研究性課題楊輝三角

高中數(shù)學(xué)第三冊第二章第2節(jié)教案PAGEPAGE7研究性課題：楊輝三角杭州七中翟慎佳【教學(xué)目的】進(jìn)一步探索楊輝三角的基本性質(zhì)及數(shù)字排列規(guī)律，形成知識網(wǎng)絡(luò)；培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，重點(diǎn)培養(yǎng)創(chuàng)新能力；了解我國古今數(shù)學(xué)的偉大成就，增強(qiáng)愛國情感．【教學(xué)手段】計算機(jī)輔助教學(xué)CAI【教學(xué)思路】→引言：為什么要探究楊輝三角？→什么是楊輝三角？→楊輝簡介→師生觀察討論楊輝三角→楊輝三角的基本性質(zhì)→探索楊輝三角的數(shù)字排列規(guī)律（多層次、多角度）→展示學(xué)生探究成果→教學(xué)小結(jié)【教學(xué)過程】引言:為什么要研究楊輝三角？▲教學(xué)意圖研究楊輝三角的意義（1）在學(xué)習(xí)了排列組合概率和數(shù)學(xué)歸納法等知識后，繼續(xù)研究楊輝三角的性質(zhì)，進(jìn)一步探索楊輝三角的基本性質(zhì)及其中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力．同時復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識，發(fā)現(xiàn)知識間的聯(lián)系．（2）通過探究楊輝三角，不斷培養(yǎng)創(chuàng)新能力．（創(chuàng)新是發(fā)展的不竭動力）（3）了解古今數(shù)學(xué)家的偉大成就，進(jìn)行愛國主義教育；什么是楊輝三角？▲教學(xué)意圖復(fù)習(xí)提問楊輝三角二項(xiàng)式（a+b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1，2，3．．．時，列出的一張表，叫做二項(xiàng)式系數(shù)表，因它形如三角形，南宋的楊輝對其有過深入研究，所以我們又稱它為楊輝三角．（Ｐ.71圖）介紹楊輝——古代數(shù)學(xué)家的杰出代表▲教學(xué)意圖了解數(shù)學(xué)家楊輝及其成就,增強(qiáng)民族自豪感楊輝，杭州錢塘人。中國南宋末年數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家．著作甚多，他編著的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷，著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通變本末》三卷、《田畝比類乘除算法》二卷、《續(xù)古摘奇算法》二卷．其中后三種合稱《楊輝算法》，朝鮮、日本等國均有譯本出版，流傳世界。

“楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的《詳解九章算法》一書中，此書還說明表內(nèi)除“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和．楊輝指出這個方法出于《釋鎖》算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀(jì)）已經(jīng)用過它，這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀(jì)．在歐洲，這個表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家物理學(xué)家帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他們把這個表叫做帕斯卡三角．這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．觀察楊輝三角所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系▲教學(xué)意圖觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)字排列規(guī)律,對學(xué)生的發(fā)現(xiàn)及時點(diǎn)評,培養(yǎng)觀察力（用Excel制作的楊輝三角——另一表現(xiàn)形式，用到第15行）4．楊輝三角基本性質(zhì)▲教學(xué)意圖介紹楊輝三角蘊(yùn)含的基本規(guī)律（1）表中每個數(shù)都是組合數(shù)，第n行的第r+1個數(shù)是．（2）三角形的兩條斜邊上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加，也就是．（3）楊輝三角具有對稱性（對稱美），即．（4）楊輝三角的第n行是二項(xiàng)式（a+b）n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，即▲教學(xué)意圖利用數(shù)學(xué)歸納法證明二項(xiàng)式定理——學(xué)以致用證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊＝(a+b)1=a+b,右邊＝＝a+b左邊＝右邊，所以等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，即那么，當(dāng)n=k+1時，＝（）利用組合數(shù)的兩個重要性質(zhì)可得即n=k+1時等式也成立．根據(jù)（1）和（2），可知對于任意正整數(shù)n，等式都成立．▲教學(xué)意圖下面,師生一起繼續(xù)探究楊輝三角蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)5．楊輝三角有趣的數(shù)字排列規(guī)律▲教學(xué)意圖培養(yǎng)學(xué)生觀察力，注意觀察方法：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多種角度觀察（橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同?。?）楊輝三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2K-1(k是正整數(shù))行的各個數(shù)字有什么特點(diǎn)？分析：觀察可知，它們均為奇數(shù)．第2K行除兩端的1之外都是偶數(shù).（2）楊輝三角第5行中，除去兩端的數(shù)字1以外，行數(shù)5整除其余所有的數(shù)．你能再找出具有類似性質(zhì)的三行嗎？這時的行數(shù)Ｐ是什么數(shù)？