相似多邊形與位似圖形教學(xué)設(shè)計

相似多邊形與位似圖形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解相似多邊形的含義。2、了解位似圖形及有關(guān)概念，能利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小。3、利用圖形相似解決一些簡單的實際問題?！局R要點】1、相似多邊形的定義。2、相似多邊形的性質(zhì)。3、位似圖形的定義。4、位似圖形的性質(zhì)。5、位似圖形性質(zhì)的應(yīng)用?！局攸c、難點】重點：相似多邊形及位似圖形的性質(zhì)。難點：相似多邊形及位似圖形的性質(zhì)應(yīng)用?！局R講解】1、相似多邊形：兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。提示1：只有邊數(shù)相等，各對應(yīng)角相等，且各邊對應(yīng)成比例的多邊形才相似。例如：兩個正方形，各對應(yīng)角都是90°，且各邊對應(yīng)成比例，所以兩個正方形是相似多邊形。提示2:相似多邊形的讀、寫法，在表示兩個多邊形相似時，要把表示對應(yīng)角對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上。2、相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫相似比，多邊形的相似比是有順序的。AB=3例如：四邊形ABCDs四邊形A'B‘C'D',AB與A'B'是對應(yīng)邊，若啟舊,1,則說四邊形ABCD與四邊形A‘B‘C'D’的相似比為3：1；反之，四邊形A‘B’C’D,與四邊形ABCD的相似比為1：3。3、相似多邊形的性質(zhì)：(1)對應(yīng)邊成比例；(2)對應(yīng)角相等。如：五邊形ABCDEs五邊形A'B'C'D'E,，則有NA=NA,，/B=NBf,ZC=ZC',ND=AB=EQ.-=DE_EAND,,Ne=NE,,且河―量=詬一近二前。(3)相似多邊形的周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方。(4)相似多邊形中的對應(yīng)線段的比等于相似比。(5)相似多邊形中，對應(yīng)的三角形相似，其相似比等于原相似多邊形的相似比。4、位似圖形的定義：如果兩個相似圖形的每組對應(yīng)點所在的直線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心，此時，兩個相似圖形的相似比又叫做它們的位似比。(1)位似圖形是針對兩個相似圖形而言的。1⑵位似圖形的每組對應(yīng)點所在的直線都必須經(jīng)過同一點。⑶位似圖形是具有特殊位置關(guān)系的相似圖形，而相似圖形不一定構(gòu)成位似圖形。5、位似圖形的性質(zhì)：(1)位似圖形的對應(yīng)點和位似中心在同一條直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。(2)兩個位似多邊形一定相似，它們的相似比等于對應(yīng)頂點與位似中心的距離之比，它們的各對對應(yīng)邊分別平行或在同一直線上。【例題講解】例1：下列多邊形，一定相似的是()A、兩個矩形B、兩個菱形C、兩個正方形D、兩個平行四邊形分析：根據(jù)相似多邊形的定義，兩個矩形只能滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊不一定成比例；兩個菱形只滿足對應(yīng)邊成比例，而對應(yīng)角不一定相等；兩個正方形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角都是90°。答案：C例2：如圖，四邊形ABCDs四邊形A‘B‘C'D’,AB=18,A'B,=4,B,C,=6,/B=77°,NC=83°,ZAf=115°，求BC的長度和ND,的大小。解：二?四邊形ABCDs四邊形A'B‘C'D',AB=BC18=BC;；.W B'C',即4 6,解得bc=27,ANB'=NB=77°,NCf=NC=83°,.?.ND'=360°-NA,—NB'—NC=85°。