中心對(duì)稱(chēng)圖形-平行四邊形(復(fù)習(xí))

中心對(duì)稱(chēng)圖形——平行四邊形(復(fù)習(xí))中心對(duì)稱(chēng)圖形——平行四邊形(復(fù)習(xí))中心對(duì)稱(chēng)圖形——平行四邊形(復(fù)習(xí))中心對(duì)稱(chēng)圖形——平行四邊形(復(fù)習(xí))編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:第四講中心對(duì)稱(chēng)圖形——平行四邊形(復(fù)習(xí))學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥：一、復(fù)習(xí)《中心對(duì)稱(chēng)圖形——平行四邊形》這一章的概念（包括旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱(chēng)、平行四邊形、矩形、菱形、正方形和三角形的中位線）和這些圖形的性質(zhì)以及判定方法；二、在掌握好基礎(chǔ)知識(shí)后，進(jìn)行知識(shí)延伸，補(bǔ)充延伸題型和解題思路，并學(xué)習(xí)綜合各知識(shí)點(diǎn)的綜合題的解題方法。課前復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)的概念，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（3個(gè)）；中心對(duì)稱(chēng)的概念，中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)（2個(gè)，1，具有圖形旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)，2，兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，且被對(duì)稱(chēng)中心平分）；平行四邊形的概念和性質(zhì)（2個(gè)），平行四邊形的判定方法（4個(gè)）；矩形的概念和性質(zhì)（2個(gè)），矩形的判定方法（3個(gè)）；菱形的概念和性質(zhì)（3個(gè)），菱形的判定方法（3個(gè)）；正方形的概念和性質(zhì)（具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)），正方形的判定方法（3個(gè)）；三角形中位線的概念；三角形的中位線的性質(zhì)（2個(gè)）。模塊精講平行四邊形的角平分線我們已經(jīng)學(xué)習(xí)和平行四邊形有四個(gè)重要的性質(zhì)，那么，除了這四個(gè)性質(zhì)外，平行四邊形還有其他的隱藏技能嗎我們學(xué)習(xí)的四個(gè)性質(zhì)是初中階段關(guān)于平行四邊形的全部官方性質(zhì)。但是，它還有其他的隱藏技能，比如說(shuō)角平分線。AD如圖在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC并交BC于E。求證：△DCE是等腰三角形。我們看到題目中有平行線和角平分線，就可以聯(lián)想到等腰三角形。由等腰三角形還可以解決一些線段長(zhǎng)度BEC的問(wèn)題。平行四邊形ABCD中，CD=10，BC=12，DE平分∠ADC，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)__________。這兩個(gè)例題是一個(gè)基礎(chǔ)，如果，我們?cè)佼?huà)一條角平分線呢看下面這道題。例3，如圖，平行四邊形ABCD中，CD=10，AD=12，AE、DF分別平分∠BAD、∠ADC，交BC于F、E，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)____________。ADADBCBEFCE我們?cè)跀U(kuò)展一些思路，在例1中，除了△CDE這個(gè)等腰三角形，我們還能構(gòu)造其他的等腰三角形F嗎我們看右邊這張圖，把DE和AB分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，你能看出還有幾個(gè)等腰三角形嗎特別提醒一下，關(guān)于三角形的角平分線構(gòu)造出等腰三角形這個(gè)性質(zhì)，不是官方認(rèn)證的幾何定理，我們?cè)谶x擇填空題中可以使用，但是，在解答題中，還是要一步一步寫(xiě)出步驟證明的。我們?cè)倮^續(xù)擴(kuò)展思路，如果畫(huà)出兩條角平分線，還能得出什么新的結(jié)論嗎例4，如圖，平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，BF平分∠ABC交DC于F，求證：四邊形BEDF為平行四邊形。DFCAFDGAEBBEC解決了這個(gè)例題，我們可以得出一般結(jié)論，任何平行四邊形的一組對(duì)角的平分線都是平行的嗎答案是不一定，我們可以看一個(gè)特殊的例子。所以，我們只能說(shuō)：平行四邊形的一組對(duì)角的角平分線平行或者重合。我們解決了一組對(duì)角的平分線的情況，那如果是在兩個(gè)鄰角作平分線，能得出什么結(jié)論嗎例5，如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BF平分∠ABC交AD于F，AE于BF相交于點(diǎn)G，求證：AE⊥BF。我們這一節(jié)中，根據(jù)平行四邊形的角平分線可以得出三個(gè)結(jié)論：=1\*GB3①平行四邊形的角平分線可以構(gòu)造等腰三角形；②平行四邊形的一組對(duì)角的角平分線平行或者重合。③平行四邊形的一組鄰角的角平分線互相垂直。