描述函數(shù)法課件

§7-2描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非線(xiàn)性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖中Ｇ(s)為線(xiàn)性部分的傳遞函數(shù)，N為非線(xiàn)性元件。(1)設(shè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)N的輸出量只和輸入量有關(guān)，即y=f(x)。設(shè)輸入為：非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸出為：利用富氏級(jí)數(shù)展開(kāi)，有式中：Y0是輸出信號(hào)中的直流分量；Bk和Ck是輸出信號(hào)中各次諧波分量的幅值，在一般情況下是輸入信號(hào)幅值A(chǔ)和頻率ω的函數(shù)。（1）（2）（3）§7-2描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非1(2)設(shè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸出是對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)，則式(3)中的偶次項(xiàng)等于零，上式可簡(jiǎn)化成：（4）上式表明，非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸出量含有高次諧波。(3)設(shè)系統(tǒng)的線(xiàn)性部分具有低通濾波器特性。于是對(duì)整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，高次諧波可以忽略。這樣式(4)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為式中，或?qū)懗筛鶕?jù)富氏級(jí)數(shù)的系數(shù)項(xiàng)公式，有

（6）（8）（7）(2)設(shè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸出是對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)，則式(3)中的偶次項(xiàng)2式(6)可寫(xiě)成矢量形式:

輸入正弦函數(shù)也寫(xiě)成矢量形式，有令（9）（10）

將上式寫(xiě)成復(fù)數(shù)的形式，有式中（11）（12）式(11)為該非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)式(6)可寫(xiě)成矢量形式:輸入正弦函數(shù)也寫(xiě)成矢量形式，3描述函數(shù)的定義非線(xiàn)性環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)輸入下，輸出中的一次諧波(基波)分量和輸入正弦波的矢量比(寫(xiě)成復(fù)數(shù)的形式)來(lái)描述該非線(xiàn)性的特征，這個(gè)比值稱(chēng)為該非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。這相當(dāng)于用一個(gè)等效的線(xiàn)性環(huán)節(jié)代替了原來(lái)的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，而等效線(xiàn)性環(huán)節(jié)的幅相特性函數(shù)N(A)，是輸入函數(shù)x(t)＝Asinωt幅值A(chǔ)的函數(shù)，等效的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。由于描述函數(shù)是非線(xiàn)性元件的等效傳遞特性，它是在只考慮基波分量之后得到的結(jié)果，所以這種近似處理方法又稱(chēng)為“諧波線(xiàn)性化法”。當(dāng)非線(xiàn)性元件用描述函數(shù)表示后，就可以用線(xiàn)性理論中的頻率法來(lái)研究非線(xiàn)性系統(tǒng)的基本特性。描述函數(shù)的定義非線(xiàn)性環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)輸入下，輸出中的一4二、典型非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)1、飽和非線(xiàn)性的描述函數(shù)飽和非線(xiàn)性如圖所示。二、典型非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)1、飽和非線(xiàn)性的描述函數(shù)飽和非線(xiàn)5飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于y(t)為單值奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，故有，，其描述函數(shù)為可見(jiàn)，飽和非線(xiàn)性的描述函數(shù)虛部為零，只有一個(gè)實(shí)部。基準(zhǔn)描述函數(shù)（）飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于y(t)為單值奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，6實(shí)際上，在確定自振蕩頻率ω和幅值A(chǔ)時(shí)，常用基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)，對(duì)于飽和非線(xiàn)性，它的基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)為，把它畫(huà)在復(fù)平面上，是一條起自(-1，j０)點(diǎn)，隨著的增長(zhǎng)，沿負(fù)實(shí)軸向左延伸的直線(xiàn),如下圖所示。

實(shí)際上，在確定自振蕩頻率ω和幅值A(chǔ)時(shí)，常用基準(zhǔn)描述函72、死區(qū)非線(xiàn)性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝Asinωt時(shí)，死區(qū)非線(xiàn)性及其輸入輸出波形如圖所示。2、死區(qū)非線(xiàn)性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝8死區(qū)非線(xiàn)性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(t)為單值奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，故有所以其描述函數(shù)為死區(qū)非線(xiàn)性的基準(zhǔn)描述函數(shù)為，式中死區(qū)非線(xiàn)性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(t)為單值奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，故有所9從死區(qū)非線(xiàn)性的描述函數(shù)表達(dá)式可以看出，死區(qū)非線(xiàn)性的描述函數(shù)也只有一個(gè)實(shí)部。在復(fù)平面上，可繪出死區(qū)非線(xiàn)性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)，如下圖所示。它是一條在實(shí)軸上沿著變化的直線(xiàn)，起自，隨著增長(zhǎng)，以－1為終點(diǎn)。

