-蘇教版九年級上冊-第二章-對稱圖形-圓-壓軸題含答案

-蘇教版九年級上冊--第二章-對稱圖形-圓--壓軸題含答案-蘇教版九年級上冊--第二章-對稱圖形-圓--壓軸題含答案-蘇教版九年級上冊--第二章-對稱圖形-圓--壓軸題含答案資料僅供參考文件編號：2022年4月-蘇教版九年級上冊--第二章-對稱圖形-圓--壓軸題含答案版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：蘇教版九年級上冊第二章對稱圖形－圓壓軸題含答案解答題1.如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，點F在AC的延長線上，且∠CBF=12∠CAB．

(1)求證：直線BF是⊙O的切線；

2.已知：如圖所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．當P、Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．

(1)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2

(2)如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于210cm

(3)在(1)中，△PQB的面積能否等于7cm2說明理由．

3.如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE．

(1)求AC、AD的長；

(2)試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由．

4.如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．

(1)求證：AC平分∠DAB；

(2)求證：△PCF是等腰三角形；

(3)若AF=6，EF=25，求⊙O

的半徑長．

5.如圖，△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，AE平分∠BAC交BC于點E，交CD于點F.且CE=CF．

(1)求證：直線CA是⊙O的切線；

(2)若BD=43DC，求DFCF的值．

6.已知：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，點D是邊AB上的一點，過C，D兩點的⊙O分別與邊CA，CB交于點E，F(xiàn)．

(1)若點D是AB的中點，

①在圖1中用尺規(guī)作出一個符合條件的圖形(保留作圖痕跡，不寫作法)；

②如圖2，連結EF，若EF//AB，求線段EF的長；

③請寫出求線段EF長度最小值的思路．

(2)如圖3，當點D在邊AB上運動時，線段EF長度的最小值是______．

7.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點D，交AC邊于點E.過點D作⊙O的切線，交AC于點F，交AB的延長線于點G，連接DE．

(1)求證：BD=CD；

(2)若∠G=40°，求∠AED的度數(shù)．

(3)若BG=6，CF=2，求⊙O的半徑．

8.如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于E，過點A作∠DAF=∠DAB，過點D作AF的垂線，垂足為F，交AB的延長線于點P，連接CO并延長交⊙O于點G，連接EG，已知DE=4，AE=8．

(1)求證：DF是⊙O的切線；

(2)求證：OC2=OE?OP；

(3)求線段EG的長．

9.如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，CH⊥AB于H，∠CAB=30°．

(1)如圖1，求證：AH=3BH；

(2)如圖2，點D為AB下方⊙O上一點，點E為AD上一點，若∠BOE=∠CAD，連接BD，求證：OE=BD；

(3)如圖3，在(2)的條件下，連接CE，若CE⊥AD，OA=14，求BD的長．

10.如圖1，點A、B、P分別在兩坐標軸上，∠APB=60°，PB=m，PA=2m，以點P為圓心、PB為半徑作⊙P，作∠OBP的平分線分別交⊙P、OP于C、D，連接AC．

(1)求證：直線AB是⊙P的切線．

(2)設△ACD的面積為S，求S關于m的函數(shù)關系式．

(3)如圖2，當m=2時，把點C向右平移一個單位得到點T，過O、T兩點作⊙Q交x軸、y軸于E、F兩點，若M、N分別為兩弧OE、OF的中點，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足為G、H，試求MG+NH的值．

11.已知，如圖，在△ADC中，∠ADC=90°，以DC為直徑作半圓⊙O，交邊AC于點F，點B在CD的延長線上，連接BF，交AD于點E，∠BED=2∠C．

(1)求證：BF是⊙O的切線；

(2)若BF=FC，AE=3，求⊙O的半徑．

12.已知：如圖，CA=CB=CD，過三點A，C，D的⊙O交AB于點F．

求證：CF平分∠BCD．

13.如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

(1)求證：PA是⊙O的切線；

(2)若AB=4+3，BC=23，求⊙O的半徑．

14.如圖，AB為⊙O的直徑，點E在⊙O上，C為BE的中點，過點C作直線CD⊥AE于D，連接AC、BC．

(1)試判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)若AD=2，AC=6，求AB的長．

15.如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D，AD交⊙O于點E，連接CE，CB．

(1)求證：CE=CB；

(2)若AC=25，CE=5，求AE的長．

答案和解析1.【答案】(1)證明：連接AE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∵AB=AC，

∴∠1=12∠CAB．

∵∠CBF=12∠CAB，

∴∠1=∠CBF

∴∠CBF+∠2=90°

即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直徑，

∴直線BF是⊙O的切線．

【解析】(1)連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．

(2)利用已知條件證得△AGC∽△ABF，利用比例式求得線段的長即可．

本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．

2.【答案】解：(1)設經(jīng)過x秒以后△PBQ面積為4cm2(0<x≤3.5)

