第八章非平穩(wěn)和季節(jié)時間序列模型分析方法課件

非平穩(wěn)和季節(jié)時間序列模型分析方法

在第四章中，我們介紹了非平穩(wěn)時間序列模型，但是在前面的討論中，對于時間序列的特性分析，以及模型的統(tǒng)計分析都集中于平穩(wěn)時間序列問題上。本章將介紹幾個非平穩(wěn)時間序列的建模方法，并且分析不同的非平穩(wěn)時間序列模型的動態(tài)性質(zhì)。1上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系非平穩(wěn)和季節(jié)時間序列模型分析方法在第四章中，我們介紹了非平§8.1ARIMA模型的分析方法

8.1.1ARIMA模型的結(jié)構(gòu)具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為求和自回歸移動平均(AutoregressiveIntegratedMovingAverage)，簡記為ARIMA(p,d,q)模型：(8.1)

式中：2上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系§8.1ARIMA模型的分析方法

8.1.1ARIMA式(8.1)可以簡記為：式中，為零均值白噪聲序列。由式(8.2)顯而易見，ARIMA模型的實質(zhì)就是差分運(yùn)算與ARMA模型的組合。這一關(guān)系意義重大，這說明任何非平穩(wěn)序列只要通過適當(dāng)階數(shù)的差分運(yùn)算實現(xiàn)差分后平穩(wěn)，就可以對差分后序列進(jìn)行ARMA模型擬合了。而ARMA模型的分析方法非常成熟，這意味著對差分平穩(wěn)序列的分析也將是非常簡單、非?？煽康牧恕?/p>

(8.2)3上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系式(8.1)可以簡記為：(8.2)3上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系例如，設(shè)ARIMA(1,1,1)模型圖8.1是給出的ARIMA(1,1,1)模型一個模擬數(shù)據(jù)，樣本容量為200，可以看出時間趨勢是非常明顯的。圖8.2是經(jīng)過一階差分得到的數(shù)據(jù)。經(jīng)過一階差分我們看到下降的時間趨勢被去掉，新的序列看起來是平穩(wěn)的。4上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系例如，設(shè)ARIMA(1,1,1)模型4上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)圖8.1ARIMA(1,1,1)模型一個模擬數(shù)據(jù)圖8.2模擬數(shù)據(jù)的一階差分?jǐn)?shù)據(jù)5上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系圖8.1ARIMA(1,1,1)模型一個模擬數(shù)據(jù)求和自回歸移動平均模型這個名字的由來是因為階差分后序列可以表示為：式中，，即差分后序列等于原序列的若干序列值的加權(quán)和，而對它又可以擬合自回歸移動平均(ARMA)模型，所以稱它為求和自回歸移動平均模型。6上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系求和自回歸移動平均模型這個名字的由來是因為階差分后序列可以表特別地，當(dāng)d=0時，ARIMA(p,d,q)模型實際上就是ARMA(p,q)模型；當(dāng)p=0時，ARIMA(o,d,q)模型可以簡記為IAM(d,q)模型；當(dāng)q=0時，ARIMA(p,d,0)模型可以簡記為ARI(p,d)模型.當(dāng)d=1,p=q=0時，ARIMA(0,1,0)模型為：

(8.3)該模型被稱為隨機(jī)游走(RandomWalk)模型，或醉漢模型。7上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系特別地，7上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系隨機(jī)游走模型的產(chǎn)生有一個有趣的典故。它最早于1905年7月由卡爾·皮爾遜(KarlPearson)在《自然》雜志上作為一個問題提出：假如有一個醉漢醉得非常嚴(yán)重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？考慮到他完全喪失方向感，那么他第步的位置將是他第步的位置再加一個完全隨機(jī)的位移。用數(shù)學(xué)模型來描述任意時刻這個醉漢可能的位置，即為一個隨即游走模型(8.3)。8上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系隨機(jī)游走模型的產(chǎn)生有一個有趣的典故。它最早于1905年7月由1905年8月，雷利爵士(LordRayleigh)對卡爾·皮爾遜的這個問題作出了解答。他算出這個醉漢離初始點的距離為至的概率為：且當(dāng)n很大時，該醉漢離初始點的距離服從零均值正態(tài)分布。這意味著，假如有人想去尋找醉漢的話，最好是去初始點附近找他，該地點是醉漢未來位置的無偏估計值。作為一個最簡單的ARIMA模型，隨機(jī)游走模型目前廣泛應(yīng)用于計量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域。傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家普遍認(rèn)為投機(jī)價格的走勢類似于隨機(jī)游走模型，隨機(jī)游走模型也是有效市場理論(EfficientMarketTheory)的核心。9上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系1905年8月，雷利爵士(LordRayleigh)對卡爾8.1.2ARIMA模型的性質(zhì)

一、平穩(wěn)性假如服從ARIMA(p,d,q)模型：式中：記，被稱為廣義自回歸系數(shù)多項式。顯然ARIMA模型的平穩(wěn)性完全由的根的性質(zhì)決定。10上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.1.2ARIMA模型的性質(zhì)

一、平穩(wěn)性10上海財經(jīng)大學(xué)因為階差分后平穩(wěn)，服從ARMA(p,q)模型，所以不妨設(shè)則

(8.4)由式(8.4)容易判斷，ARIMA(p,d,q)模型的廣義自回歸系數(shù)多項式共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內(nèi)，d個在單位圓上。因為有d個特征根在單位圓上而非單位圓內(nèi)，所以當(dāng)時，ARIMA(p,d,q)模型不平穩(wěn)。11上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系因為階差分后平穩(wěn)，服從ARMA(p,q)模型，所以不妨設(shè)11二、方差齊性對于ARIMA(p,d,q)模型，當(dāng)時，不僅均值非平穩(wěn)，序列方差也非平穩(wěn)。以最簡單的隨機(jī)游走模型ARIMA(0,1,0)為例：則這是一個時間的遞增函數(shù)，隨著時間趨向無窮，序列的方差也趨向無窮。但1階差分之后，差分后序列方差齊性12上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系二、方差齊性12上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.1.3ARIMA模型建模

在掌握了ARMA模型建模的方法之后，嘗試使用ARIMA模型對觀察序列建模是一件比較簡單的事情。它遵循如下的操作流程，如下圖所示：13上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.1.3ARIMA模型建模

