十二種方法推導點到直線的距離公式

｛十二種點到直線距離公式證明方法｝用高中數(shù)學知識推導點到直線的距離公式的方法.已知點P（Xo,Yo）直線l：Ax+By+C=0（A、B均不為0），求點P到直線I的距離。（因為特殊直線很容易求距離，這里只討論一般直線）《1.用定義法推導》點P到直線l的距離是點P到直線l的垂線段的長，設點P到直線l的垂線為垂足為Q，由l垂直l’可知l’的斜率為B/A的萬程；y-Yo=I叔W與［聯(lián)立萬程繾解得女點.Q曹旋:籍魅…冬-對序一，|PQ|^_i.暨十赫十/AAB-BC_12I3*-'FT-A況口日舛￥-AC-BABx&-BC_AVAe虱十畦土科［Ab電口也f一一一片邙"-?-故伺+印葉CP_A7+B?,ipQ|_.iAx^By^+Qv7?TF-過已知點p作已知直線，：Ax+By+O0的垂線，設垂是為Q(x"則1XP\PXx-xoB,，化購得Ax-i-By+C^OA{vt0『B(乂-x4。A{xTd+%-Vg-(Axo+Byo+C}由上式角：(A々B知必知Wvt的T恐+Byg+CF二g=」％￡也坦.點P3,福到宜獲/；慫+Bv*c=o±任意一點遂距離的最中僵就亳忑P到.蠹紋』豹距離C杼，上成匠蕙點M〔x，v),用兩點述!距離公式笆iPMpMxfMWvw』'勾了利沔冬攔加hBv十C",將上式變形一下，配虞系數(shù)史理得：婦W)[機t/+(v*i小X—g6N*妃斗AW-用抑盾僅-x/=[A倍-x"+日印-vM+lAly-yJ-日權-由I2>lA(x-Xn)+B(y-yD)r=[tao+By0+CF■/(AxQ+Byo+C=^0}一?.V、訐+W二V驢??M*輜明口中QVQ+B'書目僅當人卬-歸-日枚-如口。附成等號?.所成最小值就是血炬尸業(yè)的\WB2《4,用柯西不等式推導》“求證：&+b2)(c2+d2)N(ac+bd)2,當且僅當ad=bc,即a/c=b/d時等號成立。”實為柯西不等式的最簡形式，用它可以非常方便地推出點到直線的距離公式。設點M代用為直我上Ax+Bv*C=O上任意一點任意點P成,心到直技I的距離為d測:RMgKWK丁二［PM卜也碧史+㈣甫矛W+B2)1PM|Z=[{By二電芝I三■(Ax-AwBy-ByJ?。板-Byu-CF欄熟伊.，當且僅當vA?4￥《5.用解直角三角形法推導》顯然設直線l的傾斜角為e過點P作PM〃y軸交l于G(xXjx。，所以顯然OIPG|=|?*官G|=|■D□易flZGPH-a5S^GPH=18?？?1在苗種情況下郡有同NGPHmtg如些奇./.eoszGPH^-..????.-1--=一一.鼠.-VUtgVx/aw偵P"二滬G||cqMGPH國金曜Vh±￡_j.□…一相1_.七」也口建光*g展g海*滂兩點間距離公式的推導過程中,使用降維思想構造直宙三角形.受此后示.當AB#O時，可點P臨歸的兩條直線，分別作平行于x軸"期的兩條直線，分別交宜淺J,Ax+Bv+C=O于點M(-蟲嚴必、N{電-綬匕）測|MP|=E譬匕|,oA|NP|Wv□十竺*I，、.-MP_LNP,15■,x在RtAg申,由直角三角形茁面積公式得:}?|MP|-|N牛W'|MN|a\d=|PQ|=|PM||PN|

\d=|PQ|=|PM||PN|

VpMp+IPNp|Axp+Bv口十C|Va^+b3-

宙直線/的方程Ax+By+C-O.(A,B不能同時為0),場得直線/的法向雖為Z=[AB)■設曲S「(如歸作宜稅￡的垂象垂足為HOCv'L則向足PFT=浦即(xJ-XD^'-ytJ^kffrlXx,k+xA*Y‘-Y=k&且I沱1=VT「Xo,yMF=|MVSW,又因為點HXW在直線f上.所以就有奴+C=0,職A*葉XAgB(Vq^KB)4"ChO,「.X(A*的；-(Axc，*Bvd+C)、又因為A,B不同時為0,~~jAXg4-Byg4-C)_

A24Bz'"二IPH*|-vYx友，廣訶=|x|《8.用向量射影公式推導》沒R是日技11的任意一嫩1?R（x,W，直藐的方可向星為拓=JB?A）,BI直線的法◎殖為起=（A,B）.蒲球-咨"y“.妙」雨平廿|_網(wǎng)福-間）|十6印-前「阿\*薩;俚如8力也.偵瘁岳點評:向量是一種很好的工具，用向鼠處珪，既避?升了分類討論，又依撫了平此向蜃的丁具性，會有事半功培的致果'如果過點P（冷歸作湖的平，亍線;恐+By-A^Byo^O,那么.盅襄I'上任意-點到/的距陶都等于點咔國線f遂障離.既然司以任意廖,京,我門應設法使這個點到/線I的距離睿易求得.逐取亙線￡與X軸西殳點S給羿，0）劇G作/的壅線「垂定為H,漫八虧x軸相交于點F（-￡偵，容易求得FG=Ax,±ev,tc_,偷口.虧直線的傾斜角p相ASSE5補,|FG||sina|=|―-TT./.tar>a.=±t0np=土言-L」$ino同士音f*\=?...??四....?從而d-|GHh[您時8爐g..ja[二W岳-15昭十|FG||sina|=|―-TT.g心

引理：坐標原點到萱線！.：Ay+By+C=0的距離h=；；-■,簡證:先從原點到直線的距離這一特殊情形入手，設宜線舊x軸日軸分別交于點E、F項可點E、F的坐標分別是與，CMO.-言L由三國形曲積恒等：#EF?隹

D2-1-0E-0FSh=—19—2VA時由平廳直線系求出;a點見目與t平行的直線的萬程:Ax+Bv-AXp-By^O,設直線F和/'分削與x軸交于點E、G,則點日-=0）\的（您咎抵.0）,由0得立=里_■d=［魚.h=也誕％±51hOE'?"OE門網(wǎng)CLt|C|m|Ax0-b6y0+C|A|V不聲『-戾酒{11.通過平移坐標系推導】5￡黑點門你血歸v］,是坐標■味點就好了」tr為虹熟門成點P臨4叫為原點建苴宣角「、［"&)*坐標系K'oV\井值-4—K;一一丁坐標軸分昇J與1i7擇標軸而平行,母畫線，在新坐標系中記盡“設任意點G在新舊坐標系申的坐標分別是Cx」M、kM,即由5^=。蒞十0百,得Ry)二%,由十8「?耳=而十*』￥=此十丫」'?直級］任新坐標系中的萬'程是少怛*羽+日(y'+-y^C=O,§DAji,+By,-rAxP+BYa+C=O.常。到直稅I'的距譴就是點P佻w』到園線iE的距離，由引碧。'耦二如JAx^Byo+Cl.,【12,由直線與圓的位置關系推導】當成點為圓牌的圓云國線Lt尸、1Ax+By-<-C-0相切31.圓J/_p1的堅校就是點P〔％vQ到f\X?n/直線LAx十即十CT阻矩I離,于是，問題轉化為當I、，海P知Y』為圓迥的國與Bi線1只有一個交點時，家