偏微分課程課件6-雙曲型方程的有限差分法(III)

（五）雙曲型方程及方程組的初邊值問題1.二階雙曲型方程的邊界處理（五）雙曲型方程及方程組的初邊值問題1.二階雙曲型方程的邊界構(gòu)造二階精度的邊界條件確定a,b,c？得方程組構(gòu)造二階精度的邊界條件確定a,b,c？得方程組確定a,b,c得方程組右邊界確定a,b,c得方程組右邊界二階精度的邊界條件二階精度的邊界條件2.一階雙曲型方程及方程組的邊界條件對流方程怎樣給邊界條件使方程適定，區(qū)域?yàn)閄=1不能給邊界條件X=0不能給邊界條件（初始條件）2.一階雙曲型方程及方程組的邊界條件對流方程怎樣給邊界條件使為對角線元素為負(fù)的對角陣為對角線元素為零的對角陣為對角線元素為正的對角陣S為A的特征向量的列所構(gòu)成的矩陣-0+為對角線元素為負(fù)的對角陣為對角線元素為零的對角陣為對角線元素處邊界條件數(shù)目等于負(fù)特征值數(shù)目處邊界條件數(shù)目等于正特征值數(shù)目零特征值不需給出邊界條件-0+處邊界條件數(shù)目等于負(fù)特征值數(shù)目處邊界條件數(shù)目等于偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)3.一階雙曲型方程及方程組的數(shù)值邊界處理三層格式需增補(bǔ)3.一階雙曲型方程及方程組的數(shù)值邊界處理三層格式需增補(bǔ)1111n+1npQ實(shí)際上是迎風(fēng)格式數(shù)值邊界條件（人工邊界條件）n+1npQ實(shí)際上是迎風(fēng)格式數(shù)值邊界條件（人工邊界條件）注：采用插值法構(gòu)造邊界條件要用內(nèi)插公式，使用外推方法往往是不行。即要用穩(wěn)定的格式構(gòu)造邊界條件.例如：下面的兩個(gè)不可用的邊界條件再如注：改進(jìn)注：采用插值法構(gòu)造邊界條件要用內(nèi)插公式，例如：下面的兩個(gè)不可例２：考慮微分方程組（半無界問題）定解條件為：思考：不能給出v(x,t)在x=0處的邊界條件，否則問題不適定。例２：考慮微分方程組（半無界問題）定解條件為：思考：不能給出采用Lax-wendroff格式左邊界需要附加邊界條件計(jì)算采用Lax-wendroff格式左邊界需要附加邊界條件計(jì)算方法一、從特征形式出發(fā)特征型:采用迎風(fēng)格式方法一、從特征形式出發(fā)特征型:采用迎風(fēng)格式方法二、從方程本身出發(fā)已知邊界條件有：利用第一個(gè)方程：利用第二個(gè)方程：見72頁方法二、從方程本身出發(fā)已知邊界條件有：利用第一個(gè)方程：利用第1一階雙曲型方程(1)Lax-Friedrichs格式：（六）二維問題1一階雙曲型方程(1)Lax-Friedrich此格式是一階精度的。