13上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系圖8.3ARIMA模型建模流程14上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系圖8.3ARIMA模型建模流程14上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)8.1.4ARIMA模型預(yù)測

在最小均方誤差預(yù)測原理下，ARIMA模型的預(yù)測和ARMA模型的預(yù)測方法非常類似。ARIMA(p,d,q)模型的一般表示方法為：和ARMA模型一樣，也可以用歷史觀測值的線性函數(shù)表示它：式中，的值由如下等式確定：15上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.1.4ARIMA模型預(yù)測

在最小均方誤差預(yù)測原理下，A如果把記為廣義自相關(guān)函數(shù)，有容易驗證的值滿足如下遞推公式：式中，那么，的真實值為：16上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系如果把記為廣義自相關(guān)函數(shù)，有16上海財經(jīng)大由于的不可獲得性，所以的估計值只能為：真實值與預(yù)報值之間的均方誤差為：要使均方誤差最小，當(dāng)且僅當(dāng)：17上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系由于的不可獲所以，在均方誤差最小的原則下，期預(yù)報值為：期預(yù)報誤差為：真實值等于預(yù)報值加上預(yù)報誤差：期預(yù)報的方差為：18上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系所以，在均方誤差最小的原則下，期預(yù)報值為：18上海財經(jīng)大學(xué)例8.1對1950年—2005年我國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（單位：億元人民幣）序列建立ARIMA模型（數(shù)據(jù)見附錄1.15）

1.對原序列（NX）的分析

(1)做出1950年—2005年我國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（NX）的時序圖及自相關(guān)圖，如圖8.4，圖8.5。19上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系例8.1對1950年—2005年我國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（圖8.4圖8.520上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系圖8.4

(2)對該序列做單位根檢驗，原假設(shè)：；備擇假設(shè)：，檢驗結(jié)果如圖8.4。圖8.6

根據(jù)圖8.6的檢驗結(jié)果，我們可以認(rèn)為這一序列非平穩(wěn)。21上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系(2)對該序列做單位根檢驗，原假設(shè)：；備擇假設(shè)：，檢驗結(jié)2.對原序列取對數(shù)并分析由于這一序列有著非常明顯的指數(shù)趨勢，因此我們對它進(jìn)行取對數(shù)的運(yùn)算，以消除指數(shù)趨勢的影響，將取對數(shù)后的序列命名為，即。作出序列的時序圖與自相關(guān)圖分別如圖8.7，8.8。圖8.7

圖8.822上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系2.對原序列取對數(shù)并分析圖8.7

依然對序列做單位根檢驗，檢驗結(jié)果如圖8.9。

圖8.9根據(jù)這一檢驗結(jié)果，我們看到這一序列依然沒有平穩(wěn)，結(jié)合圖8.7和圖8.8，我們看到在序列中有著明顯的增長趨勢，因此我們還需要對其進(jìn)行差分處理。23上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系依然對序列做單位根檢驗，檢驗結(jié)果如圖8.9。23.對序列進(jìn)行查分處理我們將序列進(jìn)行一階差分處理，得到一個新序列，即。畫出序列的時序圖，并進(jìn)行相應(yīng)的單位根檢驗，如圖8.10，圖8.11。

圖8.10圖8.11根據(jù)上述結(jié)果，可以認(rèn)為這一序列已經(jīng)平穩(wěn)，接下來，可以針對該序列做進(jìn)一步的建模擬合。24上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系3.對序列進(jìn)行查分處理24上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)4.針對平穩(wěn)序列的建立ARMA模型(1)畫出序列的自相關(guān)圖，如圖。根據(jù)該圖，我們可以初步判斷該序列的偏自相關(guān)圖一階截尾，而針對自相關(guān)圖并不能馬上做出判斷。圖8.1225上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系4.針對平穩(wěn)序列的建立ARMA模型圖8.122(2)針對序列我們嘗試幾種不同的模型擬合，比如ARMA（1，1），ARMA（1，2），ARMA（1，3）等。經(jīng)過不斷的嘗試，我們最終選擇了ARMA（1，6）模型，并且該模型中移動平均部分的系數(shù)只有MA（6）的系數(shù)是顯著的，這樣我們就把1-5階的系數(shù)全部放棄，最終的估計結(jié)果如圖8.13。

圖8.13通過圖8.11，我們可以看到最終選擇的模型的整體檢驗效果還是良好的。26上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系(2)針對序列我們嘗試幾種不同的模型擬合，比

(5)對擬合模型后的殘差序列做純隨機(jī)性檢驗，檢驗結(jié)果如圖8.14。圖8.14通過這一檢驗，我們看到殘差序列已經(jīng)可以認(rèn)為是一個純白噪聲的序列，說明我們的模型已經(jīng)將有用信息充分提取了。這一模型的整體擬合效果見圖8.15。27上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系(5)對擬合模型后的殘差序列做純隨機(jī)性檢驗，檢驗結(jié)果如圖圖8.15綜合上述分析過程，實際上我們是針對原序列（NX）：1950年—2005年我國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)序列，建立了一個ARIMA（1，1，6）模型進(jìn)行擬合，模型機(jī)構(gòu)如下：28上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系28上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系§8.2季節(jié)時間序列模型的分析方法

8.2.1季節(jié)時間序列的重要特征一、季節(jié)時間序列表示許多商業(yè)和經(jīng)濟(jì)時間序列都包含季節(jié)現(xiàn)象，例如，冰淇淋的銷量的季度序列在夏季最高，序列在每年都會重復(fù)這一現(xiàn)象。相應(yīng)的周期為4。類似地，在美國汽車的月度銷售量和銷售額數(shù)據(jù)在每年的7月和8月也趨于下降，因為每年這時汽車廠家將會推出新的產(chǎn)品；在西方，玩具的銷售量在每年12月份會增加，主要是因為圣誕節(jié)的緣故；在中國，每年農(nóng)歷5月份糯米的銷售量大大地增加，這是因為中國的端午節(jié)有吃粽子的習(xí)慣。以上三種情況的季節(jié)周期都是12個月。由上面的例子可以看到，很多的實際問題中，時間序列會顯示出周期變化的規(guī)律，這種周期性是由于季節(jié)變化或其他物理因素所致，我們稱這類序列為季節(jié)性序列。單變量的時間序列為了分析方便，可以編制成一個二維的表格，其中一維表示周期，另一維表示某個周期的一個觀測值，如表8.1所示。29上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系§8.2季節(jié)時間序列模型的分析方法

