2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁四川天地人教育為您服務(wù)！2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若z=-1+3i，則zA．-1+3i B．-1-3i2．某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差3．設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2,3}，集合A={-1,2},B=xA．{1,3} B．{0,3} C．{-2,1} D．{-2,0}4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．205．函數(shù)y=3x-3A． B．C． D．6．當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)=alnxA．-1 B．-12 C．17．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知BA．AB=2AD B．AB與平面AC．AC=CB1 D．B8．沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在AB上，CD⊥AB．“會圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+CDA．11-332 B．11-432 C．9．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若SA．5 B．22 C．10 D．10．橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，點PA．32 B．22 C．1211．設(shè)函數(shù)f(x)=sinωx+πA．53,136 B．53,12．已知a=3132A．c>b>a B．b>a二、填空題13．設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且a=1，b=3，則14．若雙曲線y2-x2m215．從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．16．已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD三、解答題17．記Sn為數(shù)列an的前n項和．已知(1)證明：an(2)若a4,a18．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥(1)證明：BD⊥(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．19．甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．20．設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點Dp,0，過F的直線交C于(1)求C的方程；(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,21．已知函數(shù)fx(1)若fx≥0，求(2)證明：若fx有兩個零點x1,22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=2+t6y=t（(1)寫出C1的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C3的極坐標(biāo)方程為2cosθ-sinθ=0，求C23．已知a，b，c均為正數(shù)，且a2(1)a+(2)若b=2c，則答案第=page11頁，共=sectionpages22頁四川天地人教育為您服務(wù)！參考答案：1．C【解析】【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.【詳解】zz故選：C2．B【解析】【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項判斷即可得解.【詳解】講座前中位數(shù)為70%+75%2講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為100%講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35故選:B.3．D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的運算即可得解.【詳解】由題意，B={x所以?U故選：D.4．B【解析】【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，則該直四棱柱的體積V=故選：B.5．A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可得解.【詳解】令f(則f(-所以f(x)又當(dāng)x∈(0,π2)時，3故選：A.6．B【解析】【分析】根據(jù)題意可知f1=-2，f'1=0【詳解】因為函數(shù)fx定義域為0,+∞，所以依題可知，f1=-2，f'1=0，而f'x=ax-bx2，所以故選：B.7．D【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，B1D與平面ABCD所成角為對于A，AB=a，AD=b，對于B，過B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB與平面對于C，AC=a2+b2=對于D，B1D與平面BB1C1C所成角為∠DB故選：D．8．B【解析】【分析】連接OC，分別求出AB,OC【詳解】解：如圖，連接OC，因為C是AB的中點，所以O(shè)C⊥又CD⊥AB，所以即OD=又∠AOB所以AB=則OC=3，故所以s=故選：B.9．C【解析】【分析】設(shè)母線長為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r2，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得r1=2r2【詳解】解：設(shè)母線長為l，甲圓錐底面半徑為r1，乙圓錐底面圓半徑為r則S甲所以r1又2π則r1所以r1所以甲圓錐的高h(yuǎn)1乙圓錐的高h(yuǎn)2所以V甲故選：C.10．A【解析】【分析】設(shè)Px1,y1，則Q-x1,y【詳解】解：A-設(shè)Px1,則kAP故kAP又x12a所以b2a2所以橢圓C的離心率e=故選：A.11．C【解析】【分析】由x的取值范圍得到ωx+【詳解】解：依題意可得ω>0，因為x∈0,要使函數(shù)在區(qū)間0,π恰有三個極值點、兩個零點，又y=sin則5π2<ωπ+故選：C．12．A【解析】【分析】由cb=4tan14結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得c>【詳解】因為cb=4tan所以tan14>14,即設(shè)f(f'(x)=-sin則f14>f所以b>a,所以故選：A13．11【解析】【分析】設(shè)a與b的夾角為θ，依題意可得cosθ=1【詳解】解：設(shè)a與b的夾角為θ，因為a與b的夾角的余弦值為13，即cos又a=1，b=3，所以所以2a故答案為：11．14．3【解析】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線y2-x2m不妨取x+my=0，圓x2+y2依題意圓心0,2到漸近線x+my=0解得m=33故答案為：3315．635【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳解】從正方體的8個頂點中任取4個，有n=C84=70個結(jié)果，這4故答案為：63516．3-1【解析】【分析】設(shè)CD=2BD=2m【詳解】設(shè)CD=2則在△ABD中，A在△ACD中，A所以A≥4-12當(dāng)且僅當(dāng)m+1=3m所以當(dāng)ACAB取最小值時，m故答案為：3-17．(1)證明見解析；(2)-78【解析】【分析】（1）依題意可得2Sn+n2（2）由（1）及等比中項的性質(zhì)求出a1，即可得到an的通項公式與前(1)解：因為2Snn+當(dāng)n≥2時，2S①-②得，2S即2a即2n-1an-2所以an是以1(2)解：由（1）可得a4=a1+3又a4，a7，a9即a1+62所以an=n所以，當(dāng)n=12或n=13時18．(1)證明見解析；(2)55【解析】【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，利用勾股定理證明AD⊥BD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得（2）以點D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.(1)證明：在四邊形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥因為CD//所以四邊形ABCD為等腰梯形，所以AE=故DE=32所以AD所以AD⊥因為PD⊥平面ABCD，BD?平面所以PD⊥又PD∩所以BD⊥平面PAD又因PA?平面PAD所以BD⊥(2)解：如圖，以點D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，BD=則A(則AP=(-1,0,設(shè)平面PAB的法向量n=(則有{n→?則cos?所以PD與平面PAB所成角的正弦值為5519．(1)0.6；(2)分布列見解析，EX【解析】【分析】（1）設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,（2）依題可知，X的可能取值為0,10,20,30，再分別計算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,P=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6．(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30，所以，PXPXPXPX即X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06期望EX20．(1)y2(2)AB:【解析】【分析】（1）由拋物線的定義可得|MF（2）設(shè)點的坐標(biāo)及直線MN:x=my+1，由韋達(dá)定理及斜率公式可得kMN(1)拋物線的準(zhǔn)線為x=-p2，當(dāng)MD與x軸垂直時，點M此時|MF|=所以拋物線C的方程為y2(2)設(shè)M(y1由{x=my+1y由斜率公式可得kMN=y直線MD:x=Δ>0,y1y3所以k又因為直線MN、AB的傾斜角分別為α,所以kAB若要使α-β最大，則設(shè)kMN=2k當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k所以當(dāng)α-β最大時，kAB代入拋物線方程可得y2Δ>0,y3所以直線AB:【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對斜率進(jìn)行化簡，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)間的關(guān)系.21．(1)(-(2)證明見的解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為exx(1)f(x)f'(令f(x)=0當(dāng)x∈(0,1),當(dāng)x∈(1,+∞),若f(x)≥0,則e所以a的取值范圍為(-(2)由題知,f(x)一個零點小于不妨設(shè)x要證x1x2因為x1,1因為f(x1即證e即證e下面證明x>1時，設(shè)g(則g=(1-設(shè)φ所以φ(x)>所以exx-所以g(x)即g(x)>令hh所以h(x)即h(x)<h(1)=0綜上,exx-x【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式h(22．(1)y2(2)C3,C1的交點坐標(biāo)為12,1，1,