現(xiàn)實空間歐氏幾何的唯一性

使圖2的B和C直線與A直線相交。除非直線的長度無限小，變成一個點，但那就不是線段了。圖3中B和C明明是曲線，非歐幾何卻將它們視為直線，這顯然也是違背歐氏幾何的原始含義的?？梢姲凑諝W氏幾何的原始含義，在平面上非歐幾何對第五公設(shè)的改變根本不可能實現(xiàn)。非歐幾何改變歐氏幾何第五公設(shè)的荒謬性可以用以下方式來說明。我們知道人類有23對染色體，通過染色體測定方法，可以鑒別人類與其他動物。然而有人建立另外一種標(biāo)準(zhǔn)，用膚色來鑒定人類，并聲稱皮膚深色者不是地球人！如果堅持認為非歐幾何對第五公設(shè)的修正是合法的，正確的做法應(yīng)當(dāng)是，采用與歐幾里得完全相同的直線定義，證明平面上可以有多條直線與原直線平行，或沒有直線與原直線平行。然而這是根本不可能的，非歐幾何對第五公設(shè)的修正只是邏輯上可行，在現(xiàn)實上不可行。因此非歐幾何在現(xiàn)實面前不堪一擊，非歐幾何提出后幾十年，數(shù)學(xué)界始終不予承認，原因就在于此。雖然非歐幾何可以自成體系自圓其說，但幾何學(xué)不僅僅只是一個邏輯系統(tǒng)，它畢竟是用來研究現(xiàn)實空間的。離開現(xiàn)實空間背景討論抽象的邏輯演繹，顯然不是明智之舉。事實上，如果通過改變一條公設(shè)就可以建立一套新的幾何學(xué)，我們就可以有各種各樣的幾何學(xué)。比如通過改變歐幾里得幾何公理系統(tǒng)，數(shù)學(xué)家們后來還得到方德爾（Forder）系統(tǒng)，韋伯蘭（Veblen）系統(tǒng)，巴赫曼（Bachmann）系統(tǒng)，卡岡（）系統(tǒng)，彼得標(biāo)而金（）系統(tǒng)【3】。但這樣的幾何體系只能在邏輯上存在，沒有任何實際意義。4．曲面上歐氏幾何與非歐幾何沒有矛盾然而也有一些數(shù)學(xué)家堅信非歐幾何存在的可能性，力圖為了羅巴切夫斯基幾何尋找現(xiàn)實基礎(chǔ)。貝爾特拉米在偽球面上實現(xiàn)羅巴切夫斯基幾何，為非歐幾何找到生機。我們的問題是，偽球面上的非歐幾何平行線公設(shè)與平面上的歐氏幾何第五公設(shè)有矛盾嗎？在曲面上，羅巴切夫斯基幾何與歐氏幾何是對立的，不相容的嗎？答案顯然是，二者是相容的，沒有任何矛盾！歐氏幾何的第五公設(shè)是對平面上的直線而言。偽球面是曲面，曲面上沒有直線的定義，歐氏幾何的第五公設(shè)本來就不成立。如圖5所示，按照歐氏幾何畫圖，在平面上由曲線構(gòu)成的三角形A和B，其內(nèi)角和顯然小180度和大于180度。我們根本不需要修改歐氏幾何第五公設(shè)，平面上的非歐幾何有什么意義呢？如果非要在曲面討論第五公設(shè)，數(shù)學(xué)家面臨如何定義直線的問題?？紤]到直線代表兩點之間的最短距離，曲面上的直線可以看成是兩點之間的短程線。如果將曲面上的直線理解為短程線，在偽球面上通過短程線A外的任意點的確可以做多條短程線B和C等，它們可以延伸到遠處，但不與原短程線相交。由三條短程線構(gòu)成的三角形，其內(nèi)角和可以小于或大于180度。這些與歐氏幾何沒有原則性的矛盾，按照歐氏幾何，曲面上也可以有這種結(jié)果。相反，如果將短程線理解為直線，圖3和圖6平面上的B和C曲線就不是短程線，因此就不是直線，也就不是A的平行線，羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何就不能自圓其說。非歐幾何對直線的定義矛盾重重，是不可能自洽的。