2012chen第3章控制系統(tǒng)數學模型

第3章控制系統(tǒng)的數學模型HarbinEngineeringUniversity自動控制理論陳明杰

進入例：飛機自動駕駛儀系統(tǒng)實物原理圖—方框圖控制任務：保持飛機俯仰角不變給定電位器反饋電位器系統(tǒng)如何設計合適的元件滿足穩(wěn)、快、準的基本要求？第1章回顧控制系統(tǒng)的設計方法控制系統(tǒng)性能的分析方法控制系統(tǒng)的數學建模

自動控制的基本概念與原理1234自動控制理論引言—關于數學模型第3章控制系統(tǒng)的數學模型1.什么是控制系統(tǒng)的數學模型？2.如何建立控制系統(tǒng)的數學模型？3.控制系統(tǒng)的數學模型有哪些主要形式？引言—關于數學模型例：爐溫控制系統(tǒng)1.什么是控制系統(tǒng)的數學模型？描述系統(tǒng)內部各變量之間關系的數學表達式（P57）。引言—關于數學模型要求：已知實際過程或對象的運動機理。也稱解析法或機理法。例：爐溫控制系統(tǒng)引言—關于數學模型2.如何建立控制系統(tǒng)的數學模型?法1—分析法(P59):對系統(tǒng)各部分運動機理進行分析，根據系統(tǒng)及元件各變量間所遵循的物理、化學定律，列寫各變量之間的數學關系式，得到輸入輸出關系方程式。

法2—實驗法(P59)：對系統(tǒng)人為施加典型測試信號(脈沖、階躍或是正弦信號)，獲得系統(tǒng)的輸出響應，然后利用系統(tǒng)的輸入、輸出數據辨識出系統(tǒng)的數學模型。

引言—關于數學模型2.如何建立控制系統(tǒng)的數學模型?通常在對系統(tǒng)一無所知或者部分未知的情況下采用！例：爐溫控制系統(tǒng)引言—關于數學模型2.如何建立控制系統(tǒng)的數學模型?分析法+實驗法引言—關于數學模型3.控制系統(tǒng)的數學模型的主要形式

—以微分方程形式列寫的運動方程式

—以拉氏變換為基礎的傳遞函數

—以傅氏變換為基礎的頻率響應時域模型※復域模型頻域模型一般控制系統(tǒng)的傳遞函數包括哪些？如何應用結構圖與信號流圖計算傳遞函數？什么是復數域數學模型——傳遞函數？如何建立時域數學模型——運動方程式？第3章控制系統(tǒng)的數學模型目標（Objectives）第3章控制系統(tǒng)的數學模型

3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型—運動方程式※3.2控制系統(tǒng)的復數域數學模型—傳遞函數※3.3控制系統(tǒng)的結構圖與信號流圖

3.4控制系統(tǒng)的傳遞函數

主要內容3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式控制系統(tǒng)的運動方程式----以微分方程的形式，根據描述系統(tǒng)特性的物理或化學定律（機械、電氣、熱力、液壓）寫出描述系統(tǒng)在運動過程中各變量之間的相互關系的數學模型。也稱微分方程式。3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式一、線性元件的微分方程1、電路系統(tǒng)：復習1基爾霍夫電流定律:流入和流出節(jié)點的所有電流的代數和等于零2基爾霍夫電壓定律：在任意瞬間，在電路中沿任意環(huán)路的電壓的代數和等于零基本要素——電阻、電容和電感。

遵循定律——基爾霍夫電流和電壓定律。例3.1:電阻R、電感L和電容C組成的四端網絡如圖所示，列寫以ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網絡微分方程。一、線性元件的微分方程1、電路系統(tǒng)：3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式1.分析：系統(tǒng)的工作原理及其各變量間的關系，確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量及中間變量。2.列寫：根據描述系統(tǒng)運動特性的基本定律，從系統(tǒng)的輸入端開始，依次列寫組成系統(tǒng)各元件的微分方程。3.消去：中間變量，得到只含有輸入和輸出變量及其導數的微分方程。4.規(guī)范：將方程寫成規(guī)范形式。即與輸出量有關各項放在方程式左邊，輸入量有關項放在右邊，各導數項降冪排列。建立系統(tǒng)微分方程的基本步驟（P60)一、線性元件的微分方程3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式例3.1:例3.1:電阻R、電感L和電容C組成的四端網絡如圖所示，列寫以ui(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網絡微分方程。一、線性元件的微分方程1、電路系統(tǒng)：3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式某四端網絡如圖所示，列寫以ur

(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網絡微分方程。1、電路系統(tǒng)：一、線性元件的微分方程3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式練習題遵循基本規(guī)律——牛頓定律（力和力矩平衡方程）常使用三種理想化要素——質量、彈簧和阻尼器

