七年級(jí)新思維20-豐富的圖形世界

主視圖A?5個(gè)B.6個(gè)主視圖A?5個(gè)B.6個(gè)C?7個(gè)D?8個(gè)【答案】D例3（貴陽(yáng)課改實(shí)驗(yàn)區(qū)中考題）由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和俯視圖如圖?（1）請(qǐng)你畫(huà)出這個(gè)幾何體的一種左視圖；（2）若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n,求n的值?主視圖【答案】（1）左視圖有以下5種情形:俯視圖20.豐富的圖形世界問(wèn)題解決例1（四川省中考題）如圖是一個(gè)正方體表面展開(kāi)圖，如果正方體相對(duì)的面上標(biāo)注的值相等，那么x+y=?【答案】2x=8,y=10,xy=14?例2（成都市中考題）如圖，由一些完全相同的小立方塊搭成的幾何體的三種視圖，那么搭成這個(gè)幾何體所用的小立方塊的個(gè)數(shù)是（）?面露出的面積和（正好是最下面正方體上底面的面積1）即是這些正方體露在外面的面積面露出的面積和（正好是最下面正方體上底面的面積1）即是這些正方體露在外面的面積（2）n=8,9,10,11例4（江蘇省常州市中考題）如圖是由若干個(gè)正方體形狀木塊堆成的，平放于桌面上，其中，上面正方體的下底面四個(gè)頂點(diǎn)恰是下面相鄰正方體上底面各邊的中點(diǎn)，如果最下面的正方體的棱長(zhǎng)為1，且這些正方體露在外面的面積和超過(guò)8，那么正方體的個(gè)數(shù)至少是多少？按此規(guī)律堆下去，這些正方體露在外面的面積和的最大值是多少？【答案】4;9提示：最下面正方體1個(gè)面的面積是1,側(cè)面露出的面積和是4,每相鄰兩個(gè)正方體中上面的1個(gè)正方體每個(gè)面的面積都正好是其下1面正方體1個(gè)面面積的-，所有正方體側(cè)面面積之和加上所有正方體的上2和.如:42個(gè)正方體露出的面積和是4*1=7,2TOC\o"1-5"\h\z443個(gè)正方體露出的面積和是41=8,24

4個(gè)止方體露出的面積和是444+—41=8-,24825個(gè)正方體露出的面積和是444+—44+—1=8?2481646個(gè)止方體露出的面積和是44+—4十一4十一4+—4+—17=8—,24816328”故隨著小正方體木塊的增加，其外露的面積之和都不會(huì)超過(guò)9.例5（江城國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）要把一個(gè)正方體分割成49個(gè)小正方體（小正方體大小可以不等），畫(huà)圖表示.分析與解本例是一道圖形分割問(wèn)題，解答本例需要較強(qiáng)的空間想象能力和推理論證能力，需要把圖形性質(zhì)與計(jì)算恰當(dāng)結(jié)合.為方便起見(jiàn)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為6個(gè)單位，首先不能切出棱長(zhǎng)為5的立方體，否則不可能分割成49個(gè)小正方體.設(shè)切出棱長(zhǎng)為1的正方體有a個(gè)，棱長(zhǎng)為2的正方體有b個(gè)，如果能切出1個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體，則有f+8b+64=216，解之得b=146，不合題意，所以切不出棱長(zhǎng)為4的正方體.ab=49-174的正方體.設(shè)切出棱長(zhǎng)為1的正方體有a個(gè)，棱長(zhǎng)為2的正方體有b個(gè)，棱長(zhǎng)為3的正方體有c個(gè)，a8b27c=216則abc=49，解得“36，"9，"4，故可分割棱長(zhǎng)分別為1、2、3的正方體各有36個(gè)、9個(gè)、4個(gè)，分法如圖所示.歐拉公式例6建立模型18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱(chēng)為歐拉公式.請(qǐng)你觀察下列幾種簡(jiǎn)單多面體模型，解答下列問(wèn)題.四面體長(zhǎng)方體正十二面體四面體長(zhǎng)方體正十二面體（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格:多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體44長(zhǎng)方體8612正八面體812正十二面體201230你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是.（2）一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8，且有30條棱，則這個(gè)多面體的面數(shù)是.（3）某個(gè)玻璃飾品的外形是簡(jiǎn)單多面體，它的外表是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱.設(shè)該多面體外表面三角形的個(gè)數(shù)為x個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)為y個(gè)，求xy的值.

