2022學(xué)年第一學(xué)期杭州市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬卷含答案

高三數(shù)學(xué)第=page66頁(yè)（共=sectionpages66頁(yè)）2022學(xué)年第一學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬卷全卷共4頁(yè)，22題，滿分150分；考試時(shí)間120分鐘。一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)符合題意，多選、錯(cuò)選、不選均不得分。若集合，，滿足：，則A. B. C. D.設(shè)，則“”是“函數(shù)在為減函數(shù)”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件把本不同的書(shū)分給名同學(xué)，每個(gè)同學(xué)至少一本，則不同的分發(fā)數(shù)為A.種 B.種 C.種 D.種在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.在中，

，，則的值為A. B. C. D.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿足，則的值為A. B. C. D.的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.已知，函數(shù)滿足：恒成立，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式中成立的是A. B.

C. D.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題意，選全得5分，漏選得2分，錯(cuò)選、不選均不得分。已知，且，則．(

)A. B. C. D.已知非零復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則(

)A.當(dāng)時(shí)，

B.當(dāng)時(shí)，

C.若，則存在實(shí)數(shù)，使得

D.若，則定義平面斜坐標(biāo)系，記，，分別為軸、軸正方向上的單位向量若平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：，則記向量的坐標(biāo)為，給出下列四個(gè)命題，正確的選項(xiàng)是A. 若，

，則B. 若，以為圓心、半徑為的圓的斜坐標(biāo)方程為C. 若，，則D. 若，記斜平面內(nèi)直線的方程為，則在平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)到直線的距離為已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)，，，的斜率分別記為，，以下各式為定值的是A. B.

C. D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。已知隨機(jī)變量服，且，則

．已知公差為且各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為

．已知圓：，圓：，定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)分別在圓和圓

上，滿足，則線段的取值范圍___________已知實(shí)數(shù)，，，滿足，，且，則的取值范圍是

．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（10分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知， 若為邊上一點(diǎn)，，，且，求 若，，為平面上一點(diǎn)，，其中，求的最小值．（12分）已知數(shù)列滿足，，記，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的正項(xiàng)等比數(shù)列，若數(shù)列中的第項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng)求數(shù)列及的通項(xiàng)公式．求數(shù)列的前項(xiàng)和．（12分）如圖所示，矩形是某生態(tài)農(nóng)莊一塊植物栽培基地的平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路寬度不計(jì)經(jīng)過(guò)該區(qū)域，其中都在矩形的邊界上．已知，單位：百米，小路將矩形分成面積分別為，單位：平方百米的兩部分，其中，且點(diǎn)在面積為的區(qū)域內(nèi)，記長(zhǎng)為百米．若，求的最大值；若，求的取值范圍．（12分）從年底開(kāi)始，非洲東部的肯尼亞等國(guó)家爆發(fā)出了一場(chǎng)嚴(yán)重的蝗蟲(chóng)災(zāi)情．目前，蝗蟲(chóng)已抵達(dá)烏干達(dá)和坦桑尼亞，并向西亞和南亞等地區(qū)蔓延蝗蟲(chóng)危害大，主要危害禾本科植物，能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只蝗蟲(chóng)的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．平均溫度平均產(chǎn)卵數(shù)個(gè)表中，．根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)哪一個(gè)更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型？給出判斷即可，不必說(shuō)明理由并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程．精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到以上時(shí)蝗蟲(chóng)會(huì)造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為．記該地今后年中，恰好需要次人工防治的概率為，求取得最大值時(shí)相應(yīng)的概率；根據(jù)中的結(jié)論，當(dāng)取最大值時(shí)，記該地今后年中，需要人工防治的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差．

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，．（12分）已知拋物線:經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，且直線交軸于，直線交軸于．

求直線的斜率的取值范圍；

設(shè)為原點(diǎn)，，，求證：為定值．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)時(shí)，探究關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．高三數(shù)學(xué)答案第=page2525頁(yè)（共=sectionpages11頁(yè)）2022學(xué)年第一學(xué)期杭州市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)模擬卷參考答案一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)符合題意，多選、錯(cuò)選、不選均不得分。1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.A

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題意，選全得5分，漏選得2分，錯(cuò)選、不選均不得分。9.

