隨機(jī)過(guò)程考試真題

隨機(jī)過(guò)程考試真題隨機(jī)過(guò)程考試真題隨機(jī)過(guò)程考試真題資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月隨機(jī)過(guò)程考試真題版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：設(shè)隨機(jī)過(guò)程，，為常數(shù)，服從區(qū)間上的均勻分布。（1）求的一維概率密度和一維分布函數(shù)；（2）求的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。2、設(shè)是參數(shù)為的維納過(guò)程，是正態(tài)分布隨機(jī)變量；且對(duì)任意的，與均獨(dú)立。令，求隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。設(shè)到達(dá)某商場(chǎng)的顧客人數(shù)是一個(gè)泊松過(guò)程，平均每小時(shí)有180人，即；且每個(gè)顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求一天內(nèi)（8個(gè)小時(shí)）商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差。4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：（1）求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣及當(dāng)初始分布為時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。（2）求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。5設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：求狀態(tài)的分類(lèi)、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。6、設(shè)是參數(shù)為的泊松過(guò)程，計(jì)算。7、考慮一個(gè)從底層啟動(dòng)上升的電梯。以記在第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定相互獨(dú)立，且是均值為的泊松變量。在第層進(jìn)入的各個(gè)人相互獨(dú)立地以概率在第層離開(kāi)電梯，。令＝在第層離開(kāi)電梯的人數(shù)。（1）計(jì)算（2）的分布是什么（3）與的聯(lián)合分布是什么8、一質(zhì)點(diǎn)在1，2，3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在內(nèi)，它都以概率分別轉(zhuǎn)移到其它兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯?tīng)柲缏宸蛭⒎址匠?，轉(zhuǎn)移概率及平穩(wěn)分布。1有隨機(jī)過(guò)程{(t)，-<t<}和{(t)，-<t<}，設(shè)(t)=Asin(t+)，(t)=Bsin(t++),其中A，B，，為實(shí)常數(shù)，均勻分布于[0，2]，試求R(s,t)2（15分）隨機(jī)過(guò)程(t)=Acos(t+)，-<t<+，其中A,,是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，EA=2,DA=4,是在[-5,5]上均勻分布的隨機(jī)變量，是在[-，]上均勻分布的隨機(jī)變量。試分析(t)的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。3某商店顧客的到來(lái)服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過(guò)程，已知商店9：00開(kāi)門(mén)，試求：（1）在開(kāi)門(mén)半小時(shí)中，無(wú)顧客到來(lái)的概率；（2）若已知開(kāi)門(mén)半小時(shí)中無(wú)顧客到來(lái)，那么在未來(lái)半小時(shí)中，仍無(wú)顧客到來(lái)的概率。4設(shè)某廠的商品的銷(xiāo)售狀態(tài)（按一個(gè)月計(jì)）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷(xiāo)（用1表示）、正常（用2表示）、暢銷(xiāo)（用3表示）。若經(jīng)過(guò)對(duì)歷史資料的整理分析，其銷(xiāo)售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pij（pij表示從銷(xiāo)售狀態(tài)i經(jīng)過(guò)一個(gè)月后轉(zhuǎn)為銷(xiāo)售狀態(tài)j的概率），一步轉(zhuǎn)移開(kāi)率矩陣為：試對(duì)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間后的銷(xiāo)售狀況進(jìn)行分析。5設(shè){X(t),t0}是獨(dú)立增量過(guò)程,且X(0)=0,證明{X(t),t0}是一個(gè)馬爾科夫過(guò)程。6設(shè)是強(qiáng)度為的泊松過(guò)程，是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與獨(dú)立，令，證明：若，則7.設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過(guò)去的天氣無(wú)關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無(wú)雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無(wú)雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。8設(shè)是平穩(wěn)過(guò)程，令，其中0是常數(shù)，為均勻分布在[0,2]上的隨機(jī)變量，且與相互獨(dú)立，R()和S()分別是的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度，試證：（1）是平穩(wěn)過(guò)程，且相關(guān)函數(shù)：（2）的功率譜密度為：9已知隨機(jī)過(guò)程(t)的相關(guān)函數(shù)為：，問(wèn)該隨機(jī)過(guò)程(t)是否均方連續(xù)是否均方可微