例3：四邊形ABCDs四邊形A'B'C'D'，它們的對角線分別交于點O、O'，那么AOAB與AO'A'B'相似嗎？為什么？解：AOABsAO'A'B'，因為：???四邊形ABCDs四邊形A'B'C'D',，AABDsAAB'D',AABC^AABC,AZ2=N4，/1=N3,AOABsAO'A'B'。例4：如圖，已知四邊形ABCD及四邊形A‘B‘C'D‘中，ZB=ZB,,ZD=ZD',AE=EC=CD=DA，那，那，那口‘目，那么，四邊形ABCD和四邊形ABCD必相似。試說明理由。分析：要說明四邊形ABCDsA'B'C'D'，只需說明ZA=ZA,,ZC=ZC'就可以了，我們可構(gòu)造相似三角形來完成ZA=ZA',ZC=ZC'。解：連結(jié)AC、A'C',AB=EC：???ZB=ZB',近7一近，AAABCsAA'B'C',AZ1=Z1',Z2=Z2',同理，AADCsAA'D'C',AZ3=Z3',Z4=Z4',AZ1+Z3=Z1'+Z3',Z2+Z4=Z2'+Z4',即ZBAD=ZB'A'D',ZBCD=ZB'C'D',AB=BC=GD=DA又因訪一而一玩7―前A四邊形ABCDs四邊形A'B'C'D'。例5：四邊形ABCDs四邊形A'B'C'D'相似比為]，它們的周長之和為20,面積之差為5,那么它們的周長和面積分別是多少？分析：根據(jù)題意，利用相似多邊形的性質(zhì)，可構(gòu)造方程(組)即可求解。解：設(shè)它們的周長分別為J、C2,面積分別為SpS2,C]+C2=20 S]-S2=5根據(jù)題意有，⑴I", ,(2)嗎2,由(1)得：4=12,C2=8,由(2)得：S1=9,S2=4,所以，它們的周長分別為12,8；面積分別為9,4。

例6：如圖，已知四邊形ABCD，把它放大2倍，即新圖形與原圖形的相似比為2。分析：(1)把一個圖形放大2倍，就是要求新圖形與原圖形的對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于2。(2)位似中心的位置是任意的，可選在圖形內(nèi)、圖形外、圖形上均可。解：(1)任取一點O；(2)以O(shè)為端點作射線OA、OB、OC、OD；(3)分別在射線OA、OB、OC、OD上取A,、B‘、C‘、D‘使OA,:OA=OB’:OB=OCf:OC=OD,：OD=2：1；(4)連結(jié)A‘B’、B‘C’、C‘D’、D‘A’。則四邊形A‘B’C‘D’就是所求作的圖形。例7:已知，銳角三角形ABC,求作矩形DEFG使DE在邊BC上，點G和F分別在邊AB和AC上，且DE：GD=2：1。分析：這個作圖從要求的條件看，很難一次就作出滿足全部條件的圖形，因此可先作出滿足部分條件的圖形。此題可以先作出所求作的圖形的位似形，然后再根據(jù)位似圖形的概念進行位4似變換，以得出所求的滿足全部條件的圖形。作法：1、在AB上任取一點G1，作G1DJBC于D1；2、在D1c(或其延長線上)上取一點耳，使D[E]=2GlD]；3、以G[D]、D1E1為鄰邊作矩形D1E1F1G1；4、作射線BF1交AC于點F；5、作EF〃E1F1交BC于點E,作FG〃F1Gl交AB于G,作GD〃GD1交BC于D。四邊形DEFG就是所求的矩形。例8：已知，AABC的頂點坐標(biāo)分別為A(0,-2),B(3,—1),C(2,1),以原點O為位似中心，將這個三角形放大為原來的2倍得到AA'B'C,，請寫出AA'B'C'的頂點坐標(biāo)。解：根據(jù)位似圖形中對應(yīng)點的坐標(biāo)的變化規(guī)律，點A(0,-2)的對應(yīng)點A的坐標(biāo)為(0x2,-2x2)即A'(0，-4),所以，類似的有B'(6,-2),C'(4,2)?！具^關(guān)練習(xí)】1、選擇題。