2010考研數(shù)二真題及解析

2010年入學(xué)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)二x2x21x2x21 (B) (C) (D)y1,y2ypxyqx的兩個(gè)特解,若，1,1 (B)1,1 (C)2,1 (D)2,2 yx2yalnx(a0相切,則a(1mln211mln21 n設(shè)m,n是正整數(shù),則反常積分 dx的收斂性(僅與m的取值有關(guān) (B)僅與n的取值有關(guān)(C)與m,n取值都有關(guān) (D)與m,n取值都無(wú)關(guān)設(shè)函數(shù)zz(xzyz

y)Fyzx

0FF20(A)x (B)z (C)x (D)znlim (ni1j1nin2j2 (A)

2dy (B)0dx0 dy 01x1y

1x1 (C)0dx01x1ydy (D)0dx01x1y2dy設(shè)向量組I ,r可由向量組II:1, ,s線性表示,下列命題正確的是(若向量組I線性無(wú)關(guān),則rs (B)若向量組I線性相關(guān),則rs(C)若向量組II線性無(wú)關(guān),則rs (D)若向量組II線性相關(guān),則rs設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣,且A2AO,若A的秩為3,則A相似 (

(B) 0 0

0 0 (C) (D) 0

0 二、填空題(9~14小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫(xiě)指定3階常系數(shù)線性齊次微分方程y2yy2y0的通解為y y

x2

函數(shù)yln12x在x0處的n階導(dǎo)數(shù)yn0 當(dāng)0時(shí),對(duì)數(shù)螺線re的弧長(zhǎng) 已知一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)l以2cm/sw以3cm/sl12cm,w5cm時(shí),它的對(duì)角線增加的速率 設(shè)A,B為3階矩陣,且A3，B2,A1B2,則AB1 f(x

(x2t)et2d1 (I)比較lntln1tdt與tnlntdtn1, 的大小,說(shuō)明理由 IIun0lntln1tdtn1,

,求極限limu x2tt2yf(x由參數(shù)方程y

(t1)所確定,其中(t2 d2

，(1)6.已知

2

4(1l的柱體形貯油罐,底面是長(zhǎng)軸為2a,短軸為2b3

2

設(shè)函數(shù)ufx,y4x212xy5y20ab的值,使等式在變換xay,xby下化簡(jiǎn)為0.(20)(本題滿分10分)D Ir2D

1r2cos2 D, | rs 4 f(x在閉區(qū)間0,1上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間0,1f(0)0f(1)13 明：存在(0,,(,1f(f()=

設(shè)A01，b 1 I)求aIIAxb的通解.(23)(本題滿分11分) 4 設(shè)A ,正交矩陣Q使得 0 16(1,2T1,求aQ16

AQ為對(duì)角矩陣,若Q的第1列為一、選擇題

2010入學(xué)統(tǒng)一考年年1x2x21【解析】因?yàn)?x2x21limf(x)

x(x

1

x0(x1)(x

11

1,lim11

21顯然limf(x) 11 ,所以x1為連續(xù)點(diǎn)21 x(xx1x(xx1(x1)(x1

x1【解析】y1y2yPxy0的解y1y2Pxy1y20,所yPxyyp(x)y0 1 2而由已知yPxyqx,yPxyqx qx0 又由于一階次微分方程ypxyqx是非齊的,由此可知qx00由于y1y2是非齊次微分方程yPxyqx的解y1y2Pxy1y2qx yPxyyPxyqx 1 2 qxqx,由qx0可知1 由①②求解得1,故應(yīng)選2a22xaxa2x

(x0yx2a2a2a當(dāng)x 時(shí)y ；在yalnx上,x 時(shí)a2a2a2

ya

a2 a2 所以 .從而解得a2e.故答案選擇 mln21nmln21n11mln21 1mln2111 dx dx dx1 n nmmln21n用比較判別法的極限形式,對(duì)于 dx,由于

[ln2(11 1xn 顯然,當(dāng)0 1,則該反常積分收斂1 1 20ln1n1

0,

[ln2(1

存在,此時(shí)

dx實(shí)際上不是反常積分,故n mmln21n121故不論m,n是什么正整數(shù), dx總收斂.對(duì)于1m1

1xdx001,不論mn

n1[ln2(1 1mln21

1(1

limln2(1x)m(1x)0所以2

n

y z FyF

F1x2F2x2 yFzF x

1 xF

x 1xF2F Fz

F2

FzFy xF1F Fz

F

yFzF FFxxyy F

2 1

z

j j j nin2j2ni(n2j2) j j j

lim1

j

n2j

n

j11(jn

010lim

nlim1

00

n nni11(in

1lim

1ni1j1nin2j2 nj1n2 i1n(lim

)(lim )nj1n2 ni1n) 1 dx)(1

1dx

dy01 01

01x1y2【解析】由于向量組I能由向量組II線性表示,所以r(I)r(II ,r) ,s)若向量組I線性無(wú)關(guān),則r(1, ,r)r,所以rr(1,rs,選(A).

