描述函數(shù)法課件

§7-2描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖中Ｇ(s)為線性部分的傳遞函數(shù)，N為非線性元件。(1)設(shè)非線性環(huán)節(jié)N的輸出量只和輸入量有關(guān)，即y=f(x)。設(shè)輸入為：非線性環(huán)節(jié)的輸出為：利用富氏級數(shù)展開，有式中：Y0是輸出信號中的直流分量；Bk和Ck是輸出信號中各次諧波分量的幅值，在一般情況下是輸入信號幅值A(chǔ)和頻率ω的函數(shù)。（1）（2）（3）§7-2描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非1(2)設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸出是對稱奇函數(shù)，則式(3)中的偶次項等于零，上式可簡化成：（4）上式表明，非線性環(huán)節(jié)的輸出量含有高次諧波。(3)設(shè)系統(tǒng)的線性部分具有低通濾波器特性。于是對整個系統(tǒng)來說，高次諧波可以忽略。這樣式(4)可進(jìn)一步簡化為式中，或?qū)懗筛鶕?jù)富氏級數(shù)的系數(shù)項公式，有

（6）（8）（7）(2)設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸出是對稱奇函數(shù)，則式(3)中的偶次項2式(6)可寫成矢量形式:

輸入正弦函數(shù)也寫成矢量形式，有令（9）（10）

將上式寫成復(fù)數(shù)的形式，有式中（11）（12）式(11)為該非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)式(6)可寫成矢量形式:輸入正弦函數(shù)也寫成矢量形式，3描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)輸入下，輸出中的一次諧波(基波)分量和輸入正弦波的矢量比(寫成復(fù)數(shù)的形式)來描述該非線性的特征，這個比值稱為該非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。這相當(dāng)于用一個等效的線性環(huán)節(jié)代替了原來的非線性環(huán)節(jié)，而等效線性環(huán)節(jié)的幅相特性函數(shù)N(A)，是輸入函數(shù)x(t)＝Asinωt幅值A(chǔ)的函數(shù)，等效的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。由于描述函數(shù)是非線性元件的等效傳遞特性，它是在只考慮基波分量之后得到的結(jié)果，所以這種近似處理方法又稱為“諧波線性化法”。當(dāng)非線性元件用描述函數(shù)表示后，就可以用線性理論中的頻率法來研究非線性系統(tǒng)的基本特性。描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)輸入下，輸出中的一4二、典型非線性特性的描述函數(shù)1、飽和非線性的描述函數(shù)飽和非線性如圖所示。二、典型非線性特性的描述函數(shù)1、飽和非線性的描述函數(shù)飽和非線5飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于y(t)為單值奇對稱函數(shù)，故有，，其描述函數(shù)為可見，飽和非線性的描述函數(shù)虛部為零，只有一個實部?；鶞?zhǔn)描述函數(shù)（）飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于y(t)為單值奇對稱函數(shù)，6實際上，在確定自振蕩頻率ω和幅值A(chǔ)時，常用基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)，對于飽和非線性，它的基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)為，把它畫在復(fù)平面上，是一條起自(-1，j０)點，隨著的增長，沿負(fù)實軸向左延伸的直線,如下圖所示。

實際上，在確定自振蕩頻率ω和幅值A(chǔ)時，常用基準(zhǔn)描述函72、死區(qū)非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝Asinωt時，死區(qū)非線性及其輸入輸出波形如圖所示。2、死區(qū)非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝8死區(qū)非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(t)為單值奇對稱函數(shù)，故有所以其描述函數(shù)為死區(qū)非線性的基準(zhǔn)描述函數(shù)為，式中死區(qū)非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(t)為單值奇對稱函數(shù)，故有所9從死區(qū)非線性的描述函數(shù)表達(dá)式可以看出，死區(qū)非線性的描述函數(shù)也只有一個實部。在復(fù)平面上，可繪出死區(qū)非線性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線，如下圖所示。它是一條在實軸上沿著變化的直線，起自，隨著增長，以－1為終點。

從死區(qū)非線性的描述函數(shù)表達(dá)式可以看出，死區(qū)非線性的描103、回環(huán)（間隙）非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝Asinωt時，回環(huán)（間隙）非線性具有非單值特性，回環(huán)非線性曲線及其輸入-輸出波形如圖所示。3、回環(huán)（間隙）非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(11

