專題平面向量常見(jiàn)題型與解題指導(dǎo)

平

面

向

量

常

見(jiàn)

題

型

與

解

題

指

導(dǎo)一、考點(diǎn)回顧1本章框圖2高考要求1、理解向量的概念，掌握向量幾何表示，了解共線向量的概念2、掌握向量的加法和減法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律。、握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則及運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線的充要條件、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度角度和垂直的問(wèn)題掌向量垂直的條件6掌線的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用；掌握平移公式掌握正、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形通過(guò)解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。3熱點(diǎn)分析對(duì)本章內(nèi)容的考查主要分以下三類：以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、直、判斷多邊形形狀等問(wèn).以解答題考查圓錐曲線中的典型問(wèn).此類題綜合性比較強(qiáng)，難度大，以解析幾何中的常規(guī)題為.向量在空間中的應(yīng)（類材中.空間坐標(biāo)系下通過(guò)向量的坐標(biāo)的表示運(yùn)計(jì)算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì).在復(fù)習(xí)過(guò)程中抓住源于課本高課本的指導(dǎo)方.本章考題大多數(shù)是課本的變式題源課.因此，掌握雙基精課本是本章關(guān)鍵分近幾年來(lái)的高考試題關(guān)平面向量部分突出考查了向量的基本運(yùn)算于和解析幾何相關(guān)的線段的定比分點(diǎn)和平移等交叉內(nèi)容，作為學(xué)習(xí)解析幾何的基本工具，在相內(nèi)容中會(huì)進(jìn)行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重點(diǎn)。總而言之，平面向量這一章的學(xué)習(xí)應(yīng)足基礎(chǔ)，強(qiáng)化運(yùn)算，重視應(yīng)用?？疾榈闹攸c(diǎn)是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。4復(fù)習(xí)建議由于本章知識(shí)分向量與解斜三角形兩部分以用本章知識(shí)解決的問(wèn)題也分為兩類類是根向量的概念、定理、法則、公式對(duì)向量進(jìn)行運(yùn)算，并能運(yùn)用向量知識(shí)解決平面幾何中的一些計(jì)算和證問(wèn)題；另一類是運(yùn)用正、余弦定理正確地解斜三角形，并能應(yīng)用解斜三角形知識(shí)解決測(cè)量不可到達(dá)的兩點(diǎn)間距離問(wèn)題。在解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一是要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行量的各種運(yùn)算，進(jìn)一步加深對(duì)“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并體會(huì)用向量處理問(wèn)題的優(yōu)越性二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過(guò)向量法和坐標(biāo)法的運(yùn)用，進(jìn)一步會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上的作用。在解決解斜三角形問(wèn)題時(shí)，一方面要體會(huì)向量方法在解三角形方面的應(yīng)用，另一方面要體會(huì)解三角形是重要的測(cè)量手段，通過(guò)學(xué)習(xí)提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。二、常題型分類題一向的關(guān)念運(yùn)此類題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題與填空題中，在復(fù)習(xí)中要充分理解平面向量的相關(guān)概念，熟練掌握向的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，掌握兩向量共線、垂直的充要條.例：知是以點(diǎn)(3,為起點(diǎn)，且與向量=(行的單位向量，則向量是.

a的終點(diǎn)坐標(biāo)思路分析：與a平的單位向量e

aa方法一：設(shè)向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)(x,),a=(-3,+1)則題意可知()3(1)（x－2＋1

解得

x5y5

或

18xy

1218，故填,-)或(,-)5方二

與向量=平行的單位向量是±

1(-3,4)，故可得＝±(-)，從而向量終點(diǎn)坐標(biāo)是55(,y－(3,－1),便可得結(jié)果.點(diǎn)：量的概念較多，且容易混淆，在學(xué)習(xí)中要分清、理解各念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量、反向向量、單位向量等概例：知a|=1,|b，與b的夾為60°,a－，=3b－,則x與y夾角的余弦是多少？思分：計(jì)算x與的夾角，需求出|x|,·值計(jì)算時(shí)要注意計(jì)算的準(zhǔn)確.解由已知|=|，與的夾角α為60°,得ab=|acos=

.要計(jì)算與y的夾θ需求出x|，x·y的值∵||=xab)=4a－4a·b+b=4

+1=3，||y=(3b－)=9b－6b·aa－6×

+1=7.x·y=(2－)·(3－)=6a·－2a－3+·=7ab－2－3b=7×

1－2－3=－，2又∵·y=||||，－

32

=

3

×

7

cos，∴cos=－

2114點(diǎn)：本題利用模的性||=，②在計(jì)算x的時(shí)，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：如圖所示，設(shè)

