熱傳導(dǎo)動(dòng)方程課件

第二章熱傳導(dǎo)動(dòng)方程第一節(jié)熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出和定解條件一、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出：給定一空間內(nèi)物體，設(shè)其上的點(diǎn)在時(shí)刻的溫度為。模型：?jiǎn)栴}：研究溫度的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。第二章熱傳導(dǎo)動(dòng)方程第一節(jié)熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出和定解條件1分析：（兩個(gè)物理定律）

1、熱量守恒定律:2、傅里葉（Fourier）熱傳導(dǎo)定律:溫度變化吸收的熱量通過邊界流入的熱量熱源放出的熱量為熱傳導(dǎo)系數(shù)。分析：（兩個(gè)物理定律）1、熱量守恒定律:2、傅里葉（Fou2任取物體內(nèi)一個(gè)由光滑閉曲面所圍成的區(qū)域，研究物體在該區(qū)域內(nèi)熱量變化規(guī)律。熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)：熱量守恒定律區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的溫度從時(shí)刻的溫度改變?yōu)闀r(shí)刻的溫度所吸收（或放出）的熱量，應(yīng)等于從時(shí)刻到時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi)通過曲面流入（或流出）內(nèi)的熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即

內(nèi)溫度變化所需要的熱量=通過曲面流入內(nèi)的熱量+熱源提供的熱量下面分別計(jì)算這些熱量任取物體內(nèi)一個(gè)由光滑閉曲面所圍成的區(qū)域，研3

（1）內(nèi)溫度變化所需要的能量那么包含點(diǎn)的體積微元的溫度從變?yōu)樗枰臒崃繛樵O(shè)物體的比熱（單位質(zhì)量的物體溫度改變所需要的熱量）為密度為

整個(gè)內(nèi)溫度變化所需要的能量（1）內(nèi)溫度變化所需要的能量那么包含點(diǎn)4

（2）通過曲面進(jìn)入內(nèi)的熱量由傅里葉熱傳導(dǎo)定律，從到這段時(shí)間內(nèi)通過進(jìn)入內(nèi)的熱量為由高斯公式知（2）通過曲面進(jìn)入內(nèi)的熱量由傅里葉熱5

（3）熱源提供的熱量用表示熱源強(qiáng)度，即單位時(shí)間內(nèi)從單位體積內(nèi)放出的熱量，則從到這段時(shí)間內(nèi)內(nèi)熱源所提供的熱量為由熱量守恒定律得：由及的任意性知（3）熱源提供的熱量用6三維無熱源熱傳導(dǎo)方程：三維有熱源的熱傳導(dǎo)方程：（均勻且各向同性物體，即都為常數(shù)的物體）其中稱為非齊次項(xiàng)（自由項(xiàng)）。通常稱（1.5）為非齊次的熱傳導(dǎo)方程，而稱（1.6）為齊次熱傳導(dǎo)方程。三維無熱源熱傳導(dǎo)方程：三維有熱源的熱傳導(dǎo)方程：（均勻且各向7二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：邊界條件：1、第一邊界條件（

Dirichlet

邊界條件）特別地：時(shí)，物體表面保持恒溫。二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：邊界條件：1、第82、第二邊界條件（Neumann

邊界條件）特別地：時(shí)，表示物體絕熱。3、第三邊界條件(D-N混合邊界條件

)其中：

表示沿邊界上的單位外法線方向的方向?qū)?shù)注：2、第二邊界條件（Neumann邊界條件）特別地：9注意第三邊界條件的推導(dǎo)：研究物體與周圍介質(zhì)在物體表面上的熱交換問題把一個(gè)溫度變化規(guī)律為的物體放入空氣介質(zhì)中，已知與物體表面接觸處的空氣介質(zhì)溫度為，它與物體表面的溫度并不相同。這給出了第三邊界條件的提法。熱傳導(dǎo)試驗(yàn)定律或牛頓定律從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫差成正比：其中比例常數(shù)稱為熱交換系數(shù)流過物體表面的流量可以從物質(zhì)內(nèi)部（傅里葉定律）和外部介質(zhì)（牛頓定律）兩個(gè)方面來確定：或即得到（1.10）：注意第三邊界條件的推導(dǎo)：研究物體與周圍介質(zhì)在物體表面上的熱交10三、定解問題定義1