為奇對稱，但非單值

回環(huán)（間隙）非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：所以其描述函數(shù)為為奇對稱，但非單值回環(huán)（間隙）非12回環(huán)非線性的描述函數(shù)是復(fù)數(shù)，基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線如圖所示?；丨h(huán)非線性的描述函數(shù)是復(fù)數(shù)，基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線如13繼電器特性及其正弦信號輸入時的輸入-輸出波形如圖所示。4、繼電器特性的描述函數(shù)繼電器特性及其正弦信號輸入時的輸入-輸出波形如圖所示14繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中：，同理可得：繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中：，同理可15令，則上述兩式可改寫為由此可得繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)為令，則上述兩式可改寫為由此可得繼電器特性的基16當(dāng)m取不同值時，繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線如圖所示。當(dāng)m取不同值時，繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線如17三、典型非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時的描述函數(shù)例1:求如圖所示非線性環(huán)節(jié)的等效形式兩非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，第二個非線性環(huán)節(jié)不符合諧波線性化的條件，故不存在描述函數(shù)，求取串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時應(yīng)求取其等效非線性特性的描述函數(shù)。

：令即解:由圖可知三、典型非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時的描述函數(shù)例1:求如圖所示非線性環(huán)節(jié)18

例2:求如圖所示非線性環(huán)節(jié)的等效形式解:由圖可知所以有其中

例2:求如圖所示非線性環(huán)節(jié)的等效形式解:由圖可知所以19四、非線性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析1、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析很多非線性系統(tǒng)通過適當(dāng)?shù)睾喕?，都可化為由線性部分和非線性部分串聯(lián)而成的系統(tǒng)。假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足描述函數(shù)的條件，則非線性部分可以用描述函數(shù)N(A)表示，線性部分可以用傳遞函數(shù)G(s)或頻率特性G(jω)表示。因N(A)是經(jīng)過諧波線性化后的等效線性環(huán)節(jié)，可以作為一個具有實數(shù)或復(fù)數(shù)增益的放大環(huán)節(jié)來處理，于是非線性系統(tǒng)可以看成是一個等效的線性系統(tǒng)，并可以應(yīng)用線性理論中的頻率判據(jù)來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。四、非線性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析1、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析20特征方程為－非線性特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)如圖所示系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為或式中－非線性元件線性部分的放大系數(shù);特征方程為－非線性特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)如圖所示系21用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則是:假設(shè)線性部分是最小相位系統(tǒng)，則如果線包圍線，表明系統(tǒng)有正特征根，不穩(wěn)定；如果不包圍線，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果兩線相交，如圖所示，則表明系統(tǒng)可能產(chǎn)生不衰減的簡諧振蕩，簡稱自振蕩。式就是用來確定兩線交點的方程，也稱之為非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩的條件。用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則是:假設(shè)線性部22由于穩(wěn)定參考點P2位于曲線之外，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂的，它的振幅會逐漸衰減回到值。又設(shè)擾動作用使振幅減小為，亦即穩(wěn)定參考點由P移到P1，而P1點被曲線包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定，它的振幅會隨時間增大回到值。由上面分析可知，P點具有收斂的特性。要判斷系統(tǒng)能否產(chǎn)生自振蕩，還要判斷交點具有收斂的還是發(fā)散的特性。研究上圖的交點P。假設(shè)有一擾動，使振幅由增大為,即穩(wěn)定參考線上P點移到P2點，

同理可以證明Q點具有發(fā)散的特性。由于穩(wěn)定參考點P2位于曲線之外，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定23

