概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第三章習(xí)題

第三章隨機(jī)變量及其分布返回主目錄第三章多維隨機(jī)變量及其分布

習(xí)題課

1要理解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。

2要理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布以及與聯(lián)合分布的關(guān)系，了解條件分布。

3掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。

4要理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性。

5要會求二維隨機(jī)變量的和、商分布及多維隨機(jī)變量的極值分布和函數(shù)的分布。第三章小結(jié)返回主目錄重點(diǎn)：隨機(jī)變量的獨(dú)立性、二維隨機(jī)變量的和、商分布及多維隨機(jī)變量的極值分布函數(shù)的分布。

一、要理解二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。第三章小結(jié)返回主目錄1二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)2分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：3已知聯(lián)合分布函數(shù)求邊緣分布函數(shù)()),(+￥=xFxFX()),(yFyFY+￥=二維分布函數(shù)的幾何意義yo(X,Y)返回主目錄第三章小結(jié)第三章小結(jié)返回主目錄二、二維離散型隨機(jī)變量性質(zhì)2、已知聯(lián)合分布律，會求邊緣分布律?===·jijiipxXPp}{?===·iijjjpyYPp}{第三章小結(jié)返回主目錄3、會判斷離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性；4、已知離散型隨機(jī)變量X、Y的相互獨(dú)立以及各自的（邊緣）分布，會求聯(lián)合分布；三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量1、分布函數(shù)F(x,y)與密度函數(shù)f(x,y)的關(guān)系：2、概率密度

具有以下性質(zhì)：

40

設(shè)G是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn)(X,Y

)落在

G

內(nèi)的概率為：返回主目錄第三章小結(jié)第三章小結(jié)返回主目錄3、已知聯(lián)合密度函數(shù)，會求邊緣密度函數(shù)4、會判斷連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性返回主目錄5、掌握二維均勻分布和二維正態(tài)分布。第三章小結(jié)結(jié)論（一）結(jié)論（二）返回主目錄

X，Y獨(dú)立=0X，Y不相關(guān)。第三章小結(jié)6、要會求二維隨機(jī)變量的和及最值分布。()()rssmm，，，，，即若222121~NYX返回主目錄例1（1）求X與Y的聯(lián)合分布；第三章小結(jié)（2）X與Y是否獨(dú)立？（2）X與Y不獨(dú)立例2第四章小結(jié)

設(shè)X與Y相互獨(dú)立,下表給出X，Y的聯(lián)合分布律及各自的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，求其余數(shù)值。

．

例3返回主目錄第三章小結(jié)

例4一口袋裝有

4只球，其中

1只白球，1

只黑球，2只紅球。從中任取球兩只，以X表示取出紅球數(shù)，以Y表示取出白球數(shù)，求（1）X和Z的聯(lián)合分布律；（2）X和Z的邊緣分布律；返回主目錄第三章小結(jié)X的取值為0，1，2；Y的取值為0，1；Z的取值為0，1，2；返回主目錄例4第三章小結(jié)返回主目錄第三章小結(jié)例5)(zfZZ的密度函數(shù)求()的聯(lián)合密度函數(shù)為，二維隨機(jī)變量YX()()()???íì??=GyxGyxyxf，，，041例5（續(xù)）第三章隨機(jī)變量及其分布返回主目錄)(zfZZ的密度函數(shù)???íì<<-=其他020)2(21)(zzzfZ返回主目錄第三章小結(jié)例6()的聯(lián)合密度函數(shù)為，二維隨機(jī)變量YX()()()???íì??=GyxGyxyxf，，，021例6（續(xù)）x=yx=2y=1返回主目錄第三章小結(jié)y二幾何概型

幾何概型考慮的是有無窮多個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。首先看下面的例子。

例1(會面問題）甲、乙二人約定在12點(diǎn)到5點(diǎn)之間在某地會面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。第一章概率論的基本概念幾何概型返回主目錄解：以X,Y

分別表示甲乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是

即點(diǎn)M落在圖中的陰影部分。所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，即有無窮多個(gè)結(jié)果。由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的。012345yx54321.M(X,Y)第一章概率論的基本概念幾何概型返回主目錄二人會面的條件是：

012345yx54321y-x=1y-x=-1第一章概率論的基本概念幾何概型返回主目錄第一章概率論的基本概念幾何概型返回主目錄

一般，設(shè)某個(gè)區(qū)域D(線段，平面區(qū)域，空間區(qū)域），具有測度mD(長度，面積，體積)。如果隨機(jī)實(shí)驗(yàn)

E

相當(dāng)于向區(qū)域內(nèi)任意地取點(diǎn)，且取到每一點(diǎn)都是等可能的，則稱此類試驗(yàn)為幾何概型。

如果試驗(yàn)

E

是向區(qū)域內(nèi)任意取點(diǎn)，事件A

對應(yīng)于點(diǎn)落在

D內(nèi)的某區(qū)域

A，則

例2(蒲豐投針問題）平面上有一族平行線。其中任何相鄰的兩線距離都是a(a>0)

。向平面任意投一長為l(l<a)

的針，試求針與一條平行線相交的概率。lMx解：設(shè)x是針的中點(diǎn)M到最近的平行線的距離，是針與此平行線的交角，投針問題就相當(dāng)于向平面區(qū)域D

取點(diǎn)的幾何概型。M第一章概率論的基本概念幾何概型返回主目錄xDA0第一章概率論的基本概念幾何概型返回主目錄

思考題

1)某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不超過10分鐘的概率。(1/6)2)在線段AD上任意取兩個(gè)點(diǎn)B、C，在B、C處折斷此線段而得三折線，求此三折線能構(gòu)成三角形的概率。(1/4)3)甲、乙兩船?？客淮a頭，各自獨(dú)立地到達(dá)，且每艘船在一晝夜間到達(dá)是等可能的。若甲船需停泊1小時(shí)，乙船需停泊2小時(shí)，而該碼頭只能停泊一艘船。試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率。(0.121)第一章概率論的基本概念幾何概型返回主目錄4)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求下列事件的概率：

(1)兩個(gè)數(shù)中較小(大)的小于1/2；(3/4,1/4)(2)兩數(shù)之和小于3/2；(7/8)(3)兩數(shù)之積小于1/4。(0.5966)第一章概率論的基本概念幾何概型返回主目錄2.解：01013.求X和Y的邊緣密度函數(shù)。第三章隨機(jī)變量及其分布條件分布4.解：返回主目錄第三章隨機(jī)變量及其分布條件分布（續(xù)）返回主目錄第三章隨機(jī)變量及其分布條件分布（續(xù)）返回主目錄5.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的分布列分別為XP-101???YP01??已知P{XY=0}=1，試求Z=max{X