2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)-數(shù)列

2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)

數(shù)列PARTI基礎(chǔ)篇一、數(shù)列概念與表示方法1、按照一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列的一般形式是內(nèi)、 即、 ,簡記為{%}.按項數(shù)分類：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列按單調(diào)性分類：遞增數(shù)列(vneN\an+1>an\遞減數(shù)列(VneNf,an+1<an)、常數(shù)列、擺動數(shù)列2、通項公式：即用n來表示的公式例1:1、-：、 an=(-l)n-1-i例2：2、0、2、0 an=(-l)n-1+l不是每個數(shù)列都能寫出通項公式3、遞推公式：即用前幾項來表示的公式例：an=2an_x+1、an=即-i+即-2二、等差數(shù)列1、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。公差可正可負(fù)，也可以為0.an-Qn_i=d(n>2)an+1—an=d(nWN*)2、等差中項：Q、b、C三個數(shù)組成等差數(shù)列，這時b叫做Q和C的等差中項。2b=Q+C3、等差數(shù)列的通項公式：冊=%+-1，d(neN*)證明：(累加法)由定義得，an-%_1=d(n>2)所以,an—0n——da3-a2=dq2-Q]=d以上式子累加可得，Q九一的=(九一l)d所以z=ai+(n-1)d(n>2)當(dāng)n=1時，上式兩邊都等于為所以g=4+(n-1)d(neN*)4、重要1:m,n,p,qWN*,且m+n=p+qz貝！+冊=即+%5、等差數(shù)列的前n項和：Sn=n%+峋裂證明：(倒序相加法)sn=Q1+Q2+……+QnSn=Qn+Qn-1++@12szi=(。1+即)+(Q2+Qn-l)+……+(Qn+01)="(。1+即)q_Mai+aQ—— 2把須=%+(n—1)d代入上式得，c .n(n-l)dsn=呵+---6、等差數(shù)列習(xí)題例1:在等差數(shù)列｛斯｝中，已知的=1,。3+。5=8,則。7=()例2：如果2,a,b,c,10成等差數(shù)列，那么c-a=()例4：已知｛%｝為等差數(shù)列，=52,%+￡14+=147,前側(cè)和為Sn,則使得又達(dá)到最大值時〃是()例5:在等差數(shù)列｛an｝中，a4+a6+a8+a10+a12=120,貝！!由()—^an=()例6：已知數(shù)列｛斯｝滿足：%=2,即=2 (n>1),記b.an-i+4 an+1(1)求證：數(shù)列｛b｝是等差數(shù)列(2)求.例7：已知5｝的前幾項和為右,若。2020>o,a2019+a2020<0,則滿足%>0的最小正整數(shù)n=()三、等比數(shù)列1、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示。公比可正可負(fù)，但不可以為0.—=q(n>2)an-l皿=《(neN*)an2、等比中項：a、b、c三個數(shù)組成等比數(shù)列，這時b叫做a和c的等比中項。爐=ac3、等比數(shù)列的通項公式：“=%?q"T(neN*)證明：(累乘法)由定義得，上=q(n>2)an-l所以，上=qan-l以上式子累成可得，%=qn-i.所以，4=%?q〃T(n22)當(dāng)n=1時，上式兩邊都等于由所以即=?qnT，n€N*)4、重要；m,n,u,vEN*,且m+n=u+v,則“冊=auav5、等比數(shù)列的前n項和：S”=半?,<7*1證明:(錯位相減法)Sr=Q]+Q2+??????+。71=Q1+Q1Q+ + a1(/n-1qSn=Qiq+Qiq2+ +a1qn_1+Q〔qnSn—qSn=Qi+Qiqn(1-q)5n=01(1+<?")當(dāng)qH1時，Sn=當(dāng)手i-q當(dāng)q=1KtiSn—?iQ]6、等比數(shù)列習(xí)題例1：在等比數(shù)列｛an｝中，已知Q4a5=4,則由。2..?他=()例2：已知等比數(shù)列｛冊｝的前幾項和為％,若a2s4=a4s2,則如=()aiPARTn提升篇一、累加法題型an+1=an+/(n)1、an+i=an-I-an+ (n>2)例：an+i=an+2n+1(n>2),ax=1,求。九解：an- =2n-1(n>2)Qn-l—an-2=2(n-1)-1將以上式子累加得，an-%=3+…+2n-1=⑴二"尸7,=n2-1所以，a”=幾2(n22)又a】=1符合上式,所以,an-n2(nGJV*)2、Qn+1= +acln+P例：an+l=+2,3"+1,Q]=1,求時解：an—6-1=2-371-14-1fn>2)^n-1-冊-2=2-3n~24-1。2—a1=2,3+1將以上式子累加得，a?i—=2?(3+…+3"-1)+n—1=2.30-3-)1-3=3九+n—4所以,an=3n+n-3fn>2)又如=1符合上式，所以,cin=3n+n—3(nEN*)3、Qn+i=kan+aqn+0(n>2)例：an+i=50n+2?371+1,a1=1,求而解:需/+2)n+G)*’令兒=詈，則垢+】=垢+1?(j)n+g)n+1(n>2)二、累乘法題型a?+i=an-f(n)1、Qn+i=aTiqn?an例：an+1=2n,5nan,ax=1,求解：廝=2(n-1), (n>2)Qn_i=2(n-2)-5n-2an_2q2=2,1■5q1將以上式子累乘得，n(n-l)an=2rlt,(n-1)!>5-z-%n(n—1)所以，a.=2n-1-(n-1)!-52(n>2)又%=1符合上式，n(n—1)所以，Qn=2nt,(n-1)!-52(neN*)例：設(shè)｛a"是首項為1的正項數(shù)列，且(n+1)q"i-na^+an+1an=0(nWN*),求M解：由(幾+l)W+i-na^+an+1an=0,得((幾+l)an+i-nan)(an+1+an)=0v>0za(n+l)an+1—nan=0即皿=_n_ann+1=—(n>2)fln-1n將以上式子累乘得,n-1 11 1/ 、n\又與=1符合上式，所以,an=；(nGN,)三、待定系數(shù)法1、an+1=aan+/3例：Qn+1=30幾+4,%=1,求。11解：an+1+m=3(an+m)Qn+i=3an+2m=3an+4m=2由題意得，an+i+2=3(an+2)令%=Qn+2,bn+1=3bn，瓦=%+2=3.?.{%}是首項為3,公比為3的等比數(shù)列:.bn=3nfan=bn-2=3n—2an+1=a0n+PP pfln+l+-~~r=a-On+-T)(X—1 u—12、Qn+1=*+僅I+yan+1+k(n+1)+m=a(an4-fcn4-m)an+1=aan4-(a—l)kn+(a—l)m—k((a-l)k=Bl(a—l)m—k=y令bn=Qn+kn+m,bn+1=abn例：an+i=3an+4n+2,a1=1,求冊3、an+1=pan+qn例：?n+l=3an+4n, =1,求即解：a,l+i+m-4n+1=3(an+m-4n)an+1=3an-m-4n=3an+4nm=-1由題意得，an+i-4n+1=3(an-4n)令bn=an-4n,bn+i=3bn,瓦=%-4=-3???{bn}是首項為-3,公比為3的等比數(shù)列:.bn=-3n,an=bn+4n=4n-3n四、換元法例：?n+i=套H+4an+71+24an),%=1,求a”解：令bn=71+24an,a.=京屎-1)Z7(肝+1-1)=2(1+[(屏-1)+bj4(—+1T)=<6+(屎-1)+6bn)4娟+1=星+6%+9=(bn+3)21*'bn>。，；?2/>n+1=bn+3,bn+i=5b"+3bn+l-3=2出-3，五、錯位相減法a“?%E等差乘等比)an=at4-(n—l)d勾=瓦?q.T求數(shù)列｛%,'%｝的前湎和S”解：Sn=Qi?瓦+@2?h2+—+an'“=%?瓦+(@i+d)?瓦(?+…+(4+(n-l)d)?瓦甲-1qSn=a1?瓦9+(@1+d)?bx(?2+...+(?1+(n—2)d)-b1(?n-1+(a14-(n-l)d)-biqnSn—qSn=%?瓦+d?b1q+d?瓦q2+…+d? -(at+(n—l)d)?bxqn=%?瓦+d尻(q+q2+...+qn-1)一(%+(幾-l)d)-b】qn例：求數(shù)列｛n?29的前幾項和工六、裂項相消法1、an=嬴，求數(shù)列｛斯｝的前n項和治. 11ft4 111 .1 1 4 1 n解.Qn= ,Sn=1--4----H 1 =1 = 71nn+1'71 2 23 nn+1 n+1 n+111Z11、a"==例：an=(2n_I；2n+l),求數(shù)列｛即｝的前〃項和治2、斯=舄后=樂了