29上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)表8.1單變量時間序列觀測數(shù)據(jù)表例如，1993~2000年各月中國社會消費品零售總額序列，是一個月度資料，其周期S=12，起點為1993年1月，具體數(shù)據(jù)見附錄。30上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系表8.1單變量時間序列觀測數(shù)據(jù)表30上海財二、季節(jié)時間序列的重要特征季節(jié)性時間序列的重要特征表現(xiàn)為周期性。在一個序列中，如果經(jīng)過S個時間間隔后觀測點呈現(xiàn)出相似性，比如同處于波峰或波谷，我們就說該序列具有以S為周期的周期特性。具有周期特性的序列稱為季節(jié)時間序列，S為周期的長度，不同的季節(jié)時間序列會表現(xiàn)出不同的周期，季度資料的一個周期表現(xiàn)為一年的四個季度，月度資料的周期表現(xiàn)為一年的12各月，周資料表現(xiàn)為一周的7天或5天。例如，圖8.16的數(shù)據(jù)是1993年1月到2000年12月的中國社會消費品月銷售總額。31上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系二、季節(jié)時間序列的重要特征31上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系圖8.161993年1月—2000年12月的中國社會消費品月銷售總額當(dāng)然影響一個季節(jié)性時間序列的因素除了季節(jié)因素外，還存在趨勢變動和不規(guī)則變動等。我們研究季節(jié)性時間序列的目的就是分解影響經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變量的季節(jié)因素、趨勢因素和不規(guī)則因素，據(jù)以了解它們對經(jīng)濟(jì)的影響。32上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系32上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.2.2季節(jié)時間序列模型

一、隨機(jī)季節(jié)模型季節(jié)性隨機(jī)時間序列時間間隔為周期長度S的兩個時間點上的隨機(jī)變量有相對較強(qiáng)的相關(guān)性，或者說季節(jié)性時間序列表現(xiàn)出周期相關(guān)，比如對于月度數(shù)據(jù)，S=12，與有相關(guān)關(guān)系，于是我們可以利用這種周期相關(guān)性在與之間進(jìn)行擬合。設(shè)一個季節(jié)性時間序列{}通過D階的季節(jié)差分后為一平穩(wěn)時間序列，即，則一階自回歸季節(jié)模型為或(8.5)其中，為白噪聲序列。將代入式（8.5），得(8.6)33上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.2.2季節(jié)時間序列模型

一、隨機(jī)季節(jié)模型33上海財經(jīng)大同樣的思路，一個一階移動平均季節(jié)模型為或(8.7)推廣之，季節(jié)性的SARIMA為(8.8)其中，34上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系同樣的思路，一個一階移動平均季節(jié)模型為34上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)二、乘積季節(jié)模型式(8.8)的季節(jié)性SARIMA模型中，我們假定是白噪聲序列，值得注意的是實際中不一定是白噪聲序列。因為式(8.8)的模型中季節(jié)差分僅僅消除了時間序列的季節(jié)成分，自回歸或移動平均僅僅消除了不同周期相同周期點之間具有的相關(guān)部分，時間序列還可能存在長期趨勢，相同周期的不同周期點之間也有一定的相關(guān)性，所以，模型可能有一定的擬合不足，如果假設(shè)是ARIMA（p,d,q）模型，則式(8.8)可以改為

(8.9)35上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系二、乘積季節(jié)模型35上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系其中，稱式(8.9)為乘積季節(jié)模型，記為。如果將模型的AR因子和MA因子分別展開，可以得到類似的模型，不同的是模型的系數(shù)在某些階為零，故是疏系數(shù)模型或子集模型。36上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系其中，36上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系三、常見的隨機(jī)季節(jié)模型為了讀者學(xué)習(xí)起來方便，這里列舉幾個常見的隨機(jī)季節(jié)模型，并簡介其生成的過程。在實際問題中，季節(jié)性時間序列所含有的成分不同，記憶性長度各異，因而模型形式也是多種多樣的。這里以季節(jié)周期S=12為例，介紹幾種常見的季節(jié)模型。37上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系三、常見的隨機(jī)季節(jié)模型37上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系模型一

(8.10)模型(8.10)先對時間序列做雙重差分，移動平均算子由和兩個因子構(gòu)成，該模型是交叉乘積模型。實際上該模型是由兩個模型組合而成。由于序列存在季節(jié)趨勢，故先對序列進(jìn)行季節(jié)差分，差分后的序列是一階季節(jié)移動平均模型，則

(8.11)38上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系模型一38上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系但式(8.11)僅僅擬合了間隔時間為周期長度點之間的相關(guān)關(guān)系，序列還存在非季節(jié)趨勢，相鄰時間點上的變量還存在相關(guān)關(guān)系，所以模型顯然擬合不足，不僅是非白噪聲序列而且非平穩(wěn)，如滿足以下的模型(8.12)式(8.12)擬合了序列滯后期為一期的時間點之間的相關(guān)，為白噪聲序列，將式(8.12)代入式(8.11)，則得到模型一。39上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系但式(8.11)僅僅擬合了間隔時間為周期長度點之間的相關(guān)關(guān)系模型二(8.13)模型(8.13)也是由兩個模型組合而成，一個是(8.14)它刻畫了不同年份同月的資料之間的相關(guān)關(guān)系，但是又有欠擬合存在，因為不是白噪聲序列。如果滿足以下MA（1）的模型，則(8.15)將式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二。40上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系模型二40上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.2.3季節(jié)性檢驗和季節(jié)模型的建立檢驗一個時間序列是否具有季節(jié)性是十分必要的，如果一個時間序列季節(jié)性顯著，那么擬合適應(yīng)的季節(jié)時間序列模型是合理的，否則會有欠擬合之嫌。如果不是一個具有顯著季節(jié)性的時間序列，即使是一個月度數(shù)據(jù)資料，也不應(yīng)該擬合季節(jié)性時間序列模型。下面我們討論如何識別一個時間序列的季節(jié)性。一、季節(jié)性時間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的檢驗根據(jù)Box-Jenkins的建模方法，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征是識別非季節(jié)性時間序列的工具。從第七章第二節(jié)的討論已經(jīng)看到季節(jié)性時間序列模型實際上是一種特殊的ARIMA模型，不同的是它的系數(shù)是稀疏的，即部分系數(shù)為零，所以對于乘積季節(jié)模型的階數(shù)識別，基本上可以采用Box-Jenkins的方法，考察序列樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，從而對季節(jié)性進(jìn)行檢驗。41上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.2.3季節(jié)性檢驗和季節(jié)模型的建立檢驗一個時間序列是否1.季節(jié)性MA模型的自相關(guān)函數(shù)假設(shè)某一季節(jié)性時間序列適應(yīng)的模型為(8.16)(8.17)是白噪聲序列。將式(8.17)代入(8.16)，可得整理后，有這實際上是一個疏系數(shù)的MA(S+1)模型，除滯后期為1，S和S+1時的滑動平均參數(shù)不為零以外，其余的均為零。根據(jù)前面第三章的討論，不難求出其自相關(guān)函數(shù)。42上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系1.季節(jié)性MA模型的自相關(guān)函數(shù)42上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系43上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系43上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系44上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系44上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系可見當(dāng)?shù)玫綐颖镜淖韵嚓P(guān)函數(shù)后，各滑動平均參數(shù)的矩法估計式也就不難得到了。更一般的情形，如果一個時間序列服從模型

