第七章向量與空間解析幾何-7 -4直線及其方程

第四節(jié)空間直線及其方程第七章一、空間直線的方程二、兩直線的夾角三、直線與平面的夾角四、點到直線的距離五、平面束法定義空間直線可看成兩平面的交線．1.空間直線的一般式方程一、空間直線的方程(不唯一)方向向量的定義：

如果一非零向量平行于一條已知直線，則這個向量稱為這條直線的方向向量．//2.空間直線的對稱式方程直線的對稱式方程:說明:

某些分母為零時,其分子也理解為零.直線方程為例如,當

直線的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.令3.空間直線的參數(shù)方程用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線解在直線上任取一點取解得點坐標例1因所求直線與兩平面的法向量都垂直取對稱式方程參數(shù)方程再求直線的方向向量:注化直線L方程的一般式1°

由(1),任意求出直線L上的一點

M0(x0,y0,z0)為對稱式的步驟：(只要點M0的坐標同時滿足(1)中的兩個方程即可)2°

確定L

的方向向量由此可確定方向數(shù)m,n,p，從而寫出L的對稱式.解所以交點為取例2所求直線方程一般思路：作過A點且垂直于已知直線L1的平面，再求與L1的交點，進而求得所求直線的方向向量.此處

:y=-3定義直線直線兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）——兩直線的夾角公式二、兩直線的夾角兩直線的位置關系直線直線例如，異面解設所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取例3L所求直線的方程例4解(1)依題設，有L1L2L1L2故所求平面方程為定義三、直線與平面的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角．或L——直線與平面的夾角公式直線與平面的位置關系解為所求夾角．例5四、點到直線的距離LPMNd點P到直線L的距離為：例6解(方法1)公式法所給直線L的方向向量：LPMNd

點P到所給直線的距離為：(方法2)LPMNd要求：五、平面束法設直線L的方程為：1.平面束：則稱：為通過直線L的平面束.(2)可以證明：所有平面.證下面證明：過直線L的任一平面(除1外)，必是平面束中的某一平面.

過直線L,

且例7解(方法1)∵

1//2(方法2)L例8

(綜合)解L1L(方法1)L1LL1L(方法2)化為參數(shù)式方程.L1的方向向量為L1L故L1的對稱式方程為從而L1的參數(shù)式方程為L1L從而L1的方向向量為L1L(方法3)思路：設LL1則所求直線L正是上述兩平面的交線.1.空間直線的一般方程.空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程.2.兩直線的夾角.3.直線與平面的夾角.（注意兩直線的位置關系）（注意直線與平面的位置關系）內容小結4.點到直線的距離思考題思考題解答且有故當時結論成立．解先作一過點M且與已知直線L1垂直的平面

再求已知直線與該平面的交點N,令備用題

例2-1LL1代入平面方程得,交點取所求直線的方向向量為所求直線方程為例7-1解過已知直線的平面束方程為由題設知由此解得代回平面束方程,得所求為平面方程：注利用平面束：求平面方程時，應注意檢驗是否為滿足題設條件的所