在區(qū)域上，由方程（1.5）、初始條件（1.7）組成的定解問題稱為初值問題或柯西問題。例如三維熱傳導(dǎo)方程的初值問題為：定義2

在區(qū)域上，由方程（1.5）和初始條件（1.7）和邊界條件（1.9）、（1.10）、（1.11）中的其中之一組成的定解問題稱為初邊值問題或混合問題。例如三維熱傳導(dǎo)方程的第一初邊值問題為：三、定解問題定義1在區(qū)域上，由方程（1.5）、初始條件（112、上述界條件形式上與波動(dòng)方程的邊界條件一樣，但表示的物理意義不一樣；3、熱傳導(dǎo)方程的初始條件只有一個(gè)，而波動(dòng)方程有兩個(gè)初始條件。1、方程（1.6）不僅僅描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，也可以刻畫分子、氣體的擴(kuò)散等，也稱擴(kuò)散方程；注4、除了三維熱傳導(dǎo)方程外，物理上，溫度的分布在同一個(gè)界面上是相同的，可得一維熱傳導(dǎo)方程：而對(duì)于薄片的熱傳導(dǎo)，可得二維熱傳導(dǎo)方程：2、上述界條件形式上與波動(dòng)方程的邊界條件一樣，但表示的物理意12第二節(jié)初邊值問題的分離變量法考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題不失一般性，考慮齊次邊界條件的初邊值問題第二節(jié)初邊值問題的分離變量法考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問13和上述定解問題可分解為下面兩個(gè)混合問題：則（II）的解為:和上述定解問題可分解為下面兩個(gè)混合問題：則（II）的解為:14問題（I）的通解形式為：其中由下面給出：考慮齊次方程、齊次邊界條件的混合問題（I）：?jiǎn)栴}（I）的通解形式為：其中由下面給出：考慮齊15問題（II）的解：其中非齊次方程混合問題的解：?jiǎn)栴}（II）的解：其中非齊次方程混合問題的解：16定理2.1：則由公式(2.14)給出的級(jí)數(shù)是混合問題(2.1)-(2.4)的古典解。設(shè)齊次方程、齊次邊界條件的混合問題的解為：?

當(dāng)為有界函數(shù)時(shí)，(2.14)

式給出的形式解關(guān)于以及均是任意次連續(xù)可導(dǎo)的，且滿足方程(2.1)和邊界條件

(2.3)-

(2.4)

。定理2.1：則由公式(2.14)給出的級(jí)數(shù)17分離變量法的解題步驟：1、令代入方程和邊界條件，確定所滿足的常微分方程的特征值問題以及所滿足的方程；2、解常微分方程的特征值問題，求出全部特征值和特征函數(shù)，并求出相應(yīng)的表達(dá)式；3、將所有變量分離形式的解疊加起來，利用初值定出所有待定常數(shù)；4、證明形式解是真解對(duì)級(jí)數(shù)解的收斂性進(jìn)行討論。分離變量法的解題步驟：1、令18注：1、在使用變量分離法時(shí)，邊界條件的齊次化是至關(guān)重要的，關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)；2、對(duì)于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將其轉(zhuǎn)化為齊次化方程來求解，但也可以直接求解。（1）、將變量分離形式代入相應(yīng)的齊次方程和其次邊界條件，得到相應(yīng)的特征值問題，并求出全部特征值和特征函數(shù)

；（2）、將，方程的非齊次項(xiàng)，以及初值都按照特征函數(shù)進(jìn)行

Fourier

展開；————————————————————————注：2、對(duì)于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將其轉(zhuǎn)化為齊次19其中:其中:20（3）、解初值問題解為：非齊次方程混合問題的解：（3）、解初值問題解為：非齊次方程混合問題的解：21第三節(jié)初值問題—Cauchy

