多目標(biāo)優(yōu)化課件

建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型中的尺度變換多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題優(yōu)化方法的選擇及評(píng)價(jià)準(zhǔn)則第七章關(guān)于機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中的幾個(gè)問(wèn)題建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問(wèn)題第七章關(guān)于機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中的1優(yōu)化數(shù)學(xué)模型總體包含：設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件7.1.1關(guān)于設(shè)計(jì)變量的確定工程設(shè)計(jì)中總是包含許多各種設(shè)計(jì)參數(shù)。在確定設(shè)計(jì)變量時(shí)，要對(duì)各種參數(shù)加以分析，以進(jìn)行取舍。設(shè)計(jì)變量必須是獨(dú)立變量。要從優(yōu)互相依賴關(guān)系的變量中剔除非獨(dú)立變量。7.1建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問(wèn)題優(yōu)化數(shù)學(xué)模型總體包含：設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件7.1.12下圖所示為汽車前輪轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)。等腰梯形機(jī)構(gòu)ABCD中，給定機(jī)架長(zhǎng)度LAD=a（常數(shù)）。當(dāng)汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)，為了保證所有車輪都處于純滾動(dòng)，要求從動(dòng)件CD轉(zhuǎn)角與主動(dòng)件AB轉(zhuǎn)角保持某確定關(guān)系該四桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)有各桿長(zhǎng)度：l1,l2,l3,l4，和初始角其中l(wèi)4=a為已知，是設(shè)計(jì)常量；又l1=l3，l3為非獨(dú)立變量；又，l2是l1與的函數(shù)，故l2也為非獨(dú)立變量。所以只有兩個(gè)參數(shù)是獨(dú)立變量下圖所示為汽車前輪轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)。該四桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)有3設(shè)計(jì)變量愈多,維數(shù)愈高，設(shè)計(jì)的自由度越大，容易得到較理想的優(yōu)化結(jié)果；但維數(shù)越高，會(huì)使目標(biāo)函數(shù)，約束函數(shù)所包含的變量增多，導(dǎo)致計(jì)算量增大，并使優(yōu)化過(guò)程更為復(fù)雜及降低解題的效率。所以，在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，確定設(shè)計(jì)變量的原則是在滿足設(shè)計(jì)要求得前提下，將盡可能減少設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)，即降低維數(shù)。按設(shè)計(jì)問(wèn)題維數(shù)的大小，通常把優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題規(guī)模分為三類：小型優(yōu)化問(wèn)題：維數(shù)2-10中型優(yōu)化問(wèn)題：維數(shù)10-50大型優(yōu)化問(wèn)題：維數(shù)50以上設(shè)計(jì)變量愈多,維數(shù)愈高，設(shè)計(jì)的自由度越大，容易得到47.1.2關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型中的目標(biāo)函數(shù)F（x），是以設(shè)計(jì)變量表示設(shè)計(jì)問(wèn)題所追求的某一種或幾種性能指標(biāo)的解析表達(dá)式，用它來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣程度。通常，設(shè)計(jì)所追求的性能指標(biāo)較多，建立目標(biāo)函數(shù)，要針對(duì)影響質(zhì)量和性能最為重要的，最顯著的指標(biāo)作為設(shè)計(jì)追求的根本目標(biāo)寫入目標(biāo)函數(shù)。所建立的目標(biāo)函數(shù)一般分為：?jiǎn)文繕?biāo)函數(shù)，多目標(biāo)函數(shù)一般的，所包含的分目標(biāo)函數(shù)越多，設(shè)計(jì)結(jié)果越完善，但設(shè)計(jì)求解的難度增大。因此，在實(shí)際設(shè)計(jì)中，在滿足設(shè)計(jì)性能要求的前提下，應(yīng)盡量減少分目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)。7.1.2關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型中的目標(biāo)函57.1.3關(guān)于約束條件問(wèn)題設(shè)計(jì)約束是在設(shè)計(jì)中對(duì)設(shè)計(jì)變量所提出的種種限制來(lái)確定的。約束條件表達(dá)式同常有顯性約束與隱性約束；不等式約數(shù)與等式約束；邊界約束與性能約束等。在設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量減少約束條件的個(gè)數(shù)。在眾多約束條件中，可能存在消極約束，所謂消極約束是指在某些約束得到滿足時(shí)，而有另一個(gè)或幾個(gè)約束必然得到滿足，其作用被覆蓋，被覆蓋了作用的約束稱為消極約束。如果經(jīng)分析能確認(rèn)是消極約束，在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)將其除掉。在一般情況下，消極約束是不容易識(shí)別出來(lái)的。所以，在很多時(shí)候，仍是將全部約束都列出來(lái)，不加區(qū)別的代進(jìn)算法程序中求解計(jì)算。7.1.3關(guān)于約束條件問(wèn)題設(shè)計(jì)約束是在設(shè)計(jì)中對(duì)設(shè)計(jì)變量67.2.1數(shù)學(xué)模型中的尺度變換數(shù)學(xué)模型中的尺度變換問(wèn)題，是指用過(guò)改變?cè)谠O(shè)計(jì)空間中個(gè)坐標(biāo)分量的比例，以改善數(shù)學(xué)性態(tài)的一種辦法。7.2.1設(shè)計(jì)變量的尺度變換7.2.2約束條件的尺度變換7.2.3目標(biāo)函數(shù)的尺度變換7.2.1數(shù)學(xué)模型中的尺度變換數(shù)學(xué)模型中的尺度變換問(wèn)77.3多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題在設(shè)計(jì)中，優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的好壞僅依賴于一項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)，即所建立的目標(biāo)函數(shù)僅含一個(gè)目標(biāo)的函數(shù)，這樣的目標(biāo)函數(shù)稱為單目標(biāo)函數(shù)，屬于單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。