立體幾何初步(知識(shí)點(diǎn)梳理)

春季高考立體幾何部分知識(shí)點(diǎn)梳理及歷年試題一.線面之間空間關(guān)系及證明方法A.線//線的證明方法1.將兩條直線放到一個(gè)平面內(nèi)（或者轉(zhuǎn)移到同一平面內(nèi)）利用平行四邊形或者三角形的中位線來證明2.一條直線與一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.（線//面線//線）3.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。（面//面線//線）4.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。B.線⊥線的證明方法1.異面直線平移到一個(gè)平面內(nèi)證明垂直2.一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線與平面內(nèi)任意直線垂直.（線⊥面線⊥線）C.線//面的證明方法1.平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行,則該直線與此平面平行.（線//線線//面）2.如果兩個(gè)平面平行,那么其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面（面//面線//面）D.線⊥面的證明方法1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（線⊥線線⊥面）2.兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面（面⊥面線⊥面）E.面//面的證明方法1.一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩平面平行（線//面面//面）2.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行,那么這兩個(gè)平面平行（線//線面//面）3.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。4.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。F.面⊥面的證明方法1.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直（線⊥面面⊥面）二.各幾何體的體積公式柱體（圓柱，棱柱）V=s?h其中s為底面積，h為高椎體（圓柱，棱柱）V=13s?h其中s球體體積V=43πr2023年春考真題23.已知空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：1.AC與BD是相交直線2.AB//DC3.四邊形EFGH是平行四邊形4.EH//平面BCD其中真命題的個(gè)數(shù)是A.4B.3C.2D.1解析：如圖AC與BD沒有相交，是異面直線。所以1錯(cuò)；AB和DC也是異面直線，所以2錯(cuò)。根據(jù)三角形中位線EH//BD,FG//BD,所以EH//FG,同理HG//EF,所以四邊形EFGH是平行四邊形是正確的；因?yàn)镋H//FG,所以EH//平面BCD正確(平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行,則該直線與此平面平行)。綜合來看正確的命題有2個(gè)，答案選C2023年春考真題28題已知圓錐的底面半徑為1，高為3，則該圓錐的體積是_________.解析：V=V=13s?h=V=132023年春考真題33題33.如圖所示，已知正四棱錐S-ABCD，E，F(xiàn)分別是棱柱SA，SC的中點(diǎn)。求證（1）EF//平面ABCD（2）EF⊥平面SBD解析：（1）連接AC交BD于P，在?SAC中E，F(xiàn)分別是棱柱SA，SC的中點(diǎn)，所以在三角形中中位線EF//AC。因?yàn)锳C?面ABCD，EF?面ABCD，所以EF//平面ABCD（平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行,則該直線與此平面平行.）（2）連接SP，因?yàn)閜是正四棱錐S-ABCD的中心，所以SP⊥面ABCD，所以SP⊥AP，又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中AP⊥BD，所以AP⊥面SBD（一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直），因?yàn)镋F//AP,所以EF⊥平面SBD2023年春考真題18題18.下列四個(gè)命題：(1).過平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知平面平行；(2).過平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知平面平垂直；(3).平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行；(4).垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4解析：過平面外一點(diǎn)可以有很多條直線與已知平面平行，這些直線可以構(gòu)成一個(gè)平面與已知平面平行所以(1)錯(cuò)。垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面也可以垂直，例如墻角上的三個(gè)面。所以真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)。28．一個(gè)球的體積與其表面積的數(shù)值恰好相等，該球的直徑是___________.解析：設(shè)球的半徑為r，球體體積V=43πr3，表面積S=4πr2有等式432023年春考真題33題33.如圖所示，已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1（1）求三棱錐C1-BCD的體積（2）求證平面C1BD⊥平面A1B1CD解析：（1）VC1-BCD=13S?BCD?CC1=13×(（2）證明：在正方體ABCD-A1B1C1D1中棱A1B1⊥面BB1CC1,所以A1B1⊥BC1（一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線與平面內(nèi)任意直線垂直）在正方形BB1CC1中BC1⊥CB1，又因?yàn)锳1B1與CB1相交于B1,所以BC1⊥平面A1B1CD，（一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直）面C1BD過直線BC1，所以平面C1BD⊥平面A1B1CD（如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直）2023年春考真題17題17.正方體的棱長為2，下列結(jié)論正確的是（A）異面直線AD1與CD所成的角為45°（B）直線AD1與平面ABCD所成的角為60°（C）直線AD1與CD1所成的角為90°（D）VD1-ACD=4解析：A中的異面直線問題要將異面直線轉(zhuǎn)移到一個(gè)平面內(nèi)，觀察圖形因?yàn)镃D//C1D1所以異面直線AD1與CD所成的角轉(zhuǎn)成異面直線AD1與C1D1所成的角，即角AD1C1。因?yàn)镃1D1⊥面AA1DD1，所以C1D1⊥AD1，角AD1C1=90°B考察的是線與面成的角。因?yàn)镈D1⊥面ABCD，所以直線AD1與平面ABCD所成的角為角DAD1，為45°C中直線AD1與CD1還有直線AC構(gòu)成了等邊三角形，所以AD1與CD1所成的角為60°D中VD1-ACD=13×綜上，D答案正確。2023年春考真題24題24.如一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為8π的半圓面，則該圓錐的體積為________.解析：如圖圓的面積公式為πr2，根據(jù)半圓面積8π解得半徑r=4，半圓的周長為πr=4π，這4π要充當(dāng)圓錐底面的周長，所以圓錐底面的半徑R為2,在圓錐中母線r=4，解出h=12=23，所以圓錐的體積為V=13πR2?h2023年春考真題29題29.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E為PD中點(diǎn)，AB//CD且AB=12CD，AB⊥AD。求證：（1）AE⊥平面PCD（2）AE//平面PBC解析：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，因?yàn)锳B⊥AD，所以AB⊥面PAD，因?yàn)锳B//CD所以CD⊥面PAD，所以CD⊥AE在三角形APD中PA=AD，且E為等腰三角形的中點(diǎn)，所以AE⊥PD，因?yàn)镃D與PD相交于D所以AE⊥平面PCD（一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直）（2）如圖取PC的中點(diǎn)F，分別連接EF和B