第二章極限習(xí)題及答案：數(shù)列極限

函數(shù)、數(shù)列以及極限的綜合題例已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線. 當(dāng)nwywn+1(n=0,1,2,…)時(shí)，該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b01),設(shè)數(shù)列｛4｝由f(2)=n(n=1,2,…)定義.求：(1)求Xpx2和xn的表達(dá)式；(2)求f(x)的表達(dá)式，并寫(xiě)出其定義域；(3)證明：y=f(x)的圖像與y=x的圖象沒(méi)有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).分析：本題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識(shí)，考查歸納、推理和綜合的能力.(1)由斜率分式求出X、x2,同樣由斜率公式求出關(guān)于％的遞推式，然后求出4,(2)由點(diǎn)斜式求出［%,%#］段的f(x)的表達(dá)式，用極限的方法求出定義域. (3)y=f(x)與y=x沒(méi)有交點(diǎn)，只要b>1時(shí)f(x)>x,或0<bc1時(shí)f(x)<x恒成立，當(dāng)b>1,由于f(x)—x>f(xn)—xn,只要證f(xn)-xn>0.解：(1)依題意f(0)=0,又由f(x1)=1,當(dāng)0EyE1時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b0斜率為b0=1的線段，故由f(x1)-f(0)x1-0=1得x1=1.又由f(x2)=2,當(dāng)1WyW2時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段，故由f(x2)-f(x,)門(mén)口 1,口， 1-(-z)——(-xL2=b,即x2-x1=_得X2=1十一x2-x1 b b記x0=0.由函數(shù)y=f(x)的圖象中第n段線段的斜率為bn+,故得f(xn)-f(xn4)n4 bxn-xn」又f(xn)-n,f(%4)=n-1；1由此知數(shù)列｛4-41｝為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1,公比為一 bn n 1因b,iyxn」)F…1n11_b-(b)-

bn」 b-1b-(1)nb-(1)nJ即4二一J

b-1(2)當(dāng)0MyM1(2)當(dāng)0MyM1時(shí)，從(1)可知y=x,即當(dāng)0MxM1時(shí)，f(x)=x,當(dāng)nE當(dāng)nEyEn+1時(shí)，即當(dāng)xnExExn平時(shí),由(1)可知f(x)=nbn(x-xn)(xnmxm乂口1,n=1,2,3,).為求函數(shù)f(x)的定義域，須對(duì)x為求函數(shù)f(x)的定義域，須對(duì)xn=7n」b-1(n=1,2,3，…)進(jìn)行討論.1nj

b-(-)n—n>：：b_1b-1當(dāng)ba1時(shí)，limxn=lim—n>：：b_1b-10<b<1時(shí)，nT00,xn也趨向于無(wú)窮大.綜上，當(dāng)b>1時(shí)，y=f(x)的定義域?yàn)椋?,—b—)；b-1當(dāng)0<b<1時(shí)，y=f(x)的定義域?yàn)椋?,-).b(3)證法1首先證明當(dāng)b<1,1<x< 時(shí)，恒有f(x)〉x成立.b-1b 對(duì)任,國(guó)的x=(1, ),存在人使xn<xWxn書(shū)，此時(shí)有b-1f(x)-f(xn)=bn(x-xn)x-xn(n一1),f(x)-x f(xn)-xn.「. 1 1又f(xn)^n-1- j=xn，bbf(xn)-xn0,f(x)-xf%)-xn0,即有f(x)Ax成立.其次，當(dāng)b<1,仿上述證明，可知當(dāng)x>1時(shí)，恒有f(x)<x成立.