在許多實(shí)際設(shè)計(jì)中，一個(gè)設(shè)計(jì)方案又企望有幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)同時(shí)都達(dá)到最優(yōu)值，這種在優(yōu)化設(shè)計(jì)中同時(shí)要求兩項(xiàng)極其以上設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值得問(wèn)題，成為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，目標(biāo)函數(shù)稱為多目標(biāo)函數(shù)。7.3多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題在設(shè)計(jì)中，優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的好87.3.1多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)中，若有m個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)表達(dá)的目標(biāo)函數(shù)要求同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，則表示為上式稱為向量目標(biāo)函數(shù)，是多目標(biāo)函數(shù)；式中的f1(x),f2(x),……，fm(x)稱為目標(biāo)函數(shù)中的各分目標(biāo)函數(shù)。7.3.1多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)中，若有m個(gè)9數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式gu(x)≥0(u=1,2,……，p)hv(x)=0(v=1,2……，q<n)為了與單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題相區(qū)別，在目標(biāo)函數(shù)前加V，即表示為數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式gu(x)≥0107.3.2多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念在單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)于各種性態(tài)函數(shù)，總可以通過(guò)對(duì)迭代點(diǎn)函數(shù)值的比較，找出全局最優(yōu)解，對(duì)任意兩個(gè)解都能判斷其優(yōu)劣。而多目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題與單目標(biāo)則有根本區(qū)別，任意兩個(gè)解之間，就不一定能判斷出優(yōu)劣。1絕對(duì)最優(yōu)解定義一：一般表達(dá)式多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，若包括所有的J=1，2，……m對(duì)于任意的設(shè)計(jì)點(diǎn)x∈D都有fj(x)≥fj(x*)成立，則點(diǎn)x*是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的絕對(duì)最優(yōu)解。7.3.2多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念在單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)11無(wú)約束一維多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題(維數(shù)n=1，分目標(biāo)m=2)x*為絕對(duì)最優(yōu)解得迭代點(diǎn)，絕對(duì)最優(yōu)解（x*，F(xiàn)*）約束一維多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)解的情況。在可行域[0，1]中，絕對(duì)最優(yōu)解發(fā)生在x*=1處。存在絕對(duì)最優(yōu)解（x*，F(xiàn)*）n=2m=2約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)解的情況，點(diǎn)x*為最優(yōu)點(diǎn)。無(wú)約束一維多目標(biāo)約束一維多目標(biāo)優(yōu)n=2122有效解（非裂解）與劣解定義二：對(duì)于一般表達(dá)式，若有設(shè)計(jì)點(diǎn)x∈D，不存在任意的x∈D，使F(x)≤F(x*)成立，或fj(x)≥fj(x*)，對(duì)于所有的j=1，2，……m成立。則稱x*為有效解或非劣解。例7.1一個(gè)二維分目標(biāo)（n=1，m=2）的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題為D：2有效解（非裂解）與劣解定義二：對(duì)于一般表達(dá)式，若有設(shè)計(jì)點(diǎn)x13見(jiàn)右下圖。取x=b，該點(diǎn)是有效解。因?yàn)樵诳尚杏駾內(nèi)，任取另一點(diǎn)X，不存在F(x)≤F(b)，即f1(x)≤f1(b)，又同時(shí)有f2(x)≤f2(b)。x=b點(diǎn)滿足有效解定義。同理，區(qū)間[1，2]中的任意一點(diǎn)都滿足有效解定義。所以，區(qū)間[1，2]組成了有效解（非劣解）集。見(jiàn)右下圖。同理，區(qū)間[1，2]中的14定義三：在可行域D內(nèi)，除絕對(duì)最優(yōu)解與有效解集以外，部分的設(shè)計(jì)點(diǎn)均稱劣解點(diǎn)，劣解點(diǎn)的全部稱為劣解集。例7.2一個(gè)二維分目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。D：見(jiàn)右圖，在可行域[0，4]內(nèi)，區(qū)間[1，3]為有效解集；[0，1]，[3，4]為劣解集。定義三：在可行域D內(nèi)，除絕對(duì)最優(yōu)解與有效解集以外，例7.2一15例7.3二維（n=2）兩個(gè)分目標(biāo)（m=2）優(yōu)化問(wèn)題。分目標(biāo)函數(shù)為f1(x),f2(x)，可行域D目標(biāo)函數(shù)等值線見(jiàn)右下圖。該優(yōu)化問(wèn)題不存在絕對(duì)最優(yōu)解，可行域D邊界上一段曲線A1至A2為有效解集，在可行域的其余部分全部構(gòu)成劣解集。將其映射到目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成空間圖(b)，曲線A1A2與Q1Q2對(duì)應(yīng)，一些目標(biāo)函數(shù)值比較小的解集在曲線Q1Q2上，為有效集。例7.3二維（n=2）兩個(gè)分目標(biāo)（m=2）優(yōu)化問(wèn)題。分目標(biāo)該163最終解（選好解）從有效解中選出最終解或稱選好解。如無(wú)某種要求，一般從有效解集（A1A2曲線或Q1Q2曲線）中任選一點(diǎn)，都可作為最終解；有時(shí)，設(shè)計(jì)者要根據(jù)設(shè)計(jì)問(wèn)題的不同要求與意愿，從中選出一個(gè)符合某種要求“滿意”的解作為最終解。3最終解（選好解）從有效解中選出最終解或稱選好解。如177.3.3多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的求解方法多目標(biāo)優(yōu)化求解方法大體分為兩大類。其一是將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題化為一系列單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求解；另一是將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題重新構(gòu)造成一個(gè)新的函數(shù)，即評(píng)價(jià)函數(shù)，從而將多目標(biāo)優(yōu)化求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤u(píng)價(jià)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。