=,

=,

=2a∠=60°.向量減法的幾何意義得

=

－

=2－.由余弦定理易得BD|=3，|=，理可得y|=.題二向共與直件考1aaac1aaac例．面直角坐標(biāo)系中O為標(biāo)原點(diǎn)，已兩點(diǎn)A(3,，B(，若點(diǎn)C滿足

OC

，其中且，點(diǎn)的軌方程.解法一）設(shè)Cxy，=(,)，由OCxy)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α,+3)∴

xy

,（從中解出α）又∵+消去αβ得xy-5=0（法二）利向量的幾何運(yùn)算考慮定比分點(diǎn)公式的向量形式，結(jié)合條件知，B三點(diǎn)共線，故點(diǎn)C的跡方程即為直線的方x＋2－5=0例．知平面向量a＝(，，b＝(,2

).(1)若存實(shí)數(shù)k和，得x＋(－3)b,y＝－ka＋b，x⊥y，試求函的關(guān)系式＝f(t)；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，確定k＝f(t)的單調(diào)區(qū).思分欲求數(shù)系k=f(t)只找k與t間等關(guān)k與之間的量系么到②函單區(qū)有些法（數(shù)、義）數(shù)是單調(diào)間簡(jiǎn)有的法解）法一：由題意知x＝(

t33t2,

),y＝(

t－

3

k，t＋k)，又故·＝

t

2

1t×（t－k）＋×(＋k)2整理得：－3t－4k＝0，k＝

1t－t.4法二：＝(

3

，－1)，b＝(

1,),∴.2

，

b

＝1且a⊥b∵⊥，·＝0即k

＋t(t－3)

b＝0，∴t－3t－4k＝0,即k＝

13t－t44(2)由1)知：＝f(t)＝

13t－t∴kˊ＝fˊ(t)＝t－44令kˊ＜0得－＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.故k＝f(t)的調(diào)遞減區(qū)間是(1，單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，）（1，＋∞點(diǎn)：（1）中兩解是決量直兩常的法一先用向的標(biāo)算別得個(gè)量坐，利向垂的要件二直利向垂直充條，過(guò)要到量數(shù)積公及模式達(dá)同的解的但算程大化值得意.第2問(wèn)求數(shù)極運(yùn)的是導(dǎo)方，是舊識(shí)匯處綜運(yùn).1例：已知面向量＝(－1)b＝(，)若存在不為零的實(shí)數(shù)k和α向＝2α,d＝－k＋(sin,⊥，求實(shí)數(shù)k的值范圍1解由條件可得k＝(sinα－)－,而－1≤sinα416∴當(dāng)sinα＝－1時(shí)k取大1sinα＝1時(shí)，取最小值－

.又∵k≠0∴k的取值范圍為

1[U(0,1]2

.點(diǎn)與示將例中t略改舊題新，現(xiàn)意想到效，很地查向與角數(shù)、不式合用力例：知向量

a2),2,1)

，若正數(shù)k和t使得量xt

1與abt

垂直，求的最值解

x

1y0即[at]?(b0ta

t

2(tt

a0∵

a2),

，a|=|=a

＝－

2

＋

2

，代上式－3k＋3

t

1tt1當(dāng)且僅當(dāng)t=，時(shí)取“＝”號(hào)，即的最小值是2.t題三向的標(biāo)算三函的查向與角數(shù)合題新而精，符在識(shí)“匯處構(gòu)，加了雙的查.例．函數(shù)f)＝a·b其中向量a＝(2cos,1),b＝(cos,

3

sin2),∈R.（1）若f(x)＝1

3且x∈[－

，]求若函數(shù)y＝2sin2x的圖象按向量c＝(m,3

m

﹤)平后得到函數(shù)＝f()2的圖象，求實(shí)數(shù)m的.思分：本題主要考查平面向量的概念和計(jì)算、平移公式以及三角函數(shù)的恒等變換等基本技能，解：依設(shè)f()＝（2cos，1,x)＝2cosx＋3sin2x＝1x＋)=1－，sin(2＋)＝－.由1＋2sin(2＋66≤≤∴－≤2＋≤,∴2＋=－,即＝－.∵－33663

6

)（2）函數(shù)y＝2sin2x的象按向量c＝,n平移后得到函數(shù)－m)+n的象，即函數(shù)y＝f(x)的圖象.由1)得f(＝

2sin

12

)