2、典型非線性特性對系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響例1:具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如圖所示，試判斷系統(tǒng)是否有自振蕩狀態(tài)？若有自振蕩，其振幅和頻率是多少？解：查表可知飽和非線性特性的描述函數(shù)為中：Kn＝2，a＝1。又知飽和非線性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線是位于實軸上-1→-∞的直線，系統(tǒng)線性部分的頻率特性為2、典型非線性特性對系統(tǒng)的穩(wěn)定性的影響例1:具有飽和非24在復(fù)平面上畫出曲線，如圖所示。由圖可見，與曲線交于(-2，j0)點。根據(jù)自振蕩的判別方法該點具有收斂的特性，即系統(tǒng)存在自振蕩，振蕩的頻率可令的虛部等于零求得，即1-0.02ω２＝0，求得ω＝7.07rad/s。根據(jù)兩條曲線在交點處的幅值相等，即求得與交點對應(yīng)的振幅A＝2.5。在復(fù)平面上畫出曲線，如圖所示。由圖可25例2：設(shè)含理想繼電器特性的系統(tǒng)方框圖如圖所式。試確定其自持振蕩的振幅和角頻率。例2：設(shè)含理想繼電器特性的系統(tǒng)方框圖如圖所式。試確定其自持振26由由27描述函數(shù)法只是用于研究非線性系統(tǒng)的自振蕩工作狀態(tài)，它的應(yīng)用具有以下條件限制：（1）系統(tǒng)的線性部分具有低通濾波器特性；（2）非線性元件具有對稱奇函數(shù)特性。在判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時，把基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)特性作為參考線，如果幅相曲線包圍線，表示系統(tǒng)會產(chǎn)生發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定；不包圍線，則系統(tǒng)穩(wěn)定；兩線相交，且交點具有收斂特性，則系統(tǒng)會出現(xiàn)自振蕩。在用描述函數(shù)法研究非線性系統(tǒng)時，往往接入校正裝置，以使線性部分的幅相曲線不包圍線，從而實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的目的。描述函數(shù)法只是用于研究非線性系統(tǒng)的自振蕩工作狀態(tài)，它28§7-2描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖中Ｇ(s)為線性部分的傳遞函數(shù)，N為非線性元件。(1)設(shè)非線性環(huán)節(jié)N的輸出量只和輸入量有關(guān)，即y=f(x)。設(shè)輸入為：非線性環(huán)節(jié)的輸出為：利用富氏級數(shù)展開，有式中：Y0是輸出信號中的直流分量；Bk和Ck是輸出信號中各次諧波分量的幅值，在一般情況下是輸入信號幅值A(chǔ)和頻率ω的函數(shù)。（1）（2）（3）§7-2描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非29(2)設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸出是對稱奇函數(shù)，則式(3)中的偶次項等于零，上式可簡化成：（4）上式表明，非線性環(huán)節(jié)的輸出量含有高次諧波。(3)設(shè)系統(tǒng)的線性部分具有低通濾波器特性。于是對整個系統(tǒng)來說，高次諧波可以忽略。這樣式(4)可進(jìn)一步簡化為式中，或?qū)懗筛鶕?jù)富氏級數(shù)的系數(shù)項公式，有

（6）（8）（7）(2)設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸出是對稱奇函數(shù)，則式(3)中的偶次項30式(6)可寫成矢量形式:

輸入正弦函數(shù)也寫成矢量形式，有令（9）（10）

將上式寫成復(fù)數(shù)的形式，有式中（11）（12）式(11)為該非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)式(6)可寫成矢量形式:輸入正弦函數(shù)也寫成矢量形式，31描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)輸入下，輸出中的一次諧波(基波)分量和輸入正弦波的矢量比(寫成復(fù)數(shù)的形式)來描述該非線性的特征，這個比值稱為該非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。這相當(dāng)于用一個等效的線性環(huán)節(jié)代替了原來的非線性環(huán)節(jié)，而等效線性環(huán)節(jié)的幅相特性函數(shù)N(A)，是輸入函數(shù)x(t)＝Asinωt幅值A(chǔ)的函數(shù)，等效的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。由于描述函數(shù)是非線性元件的等效傳遞特性，它是在只考慮基波分量之后得到的結(jié)果，所以這種近似處理方法又稱為“諧波線性化法”。當(dāng)非線性元件用描述函數(shù)表示后，就可以用線性理論中的頻率法來研究非線性系統(tǒng)的基本特性。描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)輸入下，輸出中的一32二、典型非線性特性的描述函數(shù)1、飽和非線性的描述函數(shù)飽和非線性如圖所示。二、典型非線性特性的描述函數(shù)1、飽和非線性的描述函數(shù)飽和非線33飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于y(t)為單值奇對稱函數(shù)，故有，，其描述函數(shù)為可見，飽和非線性的描述函數(shù)虛部為零，只有一個實部?；鶞?zhǔn)描述函數(shù)（）飽和特性數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于y(t)為單值奇對稱函數(shù)，34實際上，在確定自振蕩頻率ω和幅值A(chǔ)時，常用基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)，對于飽和非線性，它的基準(zhǔn)描述函數(shù)的負(fù)倒數(shù)為，把它畫在復(fù)平面上，是一條起自(-1，j０)點，隨著的增長，沿負(fù)實軸向左延伸的直線,如下圖所示。

實際上，在確定自振蕩頻率ω和幅值A(chǔ)時，常用基準(zhǔn)描述函352、死區(qū)非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝Asinωt時，死區(qū)非線性及其輸入輸出波形如圖所示。2、死區(qū)非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝36死區(qū)非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(t)為單值奇對稱函數(shù)，故有所以其描述函數(shù)為死區(qū)非線性的基準(zhǔn)描述函數(shù)為，式中死區(qū)非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為y(t)為單值奇對稱函數(shù)，故有所37從死區(qū)非線性的描述函數(shù)表達(dá)式可以看出，死區(qū)非線性的描述函數(shù)也只有一個實部。在復(fù)平面上，可繪出死區(qū)非線性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線，如下圖所示。它是一條在實軸上沿著變化的直線，起自，隨著增長，以－1為終點。