(8.18)其中，。整理后可以看出該時間序列模型是疏系數(shù)MA(ms+q)，可以求出其自相關(guān)函數(shù)，從而了解時間序列的統(tǒng)計特征。45上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系可見當(dāng)?shù)玫綐颖镜淖韵嚓P(guān)函數(shù)后，各滑動平均參數(shù)的矩法估計式也就2.季節(jié)性AR模型的偏自相關(guān)函數(shù)假定是一個季節(jié)時間序列，服從如果我們將上式展開整理后，可以得到這是一個階段為S+1的疏系數(shù)AR模型，根據(jù)偏自相關(guān)函數(shù)的定義，該模型的滯后期1，S和S+1不為零，其他的偏自相關(guān)函數(shù)可能會顯著為零。更一般的情形，如果一個時間序列服從模型(8.19)其中，，整理后可以看到該時間序列模型是疏系數(shù)AR(kS+p)模型，求出其偏自相關(guān)函數(shù)，可以了解時間序列的統(tǒng)計特征。46上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系2.季節(jié)性AR模型的偏自相關(guān)函數(shù)46上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)季節(jié)時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)既不拖尾也不截尾，也不呈現(xiàn)出線性衰減趨勢，如果在滯后期為周期S的整倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，則建立乘積季節(jié)模型是適應(yīng)的，同時SAR算子和SMA算子的階數(shù)也可以通過自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)得到。關(guān)于差分階數(shù)和季節(jié)差分階數(shù)的選擇是試探性的，可以通過考察樣本的自相關(guān)函數(shù)來確定。一般情況下，如果自相關(guān)函數(shù)緩慢下降同時在滯后期為周期S的整倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，通常說明序列同時有趨勢變動和季節(jié)變動，應(yīng)該做一階差分和季節(jié)差分。如果差分后的序列所呈現(xiàn)的自相關(guān)函數(shù)有較好的截尾和拖尾性，則差分階數(shù)是適宜的。47上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系季節(jié)時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)既不拖尾也不截尾，例8.3繪制1993年1月至2000年12月中國社會消費品零售總額序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖（圖8.17）。圖8.17圖8.17顯示中國社會消費品零售總額月度時間序列的自相關(guān)函數(shù)緩慢下降，且在滯后期為周期倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，滯后期為12的自相關(guān)函數(shù)為0.645，滯后期為24的自相關(guān)函數(shù)為0.318，說明該時間序列是一個典型的既有趨勢又有季節(jié)變動的序列，由于該序列不是一個平穩(wěn)的時間序列，所以我們不能由其偏自相關(guān)函數(shù)簡單建立一個自回歸模型，該序列建模必須將序列進(jìn)行差分變化，使其平穩(wěn)化。48上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系例8.3繪制1993年1月至2000年12月中國社會消費品49上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系49上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系50上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系50上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系51上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系51上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系52上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系52上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系53上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系53上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系54上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系54上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系55上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系55上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系56上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系56上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系57上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系57上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系EVIEWS軟件介紹(Ⅴ)一、X-12季節(jié)調(diào)整方法簡介X-12-ARIMA方法最早由美國普查局Findley等人在20世紀(jì)90年代左右提出，現(xiàn)已成為對重要時間序列進(jìn)行深入處理和分析的工具，也是處理最常用經(jīng)濟(jì)類指標(biāo)的工具，在美國和加拿大被廣泛使用。其在歐洲統(tǒng)計界也得到推薦，并在包括歐洲中央銀行在內(nèi)的歐洲內(nèi)外的許多中央銀行、統(tǒng)計部門和其他經(jīng)濟(jì)機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用。X-12-ARIMA方法提供了四個方面的改進(jìn)和提高，（1）可選擇季節(jié)、交易日及假日進(jìn)行調(diào)整，包括調(diào)整用戶定義的回歸自變量估計結(jié)果，選擇輔助季節(jié)和趨勢過濾器，以及選擇季節(jié)、趨勢和不規(guī)則因素的分解形式；（2）對各種選項條件下調(diào)整的質(zhì)量和穩(wěn)定性做出新診斷；（3）對具有ARIMA誤差及可選擇穩(wěn)健估計系數(shù)的線性回歸模型，進(jìn)行廣泛的時間序列建模和模型選擇能力分析；（4）提供一個新的易于分批處理大量時間序列能力的用戶界面。X-12-ARIMA方法現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于世界各國的中央銀行、統(tǒng)計部門和其他經(jīng)濟(jì)機(jī)構(gòu)，并且已成為對重要時間序列進(jìn)行深入處理和分析的工具。58上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系EVIEWS軟件介紹(Ⅴ)58上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系二、案例：1993-2000年中國社會消費品零售總額月度序列（單位：億元）通過1993-2000年中國社會消費品零售總額月度序列的時序圖（圖8.16），我們可以觀察到該序列有著很強(qiáng)的季節(jié)特征。通過該序列的自相關(guān)函數(shù)圖（圖8.17）及單位根檢驗結(jié)果（圖8.19）的進(jìn)一步判斷，認(rèn)為該序列非平穩(wěn)，并且有著很強(qiáng)的季節(jié)特征。圖8.1959上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系二、案例：1993-2000年中國社會消費品零售總額月度序列60上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系60上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系①首先顯示的是SeasonalAdjustment（季節(jié)調(diào)整）模塊（圖8.19），該模塊共有5個選項區(qū)。在X11Method（X11方法）選項區(qū)選Multiplicative（乘法模型）。在SeasonalFilter（季節(jié)濾子）選項區(qū)選Auto（自動）。在TrendFilter（趨勢濾子）選項區(qū)選Auto（自動）。在ComponentSeriestoSave（保存分量）選項區(qū)選季節(jié)調(diào)整序列（_SA）、季節(jié)因子序列（_SF）、趨勢循環(huán)序列（_TC）、不規(guī)則序列（_IR）四個分量（通過在小方格內(nèi)勾選保存在工作文件里）。②激活A(yù)RIMAOptions模塊（圖8.22）。在DataTransformation（變換數(shù)據(jù)）選項區(qū)選None；在ARIMASpec（ARIMA設(shè)定）選項區(qū)選NoARIMA；Regressors（回歸變量）選項區(qū)不選；ARIMAEstimationSample選項區(qū)保持空白。這些選項意味著不使用regARIMA運(yùn)算模塊。61上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系①首先顯示的是SeasonalAdjustment（季節(jié)調(diào)

