(完整版)上海交通大學(xué)2008年振動力學(xué)期末考試試題

上海交通大學(xué)2008年振動力學(xué)期末考試試題第一題（20分）1、在圖示振動系統(tǒng)中，已知：重物C的質(zhì)量m,勻質(zhì)桿AB的質(zhì)量m,長為L,12勻質(zhì)輪0的質(zhì)量m，彈簧的剛度系數(shù)k。當(dāng)AB桿處于水平時為系統(tǒng)的靜平衡位3置。試采用能量法求系統(tǒng)微振時的固有頻率。系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動系統(tǒng)，以重物C的位移y作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo),在靜平衡位置時y=0,此時系統(tǒng)的勢能為零。AB轉(zhuǎn)角：P=系統(tǒng)動能：11爲(wèi)二存抵二舅"只詳二舅網(wǎng)）資在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動力為有勢力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因而有：3系統(tǒng)勢能:上式求導(dǎo)，得系統(tǒng)的微分方程為:

在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動力為有勢力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因而有：3系統(tǒng)勢能:上式求導(dǎo)，得系統(tǒng)的微分方程為:固有頻率和周期為:2、質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤置于粗糙水平面上，輪緣上繞有不可伸長的細(xì)繩并通過定滑輪A連在質(zhì)量為m的物塊B上；輪心C與剛度系數(shù)為k的水平彈簧相連；不計滑輪A,繩及彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)自彈簧原長位置靜止釋放。試采用能量法求系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)可以簡化成單自由度振動系統(tǒng)，以重物B的位移x作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜平衡位置時x=0,此時系統(tǒng)的勢能為零。物體B動能：評輪子與地面接觸點為速度瞬心，則輪心速度為，角速度為，轉(zhuǎn)0=——JC過的角度為。輪子動能:系統(tǒng)勢能:在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動力為有勢力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有:=E上式求導(dǎo)得系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程：

固有頻率為:固有頻率為:第二題（20分）1、在圖示振動系統(tǒng)中，重物質(zhì)量為m,外殼質(zhì)量為2m,每個彈簧的剛度系數(shù)均為k。設(shè)外殼只能沿鉛垂方向運(yùn)動。采用影響系數(shù)方法：（1）以x和x為廣義12坐標(biāo)，建立系統(tǒng)的微分方程；（2）求系統(tǒng)的固有頻率。解:解:系統(tǒng)為二自由度系統(tǒng)。當(dāng)x1系統(tǒng)為二自由度系統(tǒng)。當(dāng)x1=1,x2=0時，有：當(dāng)x2=1,x2=1時，有：因此系統(tǒng)剛度矩陣為：k11=2k,k21=—2kk22=4k,k12=-2k系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為:系統(tǒng)動力學(xué)方程為:頻率方程為:解出系統(tǒng)2個固有頻率:

