初中數(shù)學(xué)華東師大八年級(jí)上冊(cè)全等三角形第十三章第三節(jié)等腰三角形的判定PPT

1、等腰三角形是怎樣定義的？有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三角形。復(fù)習(xí)（1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形。（2）等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)

2、等腰三角形有哪些性質(zhì)？DABC幾何語(yǔ)言：∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)（3）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(也稱為“三線合一”)，它們所在的直線就是等腰三角形的對(duì)稱軸。幾何語(yǔ)言：DABC

如圖，在△ABC中，AB=AC(1)∵AD⊥BC，∴∠____=∠____，___=___.BADCADBDCD(2)∵AD是中線，∴___⊥___，∠____=∠____.CADADBCBAD(3)∵AD是角平分線，∴___⊥___，____=____.BDBCADCD（4）等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°逆向思維一個(gè)三角形滿足什么條件它才是等腰三角形呢？等腰三角形的判定定理一：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.如圖，在海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險(xiǎn)船只的報(bào)警，當(dāng)時(shí)測(cè)得∠A=∠B.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時(shí)出發(fā)，能不能大約同時(shí)趕到出事地點(diǎn)（不考慮風(fēng)浪因素）？探究在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊相等嗎？已知：ABCD相等，那么怎樣來(lái)證明？方法：首先把命題寫成“已知…..,求證…….”的形式方法一：作BC邊上的高AD方法二：作∠A的角平分線AD方法三：“作BC邊上的中線AD”可行嗎？在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC分析；要證AB=AC，可設(shè)法構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使AB，AC分別是這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊。∟不行！證法一：作BC邊上的高AD

．在△BAD和△CAD中，∠B＝∠C（已知）∠ADB＝∠ADC=90°（已知）AD＝AD（公共邊）∴△BAD≌△CAD（A．A．S．）∴AB＝AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

ABC∟D

證法二：作∠BAC的平分線AD．在△BAD和△CAD中∠B＝∠C（已知)∠1＝∠2(已知）AD＝AD（公共邊）∴△BAD≌△CAD（A．A．S．）∴AB＝AC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）于是得到等腰三角形的判定定理二：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）例：如果三角形一個(gè)角的外角的角平分線平行于三角形的第三邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形嗎？為什么？ABCD12EABCD12證明：∵AD平分∠CAE∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵∠CAE是ΔABC的外角，AD∥BC∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等）∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠B=∠C（等量代換)∴AB=AC(等角對(duì)等邊）即ΔABC是等腰三角形E已知：AD平分∠CAE，AD//BC求證：AB=AC

已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．證明：∵AD//BC(已知）∴∠ADB=∠CBD(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠ABD=∠CBD(角平分線的定義）∴∠ADB=∠ABD(等量代換）∴AB=AD(等角對(duì)等邊）例：在△ABC中,已知,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.過(guò)點(diǎn)O作直線EF//BC交AB于E,交AC于F.AB=AC（1）請(qǐng)問(wèn)圖中有多少個(gè)等腰三角形?（2）線段EF和線段EB,FC之間有沒(méi)有關(guān)系?若有是什么關(guān)系?B0CAEF解：（1）圖中共有5個(gè)等腰三角形B0CAEF解：（2）EF=BE+CF,理由如下：∵OB平分∠EBC,OC平分∠FCB(已知）∴∠OBE=∠OBC,∠OCF=∠OCB(角平分線的定義）∴BE=OE,CF=OF(等角對(duì)等邊）∴OE+OF=BE+CF(等式的性質(zhì)）∴EF=BE+CF已知：如圖，AC和BD相交于點(diǎn)O，且AB∥DC，OA=OB，求證：OC=OD．

ODCBA證明：∵

AB∥DC

∴∠D=∠B，∠A=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠D=∠C（等角對(duì)等邊）又∵

OA=OB∴∠A=∠B（等邊對(duì)等角）中考鏈接：（1）（2010，寧波）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分別是∠ABC，∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形（）A.5個(gè)D.2個(gè)C.3個(gè)B.4個(gè)ABECDA分析：

∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，

∵∠A=36°，∴

∠ABC=∠BCD=72°，又∵BD與CE分別是∠ABC與∠BCD的平分線，∴

∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ECD=∠A=36°，∴△ABD與△BCE都是等腰三角形，而∠BCD=∠BDC=∠CED=2∠A=72°，∴△BCD與△CDE也都是等腰三角形。因此，共有5個(gè)等腰三角形。ADOFBEC

如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF與DE交于點(diǎn)O。（2）試判斷△OEF的形狀，并說(shuō)明理由。（1）求證：AB=DC;（1）證明：

∵BE=CF

∴BE+EF=EF+CF

即BF=CE中考鏈接：在△ABF和△DCE中:∠A=∠D∠B=∠CBF=CE∴△ABF≌

△DCE(AAS)∴AB=DC（2）△OEF是等腰三角形由（1）知∠AFB=∠DEC∴OE=OF∴△OEF是等腰三角形

如圖，把一張矩形的紙沿對(duì)角線折疊．重合部分是一個(gè)等腰三角形嗎？為什么？ABCDEF123答：重合部分是一個(gè)等腰三角形。理由如下：翻折后，

∠1=∠3∵AD//BC∴

∠2=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴

∠1=∠2∴

FB=FD（等角對(duì)等邊）即△BFD是等腰三角形駛向勝利的彼岸一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)便可成為等邊三角形？開啟智慧等邊三角形的判定定理一：三條邊都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形嗎？.等邊三角形的判定定理二：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形ACB600ACB600你認(rèn)為有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)便可成為等邊三角形？等邊三角形的判定定理三：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形B’C’例：如圖，已知P、Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．解：∵PQ=AP=AQ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=∠C+∠QAC=60°∵QC=AQ∴∠C=∠QAC=30°同理∠B=∠BAP=30°∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30+60+30=120°例：.已知:如圖,△ABC是等邊三角形,DE∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.求證:△ADE是等邊三角形.證明1:∵△ABC等邊三角形(已知),∴∠A＝∠B=∠A＝600(已知),又∵DE∥BC(已知),∴∠1=∠B=600,∠2=∠C=600(兩直線平行,同位角相等).∴∠A=∠1=∠2(等量代換).∴△ADE是等邊三角形(三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形).BECDA12例：.已知:如圖,△ABC是等邊三角形,過(guò)它的三個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)邊的平行線,得到一個(gè)新的△DEF,（1）△DEF是等邊三角形嗎?（2）你還能找到其它的等邊三角形嗎?請(qǐng)證明你的結(jié)論.解:(1)△DEF是等邊三角形;證明(1):∵△ABC是等邊三角形(已知),

又∵EF∥BC,DE∥AC(已知),

∴∠E＝600(三角形內(nèi)角和定理).同理,∠D=600,∠F＝600.BECDAF∴∠1＝∠2=∠3＝600(等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都等于600).4213∴∠