這個事實反應(yīng)了實在空間幾何概念的唯一性，我們只可能有一種幾何，不可能有兩種幾何。5．高斯微分幾何包含了非歐幾何事實上歐幾里得只討論平面上的幾何問題，沒有討論曲面問題。研究曲面問題需要無窮小分析和微積分，在歐幾里得時代，微積分還沒有被發(fā)明。用數(shù)學(xué)研究曲面，是一千多年后的事情。高斯采用微積分方法，建立了微分幾何理論。高斯微分幾何定義了曲面第一基本形式，可以寫為：dS2■Edu2■2Fdudv■Gdv2（1）其中函數(shù)E,F,G取不同的形式，對應(yīng)于不同的曲面。利用（1）式可以定量描述各種各樣的曲面（包括偽球面和球面），曲面上的各種曲線（包括短程線），以及任意兩條曲線之間的夾角（包括兩條短程線之間的夾角）。因此采用高斯微分幾何，可以得到非歐幾何的所有結(jié)果。比如采用Gauss-Bonnet公式，可以證明偽球面上三條短程線組成的三角形內(nèi)角和小于180度，球面上三條短程線組成的三角形內(nèi)角和大于180度【4】。通過偽球面上某短程線外某點可以有多條短程線，它們都不與原短程線相交。而球面上的大圓都是短程線，它們彼此相交，球面上不存在不相交的短程線，等等。然而我們應(yīng)當(dāng)明白，高斯曲面理論是建立在歐氏幾何的基礎(chǔ)上的。三維歐氏幾何的空間在本質(zhì)上是平直的，二維曲面被嵌在三維平直空間中，二維和三維曲線存在于三維空間中。它們之間所謂的非歐幾何關(guān)系，實際上都可以用三維歐氏空間中的微分幾何來定量描述，都已經(jīng)包含在歐氏幾何的曲面理論中。羅巴切夫斯基幾何有時被簡稱為雙曲幾何，黎曼幾何也被簡稱為球面幾何，但它們都是（1）式的特例。比如取E■1，F(xiàn)■0和G■a2"u/a，就得到偽球面的度規(guī)。取E■a2，F(xiàn)■0，G■a2sin2v，就得到球面度規(guī)。但它們都只是歐氏空間中的一種曲面，根本沒有資格成為獨立的幾何體系。否則（1）式中E,F,G有無窮多種形式，我們就不得不認為有無窮多種的幾何體系。由此可見，非歐幾何實際上只是歐氏幾何在曲面上的體現(xiàn)。它在平面上不可實現(xiàn)，在曲面上與歐氏幾何沒有什么兩樣，在現(xiàn)實中沒有獨立于歐氏幾何的非歐幾何。我們只有平面幾何，立體幾何，曲面幾何與曲線幾何，它們都是歐氏空間的幾何。羅巴切夫斯基等人對歐幾里得幾何第五公設(shè)的改變沒有任何現(xiàn)實意義，我們何必多此一舉，非要引入所謂的非歐幾何呢？更一般地說，幾何學(xué)描述現(xiàn)實空間是需要建立度量關(guān)系的。如果我們非要認為存在非歐幾何，就只能將它看成描述彎曲空間的幾何，歐氏幾何則為非歐幾何提供度量標(biāo)準(zhǔn)。歐幾里得幾何學(xué)就像一把尺子，彎曲空間幾何需要以這把尺子為標(biāo)準(zhǔn)，建立各種空間關(guān)系。在這種意義上，歐氏幾何與非歐幾何是基礎(chǔ)與上層建筑的關(guān)系。它們不是相互矛盾，相互排斥的。談?wù)撈矫嫔系姆菤W幾何是沒有意義的，因為空間本身就是歐氏的。非歐幾何描述彎曲空間，只能以歐氏幾何為基礎(chǔ)而存在。國內(nèi)學(xué)者楊世家最先指出這個問題，認為非歐幾何實際上是歐氏幾何在曲面上的體現(xiàn)，所謂的非歐幾何純屬多余。以下四段話引自楊世家的文章《黎曼幾何質(zhì)疑》（文字略有修改）【5】：歐幾里得幾何第五公設(shè)不能被證明，這沒有什么好奇怪，也沒有什么可懷疑的。恰恰相反，這說明第五公設(shè)只能作為公設(shè)，不能作為定理。到此為止問題已經(jīng)解決，不需要再糾纏。