建模經(jīng)典案例分析-鹽的貯存問題

建模經(jīng)典案例分析賽題回顧1987年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(MCM)-A賽題

----鹽的存貯本題是由印第安納大學(xué)的M.Thompon提供的，是從出現(xiàn)在1986年11月的IndianapolisStar的一個實際問題改造而成的。美國中西部的一個州把冬天用來灑在馬路上的鹽存貯在一個球頂倉庫里大約有15年了。下圖表示在過去15年中鹽是怎么存貯的，通過駕駛鏟斗車在由鹽鋪成的坡道上進出倉里并利用鏟斗車上的鏟子把鹽裝進倉里或從倉里取出來。賽題背景最近，一個小組確定這種做法是不安全的，如果鏟斗車太靠近鹽堆的頂端鹽就要滑動，而鏟斗車就可能翻滾到為加固倉庫而筑的擋壁上去。該小組建議，如果鹽堆是用鏟斗堆起來的，那鹽堆的最大高度不要超過15英尺。問題重述對以上情況建立一個數(shù)學(xué)模型并求得在倉庫中鹽堆的最大高度。已知，倉高為50英尺，擋壁高4英尺，倉的外直徑103英尺，門的凈空高19英尺9英寸，鏟斗車高10英尺9英寸。賽題背景倉庫示意圖賽題背景這道賽題你會怎么做呢？微觀角度宏觀角度我們也可以借助于物理的方法，由鹽的外摩擦系數(shù)、內(nèi)摩擦系數(shù)定出靜態(tài)平衡的最大傾斜角，利用粒子原理、流體力學(xué)和晶體壓力分析的知識，在假定鹽粒和晶體有類似性的前提下，通過莫爾圓來分析鹽堆和決定鹽堆的最大高度微觀角度宏觀角度不考慮鹽堆的內(nèi)部受力情況，從鏟斗車堆鹽出發(fā)，分析鏟斗車在鹽堆上堆鹽的幾種情況，從宏觀角度分析出鹽堆能堆到的最大高度。不考慮微觀因素；擋壁可支撐住任何負荷；鹽倉的頂部不能支撐任何負荷；鹽堆的高度從倉庫的地面算起；專家小組建議的高度是一個“絕對”安全極限，即鏟斗車可開到斜坡的任何點，而鹽堆表面不會滑動。模型的假設(shè)首先，定義所謂臨界角—鹽在自然堆積起來能維持平衡時，從水平面來測量的最大角。當(dāng)有重物放置到具有臨界角的鹽堆時，會使鹽下滑形成新的臨界角，它依賴于負載，稱這時的臨界角為負載臨界角。定義三個參數(shù)：

分析與建模鹽的臨界角，記作；鏟斗車在鹽堆上的負載臨界角，記作；鏟斗車的可達半徑，記作。可達半徑是指鏟斗車的前輪觸地點到鏟斗下唇（最低處）的距離。首先分析鏟斗車。若已測出和，當(dāng)鏟斗車在地面上堆鹽時，鹽堆的最大高度：分析與建模當(dāng)鏟斗車在正斜坡上堆鹽時，鹽堆的最大高度：分析與建模這里的等于鹽堆頂點到正斜坡的鉛垂高度。當(dāng)鏟斗車在負斜坡上堆鹽時，鹽堆的最大高度：分析與建模至此我們已經(jīng)弄清了對鏟斗車的限制，接著就來分析倉庫里鹽堆的“絕對”安全的條件分析與建模這里為鏟斗車在鹽堆上行駛時的鹽堆負載臨界角。由假設(shè)知，鏟斗車可以在鹽堆錐形面上任意行駛，可由下式給出：進一步，鹽被推到2530英尺是可能的，且假設(shè)約為5英尺。分析與建模由此可算得：從而可導(dǎo)出鏟斗車的可達半徑為：分析與建模因為英尺，我們假設(shè)為5英尺或者是合理的，正是這些值決定了鹽堆的最大高度。鏟斗車的駕駛員遵循下面的簡單規(guī)則先將倉庫的鹽堆積到“絕對”安全條件滿足為止。在安全面上再堆鹽，從倉庫門對面的邊緣開始堆放，再對倉庫其他邊緣堆放，這時駕駛員絕對不許在新堆的鹽上行駛。新鹽堆應(yīng)靠著先前放好的鹽堆。為了保證穩(wěn)定性，規(guī)定左右轉(zhuǎn)變應(yīng)在安全面的頂部完成。鏟斗車通過倒退從道路到門口堆鹽。按上述堆鹽方法，最后得到鹽堆正視圖如下：模型的求解將前面求得的和、r代入上式便得：模型的求解英尺本模型的優(yōu)點是建模簡單，可以毫無困難地說清得到的結(jié)論和方法。這個模型有三個特定的參數(shù)，它們都是很容易獲得的。這個模型的缺點也恰恰是它的簡單性