下面討論穩(wěn)定性：

此格式是一階精度的。下面討論穩(wěn)定性：那么VonNeumann條件滿足，格式穩(wěn)定。

那么VonNeumann條件滿足，格式穩(wěn)定。(2)Lax-Wendroff格式：

又由Taylor展開，有

(2)Lax-Wendroff格式：又由Taylo偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)(3)分?jǐn)?shù)步長法(3)分?jǐn)?shù)步長法例如：以Lax-Wendroff格式來完成二步法例如：以Lax-Wendroff格式來完成二步法顯式格式穩(wěn)定性有條件限制，多維的更加嚴(yán)格，因此考慮隱格式。（4）隱式格式全隱格式顯式格式穩(wěn)定性有條件限制，多維的更加嚴(yán)格，因此考慮隱格式。（Crank-Nicolson格式Crank-Nicolson格式由于隱格式求解二維問題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀，因此求解不甚順利，解決方案：交替方向隱式（ADI）格式（AlternateDirectionImplicit）由于隱格式求解二維問題得到的線性方程組解決方案：交替方向隱式（5）ADI（Alternatedirectionimplicit）交替方向隱式格式ADI-1：X方向隱格式Y(jié)方向隱格式等價(jià)于（5）ADI（AlternatedirectionimpADI-2：二維Beam-Warming格式X方向隱格式Y(jié)方向隱格式ＣＮ格式變形去掉高階項(xiàng)ADI-2：二維Beam-Warming格式X方向隱格式Y(jié)方30無條件穩(wěn)定ADI-2：30無條件穩(wěn)定ADI-2：31每一個(gè)子步只對一個(gè)方向是隱式的，系數(shù)矩陣是主對角占優(yōu)的三對角矩陣，可以利用追趕法，減少了計(jì)算量；(2)每個(gè)單步都是各方向隱式差分算子的乘積，保證

了格式具有無條件穩(wěn)定的性質(zhì)；(3)單步格式與相應(yīng)CN格式之差是一個(gè)局部截?cái)嗾`差

不低于CN格式的差分算子，從而保證了格式的局

部截?cái)嗾`差仍為優(yōu)點(diǎn)：31每一個(gè)子步只對一個(gè)方向是隱式的，系數(shù)矩陣是主對角占優(yōu)的三3232則稱方程組是雙曲型方程組。

如果A,B為實(shí)對稱陣，則方程組是雙曲型方程組，也稱為對稱雙曲型方程組。

2.一階雙曲型方程組則稱方程組是雙曲型方程組。如果A,B為實(shí)對稱陣，則方程組是下面以Lax-Wendroff格式為例，討論差分方程：

利用多元Taylor展開，有

下面以Lax-Wendroff格式為例，討論差分方程：利用故有：

利用Fourier方法可討論上式的穩(wěn)定性：可得增長矩陣：

故有：利用Fourier方法可討論上式的穩(wěn)定性：可得增長矩如果A,B是對稱陣，可以證明Lax-Wendroff格式的穩(wěn)定性條件是：

為放寬穩(wěn)定性條件，有許多改進(jìn)技術(shù)。如：Strang方法

如果A,B是對稱陣，為放寬穩(wěn)定性條件，有許多改進(jìn)技術(shù)。（五）雙曲型方程及方程組的初邊值問題1.二階雙曲型方程的邊界處理（五）雙曲型方程及方程組的初邊值問題1.二階雙曲型方程的邊界構(gòu)造二階精度的邊界條件確定a,b,c？得方程組構(gòu)造二階精度的邊界條件確定a,b,c？得方程組確定a,b,c得方程組右邊界確定a,b,c得方程組右邊界二階精度的邊界條件二階精度的邊界條件2.一階雙曲型方程及方程組的邊界條件對流方程怎樣給邊界條件使方程適定，區(qū)域?yàn)閄=1不能給邊界條件X=0不能給邊界條件（初始條件）2.一階雙曲型方程及方程組的邊界條件對流方程怎樣給邊界條件使為對角線元素為負(fù)的對角陣為對角線元素為零的對角陣為對角線元素為正的對角陣S為A的特征向量的列所構(gòu)成的矩陣-0+為對角線元素為負(fù)的對角陣為對角線元素為零的對角陣為對角線元素處邊界條件數(shù)目等于負(fù)特征值數(shù)目處邊界條件數(shù)目等于正特征值數(shù)目零特征值不需給出邊界條件-0+處邊界條件數(shù)目等于負(fù)特征值數(shù)目處邊界條件數(shù)目等于偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)3.一階雙曲型方程及方程組的數(shù)值邊界處理三層格式需增補(bǔ)3.一階雙曲型方程及方程組的數(shù)值邊界處理三層格式需增補(bǔ)4711n+1npQ實(shí)際上是迎風(fēng)格式數(shù)值邊界條件（人工邊界條件）n+1npQ實(shí)際上是迎風(fēng)格式數(shù)值邊界條件（人工邊界條件）注：采用插值法構(gòu)造邊界條件要用內(nèi)插公式，使用外推方法往往是不行。即要用穩(wěn)定的格式構(gòu)造邊界條件.例如：下面的兩個(gè)不可用的邊界條件再如注：改進(jìn)注：采用插值法構(gòu)造邊界條件要用內(nèi)插公式，例如：下面的兩個(gè)不可例２：考慮微分方程組（半無界問題）定解條件為：思考：不能給出v(x,t)在x=0處的邊界條件，否則問題不適定。例２：考慮微分方程組（半無界問題）定解條件為：思考：不能給出采用Lax-wendroff格式左邊界需要附加邊界條件計(jì)算采用Lax-wendroff格式左邊界需要附加邊界條件計(jì)算方法一、從特征形式出發(fā)特征型:采用迎風(fēng)格式方法一、從特征形式出發(fā)特征型:采用迎風(fēng)格式方法二、從方程本身出發(fā)已知邊界條件有：利用第一個(gè)方程：利用第二個(gè)方程：見72頁方法二、從方程本身出發(fā)已知邊界條件有：利用第一個(gè)方程：利用第1一階雙曲型方程(1)Lax-Friedrichs格式：（六）二維問題1一階雙曲型方程(1)Lax-Friedrich此格式是一階精度的。