⑴兩個相似多邊形一組對應(yīng)邊分別為3cm,4.5cm,那么它們的相似比為()2 3 4 9A、三B、1C、$D、(2)在矩形ABCD中，E、F分別為AB、CD的中點，如果矩形ABCDs矩形EFCB，那么它們的相似比為().1A、亞B、之C、2D、'(3)一個多邊形的邊長為2,3,4,5,6,另一個和它相似的多邊形的最長邊為24,則這個多邊形的最短邊長為()A、6B、8C、12D、10(4)AABC與ADEF是位似圖形(如圖)，相似比為2:3，已知AB=4，則DE的長等于()A、6B、5C、9D、」⑸如圖所示，已知AADE與AABC是位似圖形，且位似比為1：2,若AABC的面積為12cm2,則AADE的面積為()D、6cm2D、6cm22、在矩形ABCD中，截去一個正方形ABEF,如圖所示，得到一個矩形ECDF,如果矩形ABCD。矩形ECDF,試問矩形ABCD是否為黃金矩形，請說明理由。3、如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別位于邊AB、CD上，EF〃AD,于是EF將平行四邊形ABCD分成平行四邊形AEFD和平行四邊形EBCF,設(shè)邊AB=a,BC=b。(1)若平行四邊形ABCD與平行四邊形ADFE相似，求DF長。(2)若平行四邊形AEFD與平行四邊形EBCF相似，求DF長。(3)若平行四邊形AEFD與平行四邊形EBCF與平行四邊形ABCD都相似，請你求出a與b之間的關(guān)系4、如圖，在一矩形花壇ABCD四周修筑水路，使得相對兩條小路的寬均相等，如果花壇邊AB=20米，AD=30米，試問小路的寬x與y的比值是多少時，能使小路邊沿圍成的矩形八'8~能與矩形八'8~能與矩形ABCD相似？請說明理由。5、如圖是圓桌正上方的燈泡(看作一個點)，發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影，已知桌面直徑為1.2m，桌面距地面1m，燈泡距地面3m，求地面上陰影部分的面積。6、已知，如圖，O是坐標(biāo)原點，B、C兩點的坐標(biāo)為(3,-1),(2,1)。⑴以O(shè)為相似中心在y軸左側(cè)，將AOBC放大到2倍，畫出圖形。⑵分別寫出B、C兩點的對應(yīng)點B'、C'的坐標(biāo)。⑶如果AOBC內(nèi)部一點M的坐標(biāo)為(x,y)，寫出M的對應(yīng)點M'的坐標(biāo)。7、已知，如圖，梯形ABCD,AD〃BC,不改變圖形的形狀，把它的各邊都擴大為原來的士。8、作一個等邊三角形，使它的三個頂點分別在AABC三邊上，并且有一邊和BC平行?！緟⒖即鸢浮?、1、(1)A(2)A(3)B(4)A(5)B2、分析:2、分析:AF=FD要判別矩形ABCD是否為黃金矩形，即是否有總口燈成立，由此可作出判定。解：矩形ABCD為黃金矩形。理由:由題意，矩形ABCD。矩形ECDF，AB=EC?AD-CD?? ，又?.?AB=AF=BE=EF=CD,EC=DF,AF=DF=DF?ad-c5-af? ，AF故點F是AD的黃金分割點，所以區(qū)口的比值為黃金比，AB從而AD的比值是黃金比，故矩形ABCD為黃金矩形。3、解：3、解：（1）:?平行四邊形ABCD。平行四邊形ADFE，⑵若平行四邊形AEFD。平行四邊形EBCF,藝一處即PF=bCFEF s-DFh? ，dfJt.若平行四邊形AEFD。平行四邊形BCFE,DF=AD即DF=g 覆土心一小則EFBEblj-DF,df= 2 (a>2b)。⑶因平行四邊形AEFD與平行四邊形EBCF，平行四邊形ABCD者防相似，則有平行四邊形AEFD。平行四邊形EBCF則有平行四邊形AEFD。平行四邊形EBCF。平行四邊形BCDA，??a=AE-=AD4、解：依題意，應(yīng)有%日A'。'，20_30?20+27-§0+27?? ，x_3,20(30+2x)=30(20+2丫)，解得丫3，x_3故當(dāng)T2時，矩形A’B’C。矩形ABCD。5、解：如圖，設(shè)桌面面積為S1，陰影部分面積為S2,圓桌的面積為S1圓桌的面積為S1=(m2)，因桌面與陰影是位似圖形，-xO.3631=_三一五(口口(m2)。81答：地面上陰影部分面積為1口口m2。6、6、解：⑴如圖所示:⑵根據(jù)位似變換中對應(yīng)點坐標(biāo)的變化規(guī)律，點B的坐標(biāo)為(3,—1),對應(yīng)點B'的坐標(biāo)為(一6,2),點C的坐標(biāo)為(2,1),對應(yīng)點C的坐標(biāo)為(一4,一2)。(3)點M(x,y)的對應(yīng)點M'的坐標(biāo)為(一2x,—2y)。7、7、解：(1