一，寬容分層序列法該方法的基本思想是將7.3.3多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的求解方法多目標(biāo)優(yōu)化求解方法大18中的m個(gè)目標(biāo)函數(shù)按工程中某種意義分清主次，按重要程度逐一排隊(duì)，重要的目標(biāo)函數(shù)排在前面，然后依次對(duì)分目標(biāo)函數(shù)求各自的最優(yōu)解，只是最后一個(gè)目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)應(yīng)在前一個(gè)目標(biāo)最優(yōu)解的集合域內(nèi)求優(yōu)。但由于分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解常常是唯一的，其最優(yōu)解域的集合只有一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)那么求下一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解就無(wú)意義了。為了使分層序列法不是去在有效解中秋最終解（選好解）的功能，則將各目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值給與放寬，使在后一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)時(shí)，能在前一個(gè)最優(yōu)值附近的某一范圍內(nèi)求優(yōu)。具體做法如下：中的m個(gè)目標(biāo)函數(shù)按工程中某種意義分清主次，按重要程度逐一排隊(duì)19對(duì)一般表達(dá)式的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，給各分目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的寬容量分別是……則寬容分層序列法的步驟如下①②③m求解得到最優(yōu)解…………對(duì)一般表達(dá)式的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，給各分目標(biāo)函數(shù)①②20上式也可寫為①②求解得到最優(yōu)解i=1，2，……，m-1取最后一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)作為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)x*。即上式也可寫為①②求解得到最優(yōu)解i=1，2，……，m-1取最后21二，線形加權(quán)法線形加權(quán)法又稱線形組合法，它是處理多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題常用的較簡(jiǎn)單的一種方法。按各分函數(shù)的重要程度，對(duì)應(yīng)的選擇一組加權(quán)系數(shù)λ1，Λ2，……，λm。其界線為（j=1，2，……m）用fj(x)與λj(x)（j=1，2，……m）的線形組合構(gòu)成一個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)二，線形加權(quán)法線形加權(quán)法又稱線形組合法，它是處理多目22求新的評(píng)價(jià)函數(shù)最優(yōu)解，即gu(x)≥0hv(x)=0D：x*即將一般式的單多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求上式的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求新的評(píng)價(jià)函數(shù)最優(yōu)解，即gu(x)≥0D：x23關(guān)于確定一組合理的加權(quán)系數(shù)λj（j=1，2……，m），希望能準(zhǔn)確的反映各目標(biāo)函數(shù)在整個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中的重要程度，它是一個(gè)困難且較復(fù)雜的問(wèn)題，如果取得合理，則可以達(dá)到預(yù)期優(yōu)化的目的，否則有可能造成計(jì)算謬誤而失敗。目前，確定加權(quán)系數(shù)有的是設(shè)計(jì)者評(píng)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)直接給定，也有用試算統(tǒng)計(jì)計(jì)算。（j=1，2，……m）其中，（j=1，2……，m）即分目標(biāo)在可行域內(nèi)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。式中的反映了各分目標(biāo)函數(shù)離開(kāi)各自最優(yōu)值得程度。關(guān)于確定一組合理的加權(quán)系數(shù)λj（j=1，2……，m）24三，理想點(diǎn)法多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的一般式中，先求出各分目標(biāo)函數(shù)在可行域D內(nèi)的最優(yōu)解（j=1，2……，m）最有函數(shù)值向量上式稱為理想解。如果在本問(wèn)題不存在絕對(duì)最優(yōu)解的情況下，對(duì)于向量目標(biāo)函數(shù)來(lái)說(shuō)理想解似得不到的；但要力求使各分目標(biāo)僅可能接近各自的理想值，則可以認(rèn)為達(dá)到有效解中的選好解。三，理想點(diǎn)法多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的一般式中，先求出各分目標(biāo)25在實(shí)際的設(shè)計(jì)中，也常常按照設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)與期望制定出一個(gè)合理的各分目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)成理想解將與在寫法上統(tǒng)一為，在構(gòu)造設(shè)計(jì)方案與理想解之間的離差函數(shù)U(x),U(x)函數(shù)可取以下形式相對(duì)離差加權(quán)相對(duì)離差在實(shí)際的設(shè)計(jì)中，也常常按照設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)與期望制定將26平方和加權(quán)離差絕對(duì)值離差將式中的多目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造出以上幾式的單目標(biāo)函數(shù)作為評(píng)價(jià)函數(shù)，用評(píng)價(jià)目標(biāo)函數(shù)的解作為原多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最終解。其表達(dá)式為gu(x)≥0hv(x)=0D：平方和加權(quán)離差絕對(duì)值離差將式27四，乘除法該方法適于處理下面問(wèn)題。按分目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)可分為兩類，兩類的期望相反。其中的一類是表現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)值越小越好，如追求體重輕，結(jié)構(gòu)緊湊，原材料消耗少，加工成本和加工費(fèi)低，磨損量和應(yīng)力小等；另外一類表現(xiàn)為目標(biāo)函數(shù)值越大越好，如產(chǎn)品產(chǎn)量，機(jī)械效率，零件強(qiáng)度及剛度，利潤(rùn)，承載能力等。