從死區(qū)非線(xiàn)性的描述函數(shù)表達(dá)式可以看出，死區(qū)非線(xiàn)性的描103、回環(huán)（間隙）非線(xiàn)性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝Asinωt時(shí)，回環(huán)（間隙）非線(xiàn)性具有非單值特性，回環(huán)非線(xiàn)性曲線(xiàn)及其輸入-輸出波形如圖所示。3、回環(huán)（間隙）非線(xiàn)性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(11

為奇對(duì)稱(chēng)，但非單值

回環(huán)（間隙）非線(xiàn)性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：所以其描述函數(shù)為為奇對(duì)稱(chēng)，但非單值回環(huán)（間隙）非12回環(huán)非線(xiàn)性的描述函數(shù)是復(fù)數(shù)，基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)如圖所示?；丨h(huán)非線(xiàn)性的描述函數(shù)是復(fù)數(shù)，基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)如13繼電器特性及其正弦信號(hào)輸入時(shí)的輸入-輸出波形如圖所示。4、繼電器特性的描述函數(shù)繼電器特性及其正弦信號(hào)輸入時(shí)的輸入-輸出波形如圖所示14繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中：，同理可得：繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中：，同理可15令，則上述兩式可改寫(xiě)為由此可得繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)為令，則上述兩式可改寫(xiě)為由此可得繼電器特性的基16當(dāng)m取不同值時(shí)，繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)如圖所示。當(dāng)m取不同值時(shí)，繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)如17三、典型非線(xiàn)性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的描述函數(shù)例1:求如圖所示非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的等效形式兩非線(xiàn)性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，第二個(gè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)不符合諧波線(xiàn)性化的條件，故不存在描述函數(shù)，求取串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時(shí)應(yīng)求取其等效非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)。

：令即解:由圖可知三、典型非線(xiàn)性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的描述函數(shù)例1:求如圖所示非線(xiàn)性環(huán)節(jié)18

例2:求如圖所示非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的等效形式解:由圖可知所以有其中

例2:求如圖所示非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的等效形式解:由圖可知所以19四、非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析1、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析很多非線(xiàn)性系統(tǒng)通過(guò)適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化，都可化為由線(xiàn)性部分和非線(xiàn)性部分串聯(lián)而成的系統(tǒng)。假設(shè)非線(xiàn)性元件和系統(tǒng)滿(mǎn)足描述函數(shù)的條件，則非線(xiàn)性部分可以用描述函數(shù)N(A)表示，線(xiàn)性部分可以用傳遞函數(shù)G(s)或頻率特性G(jω)表示。因N(A)是經(jīng)過(guò)諧波線(xiàn)性化后的等效線(xiàn)性環(huán)節(jié)，可以作為一個(gè)具有實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)增益的放大環(huán)節(jié)來(lái)處理，于是非線(xiàn)性系統(tǒng)可以看成是一個(gè)等效的線(xiàn)性系統(tǒng)，并可以應(yīng)用線(xiàn)性理論中的頻率判據(jù)來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。四、非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析1、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析20特征方程為－非線(xiàn)性特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)如圖所示系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為或式中－非線(xiàn)性元件線(xiàn)性部分的放大系數(shù);特征方程為－非線(xiàn)性特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)如圖所示系21用描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則是:假設(shè)線(xiàn)性部分是最小相位系統(tǒng)，則如果線(xiàn)包圍線(xiàn)，表明系統(tǒng)有正特征根，不穩(wěn)定；如果不包圍線(xiàn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果兩線(xiàn)相交，如圖所示，則表明系統(tǒng)可能產(chǎn)生不衰減的簡(jiǎn)諧振蕩，簡(jiǎn)稱(chēng)自振蕩。式就是用來(lái)確定兩線(xiàn)交點(diǎn)的方程，也稱(chēng)之為非線(xiàn)性系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩的條件。用描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則是:假設(shè)線(xiàn)性部22由于穩(wěn)定參考點(diǎn)P2位于曲線(xiàn)之外，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂的，它的振幅會(huì)逐漸衰減回到值。又設(shè)擾動(dòng)作用使振幅減小為，亦即穩(wěn)定參考點(diǎn)由P移到P1，而P1點(diǎn)被曲線(xiàn)包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定，它的振幅會(huì)隨時(shí)間增大回到值。由上面分析可知，P點(diǎn)具有收斂的特性。要判斷系統(tǒng)能否產(chǎn)生自振蕩，還要判斷交點(diǎn)具有收斂的還是發(fā)散的特性。研究上圖的交點(diǎn)P。假設(shè)有一擾動(dòng)，使振幅由增大為,即穩(wěn)定參考線(xiàn)上P點(diǎn)移到P2點(diǎn)，