一、線性元件的微分方程2、機械系統(tǒng)：f:阻尼系數

J:系統(tǒng)的轉動慣量

3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式復習例3.3：設有一個彈簧—質量塊—阻尼器組成的機械平移系統(tǒng)如圖。f為阻尼系數。當外力作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產生平移。試列寫出以系統(tǒng)外力F為輸入量，以質量塊位移x為輸出量的系統(tǒng)運動方程式。

一、線性元件的微分方程2、機械系統(tǒng)：3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式mm例3.4：設一個機械轉動系統(tǒng)由慣性負載和粘性摩擦阻尼器組成，原理圖如圖所示。列寫以外力矩為輸入量、負載轉動角速度(或負載轉動角度）為輸出量的系統(tǒng)運動方程式。f:粘性阻尼系數

J:系統(tǒng)的轉動慣量

一、線性元件的微分方程2、機械系統(tǒng)：提示：3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式例3.1:例3.3:例3.4:3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式一、線性元件的微分方程相似系統(tǒng)對比2、對于同一個物理系統(tǒng)，當輸入與輸出確定時，描述它的線性定常微分方程是唯一的。如果輸入量、輸出量不同，那么描述它們的微分方程則不同。

※線性元件的微分方程結論(P66)

一、線性元件的微分方程1、對于不同的物理系統(tǒng)，只要其內在規(guī)律相同，則運動方程的形式相同。即不同的物理系統(tǒng)可以得到相同形式的數學模型，這樣的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。

例3.1：3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式描述系統(tǒng)的微分方程唯一嗎？3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式嚴格的說，實際物理系統(tǒng)中都含有不同程度的非線性元件。什么是非線性？（P15)二、非線性微分方程的線性化（P66）下列各式是描述系統(tǒng)的微分方程，其中c(t)為輸出量，r(t)是

輸入量，判斷哪些是線性定?；驎r變系統(tǒng)，哪些是非線性系統(tǒng)？3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式快速搶答題二、非線性微分方程的線性化（P66）1．定義：工程上，常常將非線性微分方程在一定條件下轉化為線性微分方程的方法稱為非線性微分方程的線性化。2．優(yōu)點：在一定的工作范圍內能夠反映系統(tǒng)的特性，在工程實踐中具有很大的實際意義，便于分析和處理。二、非線性微分方程的線性化（P66）---了解3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式如何處理非線性？二、非線性微分方程的線性化（P66）---了解設f(x)在工作點連續(xù)可微，在工作點鄰域內泰勒級數展開

小偏差線性化法/切線法3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式演示發(fā)電機激磁曲線例：發(fā)電機激磁曲線的小偏差線性化法/切線法3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式演示二、非線性微分方程的線性化（P66）---了解不能線性化的元件（微分方程）怎么辦？應用小偏差線性化時，應明確預定工作點的參數值。線性化只能用于連續(xù)非線性特性。欲使線性化具有足夠精度，那么變量的變化必須足夠小。即變量偏離工作點的偏差信號必須是小范圍的。小偏差線性化法的要求3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式二、非線性微分方程的線性化（P66）---了解優(yōu)點：直觀的表示輸入輸出隨時間變化曲線。對于低階系統(tǒng)或較簡單的系統(tǒng)可以迅速而準確地求得結果。微分方程初始條件輸入量拉氏變換變量s的代數方程拉氏反變換時域解三、控制系統(tǒng)的運動方程式（微分方程）的優(yōu)缺點（P69）例3.1：輸出量因式分解缺點：當系統(tǒng)階數較高時微分方程難解。特別當系統(tǒng)結構或某個參數發(fā)生變化時，要重寫微分方程進行求解，不便于分析和設計。3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式微分方程初始條件輸入量拉氏變換變量s的代數方程拉氏反變換時域解三、控制系統(tǒng)的運動方程式（微分方程）的優(yōu)缺點（P69）輸出量因式分解3.1控制系統(tǒng)的時域數學模型——運動方程式演示傳遞函數3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數自控理論經（古）典控制理論現代控制理論時間分界20世紀60年代達到完善20世紀60年代開始發(fā)展數學工具常微分方程，傳遞函數一階微分方程組，狀態(tài)空間方程(傳遞函數陣)研究對象SISO系統(tǒng)，定常系統(tǒng)MIMO系統(tǒng)，定常和時變系統(tǒng)注重內容系統(tǒng)的輸入輸出間的關系系統(tǒng)輸入、輸出及其內部變量間的運動關系回顧3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數拉氏變換如果時間函數滿足f(t)滿足則函數f(t)的拉式變換為其拉式逆變換為復習（1）線性性質（6）初值定理（2）微分定理（3）積分定理拉氏變換的重要性質

（5）平移定理（4）延遲定理3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數

（7）終值定理復習3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數

常見函數的拉式變換復習3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數關于傳遞函數一、什么是傳遞函數？二、傳遞函數有哪些主要形式？

三、※傳遞函數性質如何？四、※※如何計算傳遞函數？關于傳遞函數需要知道…目標一、傳遞函數的定義

(P71)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數定義為：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。記為：3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數例3.7