建議如下構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)：其中，s(s<m)為第一類函數(shù)，(分目標(biāo)函數(shù)期望取小)四，乘除法該方法適于處理下面問(wèn)題。按分目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)28如果有兩個(gè)分目標(biāo)函數(shù)f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。如下圖所示過(guò)域Df內(nèi)的任一通過(guò)原點(diǎn)o的直線oA，它的斜率為當(dāng)時(shí)，即直線oA移到與域Df邊界的左方相切，切點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為乘除法求得的選好解如果有兩個(gè)分目標(biāo)函數(shù)f1(x),f2(x)期望maxf1(x29五，協(xié)調(diào)曲線法這種方法是用來(lái)解決設(shè)計(jì)目標(biāo)互相矛盾的多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，為求最終解須對(duì)一般式個(gè)分目標(biāo)函數(shù)加以協(xié)調(diào)，以求在有效解集中求出選好解，作為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最終解?，F(xiàn)以兩個(gè)分目標(biāo)函數(shù)組成的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題為例。五，協(xié)調(diào)曲線法這種方法是用來(lái)解決設(shè)計(jì)目標(biāo)互相矛盾的多目30兩分目標(biāo)的最優(yōu)點(diǎn)分別在A1及A2，它們的分目標(biāo)函數(shù)值為A1點(diǎn)A2點(diǎn)在可行域D內(nèi)任取一點(diǎn)B，其分目標(biāo)函數(shù)值為當(dāng)固定，極小化f1(x)的可行域邊界點(diǎn)C，C點(diǎn)的分目標(biāo)函數(shù)值為當(dāng)固定，極小化f2(x)的可行域邊界點(diǎn)C，C點(diǎn)的分目標(biāo)函數(shù)值為兩分目標(biāo)的最優(yōu)點(diǎn)分別在A1及A2，它們的分目標(biāo)函數(shù)值為A1點(diǎn)31可見(jiàn)，C，D兩點(diǎn)都優(yōu)于B點(diǎn)，在CD曲線上任選一點(diǎn)代表的方案至少有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的到改善，所以CD曲線上任一點(diǎn)都優(yōu)于B點(diǎn)。曲線A1CDA2代表著有效解的解集，故稱此曲線為協(xié)調(diào)曲線。選好解（最終解）應(yīng)從協(xié)調(diào)曲線上選取。為從協(xié)調(diào)曲線上確定選好解，再以f1(x),f2(x)為坐標(biāo)建立一個(gè)新的坐標(biāo)系，見(jiàn)前面圖2。將圖1的協(xié)調(diào)曲線轉(zhuǎn)換到新的坐標(biāo)系中，對(duì)應(yīng)關(guān)系為A1-Q1，C-G，D-H，A2-Q2，則將A1CDA2曲線轉(zhuǎn)換到2圖中的Q1GHQ2曲線。為在協(xié)調(diào)曲線上確定一個(gè)選好解，一般需另外一項(xiàng)指標(biāo)，為此在2圖中畫出滿意曲線，隨著滿意程度的增加可使分目標(biāo)函數(shù)值均有所下降，直到o點(diǎn)，此點(diǎn)是從協(xié)調(diào)曲線上得出的最滿意設(shè)計(jì)方案。分目標(biāo)函數(shù)值為可見(jiàn)，C，D兩點(diǎn)都優(yōu)于B點(diǎn)，在CD曲線上任選一點(diǎn)代表32如何確定滿意函數(shù)或滿意曲線，要按工程實(shí)際情況，很多時(shí)候是依設(shè)計(jì)者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)而設(shè)置；也可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)而定。必要時(shí)對(duì)分目標(biāo)函數(shù)實(shí)行線形加權(quán)。協(xié)調(diào)曲線法適合分目標(biāo)追求出現(xiàn)矛盾情況。要在有效解集中找出最滿意的設(shè)計(jì)方案。在優(yōu)化過(guò)程中，有時(shí)為了某個(gè)具有較差值的分目標(biāo)也能達(dá)到較為理想，則要增大其他分目標(biāo)函數(shù)值為代價(jià)，其主要思想是對(duì)各分目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行協(xié)調(diào)，互相之間做出讓步，最終取得一個(gè)工程實(shí)際能認(rèn)可的滿意方案。對(duì)于兩個(gè)以上的分目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，所畫的協(xié)調(diào)曲線就變成多維抽象空間的超曲面，不可能用圖形來(lái)表示，則只能按數(shù)學(xué)模型由計(jì)算機(jī)自動(dòng)處理。如何確定滿意函數(shù)或滿意曲線，要按工程實(shí)際情況，很多337.4關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題7.4.1離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念7.4.2離散變量?jī)?yōu)化方法簡(jiǎn)介①湊整法②網(wǎng)格法③離散復(fù)合型法④離散型懲罰函數(shù)法7.4關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題7.4.1離散變量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)的347.5優(yōu)化方法的選擇及評(píng)價(jià)準(zhǔn)則7.5.1選擇優(yōu)化方法需考慮的問(wèn)題對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，在建立了數(shù)學(xué)模型之后，就要選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑏?lái)進(jìn)行最優(yōu)解得求解。目前，一般的做法是由設(shè)計(jì)者根據(jù)實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的特點(diǎn)，在對(duì)各種優(yōu)化方法按評(píng)價(jià)準(zhǔn)則所作的優(yōu)缺點(diǎn)介紹，結(jié)合已有的一些經(jīng)驗(yàn)來(lái)適當(dāng)?shù)倪x取算法。根據(jù)優(yōu)化問(wèn)題的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)倪x擇優(yōu)化方法是一個(gè)很重要的問(wèn)題。下面就優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型方面要考慮的一些因素分述如下：7.5優(yōu)化方法的選擇及評(píng)價(jià)準(zhǔn)則7.5.1選擇優(yōu)化方法需考慮的35⑴數(shù)學(xué)模型的類型

