北京市西城外國語學校2023屆高一數學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023學年高一上數學期末模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．已知關于的方程在區(qū)間上存在兩個不同的實數根，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知函數，，如圖所示，則圖象對應的解析式可能是（）A. B.C. D.3．已知點是角終邊上一點，則（）A. B.C. D.4．函數為定義在R上的單調函數，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知則的值為（）A. B.2C.7 D.56．已知函數，則方程的實數根的個數為（）A. B.C. D.7．下列不等關系中正確的是（）A. B.C. D.8．從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個白球與都是紅球 B.恰好有一個白球與都是紅球C.至少有一個白球與都是白球 D.至少有一個白球與至少一個紅球9．已知函數，下列關于該函數結論錯誤的是（）A.的圖象關于直線對稱 B.的一個周期是C.的最大值為 D.是區(qū)間上的增函數10．已知函數，則是A.最小正周期為的奇函數 B.最小正周期為的偶函數C.最小正周期為的奇函數 D.最小正周期為的偶函數11．函數的零點所在區(qū)間為A. B.C. D.12．若，，則（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．設且，函數，若，則的值為________14．化簡：=____________15．已知是定義在R上的奇函數，當時，，則在R上的表達式是________16．扇形半徑為，圓心角為60°，則扇形的弧長是____________三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．化簡計算：（1）計算：；（2）化簡：18．已知函數是定義在R上的奇函數，當時，（Ⅰ）求函數在R上的解析式；（Ⅱ）若，函數，是否存在實數m使得的最小值為，若存在，求m的值；若不存在，請說明理由19．已知冪函數在上單調遞增，函數（1）求實數m的值；（2）當時，記的值域分別為集合，若，求實數k的取值范圍20．第四屆中國國際進口博覽會于2021年11月5日至10日在上海舉行．本屆進博會共有58個國家和3個國際組織參加國家展（國家展今年首次線上舉辦），來自127個國家和地區(qū)的近3000家參展商亮相企業(yè)展．更多新產品、新技術、新服務“全球首發(fā)，中國首展”專（業(yè)）精（品）尖（端）特（色）產品精華薈萃，某跨國公司帶來了高端空調模型參展，通過展會調研，中國甲企業(yè)計劃在2022年與該跨國公司合資生產此款空調．生產此款空調預計全年需投入固定成本260萬元，每生產x千臺空調，需另投入資金R萬元，且經測算，當生產10千臺空調需另投入的資金R＝4000萬元．現每臺空調售價為0.9萬元時，當年內生產的空調當年能全部銷售完（1）求2022年企業(yè)年利潤W（萬元）關于年產量x（千臺）的函數關系式；（2）2022年產量為多少（千臺）時，企業(yè)所獲年利潤最大？最大年利潤多少？（注：利潤＝銷售額－成本）21．我們知道，聲音由物體的振動產生，以波的形式在一定的介質（如固體、液體、氣體）中進行傳播．在物理學中，聲波在單位時間內作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱為聲強I（）．但在實際生活中，常用聲音的聲強級D（分貝）來度量．為了描述聲強級D（）與聲強I（）之間的函數關系，經過多次測定，得到如下數據：組別1234567聲強I（）①聲強級D（）1013.0114.7716.022040②現有以下三種函數模型供選擇：（1）試根據第1-5組的數據選出你認為符合實際的函數模型，簡單敘述理由，并根據第1組和第5組數據求出相應的解析式；（2）根據（1）中所求解析式，結合表中已知數據，求出表格中①、②數據的值；（3）已知煙花的噪聲分貝一般在，其聲強為；鞭炮的噪聲分貝一般在，其聲強為；飛機起飛時發(fā)動機的噪聲分貝一般在，其聲強為，試判斷與的大小關系，并說明理由22．