10.

11.

12.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.

14.

15.

16.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.解：由可得，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．由可得，則，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理可得，即，解得由余弦定理可得，解得．記，，則點(diǎn)在線段上且為的中點(diǎn)，記的中點(diǎn)為，邊上的高為，，，則．，所以的最小值為．18.解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．所以．由題意知，．所以，即

，又，則．所以．又，則，則．

，

，

得，

．

所以．

19.解：依題意，折痕有下列三種情形：

折痕的端點(diǎn)，分別在邊，上；

折痕的端點(diǎn)，分別在邊，上；

折痕的端點(diǎn)，分別在邊，上．

在情形、中，故當(dāng)時(shí)，折痕必定是情形．

設(shè)，，則

因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

即的最大值為

由題意知，長(zhǎng)方形的面積為．

因?yàn)椋?，所以，?/p>

(ⅰ)當(dāng)折痕是情形時(shí)，設(shè)，，則，即．

由得．

所以，

令，則，設(shè)，

則，令，得負(fù)舍．所以的取值范圍為，故的取值范圍是；

(ⅱ)當(dāng)折痕是情形時(shí)，設(shè)，，

則，即．

由得．

所以，．

所以的取值范圍為；

(ⅲ)當(dāng)折痕是情形時(shí)，設(shè)，，

則，即．

由得．

所以，．所以的取值范圍為

綜上所述，的取值范圍為

20.解：由散點(diǎn)圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸類型，對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，，，則，因?yàn)?，，所以關(guān)于的回歸方程為，所以關(guān)于的回歸方程為．由，

，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，即最大值，故；由可知，當(dāng)時(shí)，取最大值，又，則，由題意可知，

故，．

21.解：Ⅰ拋物線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得，

由題意，直線的斜率存在且不為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組可得，消可得，，且，解得，且，則，，又、要與軸相交，直線不能經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，故直線的斜率的取值范圍是；

Ⅱ證明：設(shè)點(diǎn)，，則，，因?yàn)椋?，故，同理?/p>

直線的方程為，

令，得，同理可得，

因?yàn)椋?/p>

，為定值．

22.解：∵(，，∴

即為偶函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，f'(x)0；當(dāng)時(shí)，f'(x)0；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；又根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)a1時(shí)，f'(x)0對(duì)任意恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，又，所以關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，使得，即．且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；，，①當(dāng)，即時(shí)，關(guān)于的方程在區(qū)間上無(wú)實(shí)數(shù)根，又為偶函數(shù)，所以關(guān)于的方程在上無(wú)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)，即時(shí)，關(guān)于的方程在區(qū)間上有1個(gè)實(shí)數(shù)根，又為偶函數(shù)，所以關(guān)于的方程在上有2個(gè)實(shí)數(shù)根；綜上，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程在上有2個(gè)實(shí)數(shù)根；

???????當(dāng)時(shí)關(guān)于的方程在上無(wú)實(shí)數(shù)根．

數(shù)學(xué)模擬卷小題解析1.【分析】本題考查補(bǔ)集以及集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意畫(huà)出圖，由圖即可得到．【解答】解：集合，，滿足：，

如圖，

．故選：．2.【分析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題及充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)為單調(diào)減函數(shù)解出的范圍，即可判斷得結(jié)果．【解答】解：由題意可得為減函數(shù)，則，解得．故選：3.【分析】本題考查排列組合問(wèn)題中簡(jiǎn)單的分組分配問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意可知其中一名同學(xué)分得兩本書(shū)，其余兩名同學(xué)各分得一本書(shū)，利用排列組合數(shù)進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：根據(jù)題意可知其中一名同學(xué)分得兩本書(shū)，其余兩名同學(xué)各分得一本書(shū)，不同的分發(fā)數(shù)為種