后來所有的糾纏都是數(shù)學(xué)家們的意愿導(dǎo)致的，完全是多余的。貝特拉米等人把歐氏幾何中的“曲面”偷換成“平面”，“測地線”偷換成“直線”，做出直觀“模型”來解釋非歐幾何，真是荒唐遺憾。與歐氏幾何完全矛盾的羅氏幾何，竟然是用歐氏幾何來解釋的，歐氏幾何竟然支持了非歐幾何。沒有矛盾是理論體系為真理的必要條件，不是充分條件。一個理論是否正確，不能用自身來檢驗，只有完全符合事實的理論才是真理。如果脫離現(xiàn)實世界的約束，純粹考慮數(shù)學(xué)上和邏輯上的自恰性，我們可以改變?nèi)魏我粭l公理，甚至用截然相反的陳述來建立數(shù)學(xué)和邏輯上自恰的理論體系。黎曼幾何和羅巴切夫斯基幾何就是這樣。哪種幾何適用于現(xiàn)實世界，不僅需要數(shù)學(xué)內(nèi)在的自恰性，而且還需要符合外部的客觀世界。就象用中文記錄的歷史事件不是中文本身一樣，我們不能用中文隨意“創(chuàng)造”歷史上并不存在、但符合中文語法，邏輯上沒有矛盾的事件“記錄”。6"niw"”"歐氏幾何討論三維平直空間的問題，高斯微分幾何建立后，自然需要考慮高維彎曲空間的幾何問題。黎曼是高斯的學(xué)生，他繼承了高斯的微分幾何方法，建立描述高維彎曲空間的黎曼微分幾何。黎曼幾何被看成是更高級的空間理論，它可以脫離幾何圖形的具體形象，完全用抽象的函數(shù)描述彎曲空間。黎曼幾何已經(jīng)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分，并在現(xiàn)代物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。然而可以證明，黎曼微分幾何的基礎(chǔ)存在嚴(yán)重缺陷，實際上是不成立的【6】。高斯微分幾何建立在歐氏幾何的基礎(chǔ)上，其理論和圖像直觀樸素，概念清楚，邏輯合理。但高斯也犯了一個致命的錯誤，嚴(yán)重誤導(dǎo)后世幾何學(xué)的發(fā)展方向。他引入內(nèi)蘊幾何概念，認為二維曲面可以脫離三維平直背景空間獨立存在。但這實際上是不可能的。事實上，高斯微分幾何需要先在三維平直空間中定義曲面方程z■z（九y），然后再變換到曲面坐標(biāo)系，用曲面坐標(biāo)參數(shù)m和v來描述曲面。由于三維空間坐標(biāo)x,y,z之間的限制，導(dǎo)致曲面第一基本形式中的三個函數(shù)E,F,G不是獨立的。如果認為曲面可以獨立于三維背景空間而存在，函數(shù)E,F,G就應(yīng)當(dāng)是獨立的。在這種情況下，可以舉出許多例子,證明高斯曲率公式是失效的。作為高斯的繼承人,黎曼沒有繼承高斯幾何理論直觀樸素的優(yōu)點,卻將高斯內(nèi)蘊幾何的錯誤延續(xù)和放大。按照黎曼的方式,建立起來的高維彎曲空間理論從一開始就是錯的。分析表明黎曼幾何的基礎(chǔ)漏洞百出,邏輯無法自洽,不可能與高斯幾何達到一致的。主要體現(xiàn)在以下幾方面。曲率張量是黎曼幾何的核心概念,黎曼幾何用曲率張量來表示空間曲率。然而可以證明,存在許多真正的二維曲面（不可展曲面）,用黎曼曲率張量計算是曲率卻為零,因此用黎曼幾何的曲率張量描寫空間曲率是無效的。黎曼幾何與高斯幾何存在許多不一致性。比如高斯曲面的曲率是有方向性的,但二維黎曼曲面的曲率沒有方向性,因此黎曼幾何在現(xiàn)實中是不成立的。高斯幾何理論中,曲線的曲率是一個豐富多彩的領(lǐng)域。但在黎曼幾何中,最低階的曲率張量只能描述二維曲面,因此黎曼幾何無法描述空間曲線的曲率。黎曼幾何采用活動標(biāo)架,微分弧長涉及標(biāo)架基向量的導(dǎo)數(shù)。