下面討論穩(wěn)定性：

此格式是一階精度的。下面討論穩(wěn)定性：那么VonNeumann條件滿足，格式穩(wěn)定。

那么VonNeumann條件滿足，格式穩(wěn)定。(2)Lax-Wendroff格式：

又由Taylor展開，有

(2)Lax-Wendroff格式：又由Taylo偏微分課程課件6_雙曲型方程的有限差分法(III)(3)分?jǐn)?shù)步長法(3)分?jǐn)?shù)步長法例如：以Lax-Wendroff格式來完成二步法例如：以Lax-Wendroff格式來完成二步法顯式格式穩(wěn)定性有條件限制，多維的更加嚴(yán)格，因此考慮隱格式。（4）隱式格式全隱格式顯式格式穩(wěn)定性有條件限制，多維的更加嚴(yán)格，因此考慮隱格式。（Crank-Nicolson格式Crank-Nicolson格式由于隱格式求解二維問題得到的線性方程組其系數(shù)矩陣為寬帶狀，因此求解不甚順利，解決方案：交替方向隱式（ADI）格式（AlternateDirectionImplicit）由于隱格式求解二維問題得到的線性方程組解決方案：交替方向隱式（5）ADI（Alternatedirectionimplicit）交替方向隱式格式ADI-1：X方向隱格式Y(jié)方向隱格式等價(jià)于（5）ADI（AlternatedirectionimpADI-2：二維Beam-Warming格式X方向隱格式Y(jié)方向隱格式ＣＮ格式變形去掉高階項(xiàng)ADI-2：二維Beam-Warming格式X方向隱格式Y(jié)方66無條件穩(wěn)定ADI-2：30無條件穩(wěn)定ADI-2：67每一個(gè)子步只對一個(gè)方向是隱式的，系數(shù)矩陣是主對角占優(yōu)的三對角矩陣，可以利用追趕法，減少了計(jì)算量；(2)每個(gè)單步都是各方向隱式差分算子的乘積，保證

了格式具有無條件穩(wěn)定的性質(zhì)；(3)單步格式與相應(yīng)CN格式之差是一個(gè)局部截?cái)嗾`差

不低于CN格式的差分算子，從而保證了格式的局

部截?cái)嗾`差仍為優(yōu)點(diǎn)：31每一個(gè)子步只對一個(gè)方向是隱式的，系數(shù)矩陣是主對角占優(yōu)的三6832則稱方程組是雙曲型方程組。

如果A,B為實(shí)對稱陣，則方程組是雙曲型方程組，也稱為對稱雙曲型方程組。

2.一階雙曲型方程組則稱方程組是雙曲型方程組。如果A,B為實(shí)對稱陣，則方程組是下面以Lax-Wendroff格