1、設(shè)隨機(jī)過(guò)程，，為常數(shù)，服從區(qū)間上的均勻分布。（1）求的一維概率密度和一維分布函數(shù)；（2）求的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)?！纠碚摶A(chǔ)】（1），則為密度函數(shù)；（2）為上的均勻分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，，；（3）參數(shù)為的指數(shù)分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，，；（4）的正態(tài)分布，概率密度函數(shù)，分布函數(shù)，若時(shí)，其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?！窘獯稹勘绢}可參加課本習(xí)題2.1及2.2題。（1）因?yàn)樯系木鶆蚍植?，為常?shù)，故亦為均勻分布。由的取值范圍可知，為上的均勻分布，因此其一維概率密度，一維分布函數(shù)；（2）根據(jù)相關(guān)定義，均值函數(shù)；相關(guān)函數(shù)；協(xié)方差函數(shù)（當(dāng)時(shí)為方差函數(shù)）【注】；求概率密度的通解公式2、設(shè)是參數(shù)為的維納過(guò)程，是正態(tài)分布隨機(jī)變量；且對(duì)任意的，與均獨(dú)立。令，求隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。【解答】此題解法同1題。依題意，，，因此服從于正態(tài)分布。故：均值函數(shù)；相關(guān)函數(shù)；協(xié)方差函數(shù)（當(dāng)時(shí)為方差函數(shù)）設(shè)到達(dá)某商場(chǎng)的顧客人數(shù)是一個(gè)泊松過(guò)程，平均每小時(shí)有180人，即；且每個(gè)顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布。求一天內(nèi)（8個(gè)小時(shí)）商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的數(shù)學(xué)期望與方差?！窘獯稹看祟}可參見(jiàn)課本習(xí)題3.10題。由題意可知，每個(gè)顧客的消費(fèi)額是服從參數(shù)為的指數(shù)分布，由指數(shù)分布的性質(zhì)可知：，故，則由復(fù)合泊松過(guò)程的性質(zhì)可得：一天內(nèi)商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的數(shù)學(xué)期望；一天內(nèi)商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額的方差。4、設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：（1）求兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣及當(dāng)初始分布為時(shí)，經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率。（2）求馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布?！窘獯稹靠蓞⒖冀滩睦?.3題及4.16題（1）兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣當(dāng)初始分布為時(shí)，故經(jīng)兩步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)2的概率為0.35。（2）因?yàn)轳R爾可夫鏈?zhǔn)遣豢杉s的非周期有限狀態(tài)，所以平穩(wěn)分布存在。得如下方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為5、設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：求狀態(tài)的分類(lèi)、各常返閉集的平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間?！窘獯稹看祟}比較綜合，可參加例4.13題和4.16題畫(huà)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下：4242115353（1）由上圖可知，狀態(tài)分類(lèi)為（2）由上圖及常返閉集定義可知，常返閉集有兩個(gè)，下面分別求其平穩(wěn)分布及各狀態(tài)的平均返回時(shí)間。A、對(duì)常返閉集而言，解方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為則各狀態(tài)的平均返回時(shí)間分別為B、對(duì)常返閉集而言，解方程組解上述方程組得平穩(wěn)分布為則各狀態(tài)的平均返回時(shí)間分別為6、設(shè)是參數(shù)為的泊松過(guò)程，計(jì)算?！窘獯稹?、考慮一個(gè)從底層啟動(dòng)上升的電梯。