圖8.22圖8.23③激活TradingDay/Holiday模塊（圖8.23），共有三個選項區(qū)。在AdjustmentOptions（調(diào)整方法）選項區(qū)選AdjustinX11step（在X11模塊做季節(jié)調(diào)整）；在TradingDayEffects（交易日效應(yīng)）選項區(qū)選Flowday-of-week（交易日效應(yīng)）；Holiday（假日）選項區(qū)保持空白。這些選項意味著，在X11階段進(jìn)行季節(jié)調(diào)整，但只考慮交易日效應(yīng)，不考慮假日效應(yīng)（因為假日效應(yīng)中的復(fù)活節(jié)、感恩節(jié)、圣誕節(jié)等因素不適用于中國經(jīng)濟(jì)）。62上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系62上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系

④激活Diagnostics（診斷）模塊，和Outliers（離群值）模塊（圖8.24），不做選擇，維持默認(rèn)狀態(tài)。圖8.24做完上述選擇后，點擊“確認(rèn)”鍵，得到季節(jié)調(diào)整序列SALES_SA；季節(jié)因子序列SALES_SF；趨勢循環(huán)序列SALES_TC和不規(guī)則序列SALES_IR，分別見圖8.25至圖8.28。63上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系④激活Diagnostics（診斷）模塊，和Outlier64上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系64上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系65上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系65上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系66上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系66上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系67上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系67上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系68上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系68上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系69上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系69上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系非平穩(wěn)和季節(jié)時間序列模型分析方法

在第四章中，我們介紹了非平穩(wěn)時間序列模型，但是在前面的討論中，對于時間序列的特性分析，以及模型的統(tǒng)計分析都集中于平穩(wěn)時間序列問題上。本章將介紹幾個非平穩(wěn)時間序列的建模方法，并且分析不同的非平穩(wěn)時間序列模型的動態(tài)性質(zhì)。70上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系非平穩(wěn)和季節(jié)時間序列模型分析方法在第四章中，我們介紹了非平§8.1ARIMA模型的分析方法

8.1.1ARIMA模型的結(jié)構(gòu)具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為求和自回歸移動平均(AutoregressiveIntegratedMovingAverage)，簡記為ARIMA(p,d,q)模型：(8.1)

式中：71上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系§8.1ARIMA模型的分析方法

8.1.1ARIMA式(8.1)可以簡記為：式中，為零均值白噪聲序列。由式(8.2)顯而易見，ARIMA模型的實質(zhì)就是差分運(yùn)算與ARMA模型的組合。這一關(guān)系意義重大，這說明任何非平穩(wěn)序列只要通過適當(dāng)階數(shù)的差分運(yùn)算實現(xiàn)差分后平穩(wěn)，就可以對差分后序列進(jìn)行ARMA模型擬合了。而ARMA模型的分析方法非常成熟，這意味著對差分平穩(wěn)序列的分析也將是非常簡單、非?？煽康牧恕?/p>

(8.2)72上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系式(8.1)可以簡記為：(8.2)3上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系例如，設(shè)ARIMA(1,1,1)模型圖8.1是給出的ARIMA(1,1,1)模型一個模擬數(shù)據(jù)，樣本容量為200，可以看出時間趨勢是非常明顯的。圖8.2是經(jīng)過一階差分得到的數(shù)據(jù)。經(jīng)過一階差分我們看到下降的時間趨勢被去掉，新的序列看起來是平穩(wěn)的。73上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系例如，設(shè)ARIMA(1,1,1)模型4上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)圖8.1ARIMA(1,1,1)模型一個模擬數(shù)據(jù)圖8.2模擬數(shù)據(jù)的一階差分?jǐn)?shù)據(jù)74上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系圖8.1ARIMA(1,1,1)模型一個模擬數(shù)據(jù)求和自回歸移動平均模型這個名字的由來是因為階差分后序列可以表示為：式中，，即差分后序列等于原序列的若干序列值的加權(quán)和，而對它又可以擬合自回歸移動平均(ARMA)模型，所以稱它為求和自回歸移動平均模型。75上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系求和自回歸移動平均模型這個名字的由來是因為階差分后序列可以表特別地，當(dāng)d=0時，ARIMA(p,d,q)模型實際上就是ARMA(p,q)模型；當(dāng)p=0時，ARIMA(o,d,q)模型可以簡記為IAM(d,q)模型；當(dāng)q=0時，ARIMA(p,d,0)模型可以簡記為ARI(p,d)模型.當(dāng)d=1,p=q=0時，ARIMA(0,1,0)模型為：