3、an3、an =一( n(n+l)(n+2) 2n(n+l)七、倒序相加法例：sin214-sin22-1 ?-sin289*八.分組求和法(九個等差十一個等比)2 / O例：(X+尹+(/+*)+…+(產(chǎn)+阿九、即與二混合型“=Sn-Sn_1(H>2)1、已知等差數(shù)列前畫和為%，且滿足即+Sn=n+3,則an=解:｛a"；""1:"""'3九一1—71+/Q九~-Q,—1Q,~~~11 , 1 、個an="an-l/n221Qn-1=2g-l-1)令%=Qn—1,貝!=|bn_lzn>2即｛b｝會比為:的等比數(shù)歹(L由anSn=n3可得，%+Si=4,4=2,瓦=%—1=1??-bn=0"1,an=bn+l=C)“1+12、已知數(shù)列｛“｝滿足%+道九=an+1, =^,(1)求證：數(shù)列⑥是等差數(shù)列；(2)求瑪(1)證明：由%+1571=nn+i,得當(dāng)+1$71=Sn+i—Sn兩邊同時除以Sn+iSn,1=^-— 即［ =—1,n6/V*、n+l^n+1所以｛J是等差數(shù)列。(2)解：由(1)可得，/=六+(n—1).(―1)=3■—(n—1)=-n+y所以Sn=2-2n+ll%一S九_SnT—_2n+n--2n+13(-2n+ll)(-2n+13) (2n-ll)(2n-13)又Q]=[不符合上式，所以時=\ :7 三 ；zn>2K(2n-ll)(2n-13)3、已知數(shù)列｛即｝滿足六+元一+?“+、4=*2al5，。2—5 zan—53(1)求即；(2)設(shè)數(shù)列卜公｝先前71項和為7“，證明/<Tn<\十、特殊關(guān)系1、等列an=ar+(n-l