攻略：兩個(gè)對(duì)角的角平分線平行或重合平行四邊形＋角平分線等腰三角形兩個(gè)鄰角的角平分線互相垂直二、坐標(biāo)系中的平行四邊形這一節(jié)我們學(xué)習(xí)平行四邊形與坐標(biāo)系結(jié)合的一些題型。例6，如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O、A、C的坐標(biāo)分別是(0,0),(3,1),(1,2)，則B點(diǎn)的的坐標(biāo)是_________。yBCAOx由平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等OC平移到AB再利用平移的性質(zhì)，O(0,0)平移到A(3,1)對(duì)應(yīng)B(1,2)平移到(,)那么，利用另外兩組對(duì)邊呢例7，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)O、A、C的坐標(biāo)分別是(0,0),(3,1),(1,2)，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是______________。大家先思考一下這個(gè)題目和例6是一樣的嗎思路：先確定對(duì)角線，再分類(lèi)討論。每個(gè)可能的對(duì)角線可以確定一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。例8，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(2,3),(3,1),(1,2)，則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少A,(0,4)B,(4,2)C,(2,0)D，以上都是我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，現(xiàn)在我們把思維在擴(kuò)展一下，平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)還能得出什么性質(zhì)嗎我們先看例8中的平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別是A(2,3),B(3,1),C(1,2)，D(0,4)。當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)的位置確定后，我們有：A、B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之差=C、D兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之差簡(jiǎn)寫(xiě)為A-B=C–D移項(xiàng)得A+C=B+D這個(gè)等式可以理解為：平行四邊形在坐標(biāo)系中，相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))之和相等。這樣我們?cè)谟?jì)算第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是就非常方便了，比如例8，我們可以得到方程：橫坐標(biāo)：2+1=3+xx=0縱坐標(biāo)：3+2=1+yy=4即第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,4)總結(jié)一下，在這一節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了：利用平行四邊形的性質(zhì)＋平移的性質(zhì)=第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)我們還推到出了一個(gè)結(jié)論，也就是A+C=B+D。在做選擇題和填空題時(shí)，可以利用這個(gè)結(jié)論，快速得出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。另外，當(dāng)四個(gè)的的位置，也就是順序，不明確時(shí)，需要分3種情況討論。三、判定平行四邊形1，判定平行四邊形之全等我們?cè)谂卸ㄆ叫兴倪呅螘r(shí)，經(jīng)常用到的就是證明邊或者角相等，而要證明兩個(gè)邊或者角相等最常用的就是利用全等三角形。例9，如圖，A、B、C、D四點(diǎn)在同一條直線上，AB=CD，線段AE與線段DF平行，AE=DF，求證：四邊形EBFC是平行四邊形。DCEFACDOBE例9圖ABF例10圖△ABE≌△DCF△AEC≌△DFB這道題條件比較明顯，我們?cè)倏匆坏罈l件比較隱蔽的題。例10，如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。對(duì)角線②一組對(duì)邊總結(jié)：利用全等三角形是判定平行四邊形的常用方法。但是，一般過(guò)程比較復(fù)雜一些。2，判定平行四邊形之對(duì)角線有時(shí)我們也可以拋棄全等三角形，使用一些更簡(jiǎn)便的方法。例11，如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，分別連接AF、BE交于G，連接CE、DF交于點(diǎn)H，連接EF、GH。證明：EF于GH互相平分。AEDDCFGHEBFCAB例11圖例12圖例12，如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F是AC上的點(diǎn)，且AE=CF，連接DE、DF、BE、BF。證明：四邊形BFDE是平行四邊形。你是不是一下子就想到了全等三角形。那如果這道題，不用全等三角形，還有什么簡(jiǎn)便的方法嗎四、直角三角形斜邊上的中線與三角形的中位線的綜合我們知道：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半。