▲教學(xué)意圖繼續(xù)“橫”看分析：如2，3，7，11等行．行數(shù)Ｐ是質(zhì)數(shù)(素數(shù)).（3）計算楊輝三角中各行數(shù)字的和，看有何規(guī)律：第1行1＋1＝2第2行1＋2＋1＝4＝22第3行1＋3＋3＋1＝8＝23第4行1＋4＋6＋4＋1＝16＝24第5行1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25．．．第n行分析：第n行數(shù)字的和為2n．前n行(含第0行)所有數(shù)的和為2n–1，它恰好比第n行的和2n小1．（4）從楊輝三角中一個確定的數(shù)的“左（右）肩”出發(fā)，向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數(shù)的和等于這個數(shù)．▲教學(xué)意圖再引導(dǎo)學(xué)生“斜”向看例如：10＝1＋2＋3＋4，20＝1＋3＋6＋10，．．．▲教學(xué)意圖引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論一般地，在第m條斜線上（從右上到左下）前n個數(shù)字的和，等于第m+1條斜線上的第n個數(shù)．根據(jù)這一性質(zhì)，猜想下列數(shù)列的前n項(xiàng)和：1＋1＋1＋．．．＋1＝（第1條斜線）1＋2＋3＋．．．＋＝（第2條斜線）1＋3＋6＋．．．＋＝（第3條斜線）1＋4＋10＋．．．＋＝（第4條斜線）．．．（第r+1條斜線）（課后要求用數(shù)學(xué)歸納法證明）（5）如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？▲教學(xué)意圖繼續(xù)換一角度“斜”向看1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此數(shù)列{an}滿足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)這就是著名的斐波那契數(shù)列．▲教學(xué)意圖以下介紹斐波那契“兔子繁殖問題”增強(qiáng)趣味性中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作《算術(shù)之法》中提出了一個饒有趣味的問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子．設(shè)所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡．問一對剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對兔子？兔子繁殖問題可以從楊輝三角得到答案：右側(cè)從上而下的一列數(shù)1，1，2，3，5，8，13，…，正好是剛生的兔子，第一個月后的兔子．第二個月后的兔子，第三個月后的兔子，…n個月后的兔子的對數(shù)．“兔子繁殖問題”的答案就是第12行右下側(cè)的數(shù)（第13個），即233．(6)楊輝三角與彈子游戲（先介紹我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚）▲教學(xué)意圖介紹我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚的成就、學(xué)習(xí)其為科學(xué)獻(xiàn)身的精神、增強(qiáng)愛國情感華羅庚（1910-1985）是一位具有世界聲譽(yù)的數(shù)學(xué)家，我國進(jìn)入世界著名數(shù)學(xué)行列最杰出的代表。撰寫了不少高質(zhì)量的10部專著、200篇論文和10余部科普著作。由于他的貢獻(xiàn)，有許多定理、引理、不等式與方法等都用他的名字命名．為了推廣優(yōu)選法，華羅庚帶領(lǐng)小分隊去二十七個省市普及應(yīng)用數(shù)學(xué)方法達(dá)二十年之久，取得了明顯的經(jīng)濟(jì)效益和社會效益，為我國經(jīng)濟(jì)建設(shè)作出了重大貢獻(xiàn)．在他的科普著作《從楊輝三角談起》中，對楊輝三角的構(gòu)成，提出了一種有趣的看法．▲教學(xué)意圖下面介紹彈子游戲問題，本節(jié)的重要內(nèi)容如圖，在一塊傾斜的木板上，釘上一些正六角形小木塊，在它們中間留下一些通道，從上部的漏斗直通到下部的長方形框子。把小彈子倒在漏斗里，它首先會通過中間的一個通道落到第二層六角板上面（有幾個通道就算第幾層），以后，再落到六角板的左邊或右邊的兩個豎直通道里去．……，以此類推，算一算：個彈子通過n+1層通道，落到各長方形框里的可能情況。分析：彈子從每一通道通過時可能情況是：它選擇左右兩通道可能性是相等的，而其他任一個通道的可能情形，應(yīng)等于它左右肩上兩個通道的可能情形的和?？梢栽O(shè)想，第1層只有１條通道，通過的概率是1第2層有２條通道，每條通過的概率依次是第3層有3個通道，每條通過的概率從左到右依次是，，第4層各通道通過的概率從左到右依次是，，，．．．照這樣計算第n+1層有n+1個通道，彈子通過各通道的概率將是？引導(dǎo)學(xué)生寫出此“概率三角形”，分析與楊輝三角的關(guān)系：第n行各概率的分子是楊輝三角中的數(shù)，分母是2n。（引導(dǎo)學(xué)生課后仿第1章復(fù)習(xí)小結(jié)例1解答．）（７）楊輝三角與“縱橫路線圖”▲教學(xué)意圖楊輝三角又一實(shí)際應(yīng)用,學(xué)以致用“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問題．圖1是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處(只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？我們把圖順時針轉(zhuǎn)45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)的楊輝三角數(shù)．有趣的是，B處所對應(yīng)的數(shù)70，正好是答案(70)．一般地,每個交點(diǎn)上的楊輝三角數(shù)，就是從A到達(dá)該點(diǎn)的方法數(shù)．由此看來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯(lián)系．（8）楊輝三角與“堆垛術(shù)”（三角垛，正方垛，．．．）▲教學(xué)意圖介紹我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就——堆垛術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生自行探究將圓彈堆成三角垛：底層是每邊n的三角