故函數(shù)f(x)的圖象與y=*的圖象沒(méi)有橫會(huì)標(biāo)大于 1的交點(diǎn).b證法2首先證明當(dāng)b>1,1<x< 時(shí)，恒有f(x)〉x成立.b-1用數(shù)學(xué)歸納法證明：(i)由(1)知當(dāng)n=1時(shí)，在(1,x2］上，y=f(x)=1+b(x—1),所以f(x)-x=(x-1)(b-1)A0成立.(ii)假設(shè)n=k時(shí)在(xk,xk書(shū)］上恒有f(x)>x成立.可得f(xk1)=k1xk1，在(xk書(shū),xk也］上，f(x)=k+1+bk*(x=xk+),所以f(x)—x=k十1十bk書(shū)(x—xk書(shū))-x=(bk書(shū)—1)(x—xk書(shū))+(k+1—xk書(shū))>0也成立.b由(i)與(ii)知，對(duì)所有自然數(shù)n在(xn,xn書(shū)］上都即1<x< 時(shí)，恒有f(x)>x.b-1其次，當(dāng)b<1,仿上述證明，可知當(dāng)x<1時(shí)，恒有f(x)<x成立.說(shuō)明：本題不僅考查直線方程、數(shù)列、函數(shù)、不等式知識(shí)，還著重考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法解決問(wèn)題的能力. 解答本題首先必須具備較強(qiáng)的閱讀理解能力， 圖象想像能力，本題的(2)用求極限的方法求定義域，反映了高考命題“不拘泥于大綱”的原則，不過(guò)從實(shí)踐上看，與現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際有些超前，本題的難度系數(shù)為 0.02,三人平均不足1分，創(chuàng)了近年高考得分低的記錄.命題人設(shè)計(jì)試卷時(shí)為使考生不放棄難題， 將本題放在倒數(shù)第二題的位置. 本題得分低一方面是試題“超前”，另一方面反映考生能力差，現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)備考主要是“大運(yùn)用量”的模仿訓(xùn)練，創(chuàng)新精神提倡不夠，一遇情境新穎的問(wèn)題學(xué)生就毫無(wú)辦法. 以后堅(jiān)持考不等式證明題的方向不會(huì)改變，試題難度會(huì)適度降低.判斷數(shù)列極限命題的真假例判斷下列命題的真假:1(-1)n ?(1)數(shù)列0,1,0,1，…，一("^,…的極限是0和1.(1)數(shù)列2(2)數(shù)列1-121(2)數(shù)列1-121，2,2，1'3, ,(-1)n ，1二,的極限是0.n,n n2(3)數(shù)列 11 1(4)數(shù)列1,,2,…，10000的極限是0.33 3分析：判斷一個(gè)數(shù)列否存在極限，極限是多少，主要依據(jù)極限的定義，即數(shù)列的變化趨勢(shì).解：(1)一個(gè)數(shù)列的極限如果存在，它的極限是唯一的，不能是兩個(gè)或更多個(gè)，是假命題.(2)隨著n無(wú)限增大，數(shù)列J(—1)n*,止：的項(xiàng)無(wú)限趨近于0,因此它的極限是0,是真命題.(3)隨著n無(wú)限增大，數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限趨近于0,因此數(shù)列fsin］：無(wú)限趨近于0,是假命題.(4)有窮數(shù)列無(wú)極限，是假命題.說(shuō)明：(3)中容易認(rèn)為極限不存在.(4)容易錯(cuò)誤認(rèn)為是真命題，盡管數(shù)列隨著(4)容易錯(cuò)誤認(rèn)為是真命題，盡管數(shù)列隨著n的增大而逐漸趨近于0,但由于數(shù)列只有10001項(xiàng)，是有窮數(shù)列，不存在極限.根據(jù)數(shù)列的極限確定參數(shù)的范圍例若lim「一a1=0,則a的取值范圍是( )n，二2aA.a, … 1 1=1B.a<-1A.a, … 1 1=1B.a<-1或a>—C.—1<a<一3 3D.1, /a<一—或aa13n_ II 1—a _、、*分析：由lima=0(a為常數(shù))，知a<1,所以由已知可得 <1,斛這個(gè)不等T l 2a式就可求得a的取值范圍.解：解：所以1—a<2a兩邊平方，得：(1-a) 3 n<4a2 3 n3a2+2a-1>0,(3a-1)(a+1)>0,1所以a<—1或aa1.3答案B