問題考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題一、傅里葉（Fourier）變換及其基本性質(zhì)傅里葉變換:傅里葉逆變換:記為:記為:第三節(jié)初值問題—Cauchy問題考慮一維熱傳導(dǎo)方程22定理3.1：（Fourier積分定理）若在上絕對(duì)可積且連續(xù)可微，則有:簡(jiǎn)記為:公式（3.5）稱為Fourier反演公式。定理3.1：（Fourier積分定理）若23性質(zhì)1、（線性性質(zhì)）性質(zhì)2、（微商性質(zhì)）性質(zhì)3、（乘多項(xiàng)式性質(zhì)）性質(zhì)1、（線性性質(zhì)）性質(zhì)2、（微商性質(zhì)）性質(zhì)24性質(zhì)4、（卷積性質(zhì)）性質(zhì)5、（乘積性質(zhì)）性質(zhì)4、（卷積性質(zhì)）性質(zhì)5、（乘積性質(zhì)）251)、（位移性質(zhì)）2)、（相似性質(zhì)）3)、（對(duì)稱性質(zhì)）補(bǔ)充性質(zhì)：1)、（位移性質(zhì)）2)、（相似性質(zhì)）3)、（對(duì)稱性26例3、設(shè)

例2、設(shè)

例1、設(shè)

例3、設(shè)例2、設(shè)例1、設(shè)27二、熱傳導(dǎo)方程柯西問題的解考慮齊次熱傳導(dǎo)方程的初值問題解為:二、熱傳導(dǎo)方程柯西問題的解考慮齊次熱傳導(dǎo)方程的初值問題解為:28對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的齊次初始條件問題解為:非齊次熱傳導(dǎo)方程的非齊次初始條件問題的解為：對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的齊次初始條件問題解為:非齊次熱傳導(dǎo)方程的29定理3.2：函數(shù)是柯西問題(3.14)-(3.15)的有界解。設(shè)且有界，則由(3.17)

式給出的一維齊次弦振動(dòng)方程的初值問題解為:定理3.2：函數(shù)是柯西問題(3.14)-(30知識(shí)回顧知識(shí)回顧31例：試求下述定解問題的有界解解為:例：試求下述定解問題的有界解解為:32第四節(jié)極值原理、定解問題解考慮一維非齊次熱傳導(dǎo)方程的唯一性與穩(wěn)定性一、極值原理定理4.1：在上的最大值必在邊界上達(dá)到，即設(shè)在矩形上連續(xù)，并且在內(nèi)部滿足方程(4.1)。又設(shè)，則表示矩形的兩個(gè)側(cè)邊和底邊所組成的邊界曲線，稱為拋物邊界第四節(jié)極值原理、定解問題解考慮一維非齊次熱傳導(dǎo)方程的唯一33必在邊界上達(dá)到，即設(shè)在矩形上連續(xù)，且滿足方程(4.1)。

又設(shè)，則在上的最小值推論4.1：設(shè)在矩形上連續(xù)，且滿足推論4.2：則成立必在邊界上達(dá)到，即設(shè)在矩形34例（最大值原理的應(yīng)用）設(shè)滿足求在的最大值和最小值。解：例（最大值原理的應(yīng)用）求在的最大值和最小值35考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題二、初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性定理4.2：初邊值問題（4.3）在區(qū)域上的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于拋物邊界上所給的初始條件和邊界條件。注：若解在方程中出現(xiàn)的所有偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則稱這種解為古典解?？紤]一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題二、初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定36考慮一維熱傳導(dǎo)方程的混合初邊值問題定理4.3：設(shè)是初邊值問題（4.4）的古典解，則正常數(shù)，在上滿足考慮一維熱傳導(dǎo)方程的混合初邊值問題定理4.3：設(shè)37如果在上，有那么由定理4.3可得如果在上，有那么由定理4.3可得38推論4.3：初邊值問題（4.4）在區(qū)域上的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于邊值上所給的初始條件和邊界條件。對(duì)于混合初邊值問題定理4.3

仍然成立。推論4.3：初邊值問題（4.4）在區(qū)域上的古39考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題三、初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性定理4.5：初值問題（4.10）在有界函數(shù)類中的古典解是唯一的，而且連續(xù)依賴于所給的初始條件?？紤]一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題三、初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性40推論4.5：（比較原理）則在

