閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)2014級(jí)

第3續(xù)與初等函數(shù)13.1.3區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性有界性定最值定零點(diǎn)存在定介值定一致連續(xù)2有界性定

反證致密性定定理 設(shè)f(x)C[a, f(

在[a,b證明設(shè)若不然，設(shè)f(x)在[a,b]上無上界nNxn[a,b],fxn){xn}[a,b],有收斂子列{xn},lim x0[a,b]. k 由f連續(xù)limfxn)fx0存在k 但由f( )nkk,有l(wèi)imf( ), k 3例1.證明:若f(x)在(,)內(nèi)連續(xù), fx存在,f(x)(,內(nèi)有界證令 f(x) 則給定0,X0,當(dāng)x有Af(x)A又f(xC[X,X],根據(jù)有界性定M1Xx4yM1f(x)A f(x)M1 Xx4yM1f(x)A 取MmaxA,AM1 f(x)M,x(,yyfyyfoax1x定理定理 設(shè)f(x)fx1,x2[a, x[a,有fx1maxff(x2)minf(只驗(yàn)證存x1

fx1supfx)M 由上確界定義nN,xn[a, M1f(x) {xn}[a,b],有收斂子列{

設(shè)lim x1[a,b]. k M1f( )

令k可知fxMn nk（證法：確界原理+致密性定理+迫斂性 證法二：由確界原理，f在[a,b]上有上確界只需驗(yàn)證存x1，

f(x1)supf(x) 假設(shè)x[ab]都有fx)Mgx)Mfx,x[a則g(x)在[a,b]上連續(xù)，故g(x)在[a,b]上有界 0g(x)

Mf(

x[a,定理 設(shè)f(x) x1,x定理 設(shè)f(x) x1,x2[a,f(x1)maxf(f(x2)minf(G這與M為f([a,b])的上確界(最小上界) ,,yfyf(1o12yf(o2 7零點(diǎn)定定理

fxC[a,b f(af(b(a,b), f()0fx0在(ab)內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)yyyyf(a bx連續(xù)曲線弧yf(x)的兩個(gè)端點(diǎn)位于x軸的不同側(cè),則曲線弧與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).8零點(diǎn)定理

f在閉區(qū)間[ab]上連續(xù),且f(af(b至少存在一點(diǎn)x0(a,b),使得fx0(應(yīng)用確界原

不妨

f(a)0,f(b)記Ex|fx)0,x[aaEbaEb

yf(由確界原理,E有下確界(i先證x0(a

inff(a)0,f(b)0.由連續(xù)函存在0,使f(x)0,x[a,a f(x)0,x(b,所以x0a,x0 即x0(a,9

再證fx0

x0inf

yf(E{x|f(x)0,x[a,由確界的定義，0xE,aEbx0xx0aEb令1(n1n1

得數(shù)列xnEx0

x0n

且fxn令nlimxn由f(x)的連續(xù)性，及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)limf(xn)f(limxn)f(x0) fx00,

f(x0)則fx0

yf( 使fx)0xUx0,

特別f(x) xE,與xinf 故 f(x0)用確界由確界定理，確認(rèn)點(diǎn)的存在性（關(guān)鍵一步（3）驗(yàn) 就是所要求的點(diǎn)例2證明方一個(gè)

x34x210在區(qū)間0,1)內(nèi)至少顯然f(x)x34x21C[0,1]f(0)1 故據(jù)零點(diǎn)定理至少存在一點(diǎn)(0,1f(0,3421二分二分012341x取0,1的中x1,f(110, 2則(1,1)內(nèi)必有方程的根2取[1,1的中x3,f(3)0, (13)內(nèi)必有方程的根可用此法求近 例3.證明任意奇次代數(shù)方程必有實(shí)根證設(shè)pxx2n1ax0

ax2

a2n1xa2n1pxC,1p(x)x2n1(1a0a1a2n1 x x

xlimp(x),limp(x) 故存在ab,p(a)0,p(b)(ab使p(介值定定理3.1.11

f(x)C[a,b] 且f(a) f(b)AB

至少一點(diǎn)(a,

使得f(

yf證：作輔助函數(shù)xfx則(x)C[a,b] (a)(b) (A)(B)

A b ,b),使()0 f() 推論1在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最M與最小m之間的任何值yyf(x)ab(Mf(x1)f( (mf(x2)f( f() o推論2閉區(qū)間上非常數(shù)的連續(xù)函數(shù)的值域?yàn)?f([a,b])[m,M例 fC(a,b),ax1x2xnn求證(ab),f()n

f( 證明fCx1

k令m x[x1,xn1

f(x),M x[x1,xnn

f(m

nkn

f(xk

) (x1,xn

使f()

nkn

f(xk思考題：某短跑運(yùn)動(dòng)員跑完100米用了10秒，證明其中必10米的距離恰好用1秒跑完函數(shù)的一致連續(xù)連續(xù)的0,0,使當(dāng)x