因此黎曼度規(guī)張量實際上與聯(lián)絡(luò)有關(guān),其形式實際上比現(xiàn)有形式復(fù)雜得多。由此會導(dǎo)致黎曼幾何的重大改變,黎曼幾何中的許多內(nèi)容實際上都是不成立的。如果采用正確的度規(guī),能否找到合適的函數(shù)來描述空間曲率,仍然是一個大問題。黎曼幾何用列維-齊維塔向量平移方法推導(dǎo)曲率張量,但忽略了向量平移的法向增量,所得結(jié)果是錯誤的【7】。列維-齊維塔向量平移回到出發(fā)點時,角度差是由構(gòu)成回路的曲線的不連續(xù)性引起的。如果采用連續(xù)曲線回路,就沒有角度差,也就沒有曲率張量。如果不是采用4條對稱的曲線構(gòu)成回路,而是采用3條,5條和6條曲線,就得不到黎曼曲率張量的現(xiàn)有形式。因此用列維-齊維塔向量平移推導(dǎo)黎曼曲率張量是無效的。黎曼曲率張量也可以通過絕對微分算符的不對易性導(dǎo)出【8】，但其幾何意義是不明確的。結(jié)果進一步證明黎曼曲率張量不能描述真正的空間曲率。事實上，黎曼幾何不可能獨立于高斯幾何而存在。如果沒有高斯幾何，僅憑黎曼幾何公式，我們甚至連最簡單的球面度規(guī)的形式都沒有辦法確定，更不用說其他更復(fù)雜的彎曲空間度規(guī)了。由于脫離平直空間的背景，黎曼幾何實際上變成無源之水，無根之木。為了能與高斯幾何一致，黎曼幾何不得不引入許多不恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，結(jié)果仍然無法擺脫以歐式幾何為背景的宿命。黎曼幾何實際上是依靠模仿高斯幾何而生存的，這種模仿恰恰背離了彎曲空間可以獨立存在本源，其基本概念和直觀圖像不倫不類，帶來的是更多的混亂和困惑。按目前流行的看法，黎曼幾何被看出是比高斯幾何更一般的空間理論。但如果連最簡單的一維曲線和二維曲面的曲率都不能正確描述，高維空間的黎曼幾何還會有什么實際意義呢？現(xiàn)有黎曼幾何的基礎(chǔ)存在嚴(yán)重的缺陷，作為其核心概念的度規(guī)張量和曲率張量的定義都是有問題的。高維空間的幾何理論只能按高斯微分幾何的模式拓展，事實上在許多特殊問題中，數(shù)學(xué)家已經(jīng)這樣做了。但這種做法的其前提是，維彎曲空間必須有更高維的歐氏空間為背景。非歐幾何提出一百多年，許多數(shù)學(xué)史上大名鼎鼎的人物都參與其中。一個龐大的理論體系已經(jīng)建立，并廣泛地滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代物理學(xué)的方方面面。然而非常遺憾的，數(shù)學(xué)家們至今都沒有看出，非歐幾何是沒有必要的，黎曼微分幾何的基礎(chǔ)是錯誤的。這不是一個小錯誤，而是一個系統(tǒng)性的錯誤。這種錯誤不可修補，非歐幾何從人類知識體系中刪除的命運是不可避免的。至于高維彎曲空間的幾何理論，我們只能按照高斯微分幾何的方法，先建立一個更高維的平直背景空間，在這個背景空間中定義高維超曲面，然后再研究超曲面的性質(zhì)。.M.克萊因，數(shù)學(xué)：確定性的喪失，湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1997,p.62,78。.M.克萊因，西方文化中的數(shù)學(xué)，復(fù)旦大學(xué)出版社，2013,p.426。.吳開朗，數(shù)學(xué)美學(xué)，北京教育出版社，1993,p.194。.梅向明，黃敬之，微分幾何，高等教育出版社，2008,第五版，p.1