上有推論4.4：（解的最大模估計(jì)）設(shè)是初值問題（4.11）的古典解，則推論4.5：（比較原理）則在上有推論4.4：（41第五節(jié)解的漸近性態(tài)考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題一、初邊值問題解的漸近性態(tài)定理5.1：則，問題(5.1)的唯一古典解指數(shù)衰減趨于零，設(shè)初始函數(shù)第五節(jié)解的漸近性態(tài)考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題一、初邊42證明：由極值原理和分離變量法知，（5.1）的唯一古典解為其中由下面給出：由（5.2）可知，對(duì)一切，有由的定義知當(dāng)時(shí)，，故有證明：由極值原理和分離變量法知，（5.1）的唯一古典解為其中43另一方面，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切成立時(shí)，對(duì)于于是當(dāng)有即另一方面，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切44考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題二、Cauchy

問題解的漸近性態(tài)定理5.2：柯西問題(5.7)的唯一古典解具有如下性質(zhì)，設(shè)初始函數(shù)是有界連續(xù)函數(shù)且則考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題二、Cauchy問題解的漸近性45第二章熱傳導(dǎo)動(dòng)方程第一節(jié)熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出和定解條件一、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出：給定一空間內(nèi)物體，設(shè)其上的點(diǎn)在時(shí)刻的溫度為。模型：?jiǎn)栴}：研究溫度的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。第二章熱傳導(dǎo)動(dòng)方程第一節(jié)熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出和定解條件46分析：（兩個(gè)物理定律）

1、熱量守恒定律:2、傅里葉（Fourier）熱傳導(dǎo)定律:溫度變化吸收的熱量通過邊界流入的熱量熱源放出的熱量為熱傳導(dǎo)系數(shù)。分析：（兩個(gè)物理定律）1、熱量守恒定律:2、傅里葉（Fou47任取物體內(nèi)一個(gè)由光滑閉曲面所圍成的區(qū)域，研究物體在該區(qū)域內(nèi)熱量變化規(guī)律。熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)：熱量守恒定律區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的溫度從時(shí)刻的溫度改變?yōu)闀r(shí)刻的溫度所吸收（或放出）的熱量，應(yīng)等于從時(shí)刻到時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi)通過曲面流入（或流出）內(nèi)的熱量和熱源提供（或吸收）的熱量之和。即

內(nèi)溫度變化所需要的熱量=通過曲面流入內(nèi)的熱量+熱源提供的熱量下面分別計(jì)算這些熱量任取物體內(nèi)一個(gè)由光滑閉曲面所圍成的區(qū)域，研48

（1）內(nèi)溫度變化所需要的能量那么包含點(diǎn)的體積微元的溫度從變?yōu)樗枰臒崃繛樵O(shè)物體的比熱（單位質(zhì)量的物體溫度改變所需要的熱量）為密度為

整個(gè)內(nèi)溫度變化所需要的能量（1）內(nèi)溫度變化所需要的能量那么包含點(diǎn)49

（2）通過曲面進(jìn)入內(nèi)的熱量由傅里葉熱傳導(dǎo)定律，從到這段時(shí)間內(nèi)通過進(jìn)入內(nèi)的熱量為由高斯公式知（2）通過曲面進(jìn)入內(nèi)的熱量由傅里葉熱50

（3）熱源提供的熱量用表示熱源強(qiáng)度，即單位時(shí)間內(nèi)從單位體積內(nèi)放出的熱量，則從到這段時(shí)間內(nèi)內(nèi)熱源所提供的熱量為由熱量守恒定律得：由及的任意性知（3）熱源提供的熱量用51三維無熱源熱傳導(dǎo)方程：三維有熱源的熱傳導(dǎo)方程：（均勻且各向同性物體，即都為常數(shù)的物體）其中稱為非齊次項(xiàng)（自由項(xiàng)）。通常稱（1.5）為非齊次的熱傳導(dǎo)方程，而稱（1.6）為齊次熱傳導(dǎo)方程。三維無熱源熱傳導(dǎo)方程：三維有熱源的熱傳導(dǎo)方程：（均勻且各向52二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：邊界條件：1、第一邊界條件（