此時AP=xcm，BP=(5-x)cm，BQ=2xcm，

由12BP·BQ=4,得12(5-x)×2x=4，

整理得：x2-5x+4=0，

解得：x=1或x=4(舍去)；

答：1秒后△PBQ的面積等于4cm2

(2)PQ=210，則PQ2=BP2+BQ2，

即40=(5-t)2+(2t)2，

解得：．

則3秒后，PQ的長度為210cm．

(3)令S△PQB【解析】此題主要考查了一元二次方程的應用以及勾股定理的應用，找到關鍵描述語“△PBQ的面積等于4cm2”“PQ的長度等于210cm”，得出等量關系是解決問題的關鍵．

(1)經(jīng)過x秒鐘，△PBQ的面積等于4cm2，根據(jù)點P從A點開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，表示出BP和BQ的長可列方程求解；

(2)利用勾股定理列出方程求解即可；

(3)令S△PQB=7，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，再根據(jù)b2-4ac得出原方程沒有實數(shù)根，從而得出△PQB的面積不能等于7cm2．

3.【答案】解：(1)連接BD，

∵AB是⊙O的直徑，

，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠DCB=45°，

∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∵AB=10，

∴AD=BD=102=52，

在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，

∴AC=102-52=53，

答：AC=53，AD=52；

(2)直線PC與⊙O相切，理由是：

連接OC，

在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，

∴∠BAC=30°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=30°，

∴∠COB=60°，

∵∠ACD=45°【解析】(1)連接BD，利用直徑所對的圓周角是直角得兩個直角三角形，再由角平分線得：∠ACD=∠DCB=45°，

由同弧所對的圓周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角邊AD=52，AC的長也是利用勾股定理列式求得；

(2)連接半徑OC，證明垂直即可；利用直角三角形中一直角邊是斜邊的一半得：這條直角邊所對的銳角為30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度數(shù)，最后求得∠OCP=90°，結論得出．

本題考查了直線和圓的位置關系，直線和圓的位置關系有三種：相離、相切、相交；重點是相切，本題是?？碱}型，在判斷直線和圓的位置關系時，首先要看直線與圓有幾個交點，根據(jù)交點的個數(shù)來確定其位置關系，在證明直線和圓相切時有兩種方法：①有半徑，證明垂直，②有垂直，證半徑；本題屬于第①種情況．

4.【答案】(1)證明：∵PD為⊙O的切線，

∴OC⊥DP，

∵AD⊥DP，

∴OC//AD，

∴∠DAC=∠OCA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OAC=∠DAC，

∴AC平分∠DAB；

(2)證明：∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=45°，

∴∠BOE=2∠BCE=90°，

∴∠OFE+∠OEF=90°，

而∠OFE=∠CFP，

∴∠CFP+∠OEF=90°，

∵OC⊥PD，

∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，

而∠OCF=∠OEF，

∴∠PCF=∠CFP，

∴△PCF是等腰三角形；

(3)解：連結OE．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，

∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，

∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，

設⊙O

的半徑為r，則OF=6-r，

在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，

∴r2+(6-r)2=(25)2，

解得，r1=4，r2【解析】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了圓周角定理和等腰三角形的判定．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．

(1)根據(jù)切線的性質得OC⊥AD，而AD⊥DP，則肯定判斷OC//AD，根據(jù)平行線的性質得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；

(2)根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，則∠BCE=45°，再利用圓周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，則∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根據(jù)切線的性質得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根據(jù)等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判斷△PCF是等腰三角形；