(8.3)該模型被稱為隨機(jī)游走(RandomWalk)模型，或醉漢模型。76上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系特別地，7上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系隨機(jī)游走模型的產(chǎn)生有一個有趣的典故。它最早于1905年7月由卡爾·皮爾遜(KarlPearson)在《自然》雜志上作為一個問題提出：假如有一個醉漢醉得非常嚴(yán)重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時間之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？考慮到他完全喪失方向感，那么他第步的位置將是他第步的位置再加一個完全隨機(jī)的位移。用數(shù)學(xué)模型來描述任意時刻這個醉漢可能的位置，即為一個隨即游走模型(8.3)。77上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系隨機(jī)游走模型的產(chǎn)生有一個有趣的典故。它最早于1905年7月由1905年8月，雷利爵士(LordRayleigh)對卡爾·皮爾遜的這個問題作出了解答。他算出這個醉漢離初始點的距離為至的概率為：且當(dāng)n很大時，該醉漢離初始點的距離服從零均值正態(tài)分布。這意味著，假如有人想去尋找醉漢的話，最好是去初始點附近找他，該地點是醉漢未來位置的無偏估計值。作為一個最簡單的ARIMA模型，隨機(jī)游走模型目前廣泛應(yīng)用于計量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域。傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家普遍認(rèn)為投機(jī)價格的走勢類似于隨機(jī)游走模型，隨機(jī)游走模型也是有效市場理論(EfficientMarketTheory)的核心。78上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系1905年8月，雷利爵士(LordRayleigh)對卡爾8.1.2ARIMA模型的性質(zhì)

一、平穩(wěn)性假如服從ARIMA(p,d,q)模型：式中：記，被稱為廣義自回歸系數(shù)多項式。顯然ARIMA模型的平穩(wěn)性完全由的根的性質(zhì)決定。79上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.1.2ARIMA模型的性質(zhì)

一、平穩(wěn)性10上海財經(jīng)大學(xué)因為階差分后平穩(wěn)，服從ARMA(p,q)模型，所以不妨設(shè)則

(8.4)由式(8.4)容易判斷，ARIMA(p,d,q)模型的廣義自回歸系數(shù)多項式共有p+d個特征根，其中p個在單位圓內(nèi)，d個在單位圓上。因為有d個特征根在單位圓上而非單位圓內(nèi)，所以當(dāng)時，ARIMA(p,d,q)模型不平穩(wěn)。80上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系因為階差分后平穩(wěn)，服從ARMA(p,q)模型，所以不妨設(shè)11二、方差齊性對于ARIMA(p,d,q)模型，當(dāng)時，不僅均值非平穩(wěn)，序列方差也非平穩(wěn)。以最簡單的隨機(jī)游走模型ARIMA(0,1,0)為例：則這是一個時間的遞增函數(shù)，隨著時間趨向無窮，序列的方差也趨向無窮。但1階差分之后，差分后序列方差齊性81上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系二、方差齊性12上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.1.3ARIMA模型建模

在掌握了ARMA模型建模的方法之后，嘗試使用ARIMA模型對觀察序列建模是一件比較簡單的事情。它遵循如下的操作流程，如下圖所示：82上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.1.3ARIMA模型建模

13上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系圖8.3ARIMA模型建模流程83上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系圖8.3ARIMA模型建模流程14上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)8.1.4ARIMA模型預(yù)測

在最小均方誤差預(yù)測原理下，ARIMA模型的預(yù)測和ARMA模型的預(yù)測方法非常類似。ARIMA(p,d,q)模型的一般表示方法為：和ARMA模型一樣，也可以用歷史觀測值的線性函數(shù)表示它：式中，的值由如下等式確定：84上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.1.4ARIMA模型預(yù)測

在最小均方誤差預(yù)測原理下，A如果把記為廣義自相關(guān)函數(shù)，有容易驗證的值滿足如下遞推公式：式中，那么，的真實值為：85上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系如果把記為廣義自相關(guān)函數(shù)，有16上海財經(jīng)大由于的不可獲得性，所以的估計值只能為：真實值與預(yù)報值之間的均方誤差為：要使均方誤差最小，當(dāng)且僅當(dāng)：86上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系由于的不可獲所以，在均方誤差最小的原則下，期預(yù)報值為：期預(yù)報誤差為：真實值等于預(yù)報值加上預(yù)報誤差：期預(yù)報的方差為：87上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系所以，在均方誤差最小的原則下，期預(yù)報值為：18上海財經(jīng)大學(xué)例8.1對1950年—2005年我國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（單位：億元人民幣）序列建立ARIMA模型（數(shù)據(jù)見附錄1.15）

1.對原序列（NX）的分析

(1)做出1950年—2005年我國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（NX）的時序圖及自相關(guān)圖，如圖8.4，圖8.5。88上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系例8.1對1950年—2005年我國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（圖8.4圖8.589上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系圖8.4

(2)對該序列做單位根檢驗，原假設(shè)：；備擇假設(shè)：，檢驗結(jié)果如圖8.4。圖8.6

根據(jù)圖8.6的檢驗結(jié)果，我們可以認(rèn)為這一序列非平穩(wěn)。90上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系(2)對該序列做單位根檢驗，原假設(shè)：；備擇假設(shè)：，檢驗結(jié)2.對原序列取對數(shù)并分析由于這一序列有著非常明顯的指數(shù)趨勢，因此我們對它進(jìn)行取對數(shù)的運(yùn)算，以消除指數(shù)趨勢的影響，將取對數(shù)后的序列命名為，即。作出序列的時序圖與自相關(guān)圖分別如圖8.7，8.8。圖8.7

圖8.891上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系2.對原序列取對數(shù)并分析圖8.7

依然對序列做單位根檢驗，檢驗結(jié)果如圖8.9。

圖8.9根據(jù)這一檢驗結(jié)果，我們看到這一序列依然沒有平穩(wěn)，結(jié)合圖8.7和圖8.8，我們看到在序列中有著明顯的增長趨勢，因此我們還需要對其進(jìn)行差分處理。92上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系依然對序列做單位根檢驗，檢驗結(jié)果如圖8.9。23.對序列進(jìn)行查分處理我們將序列進(jìn)行一階差分處理，得到一個新序列，即。畫出序列的時序圖，并進(jìn)行相應(yīng)的單位根檢驗，如圖8.10，圖8.11。