Dirichlet

邊界條件）特別地：時(shí)，物體表面保持恒溫。二、定解條件（初始條件和邊界條件）初始條件：邊界條件：1、第532、第二邊界條件（Neumann

邊界條件）特別地：時(shí)，表示物體絕熱。3、第三邊界條件(D-N混合邊界條件

)其中：

表示沿邊界上的單位外法線方向的方向?qū)?shù)注：2、第二邊界條件（Neumann邊界條件）特別地：54注意第三邊界條件的推導(dǎo)：研究物體與周圍介質(zhì)在物體表面上的熱交換問題把一個(gè)溫度變化規(guī)律為的物體放入空氣介質(zhì)中，已知與物體表面接觸處的空氣介質(zhì)溫度為，它與物體表面的溫度并不相同。這給出了第三邊界條件的提法。熱傳導(dǎo)試驗(yàn)定律或牛頓定律從物體流到介質(zhì)中的熱量和兩者的溫差成正比：其中比例常數(shù)稱為熱交換系數(shù)流過物體表面的流量可以從物質(zhì)內(nèi)部（傅里葉定律）和外部介質(zhì)（牛頓定律）兩個(gè)方面來確定：或即得到（1.10）：注意第三邊界條件的推導(dǎo)：研究物體與周圍介質(zhì)在物體表面上的熱交55三、定解問題定義1

在區(qū)域上，由方程（1.5）、初始條件（1.7）組成的定解問題稱為初值問題或柯西問題。例如三維熱傳導(dǎo)方程的初值問題為：定義2

在區(qū)域上，由方程（1.5）和初始條件（1.7）和邊界條件（1.9）、（1.10）、（1.11）中的其中之一組成的定解問題稱為初邊值問題或混合問題。例如三維熱傳導(dǎo)方程的第一初邊值問題為：三、定解問題定義1在區(qū)域上，由方程（1.5）、初始條件（562、上述界條件形式上與波動(dòng)方程的邊界條件一樣，但表示的物理意義不一樣；3、熱傳導(dǎo)方程的初始條件只有一個(gè)，而波動(dòng)方程有兩個(gè)初始條件。1、方程（1.6）不僅僅描述熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，也可以刻畫分子、氣體的擴(kuò)散等，也稱擴(kuò)散方程；注4、除了三維熱傳導(dǎo)方程外，物理上，溫度的分布在同一個(gè)界面上是相同的，可得一維熱傳導(dǎo)方程：而對(duì)于薄片的熱傳導(dǎo)，可得二維熱傳導(dǎo)方程：2、上述界條件形式上與波動(dòng)方程的邊界條件一樣，但表示的物理意57第二節(jié)初邊值問題的分離變量法考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題不失一般性，考慮齊次邊界條件的初邊值問題第二節(jié)初邊值問題的分離變量法考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初邊值問58和上述定解問題可分解為下面兩個(gè)混合問題：則（II）的解為:和上述定解問題可分解為下面兩個(gè)混合問題：則（II）的解為:59問題（I）的通解形式為：其中由下面給出：考慮齊次方程、齊次邊界條件的混合問題（I）：?jiǎn)栴}（I）的通解形式為：其中由下面給出：考慮齊60問題（II）的解：其中非齊次方程混合問題的解：?jiǎn)栴}（II）的解：其中非齊次方程混合問題的解：61定理2.1：則由公式(2.14)給出的級(jí)數(shù)是混合問題(2.1)-(2.4)的古典解。設(shè)齊次方程、齊次邊界條件的混合問題的解為：?

當(dāng)為有界函數(shù)時(shí)，(2.14)

式給出的形式解關(guān)于以及均是任意次連續(xù)可導(dǎo)的，且滿足方程(2.1)和邊界條件

(2.3)-

(2.4)

。定理2.1：則由公式(2.14)給出的級(jí)數(shù)62分離變量法的解題步驟：1、令代入方程和邊界條件，確定所滿足的常微分方程的特征值問題以及所滿足的方程；2、解常微分方程的特征值問題，求出全部特征值和特征函數(shù)，并求出相應(yīng)的表達(dá)式；3、將所有變量分離形式的解疊加起來，利用初值定出所有待定常數(shù)；4、證明形式解是真解對(duì)級(jí)數(shù)解的收斂性進(jìn)行討論。分離變量法的解題步驟：1、令63注：1、在使用變量分離法時(shí)，邊界條件的齊次化是至關(guān)重要的，關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)；2、對(duì)于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將其轉(zhuǎn)化為齊次化方程來求解，但也可以直接求解。（1）、將變量分離形式代入相應(yīng)的齊次方程和其次邊界條件，得到相應(yīng)的特征值問題，并求出全部特征值和特征函數(shù)

