（江蘇專(zhuān)用版 ）2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)12 圓、橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用 蘇教版選修4-4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGEPAGE3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十二）圓、橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用(建議用時(shí):45分鐘)［學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．當(dāng)x2＋y2＝4時(shí),求u＝x2＋2eq\r（3)xy－y2的最值．【解】設(shè)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ,，y＝2sinθ）)（0≤θ〈2π),于是u＝x2＋2eq\r(3）xy－y2＝4cos2θ＋8eq\r（3)cosθsinθ－4sin2θ＝4cos2θ＋4eq\r（3)sin2θ＝8sin(2θ＋eq\f（π,6)）．所以,當(dāng)θ＝eq\f（π,6)，x＝eq\r(3），y＝1時(shí)，或θ＝eq\f(7π,6)，x＝－eq\r（3），y＝－1時(shí),umax＝8；當(dāng)θ＝eq\f(2π,3），x＝－1，y＝eq\r(3）時(shí)，或θ＝eq\f（5π,3），x＝1，y＝－eq\r(3）時(shí)，umin＝－8.2．若x,y滿足(x－1)2＋(y＋2)2＝4,求2x＋y的最值．【解】令x－1＝2cosθ，y＋2＝2sinθ，則有x＝2cosθ＋1,y＝2sinθ－2,故2x＋y＝4cosθ＋2＋2sinθ－2＝4cosθ＋2sinθ＝2eq\r(5)sin(θ＋φ）(tanφ＝2）．∴－2eq\r(5)≤2x＋y≤2eq\r(5).即2x＋y的最大值為2eq\r(5),最小值為－2eq\r(5）.3．過(guò)點(diǎn)P（－3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝t＋\f（1,t)，，y＝t－\f(1，t)))（t為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn)．求線段AB的長(zhǎng)．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：98990037】【解】直線的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋\f（\r(3)，2）s，,y＝\f（1，2)s))(s為參數(shù)），曲線eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝t＋\f(1，t），,y＝t－\f（1,t)))(t為參數(shù))可以化為x2－y2＝4。將直線的參數(shù)方程代入上式，得s2－6eq\r（3）s＋10＝0。設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為s1，s2，∴s1＋s2＝6eq\r(3)，s1s2＝10。AB＝|s1－s2|＝eq\r（s1＋s22－4s1s2)＝2eq\r(17)。4．已知A是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠OPA＝90°，求橢圓離心率的取值范圍．【解】設(shè)橢圓的方程為eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1，A（a，0)，設(shè)P(acosθ,bsinθ）是橢圓上一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6（→））＝（acosθ－a，bsinθ）,eq\o（OP，\s\up6（→))＝（acosθ，bsinθ），由于∠OPA＝90°，所以eq\o（AP,\s\up6（→))·eq\o(OP,\s\up6(→）)＝0，即（acosθ－a）acosθ＋b2sin2θ＝0,a2（cos2θ－cosθ）＋b2sin2θ＝0，a2cosθ(cosθ－1）＋b2（1＋cosθ）（1－cosθ）＝0.因?yàn)镻與A不重合，所以cosθ－1≠0，則a2cosθ＝b2(1＋cosθ)，eq\f(b2,a2）＝eq\f(cosθ,1＋cosθ），eq\f(c2，a2)＝1－eq\f（b2，a2）＝1－eq\f（cosθ，1＋cosθ）＝eq\f(1，1＋cosθ）.因?yàn)棣取?0，eq\f（π，2))∪（eq\f(3，2）π，2π）,所以eq\f(c2，a2）∈（eq\f(1，2)，1），e∈(eq\f（\r（2)，2），1）．5．已知橢圓eq\f（x2，4)＋y2＝1上任一點(diǎn)M(除短軸端點(diǎn)外）與短軸兩端點(diǎn)B1、B2的連線分別交x軸于P、Q兩點(diǎn)，求證：OP·OQ為定值．【證明】設(shè)M(2cosφ，sinφ）,φ為參數(shù)，B1(0，－1），B2(0,1)．則MB1的方程：y＋1＝eq\f(sinφ＋1,2cosφ）·x,令y＝0,則x＝eq\f（2cosφ,sinφ＋1），即OP＝｜eq\f(2cosφ，1＋sinφ)｜.MB2的方程：y－1＝eq\f（sinφ－1，2cosφ）x,令y＝0，則x＝eq\f（2cosφ，1－sinφ)。∴OQ＝|eq\f(2cosφ，1－sinφ）｜.∴OP·OQ＝｜eq\f(2cosφ,1＋sinφ）｜×|eq\f(2cosφ,1－sinφ)|＝4.即OP·OQ＝4為定值．6．已知直線C1:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，，y＝tsinα））（t為參數(shù))，圓C2：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝cosθ，，y＝sinθ））(θ為參數(shù))，（1)當(dāng)α＝eq\f（π，3)時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線,垂足為A,P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線．【解】（1）當(dāng)α＝eq\f（π,3）時(shí)，C1的普通方程為y＝eq\r（3）（x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1.聯(lián)立方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3）x－1，，x2＋y2＝1。)）解得C1與C2的交點(diǎn)為(1,0），（eq\f(1,2),－eq\f(\r(3)，2））．（2）C1的普通方程為xsinα－ycosα－sinα＝0.A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2α，－cosαsinα)，故當(dāng)α變化時(shí),P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(1，2)sin2α，，y＝－\f（1，2)sinαcosα)）（α為參數(shù))，P點(diǎn)軌跡的普通方程為(x－eq\f(1，4））2＋y2＝eq\f（1,16)，故P點(diǎn)的軌跡是圓心為（eq\f(1，4）,0）,半徑為eq\f（1，4）的圓．7．求橢圓C：eq\f(x2，16）＋eq\f（y2,9）＝1上的點(diǎn)P到直線l：3x＋4y＋18＝0的距離的最小值．【解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4cosθ，3sinθ)，其中θ∈［0，2π），則點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\f(|12cosθ＋12sinθ＋18｜，5)＝eq\f(｜12\r(2)sinθ＋\f(π,4）＋18｜,5)＝eq\f（12\r（2)sinθ＋\f(π，4）＋18,5）≥eq\f(－12\r（2)＋18，5)，當(dāng)sin(θ＋eq\f(π，4)）＝－1時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)棣取蔥0，2π），所以θ＝eq\f(5π，4)。所以當(dāng)θ＝eq\f（5π,4）時(shí)，d取得最小值eq\f(18－12\r(2），5).[能力提升]8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosθ,y＝sinθ）），其中θ為參數(shù)．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcos（θ＋eq\f（π,3)）＝3eq\r(6）。求橢圓C上的點(diǎn)到直線l距離的最大值和最小值．【解】直線l的普通方程為：x－eq\r(3)y－3eq\r(6)＝0,設(shè)橢圓