系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為:系統(tǒng)動力學(xué)方程為:頻率方程為:解出系統(tǒng)2個固有頻率:2、在圖示振動系統(tǒng)中，物體A、B的質(zhì)量均為m,彈簧的剛度系數(shù)均為k,剛桿AD的質(zhì)量忽略不計，桿水平時為系統(tǒng)的平衡位置。采用影響系數(shù)方法，試求：（1）以x和x為廣義坐標(biāo)，求系統(tǒng)作微振動的微分方程；（2）系統(tǒng)的固有頻率方程。12解:系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動系統(tǒng)，以物體A和B在鉛垂方向的位移x和x為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。12txl可求得:txl可求得:當(dāng)X1=1,x2=0時，AD轉(zhuǎn)角為B，兩個彈簧處的彈性力分別為宓和2趣。對D點取力矩平衡，有：^1=另外有耳二-肚。同理，當(dāng)x2=1,x2=1時,昌二！￡，1^^-kL因此，系統(tǒng)剛度矩陣為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為:系統(tǒng)動力學(xué)方程為:頻率方程為:即:=1,12解:(1)系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動系統(tǒng)。第三題(20分)在圖示振動系統(tǒng)中，已知：物體的質(zhì)量m、m及彈簧的剛度系數(shù)為k、k、氣、氣。(1)采用影響系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振動微分方程；(2)若k=k3=k=k,又k=2k,求系統(tǒng)固有頻率；(3)取k=1,m=8/9,m=1,系統(tǒng)初始位移條件為x(6)=9和x(0)=0,初始速度都為零，采用模態(tài)疊加法求系統(tǒng)響應(yīng)。當(dāng)x1=1,x2=0當(dāng)x1=1,x2=0時,k11=k1+k2+k4,當(dāng)x2=1,x2=1時,系統(tǒng)剛度矩陣為:有：k21=-k2有：k22=k2+k3,k12=-k2。因此,系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為:系統(tǒng)動力學(xué)方程為:⑵當(dāng)％二禺二忑二垢，召=叫時，運(yùn)動微分方程用矩陣表示為:頻率方程為:主模態(tài)矩陣為:系統(tǒng)剛度陣:固有頻率為:主質(zhì)量陣:主剛度陣:模態(tài)空間初始條件:模態(tài)響應(yīng):因此有:第四題（20分）一勻質(zhì)桿質(zhì)量為m,長度為L,兩端用彈簧支承，彈簧的剛度系數(shù)為k和k。12桿質(zhì)心C上沿x方向作用有簡諧外部激勵金砒。圖示水平位置為靜平衡位置。（1）以x和舊為廣義坐標(biāo)，采用影響系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振動微分方程；（2）取參數(shù)值為m=12,L=1，k=1，k=3,求出系統(tǒng)固有頻率；（2）系統(tǒng)參數(shù)仍取12前值，試問當(dāng)外部激勵的頻率?為多少時，能夠使得桿件只有舊方向的角振動,而無X方向的振動？解：（1）系統(tǒng)可以簡化為二自由度振動系統(tǒng)，選X、q為廣義坐標(biāo)，X為質(zhì)心的縱向位移，q為剛桿的角位移，如圖示。當(dāng)工二1、甘二0時：^1=11+^，當(dāng)s時:\比*.1L2430*HoHhL12」(2)底昂129L=skhl1「12酋*^?^“s“欝“(3)4>尸糸*—￡+笛—￡eS+EZHI4—g-No-Ig*IBS鼻書Ho“4±令s=H(6)7）(6)7）4-1滴1一1l-o301-02由第二行方程，解得「1-1-02(4-12o5)-1,=-[(4-12ffi3)-g要使得桿件只有日方向的角振動，而無X方向的振動，則需元“，因此倍=1。第五題（20分）如圖所示等截面懸臂梁，梁長度為L，彈性模量為E，橫截面對中性軸的慣性矩為I，梁材料密度為化在梁的曲位置作用有集中載荷訊幻。已知梁的初始條件為：血?二￡（耳，砥可二焉（為。（1）推導(dǎo)梁的正交性條件；⑵寫出求解梁的響應(yīng)驗◎的詳細(xì)過程。（假定已知第i階固有頻率為％相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為軌耳，心1~巧提示：梁的動力學(xué)方程為：M刖=zuo,其中碼，百為函數(shù)。提示：梁的動力學(xué)方程為：M刖=zuo,其中碼，百為函數(shù)。（1）梁的彎曲振動的動力學(xué)方程為:血◎可寫為:jUO=輒功貳0=輒功。現(xiàn)建阿代入梁的動力學(xué)方程，有：

設(shè)與％氣對應(yīng)有聘、克，有:(2)式（1）兩邊乘以巧并沿梁長對疋積分，有:(3)利用分部積分，上式左邊可寫為:（4）由于在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個同時為零，所以，上式右邊第一、第二項等于零，成為：將上式代入（3）中，有:式（2）乘夠并沿梁長對工積分，同樣可得到:由式（5）、⑹得:如果2丿時，叫則有:（8）上式即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。再由（3）及（6）可得:當(dāng)心丿上兩式即梁的主振型關(guān)于剛度的正交性。當(dāng)心丿時，式（7）總能成立，令：1聲無詡亶M廟、召即為第j階主質(zhì)量和第j階主剛度。吩