∵m＜

2

，＝

12

＝1.點(diǎn)評(píng)：①把數(shù)的圖像按向量移，可以看成是任一點(diǎn)按向量平移，由這些點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)所組成的圖象是Cˊ，明確了以上點(diǎn)的平與整體圖象平移間的這種關(guān)系，也就找到了此問(wèn)題的解題途一般地，函數(shù)y＝f()圖象按向量a＝(h,k)平移后的函數(shù)解析式為y－k＝f（－h(huán)例：知a=（，sinαb=（cosβ,）(0<<<)）證：ab與ab互垂直；（2）若ka+與a-的模大小相等(∈k≠0)，求β解）證一∵=，sinα=（,）∴b＝cos+，sinαsin）,

a＝（cos-cosβ，sinα）∴(b)·(a-)=（cosαcos，sinα+-，-）=-cosβ+-β=0∴(b)⊥(ab)證二∵a（cos，sin）,=,sin）∴|＝1，|b∴(b)·(a-)=a2b2a-||=0∴(+)⊥()證三∵a（，α）,=（cosβsinβ）∴||＝1|＝1,記

OA

＝a，

OB

＝b，則

OA

|＝|

OB

|=1,又≠，∴O、、三不共線由向量加法的幾何意義知為邊的平行四邊形OACB是形中

OC

＝BA

＝-，由菱形對(duì)角線互相垂直，(ab)⊥(ab（2）解：由已知|ka+與a又∵|ka+|＝(α+cos)+(sinβ=k+1+2(β－),|+＝(cos-β+(sinαksin)=+1-2kcos(－α),∴2kcos(－)=kcosβ－)又∵k≠0∴(－α＝0∵0<α<<π

∴0<－<π,∴－=

2注本是平向的知為臺(tái)考查三函的關(guān)算，時(shí)體了量直題多證明法常的法三，是據(jù)量的義明二利用量的標(biāo)算證，是用量運(yùn)的何義證.題四向運(yùn)的何義解幾由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換橋梁和紐帶，文應(yīng)視向運(yùn)的何意求的程橢方。例9：設(shè)G分別為非等邊三角形的重心與外心，，2)，B（0，－2且

GM

(λ∈R).（Ⅰ）求點(diǎn)C(，y)的跡E方程）過(guò)點(diǎn)(，0)直線L與線E交于M、N兩，設(shè)

OPOM

，是否存在這樣的直線L，四邊形是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說(shuō)明理.思分）通過(guò)向量的共線關(guān)系到坐標(biāo)的等量關(guān).）根據(jù)矩形應(yīng)該具備的充要條件，得到向量垂直關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理，求得k的.xx121121xx121121解）由已知得

G(,),又GHAB，H3∵CH=HA∴

xx()2)33

即

2y23)124（2）設(shè)l方程為y=k(x-2)，代入曲線E得

（3k2+1）2-12k2x+12(k

-1)=012212(設(shè)N(，)，)，則+x，=kk2∵OPONOM，∴四形OMPN是平行四邊.若四邊形OMPN是形，則OM∴+y=0∴

12(k

12(2(3k2

24kk2

得

k=∴直為：=

y點(diǎn)：這是一道平面幾何、解析幾、向量三者之間巧妙結(jié)合的問(wèn).例10：已知橢圓方

4

2

，過(guò)B（）直線交圓于C、D兩，交直線＝于E點(diǎn)，B、E分

CD

的比分λ、λ．證：λ＋＝0解設(shè)的程為yx，代入橢圓方程整理得（4k＋1）＋8kx＋4(k＝0.設(shè)C（,）,D(,，則x＋＝－

8k4k

24kx4k

.由

1

BD

得

()

(x)所以

x12

xx2

.同，記E

(yE

2

ED得

xx4),11xx222

2xxx)1(xx4)22

其中

xxxx)2

8kk

01

.例11給定拋線C:yOB夾角的余弦。

＝4是C焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的線l與C相于A兩設(shè)的率為1求

OA

與解C的焦為F（1）,線l的斜為1所以的程為y＝－1,將－1代入方程=4，整理得－6＋1＝0設(shè)A（,y）,B(,),則有x＋＝6,x＝1從而·＝＋y＝2xx+)+1－3OA13k22將m=代入(1)式,得1＋3kOA13k22將m=代入(1)式,得1＋3k︱OA︱︱︱2

2

·

＝41,cos

OB

＝＝OA

34141例12已知點(diǎn)G是△ABC的重心A(0,－1)在x軸有一點(diǎn)M足MAMC|GM(

∈R)．⑴求點(diǎn)C的跡方程；⑵若斜率為的線l與點(diǎn)的跡交于不同兩點(diǎn)P，Q且滿|

AP

|=|，求k的值范圍．分析本題托量出量系既考向的、線基知，考動(dòng)的跡直