、、，一一…一i，，-1—a L ，… ?,A,,，，一—說(shuō)明：解題過(guò)程容易誤認(rèn)為只有 a=0,得a=1,錯(cuò)選A.解決含有涉及到求字母2a取值范圍的問(wèn)題時(shí)，常常要利用集合的包含關(guān)系，充要條件來(lái)考慮問(wèn)題.分析數(shù)列求極限n個(gè)例 已知數(shù)列1.9,1.99,1.999,…，1.99…99,(1)寫(xiě)出它的通項(xiàng)an；⑵計(jì)算|an—2|；(3)第幾項(xiàng)以后所有的項(xiàng)與 2的差的絕對(duì)值小于0.01?(4)第幾項(xiàng)以后所有的項(xiàng)與 2的差的絕對(duì)值小于0.001?(5)指出這個(gè)數(shù)列的極限.分析：觀察數(shù)列的特點(diǎn)，可以通過(guò)特殊數(shù)歸納總結(jié)規(guī)律，簡(jiǎn)化數(shù)列通項(xiàng)的一般形式，再求極限.解：(1)可將數(shù)列改寫(xiě)為n個(gè)——.(2-0.1),(2-0.01),(2-0.001),…，(2-0.0001),…1于是此數(shù)列的通項(xiàng)an=2-1n.10nTOC\o"1-5"\h\z“、 1 1⑵|an-2|=|(2-菽)-2|=菽?10 101(3)令|an-2|<0.01即「■<0.01,解得n>210n故這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)以后的所有項(xiàng)與2的差的絕對(duì)值均小于 0.01., 1(4)令|an—2|<0.001即F<0.001,解得n>310n故這個(gè)數(shù)列的第3項(xiàng)以后的所有項(xiàng)與2的差的絕對(duì)值均小于 0.001.(5)說(shuō)明:1(5)說(shuō)明:nim《2-10n)=2可以通過(guò)特殊數(shù)幫助理解無(wú)限接近的意義，從而幫助求解極限.求數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和的極限例數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，已知an=5Sn-3(n^N+),求lim+a3+**+a2n=)的值.n—■分析：為求aI+a3+…+a2n4當(dāng)nTm的極限，應(yīng)先求出an的表達(dá)式.從已知條件中給出&與Sn的關(guān)系式，可以利用Sn-S.=an(n至2),設(shè)法求出小的表達(dá)式.11-q1-q11-q1-q_ , 八 3斛：由a1=§及a[=5G—3=5a1—3,可得a1=.4又n之2時(shí)，an=Sn—Sn」，則an=5Sn-3=;anJL-5Sn_1-31兩式相減，付an=an1-5an,an二一-anJ4于是，數(shù)列｛an｝是以3于是，數(shù)列｛an｝是以3為首項(xiàng)，公比為41,,……—的無(wú)窮等比數(shù)歹u.4進(jìn)而可得，數(shù)列a，a3,a5「,a2n山…，是以a1=9為首項(xiàng)，公比為4211 1M_I=的<4) 16無(wú)窮等比數(shù)列，于是可求出極限.lim(a1 a3 a2n」)二-n?,131 1516說(shuō)明：這同1999年全國(guó)高考文史類(lèi)試題.對(duì)于這類(lèi)求極限的題目，必須先用數(shù)列的性質(zhì)求出an的通項(xiàng)公式，或確定數(shù)列的特征再求極限.由于所求數(shù)列是一個(gè)公式窮等比數(shù)列，所以在解題時(shí)，可以不必再求極限，而直接代入無(wú)窮等比數(shù)列求和的公式一a1S=，q<1).1-q等比數(shù)列和的極限q<1的無(wú)已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足條件：&=1,a2=r(rA0),且｛anan由｝是公比為q(q>0)的等比數(shù)列.設(shè)bn=a2nn+a2n(n=1,2,…)，求bn與lim'nT二Sn其中Sn=b1+b2+…+如?解：因?yàn)閍n冏2二an2

anan.1 an=q，所以吐

bna2n1 a2n2a2n4-a2nEn'q+a2nq=q#0.a2n4,a2nb1=1r#0,所以｛bn｝是首項(xiàng)為1+r公比為q的等比數(shù)列，從而bn=(1+r)qn"當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n(1+r),.. 1 .. 1lim一二lim n5(1 r)—=—=lim nSnn"(1r)(1-q)當(dāng)0<q<1時(shí)，Sn=(1'r)(1-qn)1-q當(dāng)q>1時(shí)