圖8.10圖8.11根據(jù)上述結(jié)果，可以認(rèn)為這一序列已經(jīng)平穩(wěn)，接下來，可以針對該序列做進(jìn)一步的建模擬合。93上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系3.對序列進(jìn)行查分處理24上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)4.針對平穩(wěn)序列的建立ARMA模型(1)畫出序列的自相關(guān)圖，如圖。根據(jù)該圖，我們可以初步判斷該序列的偏自相關(guān)圖一階截尾，而針對自相關(guān)圖并不能馬上做出判斷。圖8.1294上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系4.針對平穩(wěn)序列的建立ARMA模型圖8.122(2)針對序列我們嘗試幾種不同的模型擬合，比如ARMA（1，1），ARMA（1，2），ARMA（1，3）等。經(jīng)過不斷的嘗試，我們最終選擇了ARMA（1，6）模型，并且該模型中移動平均部分的系數(shù)只有MA（6）的系數(shù)是顯著的，這樣我們就把1-5階的系數(shù)全部放棄，最終的估計結(jié)果如圖8.13。

圖8.13通過圖8.11，我們可以看到最終選擇的模型的整體檢驗效果還是良好的。95上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系(2)針對序列我們嘗試幾種不同的模型擬合，比

(5)對擬合模型后的殘差序列做純隨機(jī)性檢驗，檢驗結(jié)果如圖8.14。圖8.14通過這一檢驗，我們看到殘差序列已經(jīng)可以認(rèn)為是一個純白噪聲的序列，說明我們的模型已經(jīng)將有用信息充分提取了。這一模型的整體擬合效果見圖8.15。96上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系(5)對擬合模型后的殘差序列做純隨機(jī)性檢驗，檢驗結(jié)果如圖圖8.15綜合上述分析過程，實際上我們是針對原序列（NX）：1950年—2005年我國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)序列，建立了一個ARIMA（1，1，6）模型進(jìn)行擬合，模型機(jī)構(gòu)如下：97上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系28上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系§8.2季節(jié)時間序列模型的分析方法

8.2.1季節(jié)時間序列的重要特征一、季節(jié)時間序列表示許多商業(yè)和經(jīng)濟(jì)時間序列都包含季節(jié)現(xiàn)象，例如，冰淇淋的銷量的季度序列在夏季最高，序列在每年都會重復(fù)這一現(xiàn)象。相應(yīng)的周期為4。類似地，在美國汽車的月度銷售量和銷售額數(shù)據(jù)在每年的7月和8月也趨于下降，因為每年這時汽車廠家將會推出新的產(chǎn)品；在西方，玩具的銷售量在每年12月份會增加，主要是因為圣誕節(jié)的緣故；在中國，每年農(nóng)歷5月份糯米的銷售量大大地增加，這是因為中國的端午節(jié)有吃粽子的習(xí)慣。以上三種情況的季節(jié)周期都是12個月。由上面的例子可以看到，很多的實際問題中，時間序列會顯示出周期變化的規(guī)律，這種周期性是由于季節(jié)變化或其他物理因素所致，我們稱這類序列為季節(jié)性序列。單變量的時間序列為了分析方便，可以編制成一個二維的表格，其中一維表示周期，另一維表示某個周期的一個觀測值，如表8.1所示。98上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系§8.2季節(jié)時間序列模型的分析方法

29上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)表8.1單變量時間序列觀測數(shù)據(jù)表例如，1993~2000年各月中國社會消費品零售總額序列，是一個月度資料，其周期S=12，起點為1993年1月，具體數(shù)據(jù)見附錄。99上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系表8.1單變量時間序列觀測數(shù)據(jù)表30上海財二、季節(jié)時間序列的重要特征季節(jié)性時間序列的重要特征表現(xiàn)為周期性。在一個序列中，如果經(jīng)過S個時間間隔后觀測點呈現(xiàn)出相似性，比如同處于波峰或波谷，我們就說該序列具有以S為周期的周期特性。具有周期特性的序列稱為季節(jié)時間序列，S為周期的長度，不同的季節(jié)時間序列會表現(xiàn)出不同的周期，季度資料的一個周期表現(xiàn)為一年的四個季度，月度資料的周期表現(xiàn)為一年的12各月，周資料表現(xiàn)為一周的7天或5天。例如，圖8.16的數(shù)據(jù)是1993年1月到2000年12月的中國社會消費品月銷售總額。100上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系二、季節(jié)時間序列的重要特征31上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系圖8.161993年1月—2000年12月的中國社會消費品月銷售總額當(dāng)然影響一個季節(jié)性時間序列的因素除了季節(jié)因素外，還存在趨勢變動和不規(guī)則變動等。我們研究季節(jié)性時間序列的目的就是分解影響經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變量的季節(jié)因素、趨勢因素和不規(guī)則因素，據(jù)以了解它們對經(jīng)濟(jì)的影響。101上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系32上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.2.2季節(jié)時間序列模型

一、隨機(jī)季節(jié)模型季節(jié)性隨機(jī)時間序列時間間隔為周期長度S的兩個時間點上的隨機(jī)變量有相對較強(qiáng)的相關(guān)性，或者說季節(jié)性時間序列表現(xiàn)出周期相關(guān)，比如對于月度數(shù)據(jù)，S=12，與有相關(guān)關(guān)系，于是我們可以利用這種周期相關(guān)性在與之間進(jìn)行擬合。設(shè)一個季節(jié)性時間序列{}通過D階的季節(jié)差分后為一平穩(wěn)時間序列，即，則一階自回歸季節(jié)模型為或(8.5)其中，為白噪聲序列。將代入式（8.5），得(8.6)102上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.2.2季節(jié)時間序列模型

一、隨機(jī)季節(jié)模型33上海財經(jīng)大同樣的思路，一個一階移動平均季節(jié)模型為或(8.7)推廣之，季節(jié)性的SARIMA為(8.8)其中，103上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系同樣的思路，一個一階移動平均季節(jié)模型為34上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)二、乘積季節(jié)模型式(8.8)的季節(jié)性SARIMA模型中，我們假定是白噪聲序列，值得注意的是實際中不一定是白噪聲序列。因為式(8.8)的模型中季節(jié)差分僅僅消除了時間序列的季節(jié)成分，自回歸或移動平均僅僅消除了不同周期相同周期點之間具有的相關(guān)部分，時間序列還可能存在長期趨勢，相同周期的不同周期點之間也有一定的相關(guān)性，所以，模型可能有一定的擬合不足，如果假設(shè)是ARIMA（p,d,q）模型，則式(8.8)可以改為