以記在第層進(jìn)入電梯的人數(shù)。假定相互獨(dú)立，且是均值為的泊松變量。在第層進(jìn)入的各個(gè)人相互獨(dú)立地以概率在第層離開(kāi)電梯，。令＝在第層離開(kāi)電梯的人數(shù)。（1）計(jì)算（2）的分布是什么（3）與的聯(lián)合分布是什么【解答】此題與本書(shū)聯(lián)系不大，據(jù)有關(guān)方面信息，此次考試此題不考。以記在第層乘上電梯，在第層離去的人數(shù)，則是均值為的泊松變量,且全部相互獨(dú)立。因此：(1)(2)由泊松變量的性質(zhì)知，(3)因，則，為期望。8、一質(zhì)點(diǎn)在1，2，3點(diǎn)上作隨機(jī)游動(dòng)。若在時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于這三個(gè)點(diǎn)之一，則在內(nèi)，它都以概率分別轉(zhuǎn)移到其它兩點(diǎn)之一。試求質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)游動(dòng)的柯?tīng)柲缏宸蛭⒎址匠?，轉(zhuǎn)移概率及平穩(wěn)分布?！窘獯稹繀⒁?jiàn)教材習(xí)題5.2題依題意，由得，，柯?tīng)柲缏宸蛳蚯胺匠虨?，由于狀態(tài)空間，故，所以，解上述一階線(xiàn)性微分方程得：，由初始條件確定常數(shù)，得故其平穩(wěn)分布1、有隨機(jī)過(guò)程{(t)，-<t<}和{(t)，-<t<}，設(shè)(t)=Asin(t+)，(t)=Bsin(t++),其中A，B，，為實(shí)常數(shù)，均勻分布于[0，2]，試求R(s,t)1.解：2、隨機(jī)過(guò)程(t)=Acos(t+)，-<t<+，其中A,,是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，EA=2,DA=4,是在[-5,5]上均勻分布的隨機(jī)變量，是在[-，]上均勻分布的隨機(jī)變量。試分析(t)的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。2、解：所以具有平穩(wěn)性。故均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。故相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性。3、某商店顧客的到來(lái)服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Poisson過(guò)程，已知商店9：00開(kāi)門(mén)，試求：（1）在開(kāi)門(mén)半小時(shí)中，無(wú)顧客到來(lái)的概率；（2）若已知開(kāi)門(mén)半小時(shí)中無(wú)顧客到來(lái)，那么在未來(lái)半小時(shí)中，仍無(wú)顧客到來(lái)的概率。3、解：設(shè)顧客到來(lái)過(guò)程為{N(t),t>=0}，依題意N(t)是參數(shù)為的Poisson過(guò)程。（1）在開(kāi)門(mén)半小時(shí)中，無(wú)顧客到來(lái)的概率為：（2）在開(kāi)門(mén)半小時(shí)中無(wú)顧客到來(lái)可表示為，在未來(lái)半小時(shí)仍無(wú)顧客到來(lái)可表示為，從而所求概率為：4、設(shè)某廠的商品的銷(xiāo)售狀態(tài)（按一個(gè)月計(jì)）可分為三個(gè)狀態(tài)：滯銷(xiāo)（用1表示）、正常（用2表示）、暢銷(xiāo)（用3表示）。若經(jīng)過(guò)對(duì)歷史資料的整理分析，其銷(xiāo)售狀態(tài)的變化（從這月到下月）與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為pij（pij表示從銷(xiāo)售狀態(tài)i經(jīng)過(guò)一個(gè)月后轉(zhuǎn)為銷(xiāo)售狀態(tài)j的概率），一步轉(zhuǎn)移開(kāi)率矩陣為：試對(duì)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間后的銷(xiāo)售狀況進(jìn)行分析。4、解答：由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣可知狀態(tài)互通，且pii>0，從而所有狀態(tài)都是遍歷狀態(tài)，于是極限分布就是平穩(wěn)分布。設(shè)平穩(wěn)分布為={1，2，3}，求解方程組：=P,1+2+3=1即：得：即極限分布為：由計(jì)算結(jié)果可以看出：經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，正常銷(xiāo)售狀態(tài)的可能性最大，而暢銷(xiāo)狀態(tài)的可能性最小。5、試對(duì)以下列矩陣為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的齊次馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間進(jìn)行分解。（1）（2）5、6、一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，顧客按強(qiáng)度為的Poisson過(guò)程到達(dá)，系統(tǒng)內(nèi)只有一個(gè)服務(wù)員，并且服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，如果服務(wù)系統(tǒng)內(nèi)沒(méi)有顧客，則顧客到達(dá)就開(kāi)始服務(wù)，否則他就排隊(duì)。但是，如果系統(tǒng)內(nèi)有兩個(gè)顧客在排隊(duì)，他就離開(kāi)而不返回。令(t)表示服務(wù)系統(tǒng)中的顧客數(shù)目。（1）寫(xiě)出狀態(tài)空間；（2）求Q矩陣7、設(shè)是平穩(wěn)過(guò)程，