直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算課件

第二節(jié)二重積分的計(jì)算法一問(wèn)題的提出二利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分三利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分四小結(jié)與思考判斷題(Calculationofdoubleintegral)第二節(jié)二重積分的計(jì)算法一問(wèn)題的提出二利用直角坐標(biāo)計(jì)1按定義:二重積分是一個(gè)特定乘積和式極限然而，用定義來(lái)計(jì)算二重積分，一般情況下是非常麻煩的.那么，有沒(méi)有簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:一問(wèn)題的提出按定義:二重積分是一個(gè)特定乘積和式極限然而2二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此,先介紹：

1、積分域D:二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分僅與3如果積分區(qū)域?yàn)椋海?）、X-型域［X－型］放大圖象

X型區(qū)域的特點(diǎn)：a、平行于y軸且穿過(guò)區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)；b、如果積分區(qū)域?yàn)椋海?）、X-型域［X－型］放大圖象X型區(qū)4（2）、Y-型域：［Y－型］放大

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：a、穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。b、（2）、Y-型域：［Y－型］放大Y型區(qū)域的特點(diǎn)：a、穿過(guò)52、X-型域下二重積分的計(jì)算:由幾何意義，若?(x,y)≥0，則此為平行截面面積為已知的立體的體積.截面為曲邊梯形面積為：2、X-型域下二重積分的計(jì)算:此為平行截面面6yZyZ7注:若?(x,y)≤0仍然適用。注意:1）上式說(shuō)明:二重積分可化為二次定積分計(jì)算;2）積分次序:X-型域先Y后X;3）積分限確定法:

域中一線插,內(nèi)限定上下，域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：注:若?(x,y)≤0仍然適用。注意:1）上83、Y-型域下二重積分的計(jì)算：同理：［Y－型域下］3、Y-型域下二重積分的計(jì)算：［Y－型域下］9

1）積分次序:Y-型域,先x后Y;

2）積分限確定法:

“域中一線插”,須用平行于X軸的射線穿插區(qū)域。注意:1）積分次序:Y-型域,先x后Y;10

注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準(zhǔn)確。4、利用直系計(jì)算二重積分的步驟（1）畫(huà)出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據(jù)積分域類型,確定積分次序；（4）計(jì)算兩次定積分，即可得出結(jié)果.注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，關(guān)鍵在于正確確定積11解：［X－型］解：［X－型］12［Y－型］［Y－型］13例2解：X-型例2解：X-型14例3解：（如圖）將D作Y型-12例3解：（如圖）將D作Y型-12155、若區(qū)域?yàn)榻M合域，如圖則：06、如果積分區(qū)域既是X－型，又是[Y－型],則有5、若區(qū)域?yàn)榻M合域，如圖則：06、如果積分區(qū)域既是X－型16解：積分區(qū)域如圖xyo231原式解：積分區(qū)域如圖xyo231原式17解：原式解：原式18例6解：先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖例6解：先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖19縮小圖象［X－型］7小結(jié)縮小圖象［X－型］7小結(jié)20返回［Y－型］返回［Y－型］21三利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無(wú)法計(jì)算時(shí)，我們可以在極坐標(biāo)系下考慮其計(jì)算問(wèn)題。三利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分當(dāng)一些二重積221直系與極系下的二重積分關(guān)系（如圖）（1）面積元素變換為極系下：（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：1直系與極系下的二重積分關(guān)系（如圖）（1）面積元素變換為23（3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行“三換”：（3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下242極系下的二重積分化為二次積分用兩條過(guò)極點(diǎn)的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限任意作過(guò)極點(diǎn)的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進(jìn)點(diǎn)，穿出點(diǎn)的極徑得到其上下限。將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來(lái)計(jì)算。2極系下的二重積分化為二次積分用兩條過(guò)極點(diǎn)的射線夾平面區(qū)25（1）區(qū)域如圖1具體地（如圖）圖1（1）區(qū)域如圖1具體地（如圖）圖126（2）區(qū)域如圖2圖2（2）區(qū)域如圖2圖227（3）區(qū)域如圖3圖3（3）區(qū)域如圖3圖328（4）區(qū)域如圖4圖4（4）區(qū)域如圖4圖429解解30解解31直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算課件32直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算課件33解解34直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算課件35解在極系下：（如圖）解在極系下：（如圖）36o2aDo2aD37解解38計(jì)算二重積分應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：四小結(jié)先要考慮積分區(qū)域的形狀，看其邊界曲線用直系方程表示簡(jiǎn)單還是極系方程表示簡(jiǎn)單，其次要看被積函數(shù)的特點(diǎn)，看使用極坐標(biāo)后函數(shù)表達(dá)式能否簡(jiǎn)化并易于積分。首先，選擇坐標(biāo)系。其次，化二重積分為二次積分。根據(jù)區(qū)域形狀和類型確定積分次序，從而穿線確定內(nèi)限，夾線確定外限。最后，計(jì)算二次積分。由內(nèi)向外逐層計(jì)算，內(nèi)層積分計(jì)算時(shí)，外層積分變量看做常量。計(jì)算二重積分應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：四小結(jié)39思考判斷題如果一個(gè)二重積分的積分區(qū)域既是型又是型，那么一定能按思考判斷題如果一個(gè)二重積分的積分區(qū)域既是型又是型，那么一定40第二節(jié)二重積分的計(jì)算法一問(wèn)題的提出二利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分三利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分四小結(jié)與思考判斷題(Calculationofdoubleintegral)第二節(jié)二重積分的計(jì)算法一問(wèn)題的提出二利用直角坐標(biāo)計(jì)41按定義:二重積分是一個(gè)特定乘積和式極限然而，用定義來(lái)計(jì)算二重積分，一般情況下是非常麻煩的.那么，有沒(méi)有簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:一問(wèn)題的提出按定義:二重積分是一個(gè)特定乘積和式極限然而42二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分