,r ss特征值只能為-1或0.由于A為實(shí)對(duì)稱矩陣,故A可相似對(duì)角化,即

r(A)r()3,因此, ,即 0

0二、填空題

yCe2xCcosxCsinx 【解析】該常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程為322202222210解得特征根為2,i,所以通解 yCe2xCcosxCsinx y2x【解析】因?yàn)閘imx212 2x32x3lim 2x

0y2xxx

2 x222nn

n1(n【解析】由高階導(dǎo)數(shù)公式可知ln(n)(1x) (1所以ln(n12x(1)n1(n(1

2n (n1)!(1y(n)(0

(n1)!2n(n(122e10re200 e2e2d= 200【答案】3cm/slx(twy(ttt0x(t012,y(t05x(t0x2(t)y2y(t0)3,設(shè)該對(duì)角線長(zhǎng)為S(tx2(t)y2x(t)x(t)x(t)x(t)y(t)x2(t)y2x2(t0)y2(t0122122所 S(t0)x(tx2(t0)y2(t0122122A(A1B)B1EAB)B1B1AA

A(A1B)B11

A1

2B1

22三、解答題2

AB1

A1

32132x 2x2【解析】因?yàn)閒(x)(x dtx dt

dt 24x24 x224x24所

1

etdt2x3e

2x3e

et2 , f(x) , f(x)2x2et2dt4x2ex4f(0)20et2dt0 f(0)0(0t)et2dt1et211(1

f(1)4e10f(1)0x1時(shí),f(x00x1時(shí),f(x01x0時(shí),f(x0x1時(shí),f(x)0,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

(0,1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1, I)當(dāng)0x1時(shí)0ln(1xx,故ln(1t)ntnlntln(1t)nlnttn01 1lntln(1t)ndt1lnttndtn1, 01(II)1lnttndt

1lnttndt

1lntdtn1 n

n

1lnttndt 根 定理得0limun

n20,所以limun0

nndydytdy 2t2 t2t22t 2t 2t2t41t,

即t2t22t6t12,整理有tt1t3t12 tt3t1

5t,1

yty

y31t 1dt1 所以 e1t31te1t C

1 C, 1.因?yàn)閥 6所以C0y3tt1,即t3tt故t 3tt1dt3t2t3C又由1

5 5,所以C0,故t

t2t3,(t1)3 3x2y2

b2Sb2xdyb2 2 令ybsint,yb時(shí)t ;y 時(shí)t 3 3 S

6cos2tdt2ab

2

2cos2t)dt(3

所以油的質(zhì)量m(2 3)abl uuuuu y uuuuabu

u

2u2 2u x2

xx2x2u2u 22uuu2u22u2u2u

2

2a

b2(ab)2u u y yaba(a2b)b(a2a

a22b222ab4x212xy5 (5a12a 5a212a4

12b4)212(ab)10ab8所以5b212b4 2或2b2或2.又因?yàn)楫?dāng)(a2或2b2或2.又因?yàn)楫?dāng)(ab)為(2,2,25555a所以當(dāng)(ab為(22)(2,2

5DD

1r2cos2DrD

DD

1x2y21dxx 2dy111x2321 1x 03 1dx11x22dx12cos4d130 3 【解析】令Fxfx1x3,對(duì)于Fx在0,1上利 日中值定理,得3在0,1, 2

2F1F01F 2 對(duì)于Fx在1,1上利 日中值定理,得存在1,1,使 F1F11F 2 兩式相ff22所以存在01,1,1,使ff22 2

a 1A

1 1 1

a1 1

1 1

a 1

a11當(dāng)1A0000

1 11100 a 00 1

1,此rA)rA,故Axb無(wú)解(舍去00當(dāng)1時(shí),A0

1,由于r(A)r(A3,所a2,故1a2a2：Axb2,故r(ArA3A0A

(1)2(1)0 知1或-1r(A1r(A2Axb1rArAa2II 2 11 2

10 322A

1 1

10 0 2

0

03x

x 1 2

,寫(xiě)成向量的形式,即x1

1可知原方程組等價(jià)為

x

x2