同理可以證明Q點(diǎn)具有發(fā)散的特性。由于穩(wěn)定參考點(diǎn)P2位于曲線(xiàn)之外，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定23

2、典型非線(xiàn)性特性對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響例1:具有飽和非線(xiàn)性的控制系統(tǒng)如圖所示，試判斷系統(tǒng)是否有自振蕩狀態(tài)？若有自振蕩，其振幅和頻率是多少？解：查表可知飽和非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)為中：Kn＝2，a＝1。又知飽和非線(xiàn)性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)是位于實(shí)軸上-1→-∞的直線(xiàn)，系統(tǒng)線(xiàn)性部分的頻率特性為2、典型非線(xiàn)性特性對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響例1:具有飽和非24在復(fù)平面上畫(huà)出曲線(xiàn)，如圖所示。由圖可見(jiàn)，與曲線(xiàn)交于(-2，j0)點(diǎn)。根據(jù)自振蕩的判別方法該點(diǎn)具有收斂的特性，即系統(tǒng)存在自振蕩，振蕩的頻率可令的虛部等于零求得，即1-0.02ω２＝0，求得ω＝7.07rad/s。根據(jù)兩條曲線(xiàn)在交點(diǎn)處的幅值相等，即求得與交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的振幅A＝2.5。在復(fù)平面上畫(huà)出曲線(xiàn)，如圖所示。由圖可25例2：設(shè)含理想繼電器特性的系統(tǒng)方框圖如圖所式。試確定其自持振蕩的振幅和角頻率。例2：設(shè)含理想繼電器特性的系統(tǒng)方框圖如圖所式。試確定其自持振26由由27描述函數(shù)法只是用于研究非線(xiàn)性系統(tǒng)的自振蕩工作狀態(tài)，它的應(yīng)用具有以下條件限制：（1）系統(tǒng)的線(xiàn)性部分具有低通濾波器特性；（2）非線(xiàn)性元件具有對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)特性。在判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，把基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)特性作為參考線(xiàn)，如果幅相曲線(xiàn)包圍線(xiàn)，表示系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定；不包圍線(xiàn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；兩線(xiàn)相交，且交點(diǎn)具有收斂特性，則系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)自振蕩。在用描述函數(shù)法研究非線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)，往往接入校正裝置，以使線(xiàn)性部分的幅相曲線(xiàn)不包圍線(xiàn)，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的目的。描述函數(shù)法只是用于研究非線(xiàn)性系統(tǒng)的自振蕩工作狀態(tài)，它28§7-2描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非線(xiàn)性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖中Ｇ(s)為線(xiàn)性部分的傳遞函數(shù)，N為非線(xiàn)性元件。(1)設(shè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)N的輸出量只和輸入量有關(guān)，即y=f(x)。設(shè)輸入為：非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸出為：利用富氏級(jí)數(shù)展開(kāi)，有式中：Y0是輸出信號(hào)中的直流分量；Bk和Ck是輸出信號(hào)中各次諧波分量的幅值，在一般情況下是輸入信號(hào)幅值A(chǔ)和頻率ω的函數(shù)。（1）（2）（3）§7-2描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非29(2)設(shè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸出是對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)，則式(3)中的偶次項(xiàng)等于零，上式可簡(jiǎn)化成：（4）上式表明，非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸出量含有高次諧波。(3)設(shè)系統(tǒng)的線(xiàn)性部分具有低通濾波器特性。于是對(duì)整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，高次諧波可以忽略。這樣式(4)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為式中，或?qū)懗筛鶕?jù)富氏級(jí)數(shù)的系數(shù)項(xiàng)公式，有