解（1）6;6;VF_E=2（2）20（3）這個(gè)多面體的面數(shù)為xy，棱數(shù)為243=36（條）.2根據(jù)VF_E=2，可得24（xy）_36=2,xy=14.模型應(yīng)用（寧波市中考題改編）如圖，有一種足球是由數(shù)塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長(zhǎng)都相等，求正五邊形、正六邊形個(gè)數(shù).解設(shè)足球表面的正五邊形有x個(gè)，正六邊形有y個(gè)，總面數(shù)F為xy個(gè)?因?yàn)橐粭l棱連著兩個(gè)面，所以球表面的棱數(shù)E為l（5x6y），又因2為一個(gè)頂點(diǎn)上有二條棱，一條棱上有兩個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)121V（5x亠6y）（5x亠6y）233由歐拉公式VF-E=2得（xy）l（5x6y）-丄（5x6y）=2,32解得x=12.所以正五邊形只要12個(gè).又根據(jù)每個(gè)正五邊形周?chē)B著5個(gè)正六邊形，每個(gè)正六邊形又連著3個(gè)正五邊形，所以六邊形個(gè)數(shù)聖=20,即需20個(gè)正六邊形.3數(shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)則原正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字之和的（山東省荷澤市中考題）如圖是正方體的展開(kāi)圖,最小值是.則原正方體相對(duì)兩個(gè)面上的數(shù)字之和的【答案】6（武漢市中考題）由幾個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體的視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是.【答案】5（山東省煙臺(tái)市中考題）一個(gè)長(zhǎng)方體的左視圖，俯視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則其主視圖的面積為.（第3題）【答案】84.（山東省青島市中考題）如圖，擺成的，若將露出的表面都涂上顏色下列幾何體是由棱長(zhǎng)為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上（底面不涂色），則第n個(gè)幾何體中只有兩個(gè)面涂色的小立方體共有個(gè).圖①圖②圖③（第4題）【答案】4（2n-1）（山東省煙臺(tái)市中考題）一個(gè)畫(huà)家有14個(gè)邊長(zhǎng)為他在地面上把它們擺成如圖的形式，然后他把露出的表面都涂上顏色，那么被涂顏色的總面積為（）.2A.19m2C.33m【答案】C（河南省中考題）一個(gè)幾何體由一些大小相同的小正方體組成，如圖是它的主視圖和俯視圖，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少為（A.3B.4C.5D.61m的正方體,241m34m2（第5題）)?主視圖俯視圖（第6題）【答案】B7.（河北省中考題）一個(gè)如圖所示的零件,A.20B.22從棱長(zhǎng)為2的正方體毛坯的一角，挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，得到則這個(gè)零件的表面積是（）.C.24D.26【答案】C&（2012年溫州市中考題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計(jì)算方法.“牟合方蓋”是由兩個(gè)圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體?圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的主視圖是X主視方向（第8題）D.（）?X主視方向（第8題）D.少圖少圖少圖甲【答案】B（第9題）（廣州市中考題）5個(gè)棱長(zhǎng)為1（第9題）（1）該幾何體的體積是（立方單位），表面積是（平方單位）；（2）畫(huà)出該幾何體的主視圖和左視圖.【答案】（1）5;22;（2）略（“創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試題）用同樣大小的正方體木塊搭建的幾何體，從正面看到的平面圖形如圖①所示，從上面看到的平面圖形如圖②所示.圖①（第10題）（1）如果搭建的幾何體由9個(gè)小正方體木塊構(gòu)成，試畫(huà)出從左面看這個(gè)幾何體所得到的所有可能的平面圖形.（2）這樣的幾何體最多可由幾塊小正方體構(gòu)成？并在所用木塊最多的情況下，畫(huà)出從左面看到的所有可能的平面圖形.【答案】（1）(2)11;

