數(shù)學(xué)解題方法談：建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑

數(shù)學(xué)解題方法談：建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑數(shù)學(xué)解題方法談：建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑數(shù)學(xué)解題方法談：建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月數(shù)學(xué)解題方法談：建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，使解立體幾何問(wèn)題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一．下面以高考考題為例，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑．途徑一、利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線(xiàn)，可以利用這三條直線(xiàn)直接建系．2006北京卷文科17題為典型例子．途徑二、利用圖形中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒(méi)有明顯交于一點(diǎn)的三條直線(xiàn)，但有一定對(duì)稱(chēng)關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對(duì)稱(chēng)性可建立空間直角坐標(biāo)系．例1已知兩個(gè)正四棱錐P－ABCD與Q－ABCD的高都為2，AB＝4．（1）證明：PQ⊥平面ABCD；（2）求異面直線(xiàn)AQ與PB所成的角；（3）求點(diǎn)P到平面QAD的距離．簡(jiǎn)解：（1）略；（2）由題設(shè)知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由（1），PQ⊥平面ABCD，故可分別以直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1），易得，．所求異面直線(xiàn)所成的角是．（3）由（2）知，點(diǎn)．設(shè)n=（x，y，z）是平面QAD的一個(gè)法向量，則得取x＝1，得．點(diǎn)P到平面QAD的距離．點(diǎn)評(píng)：利用圖形所具備的對(duì)稱(chēng)性，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)與向量的坐標(biāo)應(yīng)容易得出．第（3）問(wèn)也可用“等體積法”求距離．途徑三、利用面面垂直的性質(zhì)建立坐標(biāo)系圖形中有兩個(gè)互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性質(zhì)定理，作出互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線(xiàn)，建立坐標(biāo)系．例2在直三棱柱中，AB＝BC，D、E分別為的中點(diǎn)．（1）證明：ED為異面直線(xiàn)與的公垂線(xiàn)；（2）設(shè)，求二面角的大?。猓海?）如圖2，建立直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，設(shè)則，，則，即．同理．因此ED為異面直線(xiàn)與的公垂線(xiàn)．（2）不妨令，則，．即BC⊥AB，BC⊥，又∵，∴BC⊥面．又，，即EC⊥AE，EC⊥ED，又∵AE∩ED＝E，∴EC⊥面．∴，即得和的夾角為．所以，二面角為．點(diǎn)評(píng)：二面角的求法，傳統(tǒng)方法與向