（6）（8）（7）(2)設(shè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的輸出是對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)，則式(3)中的偶次項(xiàng)30式(6)可寫(xiě)成矢量形式:

輸入正弦函數(shù)也寫(xiě)成矢量形式，有令（9）（10）

將上式寫(xiě)成復(fù)數(shù)的形式，有式中（11）（12）式(11)為該非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)式(6)可寫(xiě)成矢量形式:輸入正弦函數(shù)也寫(xiě)成矢量形式，31描述函數(shù)的定義非線(xiàn)性環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)輸入下，輸出中的一次諧波(基波)分量和輸入正弦波的矢量比(寫(xiě)成復(fù)數(shù)的形式)來(lái)描述該非線(xiàn)性的特征，這個(gè)比值稱(chēng)為該非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。這相當(dāng)于用一個(gè)等效的線(xiàn)性環(huán)節(jié)代替了原來(lái)的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，而等效線(xiàn)性環(huán)節(jié)的幅相特性函數(shù)N(A)，是輸入函數(shù)x(t)＝Asinωt幅值A(chǔ)的函數(shù)，等效的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。由于描述函數(shù)是非線(xiàn)性元件的等效傳遞特性，它是在只考慮基波分量之后得到的結(jié)果，所以這種近似處理方法又稱(chēng)為“諧波線(xiàn)性化法”。當(dāng)非線(xiàn)性元件用描述函數(shù)表示后，就可以用線(xiàn)性理論中的頻率法來(lái)研究非線(xiàn)性系統(tǒng)的基本特性。描述函數(shù)的定義非線(xiàn)性環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)輸入下，輸出中的一32二、典型非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)1、飽和非線(xiàn)性的描述函數(shù)飽和非線(xiàn)性如圖所示。二、典型非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)1、飽和非線(xiàn)性的描述函數(shù)飽和非線(xiàn)33飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于y(t)為單值奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，故有，，其描述函數(shù)為可見(jiàn)，飽和非線(xiàn)性的描述函數(shù)虛部為零，只有一個(gè)實(shí)部?；鶞?zhǔn)描述函數(shù)（）飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于y(t)為單值奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，34實(shí)際上，在確定自振蕩頻率ω和幅值A(chǔ)時(shí)，常用基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)，對(duì)于飽和非線(xiàn)性，它的基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)為，把它畫(huà)在復(fù)平面上，是一條起自(-1，j０)點(diǎn)，隨著的增長(zhǎng)，沿負(fù)實(shí)軸向左延伸的直線(xiàn),如下圖所示。

實(shí)際上，在確定自振蕩頻率ω和幅值A(chǔ)時(shí)，常用基準(zhǔn)描述函352、死區(qū)非線(xiàn)性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝Asinωt時(shí)，死區(qū)非線(xiàn)性及其輸入輸出波形如圖所示。2、死區(qū)非線(xiàn)性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝36死區(qū)非線(xiàn)性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(t)為單值奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，故有所以其描述函數(shù)為死區(qū)非線(xiàn)性的基準(zhǔn)描述函數(shù)為，式中死區(qū)非線(xiàn)性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(t)為單值奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，故有所37從死區(qū)非線(xiàn)性的描述函數(shù)表達(dá)式可以看出，死區(qū)非線(xiàn)性的描述函數(shù)也只有一個(gè)實(shí)部。在復(fù)平面上，可繪出死區(qū)非線(xiàn)性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)，如下圖所示。它是一條在實(shí)軸上沿著變化的直線(xiàn)，起自，隨著增長(zhǎng)，以－1為終點(diǎn)。

從死區(qū)非線(xiàn)性的描述函數(shù)表達(dá)式可以看出，死區(qū)非線(xiàn)性的描383、回環(huán)（間隙）非線(xiàn)性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝Asinωt時(shí)，回環(huán)（間隙）非線(xiàn)性具有非單值特性，回環(huán)非線(xiàn)性曲線(xiàn)及其輸入-輸出波形如圖所示。3、回環(huán)（間隙）非線(xiàn)性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(39