；（2）、將，方程的非齊次項(xiàng)，以及初值都按照特征函數(shù)進(jìn)行

Fourier

展開；————————————————————————注：2、對(duì)于非齊次方程，我們通常采用齊次化原理將其轉(zhuǎn)化為齊次64其中:其中:65（3）、解初值問題解為：非齊次方程混合問題的解：（3）、解初值問題解為：非齊次方程混合問題的解：66第三節(jié)初值問題—Cauchy

問題考慮一維熱傳導(dǎo)方程的初值問題一、傅里葉（Fourier）變換及其基本性質(zhì)傅里葉變換:傅里葉逆變換:記為:記為:第三節(jié)初值問題—Cauchy問題考慮一維熱傳導(dǎo)方程67定理3.1：（Fourier積分定理）若在上絕對(duì)可積且連續(xù)可微，則有:簡(jiǎn)記為:公式（3.5）稱為Fourier反演公式。定理3.1：（Fourier積分定理）若68性質(zhì)1、（線性性質(zhì)）性質(zhì)2、（微商性質(zhì)）性質(zhì)3、（乘多項(xiàng)式性質(zhì)）性質(zhì)1、（線性性質(zhì)）性質(zhì)2、（微商性質(zhì)）性質(zhì)69性質(zhì)4、（卷積性質(zhì)）性質(zhì)5、（乘積性質(zhì)）性質(zhì)4、（卷積性質(zhì)）性質(zhì)5、（乘積性質(zhì)）701)、（位移性質(zhì)）2)、（相似性質(zhì)）3)、（對(duì)稱性質(zhì)）補(bǔ)充性質(zhì)：1)、（位移性質(zhì)）2)、（相似性質(zhì)）3)、（對(duì)稱性71例3、設(shè)

例2、設(shè)

例1、設(shè)

例3、設(shè)例2、設(shè)例1、設(shè)72二、熱傳導(dǎo)方程柯西問題的解考慮齊次熱傳導(dǎo)方程的初值問題解為:二、熱傳導(dǎo)方程柯西問題的解考慮齊次熱傳導(dǎo)方程的初值問題解為:73對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的齊次初始條件問題解為:非齊次熱傳導(dǎo)方程的非齊次初始條件問題的解為：對(duì)非齊次熱傳導(dǎo)方程的齊次初始條件問題解為:非齊次熱傳導(dǎo)方程的74定理3.2：函數(shù)是柯西問題(3.14)-(3.15)的有界解。設(shè)且有界，則由(3.17)

式給出的一維齊次弦振動(dòng)方程的初值問題解為:定理3.2：函數(shù)是柯西問題(3.14)-(75知識(shí)回顧知識(shí)回顧76例：試求下述定解問題的有界解解為:例：試求下述定解問題的有界解解為:77第四節(jié)極值原理、定解問題解考慮一維非齊次熱傳導(dǎo)方程的唯一性與穩(wěn)定性一、極值原理定理4.1：在上的最大值必在邊界上達(dá)到，即設(shè)在矩形上連續(xù)，并且在內(nèi)部滿足方程(4.1)。又設(shè)，則表示矩形的兩個(gè)側(cè)邊和底邊所組成的邊界曲線，稱為拋物邊界第四節(jié)極值原理、定解問題解考慮一維非齊次熱傳導(dǎo)方程的唯一78必在邊界上達(dá)到，即設(shè)在矩形上連續(xù)，且滿足方程(4.1)。

又設(shè)，則在上的最小值推論4.1：設(shè)在矩形上連續(xù)，且滿足推論4.2：則成立必在邊界上達(dá)到，即設(shè)在矩形79例（最大值原理的應(yīng)用）設(shè)滿足求在的最大值和最小值。解：例