故選D．4.【分析】本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)，屬于中檔題．

利用雙曲線的定義建立，，的關(guān)系即可解得答案．【解答】解：由題意可得焦點(diǎn)到漸近線的距離為，又因?yàn)椋?，則，，

在中由余弦定理得，代入化簡(jiǎn)得，則漸近線方程．故選：5.【分析】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，以及正弦定理，屬于中檔題．

先利用兩角差的正弦公式將原式變形，再利用正弦定理化角為邊可得答案．【解答】解：因?yàn)椋?，則．故選：．6.【分析】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式及分組求和，屬于綜合題．

由遞推公式確定通項(xiàng)公式后，再求．【解答】解：因?yàn)?，所以又，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以，則

故選：．7.【分析】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題、恒成立問(wèn)題及分類討論的思想，屬于綜合題．

先求出的最小值為，再將時(shí)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題．【解答】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，令，得，則在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即函數(shù)在處取得最小值，

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，當(dāng)時(shí)，不符合．當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，則或解得或，所以故選：．8.【分析】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理能力，難度適中.

解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是轉(zhuǎn)化得到sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，其二是構(gòu)造函數(shù)g（x）=cosxf（x）即可.

【解答】

解：：因x∈（0，），故tanxf（x）＞f′（x），

∴sinxf（x）＞f′（x）cosx，即sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，

令g（x）=cosxf（x），

則g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＜0，

所以函數(shù)g（x）在（0，）為減函數(shù)，

∴cosf（）＞cosf（），

∴f（）＞f（），

故選A．9.【分析】本題考查構(gòu)造新函數(shù)，由函數(shù)圖象判斷自變量的大小，屬于綜合題．

等式兩邊取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)，結(jié)合圖象得到與的范圍．【解答】解：兩邊取對(duì)數(shù)，得，構(gòu)造函數(shù)，則．，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，

得的圖象如右所示，又，所以，．故選：10.【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，，平方可得，項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，取，則，當(dāng)，項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，平方可得，即，因此存在實(shí)數(shù)，使得，項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，取，但，項(xiàng)錯(cuò)誤．11.【分析】本題考查新定義背景平面向量向量的線性運(yùn)算，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于綜合題．

根據(jù)題目的新定義對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)：若，

，則；因?yàn)?，所以；故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)以為圓心、半徑為的圓上任意一點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，得，，?/p>

即故B正確；對(duì)于選項(xiàng)：，

，則，即，

，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：若，斜平面內(nèi)直線的方程為，則在直角坐標(biāo)下的直線的方程為，則原點(diǎn)到直線的方程為故D正確．故選：12.【分析】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及應(yīng)用，屬于綜合題．

通過(guò)設(shè)直線方程聯(lián)立方程組，再借助韋達(dá)定理表示出所需驗(yàn)證的代數(shù)式是否為定值．【解答】解：由已知，，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，消去得：，設(shè)，，

則與有關(guān)，不是定值，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．

是定值，故選項(xiàng)B正確．

與有關(guān)，不是定值故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．定值故選項(xiàng)D正確．故選：13.【分析】本題考查正態(tài)曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

利用正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，得到與的關(guān)系．【解答】解：因?yàn)?，所以正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，且，所以，所以．14.【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

先根據(jù)得到，再借助基本不等式求的最小值．【解答】解：因?yàn)?，則，化簡(jiǎn)得因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，則，，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．15.【分析】

本題主要考查了圓的方程的綜合運(yùn)用，與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題，兩點(diǎn)間的距公式，中點(diǎn)坐標(biāo)公式運(yùn)用，考查了分析和運(yùn)算求解能力，屬于較難題．

設(shè)、，由條件可得，結(jié)合可得，代入坐標(biāo)運(yùn)算可得，即，設(shè)的中點(diǎn)為，則，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而求出的取值范圍即可求解