時(shí)恒有fxfx0是一個(gè)局部概

與x0有 (,x0一致連續(xù)——在某個(gè)區(qū)間上“一起”一致連續(xù)是區(qū)間上整體的性質(zhì),強(qiáng)調(diào)有公共的 續(xù):0,(,x0一致連續(xù): ((定義10,0,x1x2I,|x1x2|,總有|f(x1)f(x2)|,則稱f( 顯然 f(x)在區(qū)間 上一致連fx)在區(qū)間I上連直觀地說,fI上一致連續(xù)意味,小于

就可

fxfx

yoxyoxx可以看出，一致連續(xù)要求函數(shù)變化不要“太陡例 cosx在,上一致連續(xù)證明0cosxcos 2sinx1x2sinx1x12 x12cosx1cos

2sinx1x22

x1取

x1

時(shí),cosx1cosx2coscosxcosy2sinxysinx22.例 f(x) C(0, 但不一致連x證令

對(duì)任

取N1] 取點(diǎn)x1, (nN) nx

1

1

n

n(n x但fx1fx2x

n(n

10這說

fx) 在01上不一致連f在f在I上不一致連x1,x2:x1x20, f(x1)f(x2)0例8.證明fx)1在上一致連續(xù)(x證：x1x2f(

)f(x2)

11

x2x2

1當(dāng)x2x1 時(shí)1f(x1)f(x2)定理5（Cantor一致連續(xù)性定理）若函數(shù)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 則f在[a,b]上一致連續(xù).即：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都是一致連續(xù)證明方法：反證密性證假設(shè)f在[a,b]上不一致連續(xù)

00,nN+

,yn

xnyn

f(

)f(yn

01由于xna,b,必有收斂子列{ 1klim x0a,bk 設(shè){ }為{y}的任一子 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性設(shè)fxC[a,b],fx)在[a,b上有界f(x)在[a,bf(a)f(b0時(shí),必存(a,bf(fx)在[a,b上一致連續(xù)1計(jì)算lim(cosxln(1x2x0limf(x)g(x) elim(f(x)1)g(

(1 lncoslim(cosx)ln(1x2)

ex0ln(1x2 lncos limlncosxlimcosx1x0ln(1x2

原式e2設(shè)f(x)定義在區(qū)間(,)上,x1, x2R,有f(x1x2)f(x1)f(x2),若f(x)在x0連續(xù),證明f(x)對(duì)一切x都連續(xù).提示 f(xx)lim[f(x)f

f(x)ff(x f(x)設(shè)fCa,，且limfx)存在求證：fx)在[a,)有界證明設(shè)limfxxNa使xN時(shí),|fxA|①|(zhì)f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1②在[aN]上f連續(xù)，必有界x[a,N],|f(x)|M③令L1|A|M，則對(duì)一切x[a,),總有|fx| fCa,b,且f(a0)和f(b0)存在(包括無窮大）且異號(hào)，證明：(a,bs.t. ）0.證明limfxAlimfx ~ x~

f(x) x(a,b), xb.f~x)在[a,b內(nèi)連續(xù),而f~(a0f~(b0(a,b)，s.t.

即f(證明 函R(x)

x 為正p為既約真分?jǐn)?shù)x=0,1,或?yàn)閰^(qū)間(0,1)的無理,讀題 2/3)?, 3/3)?,R(/4)?,R(e/5)R(1/9)?,R(2/9)?,R(4/9)?,R(7/9)R(3/9)?,R(6/9)Rx1的x有幾個(gè)Rx1的x有幾個(gè) Rx1的x有不會(huì)超過8個(gè)9Rx1的函數(shù)值為:11,1 2 使R(x)1 127對(duì)于任意給定的0,使R(x) 的x至多有幾個(gè)?(有限個(gè)5.證明 函qR(x)q

xpq

x=0,1,或?yàn)閰^(qū)間(0,1)的無理在(0,1)內(nèi)任何無理點(diǎn)都連續(xù),任何有理點(diǎn)處都不連續(xù)證 先證在有理點(diǎn)不連續(xù)x0為(0,1)內(nèi)的有理點(diǎn).以下

lim(R(x)R(x0))xp1設(shè)x0 p1對(duì) (無論如何小 在U(x0,)內(nèi)總可以找到無理數(shù)x,使|R(x)R(x)|1 即limR(x)R(x0故R(x)在點(diǎn)x0不連續(xù)證再證函數(shù)在無理點(diǎn)連續(xù).設(shè)(0,1)為無理點(diǎn)R(以下要證

limR(x)