(1)試證明差角的余弦公式：；(2)利用公式推導：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】本題首先可根據方程存在兩個不同的實數根得出、，然后設，分為、兩種情況進行討論，最后根據對稱軸的相關性質以及的大小即可得出結果.【詳解】因為方程存在兩個不同的實數根，所以，，解得或，設，對稱軸為，當時，因為兩個不同實數根在區(qū)間上，所以，即，解得，當時，因為兩個不同的實數根在區(qū)間上，所以，即，解得，綜上所述，實數的取值范圍是，故選：C.2、C【解析】利用奇偶性和定義域，采取排除法可得答案.【詳解】顯然和為奇函數，則和為奇函數，排除A，B，又定義域為，排除D故選：C3、D【解析】利用任意角的三角函數的定義可求得的值，進而可得答案.【詳解】因為點是角終邊上一點，所以，所以.故選：D.4、B【解析】由在單調遞增可得函數為增函數，保證兩個函數分別單調遞增，且連接點處左端小于等于右端的函數值即可【詳解】由題意，函數為定義在R上的單調函數且在單調遞增故在單調遞增，即且在處，綜上：解得故選：B5、B【解析】先算，再求【詳解】，故選：B6、B【解析】由已知，可令，要求，即為，原題轉化為直線與的圖象的交點情況，通過畫出函數的圖象，討論的取值，即可直線與的圖象的交點情況.【詳解】令，則，①當時，，，，即，②當時，，，畫出函數的圖象，如圖所示，若，即，無解；若，直線與的圖象有3個交點，即有3個不同實根；若，直線與的圖象有2個交點，即有2個不同實根；綜上所述，方程的實數根的個數為5個，故選：7、C【解析】對于A，作差變形，借助對數函數單調性判斷；對于C，利用均值不等式計算即可判斷；對于B，D，根據不等式的性質及對數函數單調性判斷作答.【詳解】對于A，，而函數在單調遞增，顯然，則，A不正確；對于B，因為，所以，故，B不正確；對于C，顯然，，，C正確；對于D，因為，所以，即，D不正確.故選：C8、B【解析】列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.【詳解】解：對于A，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是對立，故A錯誤；對于B，事件：“恰好有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但從口袋內任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，所以兩個事件互斥而不對立，故B正確；對于C，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是白球”可以同時發(fā)生，所以這兩個事件不是互斥的，故C錯誤；對于D，事件：“至少有一個白球”與事件：“至少一個紅球”可以同時發(fā)生，即“一個白球，一個紅球”，所以這兩個事件不是互斥的，故D錯誤.故選：B.9、C【解析】利用誘導公式證明可判斷A；利用可判斷B；利用三角函數的性質可判斷C；利用復合函數的單調性可判斷D.【詳解】對于A，，所以的圖象關于直線對稱，故A正確；對于B，，所以的一個周期是，故B正確；對于C，，所以的最大值為，當時，，取得最大值，所以的最大值為，故C不正確；對于D，在上單調遞增，，在上單調遞增，在上單調遞減，，根據復合函數的單調性易知，在上單調遞增，所以是區(qū)間上的增函數，故D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是熟練掌握函數對稱性及周期性的判定及三角函數的圖象與性質.10、B【解析】先求得，再根據余弦函數的周期性、奇偶性，判斷各個選項是否正確，從而得出結論【詳解】∵，∴=，∵,且T=，∴是最小正周期為偶函數，故選B.【點睛】本題主要考查誘導公式，余弦函數的奇偶性、周期性，屬于基礎題11、C【解析】要判斷函數的零點位置，我們可以根據零點存在定理，依次判斷區(qū)間的兩個端點對應的函數值，然后根據連續(xù)函數在區(qū)間上零點，則與異號進行判斷【詳解】，，故函數的零點必落在區(qū)間故選C【點睛】本題考查的知識點是函數的零點，解答的關鍵是零點存在定理：即連續(xù)函數在區(qū)間上與異號，則函數在區(qū)間上有零點12、A【解析】由不等式的性質判斷A、B、D的正誤，應用特殊值法的情況判斷C的正誤.