二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此,先介紹：

1、積分域D:二、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分僅與43如果積分區(qū)域?yàn)椋海?）、X-型域［X－型］放大圖象

X型區(qū)域的特點(diǎn)：a、平行于y軸且穿過(guò)區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)；b、如果積分區(qū)域?yàn)椋海?）、X-型域［X－型］放大圖象X型區(qū)44（2）、Y-型域：［Y－型］放大

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：a、穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。b、（2）、Y-型域：［Y－型］放大Y型區(qū)域的特點(diǎn)：a、穿過(guò)452、X-型域下二重積分的計(jì)算:由幾何意義，若?(x,y)≥0，則此為平行截面面積為已知的立體的體積.截面為曲邊梯形面積為：2、X-型域下二重積分的計(jì)算:此為平行截面面46yZyZ47注:若?(x,y)≤0仍然適用。注意:1）上式說(shuō)明:二重積分可化為二次定積分計(jì)算;2）積分次序:X-型域先Y后X;3）積分限確定法:

域中一線插,內(nèi)限定上下，域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：注:若?(x,y)≤0仍然適用。注意:1）上483、Y-型域下二重積分的計(jì)算：同理：［Y－型域下］3、Y-型域下二重積分的計(jì)算：［Y－型域下］49

1）積分次序:Y-型域,先x后Y;

2）積分限確定法:

“域中一線插”,須用平行于X軸的射線穿插區(qū)域。注意:1）積分次序:Y-型域,先x后Y;50

注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準(zhǔn)確。4、利用直系計(jì)算二重積分的步驟（1）畫(huà)出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據(jù)積分域類型,確定積分次序；（4）計(jì)算兩次定積分，即可得出結(jié)果.注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，關(guān)鍵在于正確確定積51解：［X－型］解：［X－型］52［Y－型］［Y－型］53例2解：X-型例2解：X-型54例3解：（如圖）將D作Y型-12例3解：（如圖）將D作Y型-12555、若區(qū)域?yàn)榻M合域，如圖則：06、如果積分區(qū)域既是X－型，又是[Y－型],則有5、若區(qū)域?yàn)榻M合域，如圖則：06、如果積分區(qū)域既是X－型56解：積分區(qū)域如圖xyo231原式解：積分區(qū)域如圖xyo231原式57解：原式解：原式58例6解：先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖例6解：先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖59縮小圖象［X－型］7小結(jié)縮小圖象［X－型］7小結(jié)60返回［Y－型］返回［Y－型］61三利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無(wú)法計(jì)算時(shí)，我們可以在極坐標(biāo)系下考慮其計(jì)算問(wèn)題。三利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分當(dāng)一些二重積621直系與極系下的二重積分關(guān)系（如圖）（1）面積元素變換為極系下：（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：1直系與極系下的二重積分關(guān)系（如圖）（1）面積元素變換為63（3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行“三換”：（3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下642極系下的二重積分化為二次積分用兩條過(guò)極點(diǎn)的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限任意作過(guò)極點(diǎn)的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進(jìn)點(diǎn)，穿出點(diǎn)的極徑得到其上下限。將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來(lái)計(jì)算。2極系下的二重積分化為二次積分用兩條過(guò)極點(diǎn)的射線夾平面區(qū)65（1）區(qū)域如圖1具體地（如圖）圖1（1）區(qū)域如圖1具體地（如圖）圖166（2）區(qū)域如圖2圖2（2）區(qū)域如圖2圖267（3）區(qū)域如圖3圖3（3）區(qū)域如圖3圖368（4）區(qū)域如圖4圖4（4）區(qū)域如圖4圖469解解70解解71直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算課件72直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算課件73解解74直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算課件75解在極系下：（如圖）解在極系下：（如圖）76o2aDo2aD77解解78計(jì)算二重積分應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：四小結(jié)先要考慮積分區(qū)域的形狀，看其邊界曲線用直系方程表示簡(jiǎn)單還是極系方程表示簡(jiǎn)單，其次要看被積函數(shù)的特點(diǎn)，看使用極坐標(biāo)后函數(shù)表達(dá)式能否簡(jiǎn)化并易于積分。首先，選擇坐標(biāo)系。其次，化二重積分為二次積分。