從死區(qū)非線性的描述函數(shù)表達(dá)式可以看出，死區(qū)非線性的描383、回環(huán)（間隙）非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(t)＝Asinωt時，回環(huán)（間隙）非線性具有非單值特性，回環(huán)非線性曲線及其輸入-輸出波形如圖所示。3、回環(huán)（間隙）非線性的描述函數(shù)當(dāng)輸入為正弦函數(shù)x(39

為奇對稱，但非單值

回環(huán)（間隙）非線性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：所以其描述函數(shù)為為奇對稱，但非單值回環(huán)（間隙）非40回環(huán)非線性的描述函數(shù)是復(fù)數(shù)，基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線如圖所示?；丨h(huán)非線性的描述函數(shù)是復(fù)數(shù)，基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線如41繼電器特性及其正弦信號輸入時的輸入-輸出波形如圖所示。4、繼電器特性的描述函數(shù)繼電器特性及其正弦信號輸入時的輸入-輸出波形如圖所示42繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中：，同理可得：繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其中：，同理可43令，則上述兩式可改寫為由此可得繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)為令，則上述兩式可改寫為由此可得繼電器特性的基44當(dāng)m取不同值時，繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線如圖所示。當(dāng)m取不同值時，繼電器特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)曲線如45三、典型非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時的描述函數(shù)例1:求如圖所示非線性環(huán)節(jié)的等效形式兩非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，第二個非線性環(huán)節(jié)不符合諧波線性化的條件，故不存在描述函數(shù)，求取串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)時應(yīng)求取其等效非線性特性的描述函數(shù)。

：令即解:由圖可知三、典型非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時的描述函數(shù)例1:求如圖所示非線性環(huán)節(jié)46

例2:求如圖所示非線性環(huán)節(jié)的等效形式解:由圖可知所以有其中

例2:求如圖所示非線性環(huán)節(jié)的等效形式解:由圖可知所以47四、非線性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析1、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析很多非線性系統(tǒng)通過適當(dāng)?shù)睾喕?，都可化為由線性部分和非線性部分串聯(lián)而成的系統(tǒng)。假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足描述函數(shù)的條件，則非線性部分可以用描述函數(shù)N(A)表示，線性部分可以用傳遞函數(shù)G(s)或頻率特性G(jω)表示。因N(A)是經(jīng)過諧波線性化后的等效線性環(huán)節(jié)，可以作為一個具有實數(shù)或復(fù)數(shù)增益的放大環(huán)節(jié)來處理，于是非線性系統(tǒng)可以看成是一個等效的線性系統(tǒng)，并可以應(yīng)用線性理論中的頻率判據(jù)來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。四、非線性控制系統(tǒng)的描述函數(shù)分析1、控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析48特征方程為－非線性特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)如圖所示系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為或式中－非線性元件線性部分的放大系數(shù);特征方程為－非線性特性的基準(zhǔn)描述函數(shù)負(fù)倒數(shù)如圖所示系49用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則是:假設(shè)線性部分是最小相位系統(tǒng)，則如果線包圍線，表明系統(tǒng)有正特征根，不穩(wěn)定；如果不包圍線，則系統(tǒng)穩(wěn)定；如果兩線相交，如圖所示，則表明系統(tǒng)可能產(chǎn)生不衰減的簡諧振蕩，簡稱自振蕩。式就是用來確定兩線交點的方程，也稱之為非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩的條件。用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則是:假設(shè)線性部50由于穩(wěn)定參考點P2位于曲線之外，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂的，它的振幅會逐漸衰減回到值。又設(shè)擾動作用使振幅減小為，亦即穩(wěn)定參考點由P移到P1，而P1點被曲線包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定，它的振幅會隨時間增大回到值。由上面分析可知，P點具有收斂的特性。要判斷系統(tǒng)能否產(chǎn)生自振蕩，還要判斷交點具有收斂的還是發(fā)散的特性。研究上圖的交點P。假設(shè)有一擾動，使振幅由增大為,即穩(wěn)定參考線上P點移到P2點，

同理可以證明Q點具有發(fā)散的特性。由于穩(wěn)定參考點P2位于曲線之外，所