為奇對(duì)稱(chēng)，但非單值

回環(huán)（間隙）非線(xiàn)性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：所以其描述函數(shù)為為奇對(duì)稱(chēng)，但非單值回環(huán)（間隙）非40回環(huán)非線(xiàn)性的描述函數(shù)是復(fù)數(shù)，基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)如圖所示?；丨h(huán)非線(xiàn)性的描述函數(shù)是復(fù)數(shù)，基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)如41繼電器特性及其正弦信號(hào)輸入時(shí)的輸入-輸出波形如圖所示。4、繼電器特性的描述函數(shù)繼電器特性及其正弦信號(hào)輸入時(shí)的輸入-輸出波形如圖所示42繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中：，同理可得：繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中：，同理可43令，則上述兩式可改寫(xiě)為由此可得繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)為令，則上述兩式可改寫(xiě)為由此可得繼電器特性的基44當(dāng)m取不同值時(shí)，繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)如圖所示。當(dāng)m取不同值時(shí)，繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線(xiàn)如45三、典型非線(xiàn)性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的描述函數(shù)例1:求如圖所示非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的等效形式兩非線(xiàn)性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，第二個(gè)非線(xiàn)性環(huán)節(jié)不符合諧波線(xiàn)性化的條件，故不存在描述函數(shù)，求取串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時(shí)應(yīng)求取其等效非線(xiàn)性特性的描述函數(shù)。

：令即解:由圖可知三、典型非線(xiàn)性環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的描述函數(shù)例1:求如圖所示非線(xiàn)性環(huán)節(jié)46

例2:求如圖所示非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的等效形式解:由圖可知所以有其中

例2:求如圖所示非線(xiàn)性環(huán)節(jié)的等效形式解:由圖可知所以47四、非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析1、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析很多非線(xiàn)性系統(tǒng)通過(guò)適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化，都可化為由線(xiàn)性部分和非線(xiàn)性部分串聯(lián)而成的系統(tǒng)。假設(shè)非線(xiàn)性元件和系統(tǒng)滿(mǎn)足描述函數(shù)的條件，則非線(xiàn)性部分可以用描述函數(shù)N(A)表示，線(xiàn)性部分可以用傳遞函數(shù)G(s)或頻率特性G(jω)表示。因N(A)是經(jīng)過(guò)諧波線(xiàn)性化后的等效線(xiàn)性環(huán)節(jié)，可以作為一個(gè)具有實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)增益的放大環(huán)節(jié)來(lái)處理，于是非線(xiàn)性系統(tǒng)可以看成是一個(gè)等效的線(xiàn)性系統(tǒng)，并可以應(yīng)用線(xiàn)性理論中的頻率判據(jù)來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。四、非線(xiàn)性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析1、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析48特征方程為－非線(xiàn)性特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)如圖所示系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為或式中－非線(xiàn)性元件線(xiàn)性部分的放大系數(shù);特征方程為－非線(xiàn)性特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)如圖所示系49用描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則是:假設(shè)線(xiàn)性部分是最小相位系統(tǒng)，則如果線(xiàn)包圍線(xiàn)，表明系統(tǒng)有正特征根，不穩(wěn)定；如果不包圍線(xiàn)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果兩線(xiàn)相交，如圖所示，則表明系統(tǒng)可能產(chǎn)生不衰減的簡(jiǎn)諧振蕩，簡(jiǎn)稱(chēng)自振蕩。式就是用來(lái)確定兩線(xiàn)交點(diǎn)的方程，也稱(chēng)之為非線(xiàn)性系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩的條件。用描述函數(shù)法分析非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則是:假設(shè)線(xiàn)性部50由于穩(wěn)定參考點(diǎn)P2位于曲線(xiàn)之外，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂的，它的振幅會(huì)逐漸衰減回到值。又設(shè)擾動(dòng)作用使振幅減小為，亦即穩(wěn)定參考點(diǎn)由P移到P1，而P1點(diǎn)被曲線(xiàn)包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定，它的振幅會(huì)隨時(shí)間增大回到值。由上面分析可知，P點(diǎn)具有收斂的特性。要判斷系統(tǒng)能否產(chǎn)生自振蕩，還要判斷交點(diǎn)具有收斂的還是發(fā)散的特性。研究上圖的交點(diǎn)P。假設(shè)有一擾動(dòng)，使振幅由增大為,即穩(wěn)定參考線(xiàn)上P點(diǎn)移到P2點(diǎn)，

同理可以證明Q點(diǎn)具有發(fā)散的特性。由于穩(wěn)定參考點(diǎn)P2位于曲線(xiàn)之外，所