包括以下幾個(gè)方面：是有約束還是無(wú)約束，如有約束是等式約束還是不等式約束或是兩者兼有；設(shè)計(jì)變量是連續(xù)的還是離散的或者是混合的；目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)是線形的還是非線性的，即屬于現(xiàn)行規(guī)劃問(wèn)題還是非線性規(guī)劃問(wèn)題。⑵優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題規(guī)模的大小主要指設(shè)計(jì)變量的多少和約束條件的多少。⑶目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)是否連續(xù)和有凸性，是否存在一階和二階導(dǎo)數(shù)等。⑴數(shù)學(xué)模型的類型⑵優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題規(guī)模的大?、悄繕?biāo)函數(shù)和約束函367.5.2優(yōu)化方法的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則為了比較不同算法的特性以及相應(yīng)軟件的技術(shù)水平，就的要一個(gè)合理的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來(lái)加以衡量。下面簡(jiǎn)述幾個(gè)主要的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。1，可靠性算法的可靠性是指在合理的精度要求下，在一定的計(jì)算時(shí)間或一定的迭代次數(shù)內(nèi)求出最優(yōu)解得成功率。它表征了算法對(duì)各種優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的解題能力。能夠解出的問(wèn)題越多，可靠性就越高。判斷一種算法程序在解題中成功或失敗的標(biāo)準(zhǔn)，一般從兩個(gè)方面來(lái)認(rèn)定：其一是獲得解的精度是否可以被接受；其二是獲得一定精度解得計(jì)算機(jī)機(jī)時(shí)是否在允許的范圍以內(nèi)。7.5.2優(yōu)化方法的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則為了比較不同算法的特性以及372，有效性算法的有效性是指解題的效率?？捎盟惴ㄋ玫慕忸}時(shí)間或計(jì)算目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)值的次數(shù)以及求導(dǎo)數(shù)值的次數(shù)之和來(lái)衡量。軟件的有效性從實(shí)用角度來(lái)看是十分重要的。3，健壯性算法的健壯性又稱穩(wěn)定性。他是指該軟件和算法診斷和處理在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)異常情況的能力，繼程序抗數(shù)學(xué)模型病態(tài)的能力或求解病態(tài)問(wèn)題的適應(yīng)性。如果在程序中采取了對(duì)解算問(wèn)題的預(yù)檢，計(jì)算過(guò)程的監(jiān)督，異常情況的處理以及出錯(cuò)后進(jìn)行診斷或報(bào)告等措施，那么程序就能很好處理或解決一些病態(tài)問(wèn)題，即有良好的健壯性。良好的健壯性必然會(huì)提高軟件的可靠性，但可靠性不完全反應(yīng)在健壯性方面。2，有效性3，健壯性384，易用性易用性是指軟件使用的方便性和統(tǒng)一性。比如：有好的操作使用說(shuō)明書，可使用戶易于使用和樂(lè)于接受；在算法中對(duì)一些需要確定的參數(shù)在程序中給以設(shè)定或根據(jù)不同的情況自動(dòng)檢索取值，免去用戶自擬輸入的手續(xù)，即采用缺省參數(shù)的方法；在運(yùn)行過(guò)程中，采用人機(jī)對(duì)話的方式，使用戶隨時(shí)可以了解當(dāng)前的運(yùn)行狀態(tài)；在大型程序庫(kù)中，要求對(duì)各種方法能做到用戶編寫的函數(shù)子程序及原始信息的形式統(tǒng)一，技術(shù)文件和使用手冊(cè)格式的統(tǒng)一等。實(shí)際上，要全面客觀的評(píng)價(jià)一種算法或一個(gè)程序軟件的優(yōu)劣還是一種相當(dāng)復(fù)雜和困難的問(wèn)題，也是一項(xiàng)值得進(jìn)一步研究討論的課題。4，易用性實(shí)際上，要全面客觀的評(píng)價(jià)一種算法或一個(gè)程序軟件的優(yōu)39建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型中的尺度變換多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題優(yōu)化方法的選擇及評(píng)價(jià)準(zhǔn)則第七章關(guān)于機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中的幾個(gè)問(wèn)題建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問(wèn)題第七章關(guān)于機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中的40優(yōu)化數(shù)學(xué)模型總體包含：設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件7.1.1關(guān)于設(shè)計(jì)變量的確定工程設(shè)計(jì)中總是包含許多各種設(shè)計(jì)參數(shù)。在確定設(shè)計(jì)變量時(shí)，要對(duì)各種參數(shù)加以分析，以進(jìn)行取舍。設(shè)計(jì)變量必須是獨(dú)立變量。要從優(yōu)互相依賴關(guān)系的變量中剔除非獨(dú)立變量。7.1建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問(wèn)題優(yōu)化數(shù)學(xué)模型總體包含：設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件7.1.141下圖所示為汽車前輪轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)。等腰梯形機(jī)構(gòu)ABCD中，給定機(jī)架長(zhǎng)度LAD=a（常數(shù)）。當(dāng)汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)，為了保證所有車輪都處于純滾動(dòng)，要求從動(dòng)件CD轉(zhuǎn)角與主動(dòng)件AB轉(zhuǎn)角保持某確定關(guān)系該四桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)有各桿長(zhǎng)度：l1,l2,l3,l4，和初始角其中l(wèi)4=a為已知，是設(shè)計(jì)常量；又l1=l3，l3為非獨(dú)立變量；又，l2是l1與的函數(shù)，故l2也為非獨(dú)立變量。所以只有兩個(gè)參數(shù)是獨(dú)立變量下圖所示為汽車前輪轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)。該四桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)有42設(shè)計(jì)變量愈多,維數(shù)愈高，設(shè)計(jì)的自由度越大，容易得到較理想的優(yōu)化結(jié)果；但維數(shù)越高，會(huì)使目標(biāo)函數(shù)，約束函數(shù)所包含的變量增多，導(dǎo)致計(jì)算量增大，并使優(yōu)化過(guò)程更為復(fù)雜及降低解題的效率。所以，在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，確定設(shè)計(jì)變量的原則是在滿足設(shè)計(jì)要求得前提下，將盡可能減少設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)，即降低維數(shù)。按設(shè)計(jì)問(wèn)題維數(shù)的大小，通常把優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題規(guī)模分為三類：小型優(yōu)化問(wèn)題：維數(shù)2-10中型優(yōu)化問(wèn)題：維數(shù)10-50大型優(yōu)化問(wèn)題：維數(shù)50以上設(shè)計(jì)變量愈多,維數(shù)愈高，設(shè)計(jì)的自由度越大，容易得到437.1.2關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型中的目標(biāo)函數(shù)F（x），是以設(shè)計(jì)變量表示設(shè)計(jì)問(wèn)題所追求的某一種或幾種性能指標(biāo)的解析表達(dá)式，用它來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣程度。