【詳解】由，則，A正確；，B錯誤；，D錯誤.當時，，C錯誤；故選：A.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】根據函數的解析式以及已知條件可得出關于實數的等式，由此可解得實數的值.【詳解】因為，且，則.故答案為：.14、【解析】利用三角函數的平方關系式，化簡求解即可【詳解】===又，所以，所以=，故填：【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系式的應用，三角函數的化簡求值，考查計算能力15、【解析】根據奇函數定義求出時的解析式，再寫出上的解析式即可【詳解】時，，，所以故答案為：【點睛】本題考查函數的奇偶性，掌握奇函數的定義是解題關鍵16、【解析】根據弧長公式直接計算即可.【詳解】解：扇形半徑為，圓心角為60°，所以，圓心角對應弧度為.所以扇形的弧長為.故答案為：三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）（2）【解析】（1）根據指數運算法則、對數運算法則求得結果.（2）利用誘導公式化簡，結合同角商數關系即可求解.【詳解】（1）；（2）.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在實數使得的最小值為【解析】Ⅰ根據奇函數的對稱性進行轉化求解即可Ⅱ求出的表達式，利用換元法轉化為一元二次函數，通過討論對稱軸與區(qū)間的關系，判斷最小值是否滿足條件即可【詳解】Ⅰ若，則，∵當時，且是奇函數，∴當時，，即當時，，則Ⅱ若，，設，∵，∴，則等價為，對稱軸為，若，即時，在上為增函數，此時當時，最小，即，即成立，若，即時，在上為減函數，此時當時，最小，即，此時不成立，若，即時，在上不單調，此時當時，最小，即，此時在時是減函數，當時取得最小值為，即此時不滿足條件綜上只有當才滿足條件即存在存在實數使得最小值為【點睛】本題主要考查函數奇偶性的應用，以及利用換元法轉化為一元二次函數，結合一元二次函數單調性的性質是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度19、（1）（2）【解析】（1）由冪函數定義列出方程，求出m的值，檢驗函數單調性，舍去不合題意的m的值；（2）在第一問的基礎上，由函數單調性得到集合，由并集結果得到，從而得到不等式組，求出k的取值范圍.【小問1詳解】依題意得：，∴或當時，在上單調遞減，與題設矛盾，舍去當時，上單調遞增，符合要求，故.【小問2詳解】由（1）可知，當時，函數和均單調遞增∴集合，又∵，∴，∴，∴，∴實數k的取值范圍是.20、（1）（2）當2022年產量為100千臺時，企業(yè)的利潤最大，最大利潤為8990萬元【解析】（1）分段討論即可；（2）分段求最值，再比較即可【小問1詳解】由題意知，當x＝10時，所以a＝300當時，當時，所以【小問2詳解】當0＜x＜40時，，所以，當x＝30時，W有最大值，最大值為8740當時，當且僅當即x＝100時，W有最大值，最大值為8990因為8740＜8990，所以當2022年產量為100千臺時，企業(yè)的利潤最大，最大利潤為8990萬元.21、（1），理由見解析（2），（3），理由見解析【解析】（1）根據表格中的數據進行分析，可排除一次函數和二次函數，再根據待定系數法，即可得到結果；（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①處的值；由已知可得時，可得，進而可求出當時的值，進而求出②處的值；（3）設煙花噪聲、鞭炮噪聲和飛機起飛時發(fā)動機噪聲的聲強級分別為，由已知可得，代入關系式，即可判斷與的大小關系.【小問1詳解】解：選擇.由表格中的前四組數據可知，當自變量增加量為時，函數值的增加量不是同一個常數，所以不應該選擇一次函數；同時當自變量增加量為時，函數值的增加量從變?yōu)?，后又縮小為，函數值的增加量越來越小，也不應該選擇二次函數；故應選擇.由已知可得：，即，解之得所以解析式為.【小問2詳解】解：由（1）知，令，可得，，故①處應填；由已知可得時，，所以，又當時，，故②處應填.【小問3詳解】解：設煙花噪聲、鞭炮噪聲和飛機起飛時發(fā)動機噪聲的聲強級分別為，由已知，故有，所以，因此，即，所以.22、（1）證明見解析；（2）①答