(3)連結OE.由AB為⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BCE=45°，設⊙O

的半徑為r，則OF=6-r，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．

5.【答案】解：(1)證明：∵BC為直徑，

∴∠BDC=∠ADC=90°，

∴∠1+∠3=90°

∵AE平分∠BAC，CE=CF，

∴∠1=∠2，∠4=∠5，

∴∠2+∠3=90°，

∵∠3=∠4，

∴∠2+∠5=90°，

∴∠ACB=90°，

即AC⊥BC，

∴直線CA是⊙O的切線；

(2)由(1)可知，∠1=∠2，∠3=∠5，

∴△ADF∽△ACE，

∴ADAC=DFCE=DFCF，

∵BD=43DC，

∴tan∠ABC=CDBD=3【解析】(1)若要證明直線CA是⊙O的切線，則只要證明∠ACB=90°即可；

(2)易證△ADF∽△ACE，由相似三角形的性質以及結合已知條件即可求出DFCF的值．

本題考查了切線的判斷和性質、相似三角形的判斷和性質、圓周角定理以及三角函數(shù)的性質，熟記切線的判斷和性質是解題的關鍵．

6.【答案】解：(1)①如圖1所示：

②如圖2，連結CD，F(xiàn)D，

∵AC=6，BC=8，AB=10，

∴AC2+BC2=AB2

∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，

∴EF是⊙O的直徑，

∵D是AB中點，

∴DA=DB=DC=5，

∴∠B=∠DCB，

∵EF//AB，

∴∠A=∠CEF，

∵∠CDF=∠CEF，

∴∠A=∠CDF，

∵∠A+∠B=90°，

∴∠CDF+∠DCB=90°，

∴∠CFD=90°，

∴CD是⊙O的直徑，

∴EF=CD=5，

③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90°，

所以，EF是⊙O的直徑．

由于【解析】【分析】

此題是圓的綜合題，主要考查了基本作圖，直角三角形的判定，圓的性質，三角形的面積公式，判斷出CD是直徑是EF最小，是解本題的關鍵，是一道中等難度的中考?？碱}．

(1)①先作出CD的垂直平分線，即可作出圖形；

②先判斷出△ABC是直角三角形，即可得出，EF是⊙O的直徑，再用平行線的性質和同弧所對的圓周角相等得出∠A=∠CDF，進而得出∠CFD=90°，得出判斷出CD是直徑即可；

③利用圓中直徑大于等于圓中任何一條弦即可得出CD是直徑時，EF最小；

(2)先得出CD⊥AB時，CD最小，即：EF最小，最后用面積公式即可求出．

【解答】解：(1)

①見答案，

②見答案，

③見答案；

(2)如圖3，由(1)③知，CD是⊙O的直徑時，EF最小，即：最小值為CD，

當點D在邊AB上運動時，只有CD⊥AB時，CD最小，

由(1)②知，△ABC是直角三角形，

∴S△ABC=12AC?BC=12AB?

7.【答案】(1)證明：連接AD，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD；

(2)解：連接OD，

∵GF是切線，OD是半徑，

∴OD⊥GF，

∴∠ODG=90°，

∵∠G=40°，

∴∠GOD=50°，

∵OB=OD，

∴∠OBD=65°，

∵點A、B、D、E都在⊙O上，

∴∠ABD+∠AED=180°，

∴∠AED=115°；

(3)解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD//AC，

∴△GOD∽△GAF，

∴ODAF=GOGA，

∴設⊙O的半徑是r，則AB=AC=2r，

∴AF=2r-2，

∴r2r-2=6+r6+2r，【解析】(1)連接AD，根據(jù)圓周角定理得出AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質得出即可；

(2)連接OD，根據(jù)切線的性質求出∠ODG=90°，求出∠BOD、∠ABC，根據(jù)圓內接四邊形求出即可；

(3)求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圓的半徑．

本題考查了切線的性質，圓內接四邊形，相似三角形的性質和判定，圓周角定理，等腰三角形的性質等知識點，能綜合運用知識點進行推理是解此題的關鍵．

8.【答案】(1)證明：連接OD，如圖1所示：

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ADO，

∵∠DAF=∠DAB，

∴∠ADO=∠DAF，

∴OD//AF，

又∵DF⊥AF，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

(2)證明：由(1)得：DF⊥OD，

∴∠ODF=90°，

∵AB⊥CD，

∴由射影定理得：OD2=OE?OP，

∵OC=OD，

∴OC2=OE?OP；

(3)解：連接DG，如圖2所示：

∵AB⊥CD，

∴DE=CE=4，

∴CD=DE+CE=8，

設OD=OA=x，則OE=8-x，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2，

即(8-x)2+42【解析】(1)連接OD，由等腰三角形的性質得出∠DAB=∠ADO，再由已知條件得出∠ADO=∠DAF，證出OD//AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出結論；

(2)由射影定理得出OD2=OE?OP，由OC=OD，即可得出OC2=OE?OP；

(3)連接DG，由垂徑定理得出DE=CE=4，得出CD=8，由勾股定理求出DG，再由勾股定理求出EG即可．

本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握切線的判定和勾股定理是解決問題的關鍵．

9.【答案】(1)證明：如圖1，連接BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°，AB=2BC，