通常，設(shè)計(jì)所追求的性能指標(biāo)較多，建立目標(biāo)函數(shù)，要針對(duì)影響質(zhì)量和性能最為重要的，最顯著的指標(biāo)作為設(shè)計(jì)追求的根本目標(biāo)寫入目標(biāo)函數(shù)。所建立的目標(biāo)函數(shù)一般分為：?jiǎn)文繕?biāo)函數(shù)，多目標(biāo)函數(shù)一般的，所包含的分目標(biāo)函數(shù)越多，設(shè)計(jì)結(jié)果越完善，但設(shè)計(jì)求解的難度增大。因此，在實(shí)際設(shè)計(jì)中，在滿足設(shè)計(jì)性能要求的前提下，應(yīng)盡量減少分目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)。7.1.2關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型中的目標(biāo)函447.1.3關(guān)于約束條件問(wèn)題設(shè)計(jì)約束是在設(shè)計(jì)中對(duì)設(shè)計(jì)變量所提出的種種限制來(lái)確定的。約束條件表達(dá)式同常有顯性約束與隱性約束；不等式約數(shù)與等式約束；邊界約束與性能約束等。在設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量減少約束條件的個(gè)數(shù)。在眾多約束條件中，可能存在消極約束，所謂消極約束是指在某些約束得到滿足時(shí)，而有另一個(gè)或幾個(gè)約束必然得到滿足，其作用被覆蓋，被覆蓋了作用的約束稱為消極約束。如果經(jīng)分析能確認(rèn)是消極約束，在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)將其除掉。在一般情況下，消極約束是不容易識(shí)別出來(lái)的。所以，在很多時(shí)候，仍是將全部約束都列出來(lái)，不加區(qū)別的代進(jìn)算法程序中求解計(jì)算。7.1.3關(guān)于約束條件問(wèn)題設(shè)計(jì)約束是在設(shè)計(jì)中對(duì)設(shè)計(jì)變量457.2.1數(shù)學(xué)模型中的尺度變換數(shù)學(xué)模型中的尺度變換問(wèn)題，是指用過(guò)改變?cè)谠O(shè)計(jì)空間中個(gè)坐標(biāo)分量的比例，以改善數(shù)學(xué)性態(tài)的一種辦法。7.2.1設(shè)計(jì)變量的尺度變換7.2.2約束條件的尺度變換7.2.3目標(biāo)函數(shù)的尺度變換7.2.1數(shù)學(xué)模型中的尺度變換數(shù)學(xué)模型中的尺度變換問(wèn)467.3多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題在設(shè)計(jì)中，優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的好壞僅依賴于一項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)，即所建立的目標(biāo)函數(shù)僅含一個(gè)目標(biāo)的函數(shù)，這樣的目標(biāo)函數(shù)稱為單目標(biāo)函數(shù)，屬于單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。在許多實(shí)際設(shè)計(jì)中，一個(gè)設(shè)計(jì)方案又企望有幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)同時(shí)都達(dá)到最優(yōu)值，這種在優(yōu)化設(shè)計(jì)中同時(shí)要求兩項(xiàng)極其以上設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值得問(wèn)題，成為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，目標(biāo)函數(shù)稱為多目標(biāo)函數(shù)。7.3多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題在設(shè)計(jì)中，優(yōu)化設(shè)計(jì)方案的好477.3.1多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)中，若有m個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)表達(dá)的目標(biāo)函數(shù)要求同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，則表示為上式稱為向量目標(biāo)函數(shù)，是多目標(biāo)函數(shù)；式中的f1(x),f2(x),……，fm(x)稱為目標(biāo)函數(shù)中的各分目標(biāo)函數(shù)。7.3.1多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)中，若有m個(gè)48數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式gu(x)≥0(u=1,2,……，p)hv(x)=0(v=1,2……，q<n)為了與單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題相區(qū)別，在目標(biāo)函數(shù)前加V，即表示為數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式gu(x)≥0497.3.2多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念在單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)于各種性態(tài)函數(shù)，總可以通過(guò)對(duì)迭代點(diǎn)函數(shù)值的比較，找出全局最優(yōu)解，對(duì)任意兩個(gè)解都能判斷其優(yōu)劣。而多目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題與單目標(biāo)則有根本區(qū)別，任意兩個(gè)解之間，就不一定能判斷出優(yōu)劣。1絕對(duì)最優(yōu)解定義一：一般表達(dá)式多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，若包括所有的J=1，2，……m對(duì)于任意的設(shè)計(jì)點(diǎn)x∈D都有fj(x)≥fj(x*)成立，則點(diǎn)x*是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的絕對(duì)最優(yōu)解。7.3.2多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念在單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)50無(wú)約束一維多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題(維數(shù)n=1，分目標(biāo)m=2)x*為絕對(duì)最優(yōu)解得迭代點(diǎn)，絕對(duì)最優(yōu)解（x*，F(xiàn)*）約束一維多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)解的情況。在可行域[0，1]中，絕對(duì)最優(yōu)解發(fā)生在x*=1處。存在絕對(duì)最優(yōu)解（x*，F(xiàn)*）n=2m=2約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)解的情況，點(diǎn)x*為最優(yōu)點(diǎn)。