EFP平面PAO：(2)解：；4G〃防，AG與平面ABCD所成的角等于EF與平面ABCD所成的角,過G作G"_LA￡),垂足為“，則G//〃24,:以_L平面4BC。，；.G//_L平面ABCO,二AGAH為AG與平面ABCD所成的角，VZPDA=45°,G為 的中點(diǎn)，：.ZGAH=45°,即EF與平面A8CO所成的角為45。.19.如圖，已知圓柱002,過軸002的截面圖形ABCO為正方形，點(diǎn)M在底面圓周上,TT且448例==，N為C3的中點(diǎn).6M⑴求證：AMJ■平面M8C；（2）求直線MN與平面AMC所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析⑵等【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)定理及圓直徑所對(duì)圓周角為直角證明線線垂直，再由線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面的法向量G,然后再根據(jù)直線MN與平面AMC所成角的正弦值為sina=|cos^A/A^,/j^|及sin2a+cos2a=1求得余弦值.【詳解】（1）證明：根據(jù)題意得，在圓柱。。2中，BCL底面圓口,即BC_L平面AMB,又因?yàn)?Wu平面AA/，所以AA/_LBC,因?yàn)辄c(diǎn)M在底面圓周上，且AB為底面直徑，7T所以N4MB=5，即因?yàn)?CC|BM=8,且8Cu平面M8C,BMu平面M8C,所以AM_L平面MBC.（2）如圖，以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以麗、市方向?yàn)閤軸、V軸正方向，過點(diǎn)M作直線。。2的平行線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=2,因?yàn)镹ABM=工，NAMB=W，所以4W=1,BM=下）.6 2根據(jù)題意得M（0,0,0）,川技0,0）,4（0,1,0）,C（60,2）,N（瓜0,1）,所以麗=（石,0,1）,庇=（0,1,0）,a7c=（^,o,2）,設(shè)平面AMC的法向量為A=（x,y,z）,rfnlMA_fy=0由i ，得（廣 ，nlMC[V3x+2z=O令x=2,則y=0,