∵CH⊥AB，

∴∠BCH=30°，

∴BC=2BH，

∴AB=4BH，

∴AH=3BH，

(2)證明：連接BC、DC，

∵∠CAD+∠CBD=180°，∠BOE=∠CAD，

∴∠BOE+∠CBD=180°，

∵∠BOE+∠AOE=180°，

∴∠AOE=∠CBD，

∵BD=BD，

∴∠EAO=∠BCD，

由(1)得AB=2BC，AB=2OA，

∴OA=BC，

∴△OAE≌△BCD，

∴OE=BD；

(3)解：過O作OM⊥AD于D，

∴AM=MD，

∵AO=OB，

∴BD=2OM，

∵∠BOE=∠CAD，∠BOE=∠BAE+∠OEA，

∠CAD=∠BAE+∠BAC，

∴∠OEA=∠BAC=30°，

設OM=x，則ME=3x，

由(2)得：△OAE≌△BCD，

∴AE=CD，

∵AC=AC，

∴∠ADC=∠ABC=60°，

∵CE⊥AD，

∴∠DCE=30°，

∴CD=2DE，AE=CD，

∴AE=2DE，

設AM=MD=y，則AE=y+3x，DE=y-3x，

∴y+3x=2(y-3x)，

y=33x，

在Rt△OAM中，【解析】(1)連接BC，根據(jù)30度所對的直角邊是斜邊的一半可得：AB=2BC，BC=2CH，可得結論；

(2)由(1)得AB=2BC，AB=2OA，得OA=BC，利用ASA證明△OAE≌△BCD，可得結論；

(3)作輔助線，先證明∠OEA=∠BAC=30°，設OM=x，則ME=3x，由△OAE≌△BCD，則∠DCE=30°，設AM=MD=y，則AE=y+3x，DE=y-3x，根據(jù)AE=2DE列等式得：y=33x，根據(jù)勾股定理列方程可得x的值，可得：BD=2OM=27．

本題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質，垂徑定理，勾股定理，三角形全等的性質和判定，在圓中常通過作輔助線作弦心距，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．

10.【答案】解：(1)∵∠POB=90°，∠APB=60°，

∴PB=m，

∴PO=12PB=12m，OB=32m，

又∵PA=2m，

∴OA=32m，

在Rt△OAB中，AB=3m

∴PA2+AB2=PA2

∴∠ABP=90°，

∵PB是⊙P的半徑，

∴直線AB是⊙P的切線．

(2)連接PC，

∵∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，

∴∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD

∴AD=AB=3m，

又∵PB=PC=m，

∴PC//OB

∴∠CPA=∠POB=90°，

∴S△ACD=12AD×CP=12×3m×m=32m2；

(3)作TJ⊥x軸，TK⊥y軸，連接ET、FT，

當m=2時，PO=12m，由(2)知∠CPA=90°，

∴C【解析】(1)根據(jù)切線的判定定理證得∠ABP=90°后即可判定切線；

(2)連接PC，根據(jù)∠APB=90°-∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，得到∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD，從而得到∠CPA=∠POB=90°，利用三角形的面積公式得到S=32m2；

(3)作TJ⊥x軸，TK⊥y軸，連接ET、FT，得到△ETJ≌△FTK，從而得到NH=12NR=12OF和MG=12OE，最后求得MG+NH=12(OE+OF)=12×4=2

本題考查了圓的綜合知識，難度較大，一般為中考題的壓軸題．

11.【答案】(1)證明：連接OF．

∵∠OFB=180°-∠B-∠BOF

=180°-∠B-2∠C

=180°-∠B-∠BED=90°，

∴OF⊥BF，

∴BF是⊙O的切線；

(2)解：∵BF=FC，

∴∠B=∠FCB，

∵∠BED=2∠C，

∴∠BDE+∠B

=3∠C

=90°，

∴∠B=∠C

=30°，

【解析】(1)欲證BF是圓O的切線，只需證明OF⊥BF；

(2)根據(jù)角與角間的數(shù)量關系推知△AEF的等邊三角形．所以易求AD=23.則通過解直角△ADC來求直徑CD的長度．

本題考查了勾股定理、切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可．

12.【答案】證明：連接AD，

∵CA=CD，

∴∠D=∠CAD．

∵∠D=∠CFA，

∴∠CAD=∠CFA．

∵∠CFA=∠B+∠FCB，

∴∠CAF+∠FAD=∠B+∠FCB．

∵CA=CB，

∴∠CAF=∠B，

∴∠FAD=∠FCB，

∵∠FAD=∠FCD，

∴∠FCB=∠FCD，

∴CF平分∠BCD【解析】連接AD，先由CA=CD可求出∠D=∠CAD，再由圓周角定理可求出∠D=∠CFA，由三角形內角與外角的性質可知∠CFA=∠B+∠FCB，進而可求出∠FCB=∠FAD，再由圓周角定理即可求解．

本題考查的是圓周角定理及等腰三角形的性質，三角形內角與外角的性質，比較簡單．

13.【答案】(1)證明：連接OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

又∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切線；

(2)解：過點C作CE⊥AB于點E．

在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=23，

∴BE=12BC=3，CE=3，

∵AB=4+3，

∴AE=AB-BE=4，

∴在Rt△ACE中，AC=AE2+CE2=5，

∴AP=AC=5．【解析】(1)連接