無(wú)約束一維多目標(biāo)約束一維多目標(biāo)優(yōu)n=2512有效解（非裂解）與劣解定義二：對(duì)于一般表達(dá)式，若有設(shè)計(jì)點(diǎn)x∈D，不存在任意的x∈D，使F(x)≤F(x*)成立，或fj(x)≥fj(x*)，對(duì)于所有的j=1，2，……m成立。則稱x*為有效解或非劣解。例7.1一個(gè)二維分目標(biāo)（n=1，m=2）的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題為D：2有效解（非裂解）與劣解定義二：對(duì)于一般表達(dá)式，若有設(shè)計(jì)點(diǎn)x52見(jiàn)右下圖。取x=b，該點(diǎn)是有效解。因?yàn)樵诳尚杏駾內(nèi)，任取另一點(diǎn)X，不存在F(x)≤F(b)，即f1(x)≤f1(b)，又同時(shí)有f2(x)≤f2(b)。x=b點(diǎn)滿足有效解定義。同理，區(qū)間[1，2]中的任意一點(diǎn)都滿足有效解定義。所以，區(qū)間[1，2]組成了有效解（非劣解）集。見(jiàn)右下圖。同理，區(qū)間[1，2]中的53定義三：在可行域D內(nèi)，除絕對(duì)最優(yōu)解與有效解集以外，部分的設(shè)計(jì)點(diǎn)均稱劣解點(diǎn)，劣解點(diǎn)的全部稱為劣解集。例7.2一個(gè)二維分目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。D：見(jiàn)右圖，在可行域[0，4]內(nèi)，區(qū)間[1，3]為有效解集；[0，1]，[3，4]為劣解集。定義三：在可行域D內(nèi)，除絕對(duì)最優(yōu)解與有效解集以外，例7.2一54例7.3二維（n=2）兩個(gè)分目標(biāo)（m=2）優(yōu)化問(wèn)題。分目標(biāo)函數(shù)為f1(x),f2(x)，可行域D目標(biāo)函數(shù)等值線見(jiàn)右下圖。該優(yōu)化問(wèn)題不存在絕對(duì)最優(yōu)解，可行域D邊界上一段曲線A1至A2為有效解集，在可行域的其余部分全部構(gòu)成劣解集。將其映射到目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成空間圖(b)，曲線A1A2與Q1Q2對(duì)應(yīng)，一些目標(biāo)函數(shù)值比較小的解集在曲線Q1Q2上，為有效集。例7.3二維（n=2）兩個(gè)分目標(biāo)（m=2）優(yōu)化問(wèn)題。分目標(biāo)該553最終解（選好解）從有效解中選出最終解或稱選好解。如無(wú)某種要求，一般從有效解集（A1A2曲線或Q1Q2曲線）中任選一點(diǎn)，都可作為最終解；有時(shí)，設(shè)計(jì)者要根據(jù)設(shè)計(jì)問(wèn)題的不同要求與意愿，從中選出一個(gè)符合某種要求“滿意”的解作為最終解。3最終解（選好解）從有效解中選出最終解或稱選好解。如567.3.3多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的求解方法多目標(biāo)優(yōu)化求解方法大體分為兩大類。其一是將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題化為一系列單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求解；另一是將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題重新構(gòu)造成一個(gè)新的函數(shù)，即評(píng)價(jià)函數(shù)，從而將多目標(biāo)優(yōu)化求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤u(píng)價(jià)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。一，寬容分層序列法該方法的基本思想是將7.3.3多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的求解方法多目標(biāo)優(yōu)化求解方法大57中的m個(gè)目標(biāo)函數(shù)按工程中某種意義分清主次，按重要程度逐一排隊(duì)，重要的目標(biāo)函數(shù)排在前面，然后依次對(duì)分目標(biāo)函數(shù)求各自的最優(yōu)解，只是最后一個(gè)目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)應(yīng)在前一個(gè)目標(biāo)最優(yōu)解的集合域內(nèi)求優(yōu)。但由于分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解常常是唯一的，其最優(yōu)解域的集合只有一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)那么求下一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解就無(wú)意義了。為了使分層序列法不是去在有效解中秋最終解（選好解）的功能，則將各目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值給與放寬，使在后一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)時(shí)，能在前一個(gè)最優(yōu)值附近的某一范圍內(nèi)求優(yōu)。具體做法如下：中的m個(gè)目標(biāo)函數(shù)按工程中某種意義分清主次，按重要程度逐一排隊(duì)58對(duì)一般表達(dá)式的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，給各分目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的寬容量分別是……則寬容分層序列法的步驟如下①②③m求解得到最優(yōu)解…………對(duì)一般表達(dá)式的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，給各分目標(biāo)函數(shù)①②59上式也可寫為①②求解得到最優(yōu)解i=1，2，……，m-1取最后一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)作為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)點(diǎn)x*。即上式也可寫為①②求解得到最優(yōu)解i=1，2，……，m-1取最后60二，線形加權(quán)法線形加權(quán)法又稱線形組合法，它是處理多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題常用的較簡(jiǎn)單的一種方法。按各分函數(shù)的重要程度，對(duì)應(yīng)的選擇一組加權(quán)系數(shù)λ1，Λ2，……，λm。其界線為（j=1，2，……m）用fj(x)與λj(x)（j=1，2，……m）的線形組合構(gòu)成一個(gè)評(píng)價(jià)函數(shù)二，線形加權(quán)法線形加權(quán)法又稱線形組合法，它是處理多目61求新的評(píng)價(jià)函數(shù)最優(yōu)解，即gu(x)≥0hv(x)=0D：x*即將一般式的單多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求上式的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求新的評(píng)價(jià)函數(shù)最優(yōu)解，即gu(x)≥0D：x62關(guān)于確定一組合理的加權(quán)系數(shù)λj（j=1，2……，m），希望能準(zhǔn)確的反映各目標(biāo)函數(shù)在整個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中的重要程度，它是一個(gè)困難且較復(fù)雜的問(wèn)題，如果取得合理，則可以達(dá)到預(yù)期優(yōu)化的目的，否則有可能造成計(jì)算謬誤而失敗。