求例3.1的RLC無源網絡的傳遞函數零初始條件下

對于如下的n階線性定常微分方程零初始條件下二、傳遞函數的常用表達形式（P71)3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數1、傳遞函數的有理分式（多項式）形式（P71)是與系統(tǒng)結構、參數有關的實常系數

演示其中，—傳遞函數的零點;

—傳遞函數的極點;－為系統(tǒng)的階次。二、傳遞函數的常用表達形式（P71)3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數2、傳遞函數的零、極點形式（P71)----首1標準型

如果系統(tǒng)存在復數的零點（或極點），則復數的零點（或極點）的個數是單數還是雙數？

---雙數，共軛形式二、傳遞函數的常用表達形式（P71)3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數3、傳遞函數的時間常數形式（P72）----尾1標準型

其中分別稱時間常數，對比----首1標準型

3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數對比二、傳遞函數的常用表達形式（P71)是與系統(tǒng)結構和參數有關的實常系數

零極點形式時間常數形式有理分式（多項式）形式1234傳遞函數只適用于線性定常系統(tǒng)※傳遞函數取決于系統(tǒng)或元件的結構和參數，與輸入量、輸出量、擾動量等外部因素無關，是系統(tǒng)的固有屬性不同系統(tǒng)或元件只要內部特性相同，可能具有相同傳遞函數三、傳遞函數的性質（P73)3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數傳遞函數是在零初始條件下進行的例傳遞函數與微分方程有相通性。零初始條件下，傳遞函數與微分方程一一對應，即用傳遞函數中s置換微分方程中的。567傳遞函數是復變量s的有理分式，且所有系數均為實數。在實際物理系統(tǒng)中滿足傳遞函數可以有實數或者復數零極點。若有復零點或極點，則它們必為共軛的復數零點或極點。三、傳遞函數的性質（P73)3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數（因為實際系統(tǒng)或元件總是具有慣性及能量有限的緣故）列寫各微分方程，消去中間變量求得運動方程式；在零初始條件下，對方程式兩端作拉氏變換；根據輸出與輸入拉氏變換之比求出傳遞函數。1、定義時域消去法四、傳遞函數的求取方法（P73)3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數例3.7

求例3.1的RLC無源網絡的傳遞函數演示零初始條件下時域消中間變量2、復域消去法列寫系統(tǒng)的各個部分的微分方程；在零初始條件下，對各個方程兩邊作拉氏變換；復域消去中間變量，寫出標準的傳遞函數形式。四、傳遞函數的求取方法（P73)3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數

計算如圖所示四端網絡的傳遞函數例3.8:零初始條件下消去中間變量演示復域例：計算如圖所示四端網絡的傳遞函數3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數作業(yè)題四、傳遞函數的求取方法（P73)

例:函數記錄儀3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數四、傳遞函數的求取方法復雜系統(tǒng)如何求？3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數法（P75)思想：對于復雜的系統(tǒng)，先求出各個典型環(huán)節(jié)的傳遞函數，根據信號傳遞關系計算出總傳遞函數。比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)一般系統(tǒng)傳遞函數包含的的典型環(huán)節(jié)

3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數法（P75)四、傳遞函數的求取方法3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數1)比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）：傳遞函數：，K為放大系數。例：電阻四、傳遞函數的求取方法uRRiR3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數法（P75)3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）的典型元部件（P34)A.線位移電位器：輸入為u1，輸出為u2

B.角位移電位器：輸出為電壓u(t),輸入為電刷旋轉角度3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數四、傳遞函數的求取方法3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數法（P75)比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）的典型元部件（P76)比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）的典型元部件（P76)3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數法C.一對電位器組成誤差檢測器：輸出為兩電刷間電位差u(t),輸入為角位置差

D.運算放大器：輸入電壓為ur，輸出電壓為ucuc-+R0R1urI1I2A3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數四、傳遞函數的求取方法3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數法（P75)比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）的典型元部件E：齒輪傳動系統(tǒng)。輸入輸出分別為兩齒輪的轉速比。比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）的典型元部件（P76)3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數四、傳遞函數的求取方法3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數法（P75)2)微分環(huán)節(jié)：傳遞函數：例：電感3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數法3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數四、傳遞函數的求取方法3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數法（P75)微分環(huán)節(jié)的典型元部件（P35)A.測速發(fā)電機（P79)：角位移為輸入，測速發(fā)電機輸出電壓為輸出量TG)(tw)(tuB.運算放大器

：輸入電壓為ur，輸出電壓為ucuc-+RCurI1I23.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數四、傳遞函數的求取方法3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數法（P75)2)微分環(huán)節(jié)：傳遞函數：RC例：電容3)積分環(huán)節(jié)3.2※

控制系統(tǒng)的復數域數學模型——傳遞函數四、傳遞函數的求取方法3、應用典型環(huán)節(jié)傳遞函數