思維方法天地（《時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)》數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）如圖，是一個(gè)正方體表面展開(kāi)圖，請(qǐng)?jiān)趫D中空格內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使這個(gè)正方體相對(duì)兩個(gè)面上標(biāo)的數(shù)值相等.【答案】上空格填1,下空格填22（第11題）（第12題）（江蘇省江陰市中考題）如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為n,則n的所有可能的值之和為【答案】38（“華羅庚金杯賽”試題）如圖是一個(gè)立方體的主視圖、左視圖和俯視圖，圖中單位為厘米，則立體圖形的體積為立方厘米.【答案】2n左視圖俯視圖（第13題）左視圖俯視圖（第13題）（江蘇省常州市中考題）若干個(gè)正方體形狀的積木擺成如圖所示的塔形，平放于桌面上，上面正方體的下底四個(gè)頂點(diǎn)是下面相鄰正方體的上底各邊中點(diǎn)，最下面的正方體棱長(zhǎng)為1,如果塔形露在外面的面積超過(guò)7,則正方體的個(gè)數(shù)至少是（）.A.2B.3C.4D.5【答案】B（“創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試題）由若干個(gè)單位立方體組成一個(gè)較大的立方體，然后把這個(gè)大立方體的某些面涂上油漆，油漆干后，把大立方體拆開(kāi)成單位立方體，發(fā)現(xiàn)有45個(gè)單位立方體上任何一面都沒(méi)有漆，那么大立方體被涂過(guò)油漆的面數(shù)是（）.A.1B.2C.3D.4【答案】D設(shè)大立方體的棱長(zhǎng)為n,n.3,若n=6,即使6個(gè)面都油漆過(guò)，未油漆的單位立方體也有43=64個(gè)＞45，故n=4或5.除掉已漆的單位立方體后，剩下未漆的構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)其長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c,abc=45，只能是335=45，故n=5.（浙江省競(jìng)賽題）小明把棱長(zhǎng)為4的正方體分割成了29個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)的小正方體，貝U其中棱長(zhǎng)為1的小正方體的個(gè)數(shù)是（）.A.22B.23C.24D.25

【答案】C提示：若分割出棱長(zhǎng)為3的正方體，則棱長(zhǎng)為3的正方體只能有1個(gè)，余下的

均是棱長(zhǎng)為1的正方體，共37個(gè)不滿足要求.設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體有x個(gè)，棱長(zhǎng)為1的正方體有y個(gè)，則Xy=29得x=5§x+y=64,y=24.（第17題）（第17題）（不考慮操作技術(shù)的限制），但希望搬完后從正面、從上面、從右面用平行光線照射時(shí)，在墻面及地面上的影子不變，那么你最多可以搬走多少個(gè)小正方體？【答案】有不同的拿法?為保證“影子不變”，可依如下原則操作：在每一行和每一列中，除保留一摞最高的不動(dòng)以外，該行（列）的其余各摞都搬成只剩最下面的一個(gè)小正方體.如圖所示，20個(gè)方格中的數(shù)字，表示5行6列共20摞中在搬完以后最終留下的正方體個(gè)數(shù)?照這樣，各行可搬個(gè)數(shù)累計(jì)為9+9+5+4+0=27，即最多可搬走27個(gè)小正方體.66-555-4425-464-353-2143c42-2-3-1323-1-21（第17題）（第18題）（江蘇省競(jìng)賽題）一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)、寬、高分別是a、b、c（ab.c）（第18題）【答案】要使平面展開(kāi)圖的周長(zhǎng)最小，剪開(kāi)的七條棱長(zhǎng)就要盡量小，因此要選剪開(kāi)四條高（因?yàn)閏最?。?，再剪開(kāi)一條長(zhǎng)a厘米的棱（否則，不能展開(kāi)成平面圖），最后再剪開(kāi)兩條寬b厘米的棱（如圖中所示表示的①~⑦這七條棱）.由此可得圖甲，這時(shí)最cbcabbacbcbbacccca圖甲小周長(zhǎng)是c8b4bbacccca圖甲baacacbbca（bbcaab圖乙

（第18題）

要使平面展開(kāi)圖的周長(zhǎng)最大，要使平面展開(kāi)圖的周長(zhǎng)最大，剪開(kāi)的七條棱長(zhǎng)就要盡量大，因此要先剪開(kāi)四條最長(zhǎng)的棱（長(zhǎng)a）,再剪開(kāi)兩條次條的棱（寬b）,最后剪開(kāi)一條最短的棱（高c）,即得圖乙，這時(shí)最大周長(zhǎng)是a8b4c2=8a4b2c（厘米）.應(yīng)用探究樂(lè)園（世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽試題）王老師將底面半徑為20厘米、高為35厘米的圓柱形容器中的果汁全部倒入如圖所示的杯子中，若杯口直徑為20厘米，杯底直徑為10厘米，杯高為12厘米，杯身長(zhǎng)13厘米，問(wèn)果汗可以倒?jié)M多少杯？（第19題）（第（第19題）（第20題）（第19題）（第20題）【答案】如圖，由題意知AB=10，CD=5，AC=12，BD=13，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于E，則DE=12，于是Rt△BDE中BE=5.延長(zhǎng)ACB交于F,貝U由CD:AB=5：10=1：2知CF=12,AF=24.于是一個(gè)杯子的容積等于兩個(gè)圓錐的體積之差，即12123Vn1024n512=700Mem）.33而大容器內(nèi)果汁的體積是n