目前，確定加權(quán)系數(shù)有的是設(shè)計(jì)者評(píng)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)直接給定，也有用試算統(tǒng)計(jì)計(jì)算。（j=1，2，……m）其中，（j=1，2……，m）即分目標(biāo)在可行域內(nèi)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。式中的反映了各分目標(biāo)函數(shù)離開(kāi)各自最優(yōu)值得程度。關(guān)于確定一組合理的加權(quán)系數(shù)λj（j=1，2……，m）63三，理想點(diǎn)法多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的一般式中，先求出各分目標(biāo)函數(shù)在可行域D內(nèi)的最優(yōu)解（j=1，2……，m）最有函數(shù)值向量上式稱為理想解。如果在本問(wèn)題不存在絕對(duì)最優(yōu)解的情況下，對(duì)于向量目標(biāo)函數(shù)來(lái)說(shuō)理想解似得不到的；但要力求使各分目標(biāo)僅可能接近各自的理想值，則可以認(rèn)為達(dá)到有效解中的選好解。三，理想點(diǎn)法多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的一般式中，先求出各分目標(biāo)64在實(shí)際的設(shè)計(jì)中，也常常按照設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)與期望制定出一個(gè)合理的各分目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)成理想解將與在寫法上統(tǒng)一為，在構(gòu)造設(shè)計(jì)方案與理想解之間的離差函數(shù)U(x),U(x)函數(shù)可取以下形式相對(duì)離差加權(quán)相對(duì)離差在實(shí)際的設(shè)計(jì)中，也常常按照設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)與期望制定將65平方和加權(quán)離差絕對(duì)值離差將式中的多目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造出以上幾式的單目標(biāo)函數(shù)作為評(píng)價(jià)函數(shù)，用評(píng)價(jià)目標(biāo)函數(shù)的解作為原多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最終解。其表達(dá)式為gu(x)≥0hv(x)=0D：平方和加權(quán)離差絕對(duì)值離差將式66四，乘除法該方法適于處理下面問(wèn)題。按分目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)可分為兩類，兩類的期望相反。其中的一類是表現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)值越小越好，如追求體重輕，結(jié)構(gòu)緊湊，原材料消耗少，加工成本和加工費(fèi)低，磨損量和應(yīng)力小等；另外一類表現(xiàn)為目標(biāo)函數(shù)值越大越好，如產(chǎn)品產(chǎn)量，機(jī)械效率，零件強(qiáng)度及剛度，利潤(rùn)，承載能力等。建議如下構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)：其中，s(s<m)為第一類函數(shù)，(分目標(biāo)函數(shù)期望取小)四，乘除法該方法適于處理下面問(wèn)題。按分目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)67如果有兩個(gè)分目標(biāo)函數(shù)f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。如下圖所示過(guò)域Df內(nèi)的任一通過(guò)原點(diǎn)o的直線oA，它的斜率為當(dāng)時(shí)，即直線oA移到與域Df邊界的左方相切，切點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即為乘除法求得的選好解如果有兩個(gè)分目標(biāo)函數(shù)f1(x),f2(x)期望maxf1(x68五，協(xié)調(diào)曲線法這種方法是用來(lái)解決設(shè)計(jì)目標(biāo)互相矛盾的多目標(biāo)設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，為求最終解須對(duì)一般式個(gè)分目標(biāo)函數(shù)加以協(xié)調(diào)，以求在有效解集中求出選好解，作為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最終解?，F(xiàn)以兩個(gè)分目標(biāo)函數(shù)組成的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題為例。五，協(xié)調(diào)曲線法這種方法是用來(lái)解決設(shè)計(jì)目標(biāo)互相矛盾的多目69兩分目標(biāo)的最優(yōu)點(diǎn)分別在A1及A2，它們的分目標(biāo)函數(shù)值為A1點(diǎn)A2點(diǎn)在可行域D內(nèi)任取一點(diǎn)B，其分目標(biāo)函數(shù)值為當(dāng)固定，極小化f1(x)的可行域邊界點(diǎn)C，C點(diǎn)的分目標(biāo)函數(shù)值為當(dāng)固定，極小化f2(x)的可行域邊界點(diǎn)C，C點(diǎn)的分目標(biāo)函數(shù)值為兩分目標(biāo)的最優(yōu)點(diǎn)分別在A1及A2，它們的分目標(biāo)函數(shù)值為A1點(diǎn)70可見(jiàn)，C，D兩點(diǎn)都優(yōu)于B點(diǎn)，在CD曲線上任選一點(diǎn)代表的方案至少有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的到改善，所以CD曲線上任一點(diǎn)都優(yōu)于B點(diǎn)。曲線A1CDA2代表著有效解的解集，故稱此曲線為協(xié)調(diào)曲線。選好解（最終解）應(yīng)從協(xié)調(diào)曲線上選取。為從協(xié)調(diào)曲線上確定選好解，再以f1(x),f2(x)為坐標(biāo)建立一個(gè)新的坐標(biāo)系，見(jiàn)前面圖2。將圖1的協(xié)調(diào)曲線轉(zhuǎn)換到新的坐標(biāo)系中，對(duì)應(yīng)關(guān)系為A1-Q1，C-G，D-H，A2-Q2，則將A1CDA2曲線轉(zhuǎn)換到2圖中的Q1GHQ2曲線。為在協(xié)調(diào)曲線上確定一個(gè)選好解，一般需另外一項(xiàng)指標(biāo)，為此在2圖中畫出滿意曲線，隨著滿意程度的增加可使分目標(biāo)函數(shù)值均有所下降，直到o點(diǎn)，此點(diǎn)是從協(xié)調(diào)曲線上得出的最滿意設(shè)計(jì)方案。分目標(biāo)函數(shù)值為可見(jiàn)，C，D兩點(diǎn)都優(yōu)于B點(diǎn)，在CD曲線上任選一點(diǎn)代表71如何確定滿意函數(shù)或滿意曲線，要按工程實(shí)際情況，很多時(shí)候是依設(shè)計(jì)者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)而設(shè)置；也可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)而定。必要時(shí)對(duì)分目標(biāo)函數(shù)實(shí)行線形加權(quán)。協(xié)調(diào)曲線法適合分目標(biāo)追求出現(xiàn)矛盾情況。要在有效解集中找出最