這個(gè)是任何一個(gè)直角三角形都具有的性質(zhì)。如果要證明這個(gè)性質(zhì)，我們之前的證明方法是：將中線延長(zhǎng)，利用全等三角形來(lái)證明?，F(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了矩形的性質(zhì)后，由矩形的性質(zhì)就很容易得出這個(gè)結(jié)論了。例13，如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA邊的中點(diǎn)，AH為BC邊上的高，連接DE、FE、DH、FH。求證：∠DHF=∠DEF。ABEHCDFDFA例13圖PBHEC例14圖首先，∠DEF=∠BAC，再由兩個(gè)直角三角形例14，如圖，在△ABC中，D、E、F分別為AB、BC、CA邊的中點(diǎn)，AH⊥BC于H，△PDF為等邊三角形。求證：△PDE≌△PFH。思路：線段的中點(diǎn)→中位線→平行且等于底邊的一半垂直＋中點(diǎn)→直角三角形斜邊中心→利用中位線和斜邊中線進(jìn)行線角轉(zhuǎn)化課后鞏固習(xí)題1，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=8，BE平分∠ABC，交CD于E，則DE=__________。2，如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=9，BE平分∠ABC，交CD于E，交AD的延長(zhǎng)線于F，且DF=3，則BC=___________。ABABDECDEFCF題2圖題3圖3，如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=12，BC=8，BE、AF分別平分∠ABC、∠BAD，交CD于E、F，則EF=__________。4，如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠DAB，交CD于E，DF平分∠ADC，交AB于F，AE與DF交于點(diǎn)G，且BC=4，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A，AF=4B，CE=2C，AE⊥DFAFBAGBGKHDECDEFC題4圖題5圖5，如圖，在平行四邊形ABCD中，BE、AF分別平分∠ABC、∠BAD，交CD于E、F，BE、AF交于H，CG平分∠BCD，交AB于G，交BE于K，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A，CG=CBB，AF∥CGC，BG=CED，BE⊥CG6，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(1,4)、(-2,1)、(2,2),則D點(diǎn)的坐標(biāo)是()A,(6,5)B,(5，5)C,(7,5)D，(6,6)7,平行四邊形的頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(1,4)、(-2,1)、(2,2),則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)不可能是()A,(-1,-1)B,(5,5)C,(-3,3)D,(-1,-2)8，如圖，平行四邊形ABCD，鏈接BD，過(guò)A做AE⊥CD于E，交BD于G，過(guò)C作CF⊥AB于F，交BD于H，連接AH、CG，求證：四邊形AHCG為平行四邊形。AFBFDCHGBADECE題8圖題9圖9，如圖，平行四邊形ABCD，分別延長(zhǎng)DB、BD至E、F，是BE=DF，連接EA、EC、FA、FC。求證：四邊形AECF是平行四邊形。10，如圖，三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AB上，過(guò)點(diǎn)D做BC的平行線，于AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC上，且EF=EC。求證：四邊形DBEF是平行四邊形。AADEEFBFCBMC題10圖題11圖11，如圖，在△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，M為BC的中點(diǎn)，且EF=7，BC=10，則△EFM的周長(zhǎng)為_(kāi)________。12，如圖，在五邊形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°,∠BAC=∠EAD，點(diǎn)F、G、Q分別為邊CD、AC、AD的中點(diǎn)。求證：△BGF≌△FQE。AGQEBCFD題12圖13，如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，過(guò)BC的中點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，則△DEF的面積是___________。題13圖14，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠BAC＝30o，EF⊥AB，垂足為F，連結(jié)DF．（1）試說(shuō)明AC＝EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形。題14圖15，如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置，此時(shí)AC的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，AB′交CD于點(diǎn)E．若AB=3，求矩形的另一個(gè)邊BC的長(zhǎng)。