(8.9)104上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系二、乘積季節(jié)模型35上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系其中，稱式(8.9)為乘積季節(jié)模型，記為。如果將模型的AR因子和MA因子分別展開，可以得到類似的模型，不同的是模型的系數(shù)在某些階為零，故是疏系數(shù)模型或子集模型。105上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系其中，36上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系三、常見的隨機(jī)季節(jié)模型為了讀者學(xué)習(xí)起來方便，這里列舉幾個常見的隨機(jī)季節(jié)模型，并簡介其生成的過程。在實際問題中，季節(jié)性時間序列所含有的成分不同，記憶性長度各異，因而模型形式也是多種多樣的。這里以季節(jié)周期S=12為例，介紹幾種常見的季節(jié)模型。106上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系三、常見的隨機(jī)季節(jié)模型37上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系模型一

(8.10)模型(8.10)先對時間序列做雙重差分，移動平均算子由和兩個因子構(gòu)成，該模型是交叉乘積模型。實際上該模型是由兩個模型組合而成。由于序列存在季節(jié)趨勢，故先對序列進(jìn)行季節(jié)差分，差分后的序列是一階季節(jié)移動平均模型，則

(8.11)107上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系模型一38上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系但式(8.11)僅僅擬合了間隔時間為周期長度點之間的相關(guān)關(guān)系，序列還存在非季節(jié)趨勢，相鄰時間點上的變量還存在相關(guān)關(guān)系，所以模型顯然擬合不足，不僅是非白噪聲序列而且非平穩(wěn)，如滿足以下的模型(8.12)式(8.12)擬合了序列滯后期為一期的時間點之間的相關(guān)，為白噪聲序列，將式(8.12)代入式(8.11)，則得到模型一。108上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系但式(8.11)僅僅擬合了間隔時間為周期長度點之間的相關(guān)關(guān)系模型二(8.13)模型(8.13)也是由兩個模型組合而成，一個是(8.14)它刻畫了不同年份同月的資料之間的相關(guān)關(guān)系，但是又有欠擬合存在，因為不是白噪聲序列。如果滿足以下MA（1）的模型，則(8.15)將式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二。109上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系模型二40上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.2.3季節(jié)性檢驗和季節(jié)模型的建立檢驗一個時間序列是否具有季節(jié)性是十分必要的，如果一個時間序列季節(jié)性顯著，那么擬合適應(yīng)的季節(jié)時間序列模型是合理的，否則會有欠擬合之嫌。如果不是一個具有顯著季節(jié)性的時間序列，即使是一個月度數(shù)據(jù)資料，也不應(yīng)該擬合季節(jié)性時間序列模型。下面我們討論如何識別一個時間序列的季節(jié)性。一、季節(jié)性時間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的檢驗根據(jù)Box-Jenkins的建模方法，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征是識別非季節(jié)性時間序列的工具。從第七章第二節(jié)的討論已經(jīng)看到季節(jié)性時間序列模型實際上是一種特殊的ARIMA模型，不同的是它的系數(shù)是稀疏的，即部分系數(shù)為零，所以對于乘積季節(jié)模型的階數(shù)識別，基本上可以采用Box-Jenkins的方法，考察序列樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)，從而對季節(jié)性進(jìn)行檢驗。110上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系8.2.3季節(jié)性檢驗和季節(jié)模型的建立檢驗一個時間序列是否1.季節(jié)性MA模型的自相關(guān)函數(shù)假設(shè)某一季節(jié)性時間序列適應(yīng)的模型為(8.16)(8.17)是白噪聲序列。將式(8.17)代入(8.16)，可得整理后，有這實際上是一個疏系數(shù)的MA(S+1)模型，除滯后期為1，S和S+1時的滑動平均參數(shù)不為零以外，其余的均為零。根據(jù)前面第三章的討論，不難求出其自相關(guān)函數(shù)。111上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系1.季節(jié)性MA模型的自相關(guān)函數(shù)42上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系112上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系43上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系113上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系44上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系可見當(dāng)?shù)玫綐颖镜淖韵嚓P(guān)函數(shù)后，各滑動平均參數(shù)的矩法估計式也就不難得到了。更一般的情形，如果一個時間序列服從模型

(8.18)其中，。整理后可以看出該時間序列模型是疏系數(shù)MA(ms+q)，可以求出其自相關(guān)函數(shù)，從而了解時間序列的統(tǒng)計特征。114上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系可見當(dāng)?shù)玫綐颖镜淖韵嚓P(guān)函數(shù)后，各滑動平均參數(shù)的矩法估計式也就2.季節(jié)性AR模型的偏自相關(guān)函數(shù)假定是一個季節(jié)時間序列，服從如果我們將上式展開整理后，可以得到這是一個階段為S+1的疏系數(shù)AR模型，根據(jù)偏自相關(guān)函數(shù)的定義，該模型的滯后期1，S和S+1不為零，其他的偏自相關(guān)函數(shù)可能會顯著為零。更一般的情形，如果一個時間序列服從模型(8.19)其中，，整理后可以看到該時間序列模型是疏系數(shù)AR(kS+p)模型，求出其偏自相關(guān)函數(shù)，可以了解時間序列的統(tǒng)計特征。115上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)系2.季節(jié)性AR模型的偏自相關(guān)函數(shù)46上海財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)季節(jié)時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)既不拖尾也不截尾，也不呈現(xiàn)出線性衰減趨勢，如果在滯后期為周期S的整倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，則建立乘積季節(jié)模型是適應(yīng)的，同時SAR算子和SMA算子的階數(shù)也可以通過自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)得到。關(guān)于差分階數(shù)和季節(jié)差分階數(shù)的選擇是試探性的，可以通過考察樣本的自相關(guān)函數(shù)來確定。一般情況下，如果自相關(guān)函數(shù)緩慢下降同時在滯后期為周期S的整倍數(shù)時出現(xiàn)峰值，通常說明序列同時有趨勢變動和季節(jié)變動，應(yīng)該做一階差分和季節(jié)差分。如果差分后的序列所呈現(xiàn)的自相關(guān)函數(shù)有較好的截尾和拖尾性，則差分階數(shù)是適宜的。1